【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.2.3空间中的垂直关系(一)课件+训练（打包2套）新人教B版必修2
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步步高
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高中数学
第一章
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.2.3空间中的垂直关系(一)课件+训练（打包2套）新人教B版必修2,步步高,学年,高中数学,第一章,空间,中的,垂直,关系,瓜葛,课件,训练,打包,新人,必修
- 内容简介：
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1 间中的垂直关系 (一 ) 一、基础过关 1 下列命题中正确的个数是 ( ) 如果直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l ； 如果直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l ； 如果直线 l 不垂直于 ，则 内没有与 l 垂直的直线； 如果直线 l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直 A 0 B 1 C 2 D 3 2 空间四边形 四边相等，则它的两对角线 关系是 ( ) A垂直且相交 B相交但不一定垂直 C 垂直但不相交 D不垂直也不相交 3 若 m、 n 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( ) m n ； m n m n； m n m n; m m n n . A 1 B 2 C 3 D 4 4 如图， 直于以 直径的圆所在平面， C 为圆上异于 A， B 的任一点，则下列关系不正确的是 ( ) A 平面 如图，在正方形 ， E、 F 分别为边 中点， H 是 中点现沿 这个正方形折成一个几何体，使 B、 C、 D 三点重合于点 G，则下列结论中成立的是 _ (填序号 ) 平面 平面 平面 平面 6 如图所示，在正方体 M、 N 分别是棱 B 上的点，若 直角，则 _. 2 7 如图所示，在正方体 M 是 一点， N 是 中点， 平面 求证： (1) (2)M 是 中点 8 如图所示，在四棱锥 P ，底面 矩形，侧棱 直于 底面， E、 F 分别是 中点， 求证： (1) (2)平面 二、能力提升 9 如图所示， 平面 图中直角三角形的 个数为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 10 从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为 A， B， C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题： 正三角形； 垂足是 内心； 垂足是 外心； 垂足是 垂心 其中正 确命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 11 如图所示，平面 平面 90 ， 正三角形， O 为 点，则图中直角三角形的个数为 _ 3 12 如图所示， ， 90 ， 平面 点 A 向 垂线，垂足分别是 P、 Q，求证： (1)平面 (2)三、探究与拓展 13 如图所示， 在直三棱柱 M， N 分别是 求证： 平面 4 答案 1 B 6 90 7证明 (1) 又 平面 D， 平面 又 平面 (2)连接 ， 12 12 四边形 平行四边形， 12 12 M 是 中点 8证明 (1) 底面 又矩形 ， A， 平面 (2)取 中点 G，连接 又 G、 F 分别是 中点， 12 四边形 平行四边形， G 是 中点， 平面 面 5 D， 平面 9 A 10 A 11 6 12证明 (1) 平面 面 又 A， 平面 面 又 B， 平面 (2) 平面 面 又 A， 平面 面 13证明 如图所示，由已知 平面 连接 由已知，可知侧面 以 又 C， 所以 平面 因为侧面 M 是 中点，连接 则点 M 是 又点 N 是 则 所以 故 平面 1 . 2 . 3 空间中的垂直关系 ( 一 ) 【学习要求】 1 理解直线与平面垂直的定义 2 掌握直线与平面垂 直的判定定理及其性质定理 3 会应用两定理解决问题 【学法指导】 借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 如果两条直线相交于一点或经过 相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直 2 如果一条直线 一个平面 相交于点 O ，并且和这个平面内过交点 O 的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直这条直线叫做 ，这个平面叫做 ，交点叫做 ，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个 平移后 直角 平面的垂线 直线的垂面 垂足 点到平面的距离 填一填 知识要点、记下疑难点 3 线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 4 线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 . 两条相交 平行 研一研 问题探究、课堂更高效 问题情境 生活中处处都 有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 直线与平面垂直的定义 问题 1 你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗？ 答 旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象；大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能举例说明吗？ 答 不一定在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线为异面直线，它们同样是互相垂直 小结 空间两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 在平面中，到线段 端距离相等点的集合是线段的垂直平分线，在空间中，线段 垂直平分线有多少条？ 这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形？ 答 容易发现，空间中线段 垂直平分线有无数多条，它们构成的集合是一个平面 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义 ( 1) 如图，阳光下直立于地面的旗杆 它 在地面上的影子 位置关系是什么？随 着太阳的移动，旗杆 影子 成的 角度会发生改变吗？ 答 垂直关系，所成的角度不变，都为 90 . 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 旗杆 地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B C 的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？ 答 垂直关系，依据是空间两直线垂直的定义 得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 答 直线与平面垂直的定义：如果一条直线 一个平面 相交于一点 O ，并且和这个平面内过交点 O 的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 6 如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平面垂直？ 答 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直直线 l 和平面 互相垂直，记作l . 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 7 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？ 答 不一定垂直，有可能平行或者相交 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 直线与平面垂直的判定定理 问题 1 通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？ 答 不方便，因为要验证直线垂直平面内所有的直线，这实际上是很困难的 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过 A 顶点 A 翻折纸片，得到折痕将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上 ( 桌面接触 ) ，问：折痕 桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕 桌面所在平面垂直？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 从实验可知：当 垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕 桌面不垂直； 当 直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕桌面垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 由折痕 翻折之后垂直关系不变，即 由此你能得到什么结论？ 答 若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交，则该直线垂直这个平面 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 如图，把 象为直线 l 、 m 、 n ，把桌面抽象为平面 ， l 与 垂 直的条件是什么？ 答 条件是 l 与平面 内的两条相交直线 m ， n 垂直且相交 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 5 如图，若 内两条相交直线 m 、 n 与 l 无公共点且 l m 、 l n ，我们可以把直线 l 平移到交点处，由此你能给出判定直线与 平面垂直的方法吗？ 答 线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？ 答 m n m n n l 即：线线垂直 线面垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 已知： a b ， a . 求证： b . 证明 在平面 内作两条相交直线 m ， n . 因为直线 a ，根据直线与平面垂直的定义知a m ， a n . 又因为 b a ，所以 b m ， b n . 又因为 m ， n ， m ， n 是两条相交直线，所以 b . 小结 推论 1 ：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 已知：直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，垂足分别为 A 、 B ，如图，求证： l m . 证明 假设直线 m 不与直线 l 平行，过直线 m 与平面 的交点 B ，作直线 m l ， 由直线与平面垂直的判定定理的推论可知 m ，设 m 和m 确定的平面为 ， 与 的交线为 a ， 因为直线 m 和 m 都垂直于平面 . 所以直线 m 和 m 都垂直于交线 a . 因为在同一平面内，通过直线上一点与已知直线垂直的直线不可能有两条， 所以直线 m 和 m 必重合，即 l m . 小结 推论 2 ：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条 证明 不论点 P 在 外或内，设 ，垂足为 A ( 或 P ) 如果过点 P ，除直线 外，还有一条直线 ， 设 定的平面为 ，且 a ，于是在平面 内过点 P 有两条直线 直于交线 a ，这是不可能的 所 以过点 P 与 垂直的直线只有一条 已知 平面 和一点 P ( 如下图 ) 求证 过点 P 与平面 垂直的直线只有一条 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 如果直接证明比较难或感觉无从下手，可以假设结论不成立，然后设出成立的结论，由此推理得出矛盾，从而说明原结论成立 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知：直线 l 平面 ，垂足为 A ，直线 l . 求证： 平面 内 证明 设 l 确定的平面为 ，假设 在平面 内，则设平面 与平面 交于直线 如下图所示： 因为 l ， ，所以 l 又因为 l ， 所以在平面 内过一点 A 存在两条直线垂直于 l ， 这是不可能的，所 以 平面 内 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 有一根旗杆高 8 m ( 如图 ) ，在它的顶点处 系两条长 10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的 下端固定在地面上的两点 ( 与旗杆脚不在同 一条直线上 ) 如果这两点与旗杆脚距 6 m ，那么旗杆就与地面垂直，为什么？ 解 如题图，旗杆 8 ， 两绳子长 10 ， 6 ， A ， O ， B 三点不共线， 因此 A ， O ， B 三点确定平面 ， 因为 ， ， 所以 又 O . 所以 ， 因此旗杆与地面垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 证明线面垂直的一般思路是依据线面垂直的判定定理，寻找满足定理的条件，当条件满足了，也就证明了线面垂直；线面垂直的定义说明了直线垂直平面，则直线垂直这个平面内的任意直线，常用此性质证，线面垂直 线线垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 如图，直四棱柱 A B C D ，底面四边形满足什么条件时，A C B D ？为什么？ 解 四边形 D 的两条对角线互相垂直时， A C B D . 因 A A 平面 D ， 平面 D ， 所以 A A 又因 A A A ， 所以 A C . 由 B D 得 A C B D . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 直线 a 直线 b ， b 平面 ，则 a 与 的关系是 ( ) A a B a C a D a 或 a D 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 直线 l 平面 ，直线 m ，则 l 与 m 不可能 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 垂直 A 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 如图所示， 平面 平面 且 6 ，则 _. 解析 直于同一平面 D ， 又 四边形 F 为
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