【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件+训练（打包2套）新人教B版必修2
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步步高
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圆柱
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件+训练（打包2套）新人教B版必修2,步步高,学年,高中数学,第一章,圆柱,圆锥,圆台,以及,课件,训练,打包,新人,必修
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1 柱、圆锥、圆台和球 一、基础过关 1 下列说法正确的是 ( ) A直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D通过圆台侧面上一点，有无数条母线 2 下列说法正确的是 ( ) A直线绕定直线旋转形成柱面 B半圆绕定直线旋转形成球体 C有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 3 如图所 示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 ( ) A (1)(2) B (1)(3) C (1)(4) D (1)(5) 4 观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是 ( ) A a 是棱台 B b 是圆台 C c 是棱锥 D d 不是棱柱 5 将等边三 角形绕它的一条中线旋转 180 ，形成的几何体是 _ 6 请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称 (1)由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形； (2)如下图，一个圆环面绕着过圆心的直线 l 旋转 180. 2 7 如图所示，梯形 ， C，当梯形 在 直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构 特征 二、能力提升 8 下列说法正确的个数 是 ( ) 长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱； 过圆锥侧面上一点有无数条母线； 圆锥的母线互相平行 A 0 B 1 C 2 D 3 9 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的 ( ) 10已知球 O 是棱长为 1 的正方体 平面 所得的截面面积为 _ 11以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？ 三、探究与拓展 12如图所示，圆台母线 为 20 、下底面半径分别为 5 10 从母线 中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点，求这条绳长的最小 值 3 答案 1 C 5圆锥 6解 (1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形几何体为正五棱柱 (2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球 7解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部 分构成的组合体 8 A 9 B 11解 假设直角三角形 ， C 90. 以 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图 (1)所示 当以 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图 (2)所示 当以 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图 (3)所示 12 解 作出圆台的侧面展开图，如图 所示，由其轴截面中 似，得 510，可求得 20 ， 由于扇形弧 的长与底面圆 Q 的周长相等，而底面圆 Q 的周长 为 210 扇形 的半径为 20 20 40 形 所在圆的周长为 240 80 所以扇形弧 的长度 20 为所在圆周长的 B 所以在 B ， B 402 302， 所以 B M 50 所求绳长的最小值为 50 1 1 . 3 圆柱、圆锥、圆台和球 【学习要求】 1 认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体 2 认识和掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征 3 理解球和球面距离的概念、平面与球的各种位置关系 【学法指导】 通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以 、 、直角梯形中 的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 2 旋转轴叫做所围成的几何体的 ；在轴上的这条边 ( 或它的长度 ) 叫做这个几何体的 ；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的 ；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的 ，无论旋转到什么位置，这条边都叫做 矩形的一边 直角三角 形的一直角边 垂直于底边 高 轴 底面 侧面 侧面的母线 填一填 知识要点、记下疑难点 3 球面可以看作 绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面， 围成的几何体叫做球 4 用一个平面去截一个球，截面是 ，球面被经过球心的平面截得的圆叫做 ，被不经过球心的平面截得的圆叫做 . 球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面圆半径 r 的关系： r . 一个半圆 球面 一个圆面 球的大圆 球的小圆 R 2 d 2 研一研 问题探究、课堂更高效 问题情境 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样， 也都是由一些简单几何体组合而成的组合体本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征 导引 观察下面的几何体，你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢？ 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 1 圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质？哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合的特征性质？ 答 通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为 旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 ( 如图 ) 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高这些概念，在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何定义的？ 答 旋转轴叫做所围成的几何体的轴：在轴上的这条边 ( 或它的长度 ) 叫做这个几何体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 对圆柱、圆锥、圆台过轴的截面 ( 简称轴截面 ) 分别是什么样的图形？ 答 分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形 问题 4 圆柱、圆锥、圆台如何用字母表示？ 答 圆柱、圆锥、圆台用表示它的轴的字母表示，如问题 1中的图中圆柱 、圆锥 圆台 . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？ 答 它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的； 不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆，圆锥只有一个底面； 当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱； 圆台的上底面缩为一个点就是圆锥 画板演示 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是 1 4 ，截去的圆锥的母线长是 3 c m ，求圆台的母线长 ( 如图所示 ) 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设圆台的母线长为 y ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是 x, 4 x ， 根据相似三角形的性质得33 yx4 x， 解此方程得 y 9. 因此，圆台的母线长为 9 c m. 小结 处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截 得圆台上、下底面的面积之比为 1 16 ，原来圆锥的母线长 是 16 c m ，求圆台的母线长 解 设圆台的母线为 l ，截得圆台的上、下底面半径分别为 r, 4 r . 根据相似三角形的性质得， 16 r4 r ，解得 l 12. 所以，圆台的母线长为 12 c m. 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 球的结构特征 问题 1 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆运动的轨迹是怎样的空间图形？ 答 半圆运动的轨迹是一个球面 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 球面的定义是怎样的？球心、球半径、球的直径是如何定义的？ 答 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球 形成球的半圆的圆心叫球心； 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径； 连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径 如图中点 O 为球心， O A 为球的半径， 球 O 的直径 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 如何用字母表示一个球？ 答 一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球 O . 问题 4 用集合的观点如何定义球面？ 答 球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 用一个平面去截一个球，如何说明截面是圆面？ 答 如图所示，设 d ，对于平面 与球面的交线上任意一点 P ， O P 一个定值 因此，平面 截球面所得到的交线是以 O 为圆心，以 r R 2 d 2 为半径的一个圆，即截面是一个圆面 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 6 阅读教材 14 15 页，你能说出什么是球的大圆？什么是球的小圆？什么是球面距离吗？什么是旋转体？什么是组合体？ 答 ( 1) 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆； 被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆 在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离 ( 2) 圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 3) 现实世界中物体表示的几何体，除 了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体 . 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 设地球半径为 R ，在北纬 4 5 圈上有 A 、 B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24 R . 求 A 、 B 两地间的球面距离 解 如图所示， A 、 B 是北纬 45 圈上的两点， 为它的半径， ， . O O 45 ， c o s 45 22 R . 设 B 的度数为 ， 则 180 180 22 R 24 R ， 90 . 研一研 问题探究、课堂更高效 2 2 22 22 R . 在 中， R ，则 为正三角形， 60 . A 、 B 两点间的球面距离为 60 3 R . 小结 计算球面距离的关键是确定球大圆劣弧所对的圆心角的度数 ，然后通过计算 确定球面距离 ( R 是球半径 ) 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 我国首都靠近北纬 40 纬线求北纬 40 纬线的 长度约等于多少 地球半径约为 6 37 0 6 ， c 0 0) 解 如图所示，设 A 是北纬 40 圈上的一点， 以 设 c 是北纬 40 的纬线长，因为 O 40 ，所以 c 2 2 c o s O A K 2 c o s 4 0 2 1 6 6 3 70 6 0 6 10 4 ( 即北纬 40 的纬线长约为 6 10 4 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 3 ，则圆锥的高与母线的长分别为 _ _ 解析 设正三角形的边长为 a ，则 34 a 2 3 ， a 2. 由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高， 所以所求的高为32a 3 ，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边， 所以母线长为 2 . 3， 2 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为 2 c m ,10 c m ，高为 3 c m ，则圆台母线的长为 _ c m . 解析 圆台母线的长为 l 3 2 5 1 2 5( c m) 5 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 在半径为 25 c m 的球内有一个截面，它的面积是 49 c m 2 ，求球心到这个截面的距离 解 因截面圆的面积是 49 c m 2 ，所以截面圆的半径为 7 c m ，设球心到这个截面的距离为 d ， 由 r R 2 d 2 ， 得 d R 2 r 2 2
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