【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.1第2课时函数的最大(小)值课件+配套训练（打包2套）新人教A版必修1
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.1第2课时函数的最大(小)值课件+配套训练（打包2套）新人教A版必修1,步步高,学年,高中数学,第一章,课时,函数,最大,课件,配套,训练,打包,新人,必修
- 内容简介：
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第 2 课时 函数的最大 ( 小 ) 值 【学习要求】 1 理 解 函数的最大 ( 小 ) 值的概念及其几何意义； 2 理 解 函数的最大 ( 小 ) 值是在整个定义域上研究函数 ，体会求函数最值是函数单调性的应用之一 【学法指导】 通过实例，体会到函数的最大 ( 小 ) 值，实际上是函数图象的最高( 低 ) 点的纵坐标，因而借助函数图象的直观 性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的 解 题意识 . 1 函数最大值定义 一般地，设函数 y f ( x ) 的定义域为 I ，如果存在实数 ( 1) 对于任意的 x I ，都有 .( 2 ) 存在 x 0 I ，使得 . 那么，称 M 是函数 y f ( x ) 的最大值 填一填 知识要点、记下疑难点 f(x)M f( M 2 函数最小值定义 一般地，设函数 y f ( x ) 的 定义域为 I ，如果存在实数 M ，满足： ( 1) 对于任意 x I ，都有 .( 2 ) 存在 I ，使得 . 那么，称 M 是函数 y f ( x ) 的最小值 3 函数最值与单调性的联系 ( 1) 若函数 y f ( x ) 在区间 a ， b 上单调 递增，则 f ( x ) 的最大值为 ，最小值为 ( 2) 若函数 y f ( x ) 在区间 a ， b 上 单调递减，则 f ( x ) 的最大值为 ，最小值为 . 填一填 知识要点、记下疑难点 f(x)M f( M f(b) f(a) f(a) f(b) 问题情境： 同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？ “ 我们班最高的男生是姚明 ” 对吗？为什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 我们班最高的男生是 A 同学，根据是班内任选一名男生，都一定比 A 同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生 探究点一 函数的最大 ( 小 ) 值的概念 问题 1 你能根据函数 f ( x ) ， 0 上是减函数，在 0 ， )上是增函数来确定当 x 取何值时，函数的值最小吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 当 x 0 时，函数的值最小因函数 f ( x ) ， 0 上是减函数，所以当 x 0 时，则 f ( x ) f ( 0) ，又因函数 f ( x ) ， ) 上是增函数，所以当 x 0 时， f ( x ) f ( 0) 从而 x R ，都有 f ( x ) f ( 0) 因此 x 0 时， f ( 0) 是函数值中的最小值 问题 2 你能根据函 数 f ( x ) ， 0) 上是增函数，在 0 ， )上是减函数来确定当 x 的值取何值时，函数值是最大 还是最小？ 答 对于函数 f ( x ) x 2 ，同理可知 x R 都有 f ( x ) f ( 0) 即 x 0 时， f ( 0) 是函数值中的最大值 问题 3 根据以上讨论，你能给函数的最大值及最小值下个定义吗？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 一般地，设函数 y f ( x ) 的定义域为 I . 如果存在实数 M 满足：( 1) 对于任意 x I ，都有 f ( x ) M .( 2 ) 存在 x 0 I ，使得 f ( x 0 ) M M 是函数 y f ( x ) 的最大值 问题 4 已知函数 y f ( x ) 在定义域 a ， b 上单调，如何求函数的最值？ 一般地，设函数 y f ( x ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：( 1) 对于任意 x I ，都有 f ( x ) M .( 2 ) 存在 x 0 I ，使得 f ( x 0 ) M M 是函数 y f ( x ) 的最小值 答 如果函数 y f ( x ) 在定义 域 a ， b 上 单调递增，则 f ( x ) m f ( b ) ， f ( x ) m f ( a ) ；如果函数 y f ( x ) 在定义 域 a ， b 上 单调递减，则 f ( x ) m f ( a ) ， f ( x ) m f ( b ) 问题 5 已知函数 y f ( x ) 的定义域是 a ， b ， a c b f ( x ) 在区间 a ， c 、 c ， b 上单调性相反，如何求函数的最值？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 当 x a ， c 时 ， f ( x ) 是单调增函数；当 x c ， b 时 ， f ( x ) 是单调减函数则 f ( x ) 在 x c 时取得最大值反之，当 x a ， c 时 ， f ( x ) 是单调减函数；当 x c ， b 时， f ( x ) 是单调增函数，则 f ( x ) 在x c 时取得最小值 例 1 “ 菊花 ” 烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h ( t ) 4.9 14. 7 t 18 ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少 ( 精确到 1 m ) ? 研一研 问题探究、课堂更高效 解 作出函数 h ( t ) 4.9 14.7 t 18 的图象( 如图 ) 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度 由二次函数的知识，对于函数 h ( t ) 4. 9 t 2 1 4. 7 t 18 ，我们有： 当 t ， 函数有最大值 h 4 18 4 29. 于是 ,烟花冲出后 1 . 5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 2 9 m . 小结 ( 1) 求解实际问题一般分成四步，即：设元 列式 求解 作答 ( 2) 实际问题要注意函数自变量的取值范围 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系那么水流喷出的高度 h ( 单位： m) 与水平距离 x ( 单位： m) 之间的函数关系式为 h 2 x 54， x 0 ，52 求水流喷出的高度 h 的最大值是多少？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 由函数 h x 2 2 x 54， x 0 ，52 的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点 研一研 问题探究、课堂更高效 此时函数取得最大值对于函数 h 2 x 54， x 0 ，52 ，当x 1 时，函数有最大值 h m 12 2 1 5494( m) 于是水流喷出的最高高度是94m. 例 2 已知函数 f ( x ) 2x 1( x 2,6 ) ，求函数的最大值和最小值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设 x 1 ， x 2 是区间 2 , 6 上的任意两个实数，且 x 1 0 ， ( x 1 1) ( x 2 1) 0 ， 于是 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 所以，函数 y 2x 1 在区间 2 , 6 上是减函数 因此，函数 y 2x 1 在区间 2 , 6 的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即在 x 2 时取得最大值，最大值是 2 ， 在 x 6 时取得最小值，最小值是 25 . 小结 要熟记常见函数的单调性：一次函数 y b ( k 0) ，当k 0 时单调递增，当 k 0 时，在 ，b2 b2 a， 上单调递增， a 0 时，在 ( ， 0)和 (0 ， ) 上都单调递减当 k 4 时， f ( x ) 在 2 , 4 上是减函数， f ( x ) m f ( 4 ) 18 8 a . 当 2 a 4 时， f ( x ) m f ( a ) 2 a 2 . f ( x ) m 6 4 a ， a 4. 小结 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的 问题 ，此类 问题应注意对称轴的变化对最值的影响 动画演示 跟踪训练 3 已知函数 f ( x ) x 2 2 x 3 ，若 x t ， t 2 时，求函数 f ( x ) 的最值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 对称轴 x 1 ， 当 1 t 2 即 t 1 时， f ( x ) m f ( t ) t 2 2 t 3 ， f ( x ) m f ( t 2) t 2 2 t 3. 当 t t 22 11 时， f ( x ) m f ( t 2) t 2 2 t 3 ， f ( x ) m f ( t ) t 2 2 t 3. 设函数最大值为 g ( t ) ，最小值为 ( t ) 时，则有 g ( t ) 2 t 3 t 0 t 2 2 t 3 t 0 ， ( t ) t 2 2 t 3 t 1 4 11 . 1 函数 f ( x ) 在 2 , 2 上的图象如图所示，则此 函数的最小值、最大值分别是 ( ) A f ( 2) ， 0 B 0,2 C f ( 2) ， 2 D f ( 2) ， 2 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为 f ( 2) ， 最高点的纵坐标为 2 ，故选 C. C 2 函数 y x 1 在区间12， 2 上的最大值是 ( ) A 12B 1 C 12D 3 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 函数 y x 1 在区间12 ， 2 上是减函数， f ( x ) m f 12 12 1 12 . C 3 已知函数 f ( x ) 4 x a ， x 0 , 1 ，若 f ( x ) 有最小值 2 ，则 f ( x ) 的最大值为 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 f ( x ) ( x 2) 2 a 4 ， f ( x ) 在 0 , 1 上单调递增 C f ( x ) m f ( 0) a 2 ， f ( x ) m f ( 1) 1 4 2 1. 4 求出下列函数的最小值： ( 1) y 2 x ； ( 2) y 1x， x 1 , 3 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 ( 1) 因为 y x 2 2 x ( x 1) 2 1 1 ，且当 x 1 时 y 1 ，所以函数取得最小值 1 ，即 y m 1. ( 2) 因为对于任意实数 x 1 , 3 ，都有1x 13 ，且当 x 3 时1x 13 ，所以函数取得最小值13 ，即 y m 13 . 1 函数的最值与值域、单调性之间的联系 ( 1) 对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y 1x. 如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素 ( 2) 若函数 f ( x ) 在闭区间 a ， b 上单调，则
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