【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.7柱、锥、台和球的体积课件+训练（打包2套）新人教B版必修2
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.7柱、锥、台和球的体积课件+训练（打包2套）新人教B版必修2,步步高,学年,高中数学,第一章,以及,体积,课件,训练,打包,新人,必修
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1 、锥、台和球的体积 一、基础过关 1 一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的 12时，它的体积是原来的 ( ) D. 24 2 两个球的半径之比为 13 ，那么两个球的表面积之比为 ( ) A 19 B 127 C 13 D 11 3 已知直角三角形的两直角边长为 a、 b，分别以这两条直角边所在直线为 轴，旋转所形成的几何体的体积之比为 ( ) A a b B b a C D 若球的体积与表面积相等，则球的半径是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 323 ，则这个三棱柱的体积是 ( ) A 96 3 B 16 3 C 24 3 D 48 3 6 将一钢球放入底面半径为 3 圆柱形玻璃容器中，水面升高 4 钢球的半径是_ 7 (1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 _； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 _ 8 如图所示，三棱柱 E、 F 分别为 中 点，平面 三棱柱分成体积为 2)的两部分，求 二、能力提升 9 有一个几何体的三视图及其尺寸如 图 (单位： 则该几何体的表 面积和体积分别为 ( ) 2 A 24 ,12 B 15 ,12 C 24 ,36 D以上都不正确 10 圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则它的体积和表面积分别为 ( ) A 2 ， 6 B 3 ， 5 C 4 ， 6 D 2 ， 4 11一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)，则该 几何体的体积为 _ 12有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 三、探究与拓展 13阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是：图 中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成 的几何体称为圆柱容球在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 23，球 的表面积也是圆柱全面积的 3 答案 1 C C 5 D 6 3 7 (1)球 (2)球 8解 设三棱柱的高为 h，底面的面积为 S，体积为 V， 则 V 因为 E、 F 分别为 中点， 所以 S 14S， 13h(S 14S S 712 512故 75. 9 A 10 A 11 9 18 12解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 3r，则容器内水的体积为 V V 圆锥 V 球 13( 3r)23 r 43 53 而将球取出后，设容器内水的深度为 h， 则水面圆的半径为 33 h， 从而容器内水的体积是 V 13( 33 h)2 h 19 由 V V ，得 h 3 15r. 即容器中水的深度为 3 15r. 13证明 设圆的半径为 R，球的体积与圆柱的体积分别为 V 球 和 V 柱 ，球的表面积与圆柱的全面积分别为 S 球 及 S 柱 ，则有 V 球 43 V 柱 R 2 V 球 23V 柱 4 S 柱 2 R2 R 2 6 S 球 4 23S 柱 1 1 . 7 柱、锥、台和球的体积 【学习要求】 1 理解祖暅原理的内容 2 了解柱、锥、台体的体积公式的推导 3 掌握柱、锥、台体和球的体积公式 4 能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积 【学法指导】 通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 柱体的体积：一般柱体的体积公式 V ，其中 S 为底面面积， h 为棱柱的高 2 棱锥的体积： V ( S 为底面面积， h 为高 ) ，圆锥的体积为： V 圆锥 . 3 棱台的体积： V ，其中 S ， S 分别为上、下底面面积， h 为棱台的高 圆台的体积公式为： V 圆台 4 球的体积：设球的半径为 R ，那么它的体积为 V 球 . 1333 ( S S S S ) h 13 h ( R 2 ) 43R 3 研一研 问题探究、课堂更高效 问题情境 上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平 面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 祖 原理 问题 1 我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式是什么？ 答 V 正方体 a 3 ， V 长方体 V 圆柱 r 2 h ， V 圆锥 13 r2 h . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 取一摞纸张放在桌面上 ( 如下图所示 ) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？ 答 体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 祖 暅 原理 ：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 棱柱、圆柱和球的体积 问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？ 答 应用祖暅原理可以说明它们的体积相等 问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？ 答 如果设 S 为底面面积， h 为高，一般柱体的体积公式为V 柱 问题 3 底面半径是 r ，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示？ 答 V 圆柱 r 2 h . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 观察下面的图，用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱，说明了什么问题？ 答 说明三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的三分之一 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 由问题 4 ，你能得到锥体体积的计算公式吗？ 答 如果一个锥体的底面积是 S ，高是 h ，那么它的体积是 V 锥体 13 问题 6 由锥体的体积公式，你能得出圆锥的体积公式吗？ 答 V 圆锥 13 R2 h . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 7 台体的上底面积 S ，下底面积 S , 高 h ，则台体的体积是如何计算的？ 答 台体的体积可以用两个锥体体积的差得到 ( 如图 ) ， h S S ， x h S S S . V 台 13 S ( h x ) 13 S x 13 13 13 S x 13 13 ( S S ) x 13 13 ( S S )h S S S 13 13 ( S S ) h S 13 h ( S S ) 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 8 由台体的体积公式，你能得出圆台的体积公式吗？ 答 V 圆台 13 ( S S S S ) h 13 ( R 2 ) ( r 、 R 分别为圆台上底、下底的半径 ) 问题 9 如何求球的体积呢？ 答 应用圆柱和圆锥的体积公式，根据祖暅原理可以得到球的体积公式： V 球 43 其中 R 为球的半径 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 10 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系？ 答 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 如图所示，在长方体 A A B C D 中，用截面截下一个棱锥 C A ，求棱锥 C A 的体积 与剩余部分的体积之比 解 已知长方体可以看成直四棱柱 A D D A B B ， 设它的底面 A 面积为 S ，高为 h ，则它的体积为 V 因为棱锥 C A 的底面面积为12 S ，高是 h ，所以棱锥 C A 的体积 V C A 13 12 16 余下的体积是 16 56 所以棱锥 C A 的体积与剩余部分的体积之比为1 5. 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 由 V 锥体 13在计算三棱锥的体积时，任何一个面都可以作底面，所以寻找底面和对应高易求的底是关键 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与该侧面 内的底边所成角为 45 ，求此三棱柱体积 解 如图为正三棱柱 A 1 B 1 C 1 ，则有 2 ， B 1 45 ， 2 ， S 12 2 32 2 32 . V 三棱柱 32 2 62 . 即此三棱柱的体积为 62 . 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯 ( 如图 ) ， 共重 5.8 已知螺帽的底面六边形边长是 12 m m ，高是 10 m m ，内孔直径是 10 m m ， 这一堆螺帽约有多少个 ( 铁的密度是 7.8 g /c ? 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差 因为 6 12 12 ( 12 0 ) 10 3 12 2 32 10 103 ( ) ， V 圆柱 ( 10 2) 2 10 10 3 ( ) 研一研 问题探究、课堂更高效 所以一个螺帽的体积 V 103 103 103( m c 因此约有 10 3 ( 10 2 ( 个 ) 答 这堆螺帽约有 250 个 小结 不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分都能够易求得其体积，或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何体体积 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 如图，圆柱的底面直径与高都等于球 的直径求证： ( 1) 球的体积等于圆柱体积的23； ( 2) 球的表面积等于圆柱的侧面积 证明 ( 1) 设球的半径为 R ，则圆柱的底面半径为 R ，高为 2 R . 因为 V 球 43 R 3 ， V 圆柱 R 2 2 R 2 R 3 ，所以， V 球 23 V 圆柱 ( 2) 因为 S 球 4 R 2 ， S 圆柱侧 2 R 2 R 4 R 2 ， 所以 S 球 S 圆柱侧 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C ，如果 A a ，求这个球的体积 解 两垂直， a . 以 相邻三条棱可以构造正方体 又 P 、 A 、 B 、 C 四点是球面上四点， 球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径 2 R 3 a ， R 32 a . V 43 R 3 43 32 a 3 32 a 3 . 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面 面积与圆台的侧面积之比为 3 4 ，则球的体积与圆台的体积 之比为 ( ) A 6 13 B 5 14 C 3 4 D 7 15 解析 如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形D ，球的大圆 O 内切于梯形 D . 设球的半径为 R ，圆台的上、下底面半径分别 为 r 1 、 r 2 ，由平面几何知识知，圆台的高为 2 R ， 母线长为 r 1 r 2 . A O B 90 ， E 为切点 ) ， R 2 r 1 r 2 . 研一研 问题探究、课堂更高效 由已知 S 球 S 圆台侧 4 R 2 ( r 1 r 2 ) 2 3 4 ， ( r 1 r 2 ) 2 163 V 球 V 圆台 43 r 1 r 2 2 R2 R 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 2 R 2163 R 2613 ，故选 A. 答案 A 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 设正六棱锥的底面边长为 1 ，侧棱长为 5 ，那么它的体积为 ( ) A 6 3 B. 3 C 2 3 D 2 解析 因正六棱锥的高为 5 1 2 2 ， 所以 V 13 13 6 34 2 3 . B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( ) A 2 倍 B 2 2 倍 C 2 倍 D 32 倍 解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2 倍， 则体积扩大到原来的 2 2 倍 B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 直三棱柱 A 1 B 1 C 1 的体积为 V ，已知点 P 、 Q 分别
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