【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章导学案（打包11套）新人教A版必修5
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【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章导学案（打包11套）新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第三,章导学案,打包,11,十一,新人,必修
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1 不等关系与不等式 课时目标 1初步学会作差法比较两实数的大小 2掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 1比较实数 a， b 的大小 (1)文字叙述 如果 a b 是正数，那么 ab； 如果 a b 等于 0，那么 a b； 如果 a b 是负数，那么 a0ab； a b 0a b； a bbbcac(传递性 )； (3)aba cb c(可加性 )； (4)ab， c0acab， cda cb d； (6)ab0， cd0ac (7)ab0， n N， n2 an (8)ab0， n N， n2 n an b. 一、选择题 1若 a， b， c R， ab，则下列不等式成立的是 ( ) . 1 1 D a|c|b|c| 答案 C 解析 对 A，若 a0b，则 1a0， 1 A 不成立； 对 B，若 a 1， b 2，则 1 1恒成立， C 正确； 对 D，当 c 0 时， a|c| b|c|， D 不成立 2已知 aba a a 2 答案 D 解析 取 a 2， b 2，则 1， 12， aba. 3已知 a、 b 为非零实数，且 ， ， 1 ab. c a t t(1) t(t 1)(t 1)， 又 10， ca. cab. 5设 a， b R，若 a |b|0，则下列不等式中正确的是 ( ) A b a0 B 案 D 解析 由 a|b|得 a b0. b B 错 而 (a b)(a b)0， C 错 6若 abc 且 a b c 0，则下列不等式中正确的是 ( ) A ab B ac a|b|c|b| D a2b2案 A 解析 由 abc 及 a b c 0 知 a0， bc， ab. 二、填空题 7若 1 a5 ， 1 b2 ，则 a b 的取值范围为 _ 答案 1,6 解析 1 b2 ， 2 b1 ，又 1 a5 ， 1 a b6. 8若 f(x) 3x 1， g(x) 2x 1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是 _ 答案 f(x)g(x) 解析 f(x) g(x) 2x 2 (x 1)2 10， 3 f(x)g(x) 9若 x R，则 2的大小关系为 _ 答案 12 解析 12 2x 1 x 2 0 ， 12. 10设 n1， n N， A n n 1， B n 1 n，则 A 与 B 的大小关系为 _ 答案 AB 解析 A 1n n 1， B 1n 1 n. n n 1B. 三、解答题 11设 ab0，试比较 解 方法一 作差法 b2a ba b a b b2 a b a b a b2 a b 2ab a b ab0， a b0， a b0,2. 2ab a b 0， b2a b. 方法二 作商法 ab0， ，a b0. b a 2 12. b2a b. 12设 f(x) 1 g(x) 2中 x 0 且 x1 ，试比较 f(x)与 g(x)的大小 解 f(x) g(x) 1 2 当 0 x 1，3 1，或 x 1，0 3 1， 即 1 x 43时， 0， f(x) g(x)； 当 3 1，即 x 43时， 0，即 f(x) g(x)； 当 0 x 1，0 3 1， 或 x 1，3 1， 4 即 0 x 1，或 x 43时， 0，即 f(x) g(x) 综上所述，当 1 x 43时， f(x) g(x)； 当 x 43时， f(x) g(x)； 当 0 x 1，或 x 43时， f(x) g(x) 能力提升 13若 01238， 最大的数应是 方法二 作差法 1 1 b1 00， ( 12 212 1) 12(21) (21) 2 2 2 2 0， 2. 综上可知，最大的数应为 14设 x， y， z R，试比较 54x 2z 2 的大小 解 5(24x 2z 2) 5 44x 1 22z 1 (2x 1)2 (x y)2 (z 1)20 ， 5 4x 2z 2， 当且仅当 x y 12且 z 1 时取到等号 1比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了 a b0ab； a b 0a b； a b0ab. 2作差法比较的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等 恒等变形手段，将 “ 差 ” 化成 “ 积 ” ； 第三步：定号，就是确定是大于 0，等于 0，还是小于 0.(不确定的要分情况讨论 ) 最后得结论 概括为 “ 三步一结论 ” ，这里的 “ 定号 ” 是目的， “ 变形 ” 是关键 3不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然 1 一元二次不等式及其解法 (一 ) 课时目标 1会解简单的一元二次不等式 2了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系 1一元一次不等式 一元一次不等式经过变形，可以化成 axb (a0) 的形式 (1)若 a0，解集为 x|x (2)若 a0)； (2)元二次方程的关系如下表所示： 判别式 4 0 0 0)的图象 一元二次方程 c 0(a0)的根 c0 (a0)的解集 ( ， () x|x R且 x R 解集 x| B x|x 1 或 x2 C x| 10，6x0 ， x 6 或 x2. 4在 R 上定义运算 ： a b 2a b，则满足 x (x 2)0. 当 m 2 时， 40， x R； 当 )的解是 ( ) A ( 3,1) (3， ) B ( 3,1) (2， ) C ( 1,1) (3， ) D ( ， 3) (1,3) 答案 A 解析 f(1) 12 41 6 3， 当 x0 时， 4x 63，解得 x3 或 0 得 3f(1)的解是 ( 3,1) (3， ) 二、填空题 7二次函数 y c 的部分对应点如下表： X 2 1 2 3 4 y 6 0 6 4 0 6 则不等式 c0 的解集是 _ 答案 x|8不等式 10， 3 解集是 _ 答案 x|52 解析 x 1 x 12 2 340， (x 1)(x 1)0 可转化为 解不等式 x 10，由求根公式知， 1 52 ， 1 52 . x 10 的解集是 x|52 . 原不等式的解集为x|52 . 三、解答题 11若不等式 c0 的解集为 x| 13 x2 ，求关于 x 的不等式 又因为 解 将不等式 (a a2)x 变形为 (x a)(x 0. a a(a 1) 当 ， 当 0a 当 a 0 或 1 时，解集为 x|x R 且 x a 综上知，当 ，不等式的解集为 x| 当 0a； 当 a 0 或 1 时，不等式的解集为 x|x R 且 x a 【 能力提升 】 13已知 a1a2，则使得 (1 a2. 02 00 时， x 2a或 x 1； 当 20 时，解集为 x|x 2a或 x 1 ； 当 a 0 时，解集为 x|x 1 ； 当 2a0 时，解集为 x|2a x 1 ； 当 a 2 时，解集为 x|x 1 ； 当 a 2 时，解集为 x| 1 x 2a . 5 1解一元二次不等式可按照 “ 一看，二算，三写 ” 的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式 2一元二次不等 式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根 3含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结 1 一元二次不等式及其解法 (二 ) 【 课时目标 】 1会解可化为一元二次不等式 (组 )的简单分式不等式 2会解与一元二次不等式有关的恒成立问题 1 一元二次不等式的解集： 判别式 4 0 a0) x|x|x R 且 x R x|f(x) g(x)0； (2)f xg x 0 f x g xg x ； (3)f xg x af x ag xg x 0. 3处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况： c0 (a0) 恒成立 a0 f(x)， x D 恒成立 af(x) 解集是 ( ) A ( 3,2) B (2， ) C ( ， 3) (2， ) D ( ， 2) (3， ) 答案 C 解析 解不等式 x 2x 30 得， x2 或 B x|x1 2 C x|x1 或 x 2 D x|x 2 或 x 1 答案 C 解析 当 x 2 时， 00 成立当 x 2 时，原不等式变为 x 10 ，即 x1. 不等式 的解集为 x|x1 或 x 2 3不等式 2x 2x 12 答案 A 解析 原不等式 2x 20(x 2)20， x 2. 不等式的解集为 x|x 2 4不等式 x 5x 22 的解是 ( ) A 3， 12 B 12， 3 C 12， 1) (1,3 D 12， 1) (1,3 答案 D 解析 x 5x 22 x x 2x 10 12 x3 ，x1 ， x 12， 1) (1,3 5设集合 A x|(x 1)23 C 12 答案 B 解析 设 g(a) (x 2)a (4x 4)， g(a)0 恒成立且 a 1,1 g 3x 20g 5x 60 二、填空题 7若关于 x 的不等式 x 10 的解集为 ( ， 1) (4， ) ，则实数 a _. 答案 4 解析 x 10(x 1)(x a)0 (x 1)(x 4)0 a 4. 8若不等式 2x a0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 3 答案 a1 解析 4 4a0 ， a1. 9若全集 I R， f(x)、 g(x)均为 x 的二次函数， P x|f(x)0 0 00，2k x 5得 x 20，2k x 5p. (1)如果不等式当 |p|2 时恒成立，求 x 的取值范围； (2)如果不等式当 2 x4 时恒成立，求 p 的取值范围 解 (1)不等式化为 (x 1)p 2x 10， 令 f(p) (x 1)p 2x 1， 则 f(p)的图象是一条直线又 |p|2 ， 2 p2 ，于是得： f ，f 即 x 2x 10，x 2x 10. 即 4x 30，10. x3 或 x 2x 1， 2 x4 ， x 10. p 2x 1x 1 1 x. 由于不等式当 2 x4 时恒成立， p(1 x) x4 ， (1 x) 1，于是 p 1. 故 p 的取值范围是 p 1. 1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式 (组 )求解若不 等式含有等号时，分母不为零 2对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论： (1)af(x)恒成立 af(x)(2)af(x)恒成立 af(x) 1 3 元一次不等式 (组 )与平面区域 课时目标 1了解二元一次不等式表示的平面区域 2会画出二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 1二元一次不等式 (组 )的概念 含有 两个 未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 二元一次不等式组 2二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中 ，二元一次不等式 C0 表示直线 C 0 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成 虚线 以表示区域不包括边界 不等式 C0 表示的平面区域包括边界，把边界画成 实线 3二元一次不等式 (组 )表示平面区域的确定 (1)直线 C 0同一侧的所有点的坐标 (x， y)代入 同 (2)在直线 C 0 的一侧取某个特殊点 (由 C 的符号可以断定C0 表示的是直线 C 0 哪一侧的平面区域 一、选择题 1如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 ( ) A. y 23x 2y 60x 23x 2y 60x0D. y 23x 2y 60 的点 (x， y)所在的区域为 ( ) 2 答案 B 解析 不等式 (x y)(x 2y 2)0 等价于不等式组 ( ) x y0，x 2y 20 或不等式组 ( ) x y 1，y0表示的平面区域内整点的个数是 ( ) A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 答案 C 解析 画出可行域后，可按 x 0， x 1， x 2， x 3 分类代 入检验，符合要求的点有(0,0)， (1,0)， (2,0)， (3,0)， (1,1)， (2,1)共 6 个 5在平面直角坐标系中，不等式组 x y0 ，x y 40 ，x a(a 为常数 )表示的平面区域的面积是 9，那么实数 a 的值为 ( ) A 3 2 2 B 3 2 2 C 5 D 1 答案 D 解析 区域如图， 易求得 A( 2,2)， B(a， a 4)， C(a， a) S 12| a 2| (a 2)2 9，由题意得 a 1. 3 6若不等式组 x0 ，x 3y4 ，3x y4所表示的平面区域被直线 y 43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ( ) 案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线 y 43过定点 0， 43 B 中点时，直线 y 43能平分平面区域 因为 A(1,1)， B(0,4)，所以 点 M 12， 52 . 当 y 43过点 12， 52 时， 52 43， 所以 k 73. 二、填空题 7 三个顶点坐标为 A(3， 1)， B( 1,1)， C(1,3)，则 内部及边界所对应的二元一次不等式组是 _ 答案 x 2y 1 0x y 202x y 50解析 如图直线 方程为 x 2y 1 0(可用两点式或点斜式写出 ) 直线 方程为 2x y 5 0， 直线 方程为 x y 2 0， 把 (0,0)代入 2x y 5 50 表示的平面区域内，则 a 的取值范围为 _ 答案 10a 10 原点 (0,0)不在该区域内，点 (1,1)在该区域内， 则 a0a 10 ， 11， y 点时，由 9，得 a 3. 要满足题意， 需满足 ，解得 143时，表示区域是 当 x y a 过 B(1,0)时表示的区域是 时 a 1； 当 0a1 时可表示三角形； 当 a0 时不表示任何区域，当 1a43时，区域是四边形故当 0a1 或 a 43时表示的平面区域为三角形 1二元一次不等式 (组 )的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式 (组 )常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分 2画平面区域时，注意边界线的虚实问题 3求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定 x 的范围，再逐一代入不等式组，求出 y 的范围最后确定整数解的个数 1 3 单的线性规划问题 (一 ) 课时目标 1了解线性规划的意义 2会求一些简单的线性规划问题 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x， y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由 x， y 的 一次 不等式 (或方程 )组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x， y 的函数解析式 线性目标函数 关于 x， y 的 一次 解析式 可行解 满足 线性约束条件 的解 (x， y) 可行域 所有 可行解 组成的集合 最优解 使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解 线性规划问题 在 线性约束 条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 一、选择题 1若实数 x， y 满足不等式组 x 3y 30 ，2x y 30 ，x y 10 ，则 x y 的最大值为 ( ) A 9 C 1 案 A 解析 画出可行域如图： 当直线 y x z 过点 A 时， z 最大 由 2x y 3 0，x y 1 0 得 A(4,5)， 4 5 9. 2已知点 P(x， y)的坐标满足条件 x y4 ，y x，x1 ，则 ( ) A. 10 B 8 C 16 D 10 2 答案 D 解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得 A(1,1)， | 2， B(2,2)， | 2 2， C(1,3)， | 10. (y2)| ( 10)2 10. 3在坐标平面上有两个区域 M 和 N，其中区域 Mx， y y0y x，区域N (x， y)|t x t 1,0 t1 ，区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示，则 f(t)的表达式为 ( ) A t 12 B 22t C 1 12 t 2)2 答案 A 解析 作出不等式组 y0y 由 t x t 1,0 t1 ，得 f(t) S S S 1 1212(1 t)2 t 12. 4设变量 x， y 满足约束条件 x y 20 ，x 5y 100 ，x y 80 ，则目标函数 z 3x 4y 的最大值和最小值分别为 ( ) A 3， 11 B 3， 11 C 11， 3 D 11,3 答案 A 解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知 z 3x 4y 经过点 A 时 z 有最小值，经 3 过点 B 时 z 有最大值易求 A(3,5)， B(5,3) z 最大 35 43 3， z 最小 33 45 11. 5 设不等式组 x1 ，x 2y 30y x，所表示的平面区域是 1，平面区域 2与 1关于直线 3x 4y 9 0 对称对于 1中的任意点 A 与 2中的任意点 B，则 |最小值为 ( ) B 4 D 2 答案 B 解析 如图所示由约束条件作出可行域，得 D(1,1)， E(1,2)， C(3,3) 要求 |AB|通过求 D、 E、 C 三点到直线 3x 4y 9 0 距离最小值的 2 倍来求 经分析， D(1,1)到直 线 3x 4y 9 0 的距离 d |31 41 9|5 2 最小， |AB|4. 二、填空题 6设变量 x， y 满足约束条件 x y3 ，x y 1，2x yz 2x 3y 的最小值为_ 答案 7 解析 作出可行域如图所示 由图可知， z 2x 3y 经过点 A(2,1)时 ， z 有最小值， z 的最小值为 7. 7已知 1x y4 且 2x y3，则 z 2x 3y 的取值范围是 _ (答案用区间表示 ) 答案 (3,8) 解析 由 1x y4，2x y3 得平面区域如图阴影部分所示 4 由 x y 1，x y 3 得 x 1，y 2. 由 x y 4，x y 2 得 x 3，y 1. 23 31 z 2x 3y21 3( 2)， 即 3z8，故 z 2x 3y 的取值范围是 (3,8) 8已知实数 x， y 满足 x 2y 50 ，x1 ，y0 ，x 2y 30 ，则 _ 答案 2 解析 画出不等式组 x 2y 50 ，x1 ，y0 ，x 2y 30对应的平面区域 ， y 0x 0表示平面区域 上的点 P(x， y)与原点的连线的斜率 A(1,2)， B(3,0)， 0 . 三、解答题 9线性约束条件 x 3y12x y103x y12下，求 z 2x y 的最大值和最小值 解 如图作出线性约束条件 5 x 3y12x y103x y12下的可行域，包含边界：其中三条直线中 x 3y 12 与 3x y 12 交于点 A(3,3)， x y 10 与 x 3y 12 交于点 B(9,1)， x y 10 与 3x y 12 交于点 C(1,9)， 作一组与直线 2x y 0 平行的直线 l： 2x y z， 即 y 2x z，然后平行移动直线 l，直线 l 在 y 轴上的截距为 z，当 l 经过点 B 时， z 取最小值，此时 z 最大，即 29 1 17；当 l 经过点 C 时， z 取最大值，此时z 最小，即 21 9 7. 17， 7. 10已知 2x y 503x y 50x 2y 50，求 解 作出不等式组 2x y 503x y 50x 2y 50的可行域如图所示， 由 x 2y 5 02x y 5 0 ，得 A(1,3)， 由 x 2y 5 03x y 5 0 ，得 B(3,4)， 由 3x y 5 02x y 5 0 ，得 C(2,1)， 设 z 它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点 意到 原点到点 C 的距离最小 故 | 25， | 5. 能力提升 11已知实数 x， y 满足 x y x y1 x4 ，求 2 的取值范围 6 解 作出可行域如图， 由 (x 0)2 (y 0)2， 可以看作区域内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线 x y 6 0 的距离的平方， 即 |，最大值为 |， 其中 A(4,10)， | |0 0 6|12 12 62 3 2， | 42 102 116， (2)(3 2)2 2 18 2 16， (2)( 116)2 2 116 2 114， 16 2114. 即 2 的取值范围为 16 2114. 12已知实数 x、 y 满足 2x y 20x 2y 403x y 30，试求 z y 1x 1的最大值和最小值 解 由于 z y 1x 1 y x ， 所以 z 的几何意义是点 (x， y)与点 M( 1， 1)连线的斜率， 因此 y 1x 1的最值就是点 (x， y)与点 M( 1， 1)连线的斜率的最值， 结合图可知，直线 斜率最大，直线 斜率最小，即 3，此时 x 0， y 2； 12，此时 x 1， y 0. z 的最大值为 3，最小值为 12. 1作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要 给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解 2在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题 1 3 单的线性规划问题 (二 ) 课时目标 1准确利用线性规划知识求解目标函数的最值 2掌握线性规划实际问题中的两种常见类型 1用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数 (直线 )求出最优解； 根据实际问题的需要，适当调 整最优解 (如整数解等 ) 2在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小 一、选择题 1某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 、乙产品每千克可获利润分别为 初一次性购进本月用的原料 A、 B 各 计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、 利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 z 大的数学模型中，约束条件为 ( ) A. c1，c2，x0 ，y0B. c1，c2，x0 ，y0C. c1，c2，x0 ，y0D. c1，c2，x0 ，y0答案 C 解析 比较选项可知 C 正确 2. 如图所示的坐标平面的可行域内 (阴影部分且包括边界 )，若使目标函数 z y (a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为 ( ) C 4 2 答案 B 解析 由 y z 知当 a 优解有无穷多个 35， a 35. 3某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 23倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 项目乙每投资 1 万元可获得 元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 ( ) A 36 万元 B 元 C 元 D 24 万元 答案 B 解析 设投资甲项目 x 万元，投资乙项目 y 万元， 可获得利润为 z 万元，则 x y60 ，x 23y，x5 ，y5 ，z 由图象知， 目标函数 z A 点取得最大值 4 6 元 ) 4某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时，可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料耗费工时 6 小时，可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 ( ) A甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 B甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 C甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 D甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，由题意可知 3 x y70 ，10x 6y480 ，x0 ，y两车间每天总获利为 z 280x 200y. 画出可行域如图所示 点 M(15,55)为直线 x y 70 和直线 10x 6y 480 的交点，由图象知在点 M(15,55)处z 取得最大值 5如图所示，目标函数 z y 的可行域为四边形 B(3,2)是目标函数的最优解，则 k 的取值范围为 ( ) A. 23， 2 B. 1， 53 C. 2， 23 D. 3， 43 答案 C 解析 y z.若 k0，则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0， 4)，不符合题意 ， y 1斜率 k 1 为使目标函数 z 取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率 1a 1a 13， a 3. 12要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规模类型钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别至少为 15、 18、 27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张 2x y15x 2y18x 3y27x0 ， y0. 作出可行域 (如图 )： (阴影部分 ) 目标函数为 z x y. 作出一组平行直线 x y t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x 3y 27 和直线 2x y 15 的交点 A 185 ， 395 ，直线方程为 x y 85 和 395 都不是整数，而最优解 (x， y)中， x， y 必须都是整数，所以可行域内点 185 ， 395 不是最优解 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x y 12，经过的整点是 B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解 答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板8 张两种方法都最少要截两种钢 板共 12 张 1画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范 2在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解 (比如人数、车辆数等 )而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析 1 基本不等式： a 一 ) 课时目标 1理解基本不等式的内容及其证明； 2能利用基本不等式证明简单不等式 1如果 a， b R，那么 2且仅当 a b 时取 “ ” 号 ) 2若 a， b 都为 正 数，那么 a 且仅当 a b 时，等号成立 )，称上述不等式为 基本 不等式，其中 a 为 a， b 的算术平均数， a， b 的几何平均数 3基本不等式的常用推论 (1) a (a， b R)； (2)当 x0 时， x 1x 2；当 ， 2；当 b0，则 a 2 ) B. C. b 答案 D 解析 方法一 特殊值法 令 a 4， b 2，则 a 3， 8， 10，2b83.2 方法二 2b 21a1b，由 21a1b a 可知2 2已知 m a 1a 2 (a2)， n 12 2 ( B 3设 a， b R，且 a b， a b 2，则必有 ( ) A 1 B 0， 1， 以，最大的只能是a b 之一而 (a b) a(a 1) b(b 1)，又 0a 0， 12， 2. b ( (b b(1 b) a(b a)0， b b 最大 6若不等式 10 对一切 x ( 0， 1 恒成立，则 a 的最小值为 ( ) A 0 B 2 C 52 D 3 答案 B 解析 10 在 x ( 0， 1 上恒成立 1a x 1x x 1x2 ， x 1x 2， a 2. 二、填空题 7若 y0， 3 2x 5y 2x ( x 2 时取等号 ) 9已知 x， y R ，且满足 1，则 最大值为 _ 答案 3 解析 x0， y0 且 1 . 当且仅当 10若对任意 x0， 3x 1 a 恒成立，则 a 的取值范围为 _ 答案 15， 解析 x0， 3x 10，易知 a0. 3x 1x 1a， 1a x 1x 3. x0， x 1x 32 x 1x 3 5(x 1 时取等号 )， 1a5. a 15. 三、解答题 11设 a、 b、 c 都是正数，求证： a b c. 证明 a、 b、 c 都是正数， 都是正数 2 c， 2 a， 2 b， 三式相加得 2 2( a b c)， 即 a b c. 12 abc， n N 且 1a b 1b c c，求 n 的最大值 解 abc， a b0， b c0， a c0. 1a b 1b c c， n a b a c. a c (a b) (b c)， n a b b b a b b c ， n b b a c 2. b b a c2 b b a c 2(2b a c 时取等号 ) 4 n4. n 的最大值是 4. 能力提升 13已知不等式 (x y) 1x 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) A 8 B 6 C 4 D 2 答案 C 解析 只需求 (x y) 1x 最小值大于等于 9 即可， 又 (x y) 1x 1 a a a 1 2 a a 2 a 1，等号成立仅当a 以 ( a)2 2 a 19 ， 即 ( a)2 2 a 80 求得 a2 或 a 4(舍去 )，所以 a4 ，即 a 的最小值为 4. 14已知 a， b， c 为不等正实数，且 1. 求证： a b c1a 1b 1c. 证明 1a 1b2 12 c， 1b1c2 12 a， 1c1a2 12 b， 2 1a 1b 1c 2( a b c)， 即 1a 1b 1c a b c. a， b， c 为不等正实数， a b c1a 1b 1c. 1设 a， b 是两个正实数，用 a， b)表示 a， b 中的较小的数，用 a， b)表示 a，b 中的较大的数，则有 a， b) 21a1b a a， b)当且仅当a b 时，取到等号 2两个不等式 a 于 “ 当且仅当 时，取 号 ” 这句话的含义要有正确的理解 一方面：当 a b 时， a 另一方面：当 a 有 a b. 1 基本不等式： a 二 ) 课时目标 1熟练掌握基本不等式及变形的应用； 2会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 1设 x， y 为正实数 (1)若 x y s(和 s 为定值 )，则当 x y 时，积 最 大 值，且这个值为 (2)若 p(积 p 为定值 )，则当 x y 时 ，和 x y 有最 小 值，且这个值为 2 p. 2利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x， y 必须是 正数 ； (2)求积 最大值时，应看和 x y 是否为 定值 ；求和 x y 的最小值时，应看积 值 (3)等号成立的条件是否满足 利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为 “ 一正、二定、三相等 ” 一、选择题 1函数 y x 1x 1 5 (x1)的最小值为 ( ) A 3 B 3 C 4 D 4 答案 B 2已知点 P(x， y)在经过 A(3,0)， B(1,1)两点的直线上，则 2x 4 ) A 2 2 B 4 2 C 16 D不存在 答案 B 解析 点 P(x， y)在直线 ， x 2y 3. 2x 4y2 2x4 y 2 2x 2y 4 2(x 32， y 34时取等号 ) 3已知 x 52，则 f(x) 4x 52x 4 有 ( ) A最大值 52 B最小值 54 C最大值 1 D最小值 1 答案 D 解析 f(x) 4x 52x 4 x 2 1x 12 x 1x 2 1. 当且仅当 x 2 1x 2，即 x 3 时等号成立 4函数 y 54的最小值为 ( ) 2 A 2 C 1 D不存在 答案 B 解析 y 54 4 14 42 ，而 14 12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数 y x 11， ) 上是增函数， 在 2， ) 上也是增函数 当 4 2 即 x 0 时， 52. 5已知 x0， y0， x 2y 28，则 x 2y 的最小值是 ( ) A 3 B 4 案 B 解析 8 (x 2y) 2x(2 y)( x 22. 原式可化为 (x 2y)2 4(x 2y) 320. x0， y0， x 2y4. 当 x 2， y 1 时取等号 6若 正数，则 x 12y 2 y 12x 2的最小值是 ( ) A 3 C 4 案 C 解析 x 12y 2 y 12x 2 14 11 14 14 1 1 2 4. 当且仅当 x y 22 或 x y 22 时取等号 二、填空题 7设 x 1，则函数 y x xx 1 的最小值是 _ 答案 9 解析 x 1， x 10， 设 x 1 t0，则 x t 1， 于是有 y t tt 5t 4t t4t 5 2 t 4
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