【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件（打包9套） 新人教A版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件（打包9套） 新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第三,课件,打包,新人,必修
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本讲栏目开关 【学习目标】 1 了解不等式 ( 组 ) 的实际背景 2 掌握比较两个实数大小的方法 3 掌握不等式的八条性质 本讲栏目开关 【学法指导】 1 不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式 ( 组 ) 表示不等关系实质是将 “ 自然语言 ” 或 “ 图形语言 ” 转化成“ 数学语言 ” ，是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可 2 作差法是比较两个数 ( 或式 ) 大小的重要方法之一，可简单概括为 “ 三步一结论 ” ，其中关键步骤 “ 变形 ” 要彻底，当不能 “ 定号 ” 时注意分类讨论 3 不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形 本讲栏目开关 1 不等式：用数学符号 ， 或 表示 的 式子叫做不等式 2 不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 b ；如果 a b 等于 ，那么 a b ；如果 a b 是 ，那么 a 0 ; a b 0 ; a b b a b a b b a ( 对称性 ) ； ( 2 ) a b ， b c a c ( 传递性 ) ； ( 3 ) a b a c b c ( 可加性 ) ； ( 4 ) a b ， c 0 a b ， c b ， c d a c b d ； ( 6 ) a b 0 ， c d 0 ( 7 ) a b 0 ， n N ， n 2 ( 8 ) a b 0 ， n N ， n 2 填一填 知识要点、记下疑难点 本讲栏目开关 探究点一 实数比较大小 问题 1 实数比较大小的依据 在数轴上不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a与 b ，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出 a ， b 之间具有以下性质： 如果 a b 是正数，那么 ； 如果 a b 是负数，那么 ； 研一研 问题探究、课堂更高效 a b a b 本讲栏目开关 如果 a b 等于零，那么 . 以上结论反过来也成立，即 a b ； a b ； a 0 a b 0 a b 0 ， a b 0 ， a 3 b 3 a 2 b . 本讲栏目开关 探究点二 不等式的基本性质 问题 1 在实数大小比较的基础上，可以给出不等式 8 条基本性质的严格证明证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质 请借助前面的性质证明性质 6 ： 如果 a b 0 ， c d 0 ，那么 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a b 0c 0 0c d 0b 0 0 本讲栏目开关 问题 2 初学者对不等式的 8 条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形 ( 证明不等式和求解不等式 ) 的重要依据请解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用 解不等式：16x 341 ( 不等式两边都乘以 110 ，不等式方向改变 ) 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A 、 B 含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素 A ( 单位 / k g ) 6 0 0 7 0 0 4 0 0 维生素 B ( 单位 / k g ) 8 0 0 4 0 0 5 0 0 成本 ( 元 / k g ) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各 x k g 、 y k g 、 z k g 配成 1 0 0 k 使混合食物内至少含有 5 6 0 0 0 单位维生素 A 和 6 3 0 0 0 单位维生素 B . 试用 x 、 y 表示混合食物成本 c 元，并写出 x 、 y 所满足的不等关系 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 解 依题意得 c 11 x 9 y 4 z ， 研一研 问题探究、课堂更高效 又 x y z 100 ， c 4 0 0 7 x 5 y ， 由 6 0 0 x 700 y 400 z 5 6 0 0 08 0 0 x 400 y 500 z 6 3 0 0 0 ， 及 z 100 x y ， 得 2 x 3 y 1 6 03 x y 1 3 0 . x ， y 所满足的不等关系为2 x 3 y 1 6 03 x y 1 3 0x 0y 0. 本讲栏目开关 小结 ( 1 ) 当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可 ( 2 ) 解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来 ( 3 ) 若有表格、图象等，读懂表格、图象对解决这类问题很关键 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 某用户计划购买单价分别为 60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过 5 0 0 元，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒问：软件数与磁盘数应满足什么条件？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设软件数为 x ，磁盘数为 y ， 根据题意可得 60 x 70 y 5 0 0 ，x 3 且 x N ，y 2 且 y N 2 已知 x 1 ，试比较 x 3 1 与 2 x 2 2 x 的大小 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( x 3 1) (2 x 2 2 x ) x 3 2 x 2 2 x 1 ( x 3 x 2 ) ( x 2 2 x 1) x 2 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1 ) ( x 2 x 1) ( x 1 ) ( x 12 ) 2 34 ， ( x 12 ) 2 34 0 ， x 1 0 ， ( x 1 ) ( x 12 ) 2 34 0 ， x 3 1 2 x 2 2 x . 小结 作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式 本讲栏目开关 跟踪训练 2 ( 1 ) 比较 ( a 3 ) ( a 5) 与 ( a 2 ) ( a 4) 的大小； ( 2 ) 设 x ， y ， z R ，比较 5 4 x 2 z 2 的大小 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1 ) ( a 3 ) ( a 5) ( a 2 ) ( a 4) ( a 2 2 a 1 5 ) ( a 2 2 a 8) 7 b ，则 a b ； ( 3 ) 若 a ( 4 ) 若 c a b 0 ，则 a b； ( 5 ) 若 a b ，1a1b，则 a 0 ， b 知 c 0 ， c 2 0 ， a b ，故该命题为真命题 本讲栏目开关 ( 3 ) a 又 a 研一研 问题探究、课堂更高效 a 2 b 2 ，故该命题为真命题 ( 4 ) a b 0 ， a a b 0 ， 1 c a c b 0 ， 在 c a 1c b 0 ，又 a b 0 ， a b . 故该命题为真命题 本讲栏目开关 ( 5 ) 由已知条件知 a b a b 0 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 又 1a 1b 1a 1b 0 b 0 ， a b 0 ， b a b ， a 0 ， b 0 ，则 a b ； ( 2) 若 a b 0 且 c d 0 ，则 ad ( 3) 若 a b ， 0 ，则1 c d ，则 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1 ) 1a b ，故 ( 1 ) 错 ( 2) a b 0c d 0 0 立，故 ( 2) 对 ( 3 ) 错例如，当 a 1 ， b 1 时，不成立 ( 4) 错例如，当 a c 1 ， b d 2 时，不成立 本讲栏目开关 1 若 a b ， c d ，则下列不等关系中不一定成立的是 ( ) A a b d c B a d b c C a c b c D a c a d 练一练 当堂检测、目标达成落实处 B 本讲栏目开关 2 设 m 2 y ， n 2 x 5 ，则 m ， n 的大小关系是 ( ) A m n B m n C m n D 与 x ， y 取值有关 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 m n x 2 y 2 2 y 2 x 5 ( x 2 2 x 1) ( y 2 2 y 1) 3 ( x 1) 2 ( y 1) 2 3 0 ， m n . A 本讲栏目开关 3 下列不等式： 32 x ( x R) ； a ， b R) ； 2( a b 1) 中正确的命题序号有 _ _ _ 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 x 2 3 2 x ( x 1) 2 2 0 ， x 2 3 2 x . a 3 b 3 a 2 b a 2 ( a b ) b 2 ( b a ) ( a b )( a 2 b 2 ) ( a b ) 2 ( a b ) ， ( a b ) 2 ( a b ) 与 0 的大小关系不确定 a 3 b 3 与 a 2 b 的大小关系不确定 a 2 b 2 2( a b 1) ( a 2 2 a 1) ( b 2 2 b 1) ( a 1) 2 ( b 1) 2 0 ， a 2 b 2 2( a b 1) 本讲栏目开关 4 试比较 ( x 2 2 x 1 ) ( x 2 2 x 1) 与 ( x 2 x 1 ) ( x 2 x 1)的大小 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 ( x 2 2 x 1) ( x 2 2 x 1) ( x 2 x 1) ( x 2 x 1) ( x 2 1) 2 2 x 2 ( x 2 1) 2 x 2 x 2 0. ( x 2 2 x 1) ( x 2 2 x 1) ( x 2 x 1) ( x 2 x 1) 本讲栏目开关 1 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了 a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b . 2 作差比较的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将 “ 差 ” 化成 “ 积 ” ； 第三步：定号，就是确定是大于 0 ，等于 0 ，还是小于 0 . ( 不确定的要分情况讨论 ) 最后得结论 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 概括为 “ 三步一结论 ” ，这里的 “ 定号 ” 是目的， “ 变形 ” 是关键 3 不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 本讲栏目开关 【学习目标】 1 会解简单的一元二次不等式 2 了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系 【学法指导】 1 利用图象的形象直观可以准确把握三个 “ 二次 ” 之间的关系，牢固地记忆相关结论 2 解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集的结构特征， “ 对号入座 ” 即可快速地写出其解集 本讲栏目开关 1 一元一次不等式 一元一次不等式经过变形，可以化成 b ( a 0) 的形式 ( 1 ) 若 a 0 ，解集为 ； ( 2 ) 若 a x| c 0 时，方程有两个不等的 实数解 . 4 一元二次不等式的解集： 一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式： ( 1 ) c 0 ( a 0 ) ； ( 2 ) c 0 ) 当 4 0 时， c 0 有两个不等的实数根 a 0 ) 的解集为 _ _ _ _ _ _ _ ；则 c 0 ) 的解集为 填一填 知识要点、记下疑难点 x 2 x |x 1 0 的解集是 _ ； 不等式 x 6 3 ； x | 2 0 的解集是 _ _ _ _ _ _ _ _ ； 不等式 4 x 3 3 本讲栏目开关 探究 一元二次方程 c 0 ，当 4 0 时，有两个不等的实数根，记作 x 1 ， x 2 ，且 x 1 0 时，不等式 c 0 的解集是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；不等式 c 0 的解集是 _ _ _ _ _ _ _ _ ；不等式 c x 2 x |x 1 x 2 本讲栏目开关 探究点二 三个 “ 二次 ” 之间的关系 问题 下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等 式解集之间的联系，请补充完整 . 判别式 4 0 0 0 ) 的图象 一元二次方程 c 0 ( a 0 ) 的根 有两不等实数根 b 4 a( ( a 0 ) 一元 二次 不等 式的 解集 c 0 ) 注：当一元二次不等式的二次项系数 a 小于零时，通过不等式两边同乘以 1 ，转化为二次项系数大于零后，再求解 研一研 问题探究、课堂更高效 x |x x 2 x R| x b2 a R x |x 1 0 ( a 0 ) 的解集，就是二次函数 y c ( a 0 ) 的图象在 部分的点的横坐标 x 的集合； c 0 ) 的解集，就是二次函数 y c ( a 0 ) 的图象在 部分的点的横坐标 x 的集合 ( 2 ) 从方程的观点来看： 一元二次方程的根是二次函数的图象与 的横坐标，一元二次不等式 c 0 ( a 0 ) 的解集，就是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的实数的集合； c 0 ) 的解集，就是 的实数的集合 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值 研一研 问题探究、课堂更高效 x 轴上方 x 轴 下 方 x 轴交点 大于大根， 或者小于小根 大于小根，且小于大根 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 求下列不等式的解集： ( 1 ) 2 3 x 2 0 ； ( 2 ) 3 6 x 2 . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1 ) 2 x 2 3 x 2 0 的两解为 x 1 12 ， x 2 2 ， 且 a 2 0 . 不等式 2 x 2 3 x 2 0 的解集是 x | x 12 或 x 2 ( 2 ) 3 x 2 6 x 2 3 x 2 6 x 2 0 3 x 2 6 x 2 0 . x 1 1 33 ， x 2 1 33 . 不等式 3 x 2 6 x 2 的解集是 x |1 33 0 ； ( 2 ) ( x 3 ) ( 2 x ) 4 ； ( 3 ) ( x 1 ) ( x 1 ) 0 . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 由 2 x 2 x 1 0 ，得 2 x 2 x 1 0 ， ( x 1 ) 0 . 研一研 问题探究、课堂更高效 即解不等式 x 2 x 1 0 ， 由求根公式知 x 1 1 52 ， x 2 1 52 . x 2 x 1 0 的解集是 x | x 1 52 . 原不等式的解集为 x | x 1 52 . 本讲栏目开关 例 2 若不等式 c 0 的解集为x |13 x 2 ，求关于 x 的不等式 a 0 . 又因为 a 0 的解集 研一研 问题探究、课堂更高效 解 x 2 q 0 可化为 16 x 2 16 x 1 0 ， 即 x 2 x 6 0 的解集为 x | 20 时， 原不等式的解集为 x | . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 将不等式 x 2 ( a a 2 ) x a 3 0 变形为 ( x a )( x a 2 ) 0. a 2 a a ( a 1) 当 a 1 时， a a 2 当 0 a 当 a 0 或 1 时，解集为 x | x R 且 x a 综上知，当 a 1 时， 不等式的解集为 x | x a 2 ； 当 0 a ； 当 a 0 或 1 时，不等式的解集为 x | x R 且 x a 本讲栏目开关 1 不等式 2 x 1 0 的解集是 ( ) A 12， 1 B (1 ， ) C ( ， 1) (2 ， ) D ，12 (1 ， ) 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 2 x 2 x 1 (2 x 1) ( x 1) ， 由 2 x 2 x 1 0 得 (2 x 1) ( x 1) 0 ， 解得 x 1 或 x 0 的解集是 ( ) A x |1x t D x | t t . ( t x )( x 1t ) 0 ( x t )( x 1t ) 0 的解集是 x | 3014 x 1x 34 14 x 0( 或 c 0)的解集为 x | x 或 x | c 0 ， 0 ， 0 ；第三层次是根的大小的讨论 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 本讲栏目开关 【学习目标】 1 能运用三个 “ 二次 ” 的关系解决有关的数学问题 2 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决 3 掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法 【学法指导】 1 利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题的切入点，快速找到有效的解题途径 2 解决有关一元二次不等式恒成立的问题，一方面，要充分利用二次函数图象分析解决有关问题；另一方面还应依具体情况，选择不同的字母作为自变量，再利用图象分析解决问题 本讲栏目开关 1 一元二次不等式的解集如下表： 判别式 4 0 0 0) 的图象 一元二次方程 c 0 ( a 0) 的根 有两不等实根 x1，( a 0) 的解集 c 0) 的解集 2 解一元二次不等式的一般步骤 ( 1) 对不等式 ，使一端为 0 且二次项系数大于 0 ，即 c 0 ( a 0) ， c 0) ； ( 2) 计算相应的 ； ( 3) 当 0 时，求出相应的一元二次方程的根； ( 4) 根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集 填一填 知识要点、记下疑难点 x |x x 2 x |x R 且 x b2 a R x |x 1 0 的解集是 ( ) A ( 3,2) B (2 ， ) C ( ， 3) (2 ， ) D ( ， 2) (3 ， ) 填一填 知识要点、记下疑难点 C 4 若不等式 1 0 的解集为 R ，则实数 m 的取值范围是 ( ) A m 2 B m 2 C m 2 或 m 2 D 2 m 2 D 本讲栏目开关 问题情境 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为 “ 刹车距离 ” 刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速 40 k m /，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m ，乙车的刹车距离略超过 10 m 又知甲、乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x k m / h 之间分别有如下关系： 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 S 甲 0 . 1 x 0 . 0 1 S 乙 0 x 0 . 0 0 5 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用这节课我们将研究一元二次不等式的实际应用 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究点一 一元二次不等式恒成立问题 问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图象来求解，请把下列结论补充完整： ( 1 ) 一元二次不等式 c 0 的解集是全体实数 ( 或 恒成立 ) 的等价条件是 ； ( 2 ) 不等式 c 0 的解集是全体实数 ( 或恒成立 ) 的 等价条件是 ； 研一研 问题探究、课堂更高效 a 0 0或 a 0 0 0本讲栏目开关 探究点二 一元二次方程根的分布 问题 一元二次方程 f ( x ) c 0 的根的分布范围问题一般从以下三个方面考虑： ( 1 ) 判别式； ( 2 ) 区间端点函数值的正负； ( 3 ) 对称轴 x b2 设 c 0 ( a 0 ) 的两实数根， f ( x ) c ，则 根的分布 图象 等价条件 等价条件 00研一研 问题探究、课堂更高效 0f 0 0b2 a0本讲栏目开关 b2 a2 k k k 0研一研 问题探究、课堂更高效 f(0 )0 0fk 0b2 a k k 0f 0k 2 0本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 若不等式 2 4 0. 当 m 2 时， 4 0 ， x R ； 当 m 0 或 c 0 时，可以由开口方向和判别式来确定参数范围；当 a 0 时，要单独检验 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 不等式 2 ( a 2) 0 的解集是 ，则实数 a 的取值范围是 _ _ _ _ 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 当 a 0 时， 2 0 解集为 ； 当 a 0 时， a 满足条件： a 0f 0 k 0， 即3 k 2 2 k 1 0 k 1 k 0， 解得 00x 1 x 2 0 0，即k 1k0 k 1 2 4 0， 解得 00 ， 4 a 2 a 1 0 ， 解得 a 13 . 本讲栏目开关 例 3 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为 “ 刹车距离 ” 刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速4 0 k m /h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 1 2 m , 乙车的刹车距离略超过 1 0 m 两种车型的刹车距离 S m 与车速 x k m / h 之间分别有如下关系： S 甲 0 . 1 x 0 . 0 1 S 乙 0 . 0 5 x 0 . 0 0 5 问超速行驶谁应负主要责任 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 解 由题意列出不等式 S 甲 0 . 1 x 0 . 0 1 x 2 1 2 ， S 乙 0 . 0 5 x 0 . 0 0 5 x 2 1 0 . 研一研 问题探究、课堂更高效 分别求解，得 x 3 0 . x 4 0 . 由于 x 0 ，从而得 x 甲 3 0 k m /h ， x 乙 4 0 k m / h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任 小结 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具 有的 “ 实际含义 ” 本讲栏目开关 跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件与单价 P 元之间的关系为 P 1 6 0 2 x ，生产 x 件所需成本为 C 5 0 0 30 x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 3 0 0 元？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 由题意得 ( 16 0 2 x ) x ( 5 0 0 30 x ) 1 3 00 ， 化简得 x 2 65 x 900 0 解得 20 x 4 5. 答 该厂每天产量在 20 件至 45 件之间时，每天获利不少于 1 3 0 0 元 本讲栏目开关 1 与不等式x 32 x 0 同解的不等式是 ( ) A ( x 3 ) ( 2 x ) 0 B 0 1 B x | x 1 C x | x 1 或 x 2 D x | x 2 或 x 1 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 当 x 2 时， 0 0 成立 当 x 2 时，原不等式变为 x 1 0 ，即 x 1. 不等式的解集为 x |x 1 或 x 2 C 本讲栏目开关 3 要使关于 x 的方程 ( 1) x a 2 0 的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a 的取值范围是 ( ) A 11 C 21 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 设 f ( x ) x 2 ( a 2 1) x a 2 ， 则由 f ( 1 ) 1 2 ( a 2 1) a 2 a 2 a 2 ( 1 a ) 2 1 恒成立 ， 故只要 (1 a ) 2 1 0 恒成立即可 ， 即 a 2 2 a 0 ， 解得 2 a 0 . B 本讲栏目开关 1 解决不等式恒成立问题关键是等价转化思想的应用，同时要结合二次函数的图象来求解 2 解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观 3 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中的起关键作用的未知量为 x ，用 x 来表示其它未知量，根据题意，列出不等关系再求解 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 本讲栏目开关 3 . 3 . 1 二元一次不等式 ( 组 ) 与平面区域 【学习目标】 1 了解二元一次不等式表示的平面区域 2 会画出二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 【学法指导】 1 要善于从特例入手，探究二元一次不等式与对应平面区域的关系归纳总结出一般结论： “ 同侧同号，同号同侧，异侧异号，异号异侧 ” 2 准确、规范、熟练地画出二元一次不等式 ( 组 ) 所表示的平面区域是学好本单元的关键所在熟练掌握 “ 直线定边界，特殊点定区域 ” 的要领 本讲栏目开关 1 二元一次不等式 ( 组 ) 的概念 含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 _ _ _ _ _ _ _ 2 二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式 C 0 表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成 ，以表示区域不包括边界 不等式 C 0 表示的平面区域包括边界，把边界画成 填一填 知识要点、记下疑难点 两个 1 二元一次不 等式组 C 0 虚线 实线 本讲栏目开关 3 二元一次不等式 ( 组 ) 表示平面区域的确定 ( 1 ) 直线 C 0 同一侧的所有点的坐标 ( x ， y ) 代入 C ，所得的符号都 ( 2 ) 在直线 C 0 的同一侧取某个特殊点 ( ，由 的符号就可以断定 C 0 表示的是直线 C 0 哪一侧的平面区域 4 在平面直角坐标系中，二元一次方程 x y 6 0 表示一条直线，平面内的所有点被直线 x y 6 0 分成三类：直线 x y 6 0 上的点；直线 x y 6 0 左上方区域内的点，这一区域用二元一次不等式表示为 ; 直线 x y 6 0 右下方区域内的点，这一区域用二元一次不等式表示为 . 填一填 知识要点、记下疑难点 相同 C x y 60 本讲栏目开关 探究点一 二元一次不等式表示的平面区域 问题 在平面直角坐标系中，画出直线 x y 2 0 ，并标出以下九点： O ( 0,0) ， A ( 0 ,2) ， B ( 2,0) ， C ( 1,1 ) ， D ( 1,0) ，E (0 ， 1) ， F ( 3,0) ， G ( 2,2) ， H ( 0,3) 研一研 问题探究、课堂更高效 演示数值变化 本讲栏目开关 通过图象容易得出以下结论： (1) 点 A (0,2) ， B ( 2,0) ， C ( 1,1) 的坐标满足方程 _ ，它们在直线 x y 2 0 上； (2) 点 O (0,0) ， D (1,0) ， E (0 ， 1) 的坐标满足不等式 _ ，它们在直线 x y 2 0 的 ； (3) 点 F ( 3,0) ， G ( 2, 2) ， H (0,3) 的坐标满足不等式 _ ，它们在直线 x y 2 0 的 探究 一般地，二元一次不等式 C 0 与 C 0 x y 2 0 x y 20 与 C 0 ，则不等式 C 0 表示 的一侧；否则，不等式 C 0 表示 的一侧 研一研 问题探究、课堂更高效 相同 相反 原点 (0,0) 含点 ( 不含点 ( 本讲栏目开关 探究 根据上面提供的方法，判断下列二元一次不等式所表示的平面区域 不等式 x 20 表示直线 x 2 侧的平面区域； 不等式 y 1 0 表示直线 y 1 及其 下 方的平面区域； 不等式 2 x 3 y 6 0 ，所以原点在 x y 5 0 表 示的平面区域内，即 x y 5 0 表示直线 x y 5 0 上及其右下方的点的集合， 同理可得， x y 0 表示直线 x y 0 上及 其右上方的点的集合， x 3 表示直线 x 3 上及其左方的点的集合 本讲栏目开关 小结 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 1 画出不等式组x 0 表示直线 x 3 y 9 0 右下方点的集合 综上可得，不等式组表示的平面区域 是如图所示的阴影部分 本讲栏目开关 例 2 在 ， A (3 ， 1) 、 B ( 1,1) 、 C ( 1, 3) ，写出 A 包括边界 ) 所表示的二元一次不等式组 研一研 问题探究、课堂更高效 解 如图所示， 可求得直线 方程分别为 x 2 y 1 0 ， x y 2 0,2 x y 5 0. 由于 域在直线 上方， x 2 y 1 0 ； 在直线 下方， x y 2 0 ； 在直线 下方， 2 x y 5 0. 域可表示为 x 2 y 1 0 ，x y 2 0 ，2 x y 5 结 在已知平面区域前提下，用不等式 ( 组 ) 表示已知平面区域，可在各条直线外任取一点，将其坐标代入 C ，判断其正负，确定每一个不等式 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 2 如图所示，表示阴影部分 的二元一次不等式组是 ( ) A.y 23 x 2 y 60x 23 x 2 y 60x 0D.y 23 x 2 y 60x 1本讲栏目开关 1 一般地，二元一次不等式 C 0 或 C 0在平面直角坐标系内表示直线 C 0 某一侧的所有点组成的平面区域 2 在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用 “ 直线定边界、特殊点定区域 ” 的方法来画区域取点时，若直线不过原点，一般用 “ 原点定区域 ” ；若直线过原点，则取点( 1,0) 即可总之，尽量减少运算量 3 画平面区域时，注意边界线的虚实问题 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 3 . 3 . 2 简单的线性规划问题 ( 一 ) 【学习目标】 1 了解线性规划的意义 2 会求一些简单的线性目标函数的最值 3 会求一些简单的非线性函数的最值 【学法指导】 1 线性规划的有关概念较多，应准确把握，以利于有关数学语言的理解和应用 2 解决线性规划问题的基本方法是图解法，它的实质是数形结合思想方法的具体体现 本讲栏目开关 1 二元一次不等式组是一组对变量 x 、 y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x 、 y 的 不等式，所以又称为线性约束条件 2 z ( a 、 b 是实常数 ) 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x 、 y 的解析式，叫做 函数由于 z 是 x 、 y 的一次解析式，所以又叫做 目标函数 填一填 知识要点、记下疑难点 一次 目标 线性 本讲栏目开关 3 求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解 ( x ，y ) 叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 z 得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解 4 线性目标函数 z ( b 0) 对应的斜截式直线方程是 _ ，在 y 轴上的截距是 z 变化时，方程表 示一组 的直线 当 b 0 ，截距最大时， z 取得 值，截距最小时， z 取得 值； 当 b ta n 1 0 ； ta n 3 1 ， 当直线 z x 2 y 经过点 B ( 0,1) 时， z 取到最大值，且 z m 2. 2 本讲栏目开关 探究点二 非线性目标函数的最值问题 问题 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： z x ， y ) _ _ ； z ( x a )2 ( y b )2表示可行域中的点 ( x ， y ) _ ； z y x ， y ) _ _ ； 研一研 问题探究、课堂更高效 与原点 (0,0)距离 的平方 与点 (a， b)距离的平方 与定点 (a， b)连线 的斜率 本讲栏目开关 z d( 0) ，可以先变形为 z acy 知 z 表 示可行域内的点 ( x ， y ) ； z | c | ( 0) ，可以化为 z c |知 z 表示可行域内的点 ( x ， y ) _ _ 研一研 问题探究、课堂更高效 与定点 线斜率的 到直线 c 0 距离的 a 2 b 2 倍 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 已知 1 x y 5 ， 1 x y 3 ，求 2 x 3 y 的取值范围 研一研 问题探究、课堂更高效 解 作出二元一次不等式组 1 y 5 ， 1 x y 3所表示的平面区域 ( 如图 ) 即为可行域 本讲栏目开关 设 z 2 x 3 y ，变形得 y 23 x 13 z ，则得到斜率为23 ，且随 研一研 问题探究、课堂更高效 13 z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时， z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数 z 2 x 3 y 取得最小值 由图可见，当直线 z 2 x 3 y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最小 解方程组 x y 1x y 5 得 A 的坐标为 ( 2,3 ) ， z m 2 x 3 y 2 2 3 3 5. 本讲栏目开关 当直线 z 2 x 3 y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 研一研 问题探究、课堂更高效 解方程组 x y 3x y 1得 B 的坐标为 (2 ， 1) z m 2 x 3 y 2 2 3 ( 1) 7. 5 2 x 3 y 7 ，即 2 x 3 y 的取值范围是 5 ， 7 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解 z 的几何意义，求最优解时采用 “ 平移直线法 ” 本讲栏目开关 跟踪训练 1 设变量 x ， y 满足约束条件x y 3 ，x y 1 ，2 x y 3 ，则目标函数 z 2 x 3 y 的最小值为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 23 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 作出可行域如图所示 由图可知， z 2 x 3 y 经过点 A ( 2,1 ) 时， z 有最小值， z 的最小值为 7. B 本讲栏目开关 例 2 已知实数 x ， y 满足2 x y 2 0 ，
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