【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章导学案（打包15套）新人教A版必修5
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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章导学案（打包15套）新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第二,章导学案,打包,15,新人,必修
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1 数列的概念与简单表示法 (一 ) 课时目标 1理解数列及其有关概念； 2理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3对于比较简单的数列，会根据其前 n 项写出它的通项公式 1按照一定顺序排列的一列数称为 数列 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 项 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 (通常也叫做 首 项 )，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项， ，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项 2数列的一般形式可以写成 ， ，简记为 3项数有限的数列称 有穷 数列，项数无限的数列叫做 无穷 数列 4如果数列 第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 通项 公式 一、选择题 1数列 2,3,4,5， 的一个通项公式为 ( ) A n B n 1 C n 2 D 2n 答案 B 2已知数列 通项公式为 1 n 12 ，则该数列的前 4 项依次为 ( ) A 1,0,1,0 B 0,1,0,1 0， 12， 0 D 2,0,2,0 答案 A 3若数列的前 4 项为 1,0,1,0，则这个数列的通项 公式不可能是 ( ) A 121 ( 1)n 1 B 121 n180) C n90) D (n 1)(n 2) 121 ( 1)n 1 答案 D 解析 令 n 1,2,3,4 代入验证即可 4已知数列 通项公式为 n 50，则 8 是该数列的 ( ) A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D非任何一项 答案 C 解析 n 50 8，得 n 7 或 n 6(舍去 ) 5数列 1,3,6,10， 的一个通项公式是 ( ) A n 1 B n n2 2 C n n2 D 1 答案 C 解析 令 n 1,2,3,4，代入 A、 B、 C、 D 检验即可排除 A、 B、 D，从而选 C. 6设 1n 1 1n 2 1n 3 12n (n N*)，那么 1 ) A. 12n 1 B. 12n 2 C. 12n 1 12n 2 D. 12n 1 12n 2 答案 D 解析 1n 1 1n 2 1n 3 12n 1 1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n 2， 1 12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 2. 二、填空题 7已知数列 通项公式为 3n 则它的前 4 项依次为_ 答案 4,7,10,15 8已知数列 通项公式为 1n n (n N*)，那么 1120是这个数列的第 _项 答案 10 解析 1n n 1120， n(n 2) 1012 ， n 10. 9用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 n 之间的关系式可以是_ 答案 2n 1 解析 3， 3 2 5， 3 2 2 7， 3 2 2 2 9， ， 2n 1. 10传说古希腊毕达哥拉斯 (公元前 570 年 公元前 500 年 )学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10 个三角形数是_ 答案 55 解析 三角形数依次为： 1,3,6,10,15， ，第 10 个三角形数为： 1 2 3 4 10 55. 三、解答题 11根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1) 1,7， 13,19， (2) 3 (3)12， 14， 58， 1316， 2932， 6164， (4)32， 1， 710， 917， (5)0,1,0,1， 解 (1)符号问题可通过 ( 1)n 或 ( 1)n 1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 ( 1)n(6n 5)(n N*) (2)数列变形为 89(1 89(1 89(1 ， 91 110n (n N*) (3)各项的分母分别为 21,22,23,24， 易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 变为 2 32 ，因此原数列可化为 21 321 ，22 322 ，23 323 ，24 324 ， ， ( 1)n 2n 32n (n N*) (4)将数列统一为 32， 55， 710， 917， 对于分子 3,5,7,9， ，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式 为 2n 1，对于分母 2,5,10,17， 联想到数列 1,4,9,16 即数列 可得分母的通项公式为 1， 可得它的一个通项公式为 2n 11(n N*) (5) 0 n N*) 或 1 n N*) 12已知数列 99n 291 ； (1)求这个数列的第 10 项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内； (4)在区间 13， 23 内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由 (1)解 设 f(n) 99n 291 n nn n 3n 23n 1. 令 n 10，得第 10 项 f(10) 2831. (2)解 令 3n 23n 1 98101，得 9n 300. 此方程无正整数解，所以 98101不是该数列中的项 (3)证明 3n 23n 1 3n 1 33n 1 1 33n 1， 又 n N*， 076n83. 76n83. 又 n N*， 当且仅当 n 2 时，上式成立，故区间 13， 23 上有数列中的项，且只有一项为 47. 能力提升 13数列 a， b， a， b， 的一个通项公式是 _ 答案 a ( 1)n 1 a 解析 a a a b a a 故 a ( 1)n 1 a 14根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有多少个点 解 图 (1)只有 1 个点，无分支；图 (2)除中间 1 个点外，有两个分支，每个分支有 1个点；图 (3)除中间 1 个点外，有三个分支，每个分支有 2 个点；图 (4)除中间 1 个点外，有四个分支，每个分支有 3 个点； ；猜测第 n 个图中除中间一个点外，有 n 个分支，每个分支有 (n 1)个点，故第 n 个图中点的个数为 1 n(n 1) n 1. 1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的 (2)可重复性：数列中的数可以重复 (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的 “ 数 ” 有关，而且与这些数的排列次序也有关 2并非所有的数列都能写出它的通项公式 例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列 3, ，它没有通项公式 3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式例如：数列 1,1，1,1， 1,1， 的通项公式可写成 ( 1)n，也可以写成 ( 1)n 2，还可以写成 1 n 2k ，n 2k ， 其中 k N*. 1 数列的概念与简单表示法 (二 ) 课时目标 1了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列 1如果数列 第 1 项或前几项已知，并且数列 任一项 1(或前几项 )间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子 就叫做这个数列的 递推 公式 2数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 1,2,3， ， n)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 函数值 3一般地，一个数列 如果从 第 2 项 起，每一项都大于它的前一项，即 1么这个数列叫做递增数列如果从 第 2 项 起，每一项都小于它的前一项，即 1 . 所以，数列 前 30 项中最大的项 是 小的项是 二、填空题 7已知数列 前 n 项和为 有 3,461 41，则 _. 答案 32 1 n 8已知数列 足： 1， 2 1 (n N*)，则使 00 的 n 的最小值是 _ 答案 12 9若数列 足： 1，且 1n 2n (n N*)，则当 n2 时， _. 答案 n n2 解析 1，且 1n 2n (n N*) 3 12 1 31 42 53 2 n 1n 1， 即 n n2 . 10已知数列 足： 1， n ， n N*，则实数 的最小值是 _ 答案 3 解析 1n ( n 1)2 (n 1) (2n 1)， n N* 3. 三、解答题 11在数列 ， 12， 1 11(n2 ， n N*) (1)求证 ： 3 (2)求 11. (1)证明 3 1 12 1 11 11 1 11 11 11 11 1 1 11 1 1 1 11 1 (1 3 (2)解 由 (1)知数列 周期 T 3， 12， 1， 2. 又 11 70 1 12， 11 12. 12已知 9n n10n (n N*)，试问数列 有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由 解 因为 1 910 n 1( n 2) 910 n( n 1) 910 n 1 n 109 n 910 n 1 8 则 当 n7 时， 910 n 1 8 0， 当 n 8 时， 910 n 1 8 0， 当 n9 时， 910 n 1 8 n9 ， 故数列 在最大项，最大项为 99108. 能力提升 4 13已知数列 足 1， 1 1n n ， n N*，则通项公式 _. 答案 1n 解析 1 1n n ， 112 ； 123 ； 134 ； 1 1n n； 以上各式累加得， 112 123 1n n 1 12 12 13 1n 1 1n 1 1n. 1 1 1n， 1n. 14设 首项为 1 的正项数列，且 (n 1) 1 10(n 1,2,3， ) ，则它的通项公式是 _ 答案 1n 解析 (n 1)1 1 0， (n 1)1 ( 1 0， ， 10， (n 1)1 0. 方法一 11. 1 12 23 34 45 n 1n ， 1n. 又 1， 11n. 方法二 (n 1)1 0， (n 1)1 1 1， 1， 1n. 函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题 5 另一方面，还要注意数列的特殊性 (离散型 )，由于它的定义域是 N*或它的子集 1,2， ，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高 (即 an1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即 增 1n (n N*)都成立类似地，有 减 1n(n N*)都成立 1 等差数列 (一 ) 课时目标 1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式 1如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差 数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，公差通常用字母 d 表示 2若三个数 a， A， b 构成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 ，并且 A a 3若等 差数列的首项为 差为 d，则其通项 (n 1)d. 4等差数列 ，若公差 d0，则数列 递增 数列；若公差 d 2， 2. 6等差数列 公差 得：831， n N*时，有 121 11 2 1 n N*. (1)求证：数列 等差数列 (2)试问 的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由 (1)证明 当 n1， n N*时， 121 11 2 221 1112 2 11111 41 4，且 15. 等差数列，且公差为 4，首项为 5. (2)解 由 (1)知 (n 1)d 5 4(n 1) 4n 1. 114n 1， n N*. 4 15， 19， 145.令 14n 1 145， n 11. 即 的项，是第 11 项 1判断一个数列 否是等差数列，关键是看 1 n 无关的常数 2由等差数列的通项公式 (n 1)d 可以看出，只要知道首项 d，就可以求出通项公式，反过来，在 d、 n、 要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量 3三个数成等差数列可设为： a d， a， a d 或 a， a d， a 2d；四个数成等差数列可设为： a 3d， a d， a d， a 3d 或 a， a d， a 2d， a 3d. 1 等差数列 (二 ) 课时目标 1进一步熟练掌握等差数列的通项公式 2熟练运用等差数列的常用性质 1等差数列的通项公式 (n 1)d，当 d 0 时， n 的常函数；当 d0时， n 的一次函数；点 (n， 布在以 d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点 2已知在公差为 d 的等差数列 的第 m 项 n 项 an(m n)，则 n d. 3对于任意的正整数 m、 n、 p、 q，若 m n p ， 一、选择题 1在等差数列 ，若 80，则 12 ) A 4 B 6 C 8 D 10 答案 C 解析 由 580， 16， 1212(2 12( 128. 2 已知数列 等差数列且 4 ， 则 值为 ( ) A. 3 B 3 C 33 D 3 答案 D 解析 由等差数列的性质得 34 ， 43 . 3. 3已知等差数列 公差为 d(d0) ，且 32，若 8，则 m 为 ( ) A 12 B 8 C 6 D 4 答案 B 解析 由等差数列性质 ( ( 22432， 8，又 d0 ， m 8. 4如果等差数列 ， 12，那么 ) 2 A 14 B 21 C 28 D 35 答案 C 解析 312， 4. ( ( ( 728. 5设公差为 2 的等差数列 如果 50，那么 ) A 182 B 78 C 148 D 82 答案 D 解析 (2d) (2d) (2d) (2d) ( 2d33 50 2( 2)33 82. 6若数列 等差数列， q， p(p q)，则 ) A p q B 0 C (p q) 答案 B 解析 d q q q 1， q q q( 1) 0. 二、填空题 7若 等差数列， 8， 20， 则 _. 答案 24 解析 45d， d 415， 15d 20 4 24. 8已知 等差数列， 105， 99，则 _. 答案 1 解析 105， 3105， 35. 399. 33， d 2. 16d 33 16( 2) 1. 9已知 1 6， 4，则 _. 答案 125 解析 1114 16 2d，即 d 124. 所以 114d 14 16 512，所以 125. 10已知方程 (2x m)(2x n) 0 的四个根组成一个首项为 14的等差数列，则 |m n| _. 答案 12 解析 由题意设这 4 个根为 14， 14 d， 14 2d， 14 3d. 3 则 14 14 3d 2， d 12， 这 4 个根依次为 14， 34， 54， 74， n 14 74 716， m 34 54 1516或 n 1516， m 716， |m n| 12. 三、解答题 11等差数列 公差 d0 ，试比较 解 设 (n 1)d， 则 (3d)(8d) (5d)(6d) (1124 (1130 6， 所以 12 已知等差数列 ， 15， 45， 求此数列的通项公式 解 2315， 5. 又 45， 9， 即 (2d)(2d) 9， (5 2d)(5 2d) 9， 解得 d 2. 若 d 2， (n 4)d 2n 3； 若 d 2， (n 4)d 13 2n. 能力提升 13在 3 与 27 之间插入 7 个数，使这 9 个数成等差数列，则插入这 7 个数中的第 4 个数值为 ( ) A 18 B 9 C 12 D 15 答案 D 解析 设这 7 个数分别为 ， 公差为 d，则 27 3 8d， d 3. 故 3 4 3 15. 14已知两个等差数列 5,8,11， ， 3,7,11， ，都有 100 项，试问它们有多少个共同的项？ 解 在数列 ， 5，公差 8 5 3. (n 1)3n 2. 在数列 ， 3，公差 7 3 4， (n 1)4n 1. 令 3n 2 4m 1， n 4 1. m、 n N*， m 3k(k N*)， 又 0m1000n100 ，解得 0m75. 03k75 ， 0k25 ， k 1,2,3， ， 25 两个数列共有 25 个公共项 1在等差数列 ，当 m n 时， d n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为 (m n)d. 4 2等差数列 ，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列 3等差数列 ，若 m n p q，则 aq(n， m， p， q N*)，特别地，若m n 2p，则 2 1 等差数列的前 n 项和 (一 ) 课时目标 1掌握等差数列前 n 项和公式及其性质 2掌握等差数列的五个量 d， n， 1把 前 n 项和，记做 16； 1 1 (n2) 2若 等差数列，则 n n 若首项为差为 d，则 n 12n(n 1)d. 3等差数列前 n 项和的性质 (1)若数列 公差为 d 的等差数列，则数列 是等差数列，且公差为 (2)前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 (3)设两个等 差数列 前 n 项和分别为 11. 一、选择题 1设 前 n 项和，已知 3， 11，则 ) A 13 B 35 C 49 D 63 答案 C 解析 49. 2等差数列 ， 4 ) B 2 D 4 答案 A 解析 由题意得： 1012109 d 4(51254 d)， 1045d 2040d， 105d， 12. 3 已知等差数列 ， 29， 且 n 19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根 14已知两个等差数列 前 n 项和分别为 n，且 7n 45n 3 ，则使得 n 的个 数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 解析 11 14n 382n 2 7n 19n 1 n 12n 1 7 12n 1， n 1,2,3,5,11. 1等差数列的两个求和公式中，一共涉及 n， d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两 个量 在求等差数列的和时，一般地，若已知首项 公式 n 好，若已知首项 d，用公式 n n2 d 较好 2等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用 1 等差数列的前 n 项和 (二 ) 课时目标 1熟练掌握等差数列前 n 项和的性质，并能灵活运用 2掌握等差数列前 n 项和的最值问题 3理解 根据 1前 n 项和 对任意数列 ， 前 n 项和， 关系可以表示为 n ，1 n 2等差数列前 n 项和公式 n n n2 d. 3等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列 当 ， ， 小 值，使 n 可由不等式组 10 确定 (2)因为 a1d2 n，若 d0 ，则从二次函数的角度看：当 d0 时， 小 值；当 下列结论错误的是 ( ) A D 7均为 答案 C 解析 由 6 S70，所以 由 25 n ，1 25 2n0 ， 得 n13 12，n12 n 13 时， 2513 2 ( 2) 169. 3 因此 69. 方法三 由 0， 而 故 d 20，所以 ， B Sn n D n答案 C 解析 方法一 由 n 11 n2 ， 解得 5 4n. 5 41 1， n， 5n 4 n (3n 2 22n 2n(n 1)0. 3n 2(5n 4 22n0. n方法二 5 4n， 当 n 2 时， 2， 2， 6， n14设等差数列 前 n 项和为 知 12，且 ， 313122 d0，6 5 . 数列 前 6 项 和 1公式 1并非对所有的 n N*都成立，而只对 n2 的正整数才成立由 f(n)时，要分 n 1 和 n2 两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示 2求等差数列前 n 项和的最值 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值，但要注意 n N*，结合二次函数图象的对称性来确定 n 的值，更加直观 (2)通项法：当 ， ，10时， 3求等差数列 n 项的绝对值之和，关键是找到数列 正负项的分界点 1 等比数列 (一 ) 课时目标 1理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2掌握等比数列的通项公式并能简单应用 3掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题 1如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 比 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示 (q 0) 2等比数列的通项公式： 1. 3等比中项的定义 如果 a、 G、 b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的 等比中项 ，且 G 一、选择题 1在等比数列 ， ，且 1 9 ) A 16 B 27 C 36 D 81 答案 B 解析 由已知 1， 9， 9. q 3(q 3 舍 )， (a4)q 27. 2已知等比数列 足 3， 6，则 ) A 64 B 81 C 128 D 243 答案 A 解析 等比数列， q 2. 又 3， 1.故 12 6 64. 3已知等比数列 ，各项都是正数，且 12 ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 2 D 3 2 2 答案 C 解析 设等比数列 公比为 q， 12 2 2 2q 1 0， q 1 2. ， q0， q 1 2. (1 2)2 3 2 2. 4如果 1， a， b， c， 9 成等比数列，那么 ( ) A b 3， 9 B b 3， 9 C b 3， 9 D b 3， 9 答案 B 2 解析 ( 1)( 9) 9 且 b 与首项 1 同号， b 3，且 a， c 必同号 9. 5一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列，其公比为 ( ) 案 A 解析 设这个数为 x，则 (50 x)2 (20 x)(100 x)， 解得 x 25， 这三个数 45,75,125，公比 q 为 7545 53. 6若正项等比数列 公比 q1 ，且 ) A. 5 12 B. 5 12 D不确定 答案 A 解析 2 2 21 0， (q 1)(q 1) 0 (q1) ， q 1 0， q 5 12 (q 1 52 1 的等比数列，若 8x 3 0 的两根，则 _. 答案 18 解析 由题意得 12， 32， q 3. (a5)(12 32)3 2 18. 9首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48，第 2n 3 项是 192，则 n _. 答案 5 解析 设公比为 q， 则 31 4834 192 1 164 64 4， 得 q 2. 由 (2) n 1 16，得 n 5. 10一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是 _ 答案 5 12 3 解析 设三边为 a， q1)， 则 ( ( 5 12 . 较小锐角记为 ，则 15 12 . 三、解答题 11已知 等比数列， 2， 203 ，求 通项公式 解 设等比数列 公比为 q，则 q0. 2q， 2q， 2q 2q 203. 解得 13， 3. 当 q 13时， 18， 18 13 n 1 23 3 n. 当 q 3 时， 29， 293 n 1 23 n 3. 综上，当 q 13时， 23 3 n； 当 q 3 时， 23 n 3. 12已知数列 前 n 项和为 13(1) (n N*) (1)求 (2)求证：数列 等比数列 (1)解 由 13(1)， 得 13(1)， 2 13(1)， 即 13(1)， 得 14. (2)证明 当 n2 时， 1 13(1) 13(1 1)， 得 1 12，又 12， 所以 首项为 12，公比为 12的等比数列 能力提升 13设 公比为 q 的等比数列， |q|1，令 1(n 1,2， ) ，若数列 连续四项在集合 53， 23,19,37,82中，则 6q _. 答案 9 解析 由题意知等比数列 连续四项在集合 54， 24， 18,36,81中，由等比数列的定义知， 4 四项是两个正数、两个负数，故 24,36， 54,81，符合题意，则 q 32， 6q9. 14已知数列 足 1， 1 21， (1)求证：数列 1是等比数列； (2)求 式 (1)证明 1 21， 1 1 2(1)， 1 11 2. 1是等比数列，公比为 2，首项为 2. (2)解 由 (1)知 1是等比数列 公比为 2，首项 1 2. 1 (1)2 n 1 2n. 2n 1. 1等比数列的判断或证明 (1)利用定义： 1q (与 n 无关的常数 ) (2)利用等比中项： 1 2 (n N*) 2等比数列 通项公式 1共涉及 q， n 四个量已知其中三个量可求得第四个 1 等比数列 (二 ) 课时目标 1进一步巩固等比数列的定义和通项公式 2掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题 1一般地，如果 m， n， k， l 为正整数，且 m n k l，则有 别地，当 m n 2k 时， 2在等比数列 ，每隔 k 项 (k N*)取出一项，按原来的 顺序排列，所得的新数列仍为 等比 数列 3如果 为等比数列，且公比分别为 么数列 1 |仍是等比数列，且公比分别为 1| 一、选择题 1在等比数列 ， 1，公比 |q|1. 若 m 等于 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 答案 C 解析 在等比数列 ， 1， 1 1， m 1 10， m 11. 2已知 a， b， c， d 成等比数列，且曲线 y 2x 3 的顶点是 (b， c)，则 于 ( ) A 3 B 2 C 1 D 2 答案 B 解析 y (x 1)2 2， b 1， c 2. 又 a， b， c， d 成等比数列， 2. 3若 a， b， c 成等比数列， m 是 a， b 的等差中项， n 是 b， c 的等差中项，则 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 设等比数列公比为 q. 由题意知： m a n b 则 2b 2c 21 q 2q 2. 4已知各项为正数的等比数列 ， 5， 10，则 ) A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 答案 A 解析 5， 3 5. 2 10， 3 10. 3 50 5013， 又 数列 项为正数， 5016. 5012 5 2. 5 在由正数组成的等比数列 ， 若 3， ) C 2 D 343 答案 A 解析 3， 得 313. 43. 6 在正项等比数列 ， 16， 5， 则 ) 案 D 解析 设公比为 q，则由等比数列 项为正数且 1q1， 由 6，得 6. 6， 6q 6q 5. 解得 q 26， 1( 62 )2 32. 二、填空题 7在等比数列 ， 1， 16，则 _. 答案 4 解析 由题意知， 16， 4， 4. 8已知等差数列 公差为 2，若 _. 答案 6 解析 由题意知， 4， 6. (4)2 (6) 解得 8， 6. 9在 1与 2之间插入 6个正数，使这 8个数成等比数列，则插入的 6个数的积为 _ 答案 8 解析 设这 8 个数组成的等比数列为 则 1， 2. 插入的 6 个数的积为 ( ( ( 23 8. 10已知数列 1， 4 成等差数列， 1， 4 成等比数列，则 的值是 _ 答案 12 解析 1， 4 成等差数列，设公差为 d， 则 d 13( 4) ( 1) 1， 1， 4 成等比数列， ( 1)( 4) 4， 2. 若设公比为 q，则 ( 1) . 2， 1 2 12. 三、解答题 11有四个数，前三个数成 等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为 21，中间两项和为 18，求这四个数 解 设这四个数分别为 x， y,18 y,21 x， 则由题意得 x y y y x ， 解得 x 3y 6 或 x 754 ，y 454. 故所求的四个数为 3,6,12,18 或 754 ， 454 ， 274 ， 94. 12设 公比不相等的两个等比数列， 明数列 是等比数列 证明 设 公比分别为 p、 q， p0 ， q0 ， p q， 要证 是等比数列，只需证 事实上， ( 2 ( 由于 p q)20 ，因此 是等比数列 能力提升 13若互不相等的实数 a、 b、 c 成等差数列， c、 a、 b 成等比数 列，且 a 3b c 10，则 a 等于 ( ) A 4 B 2 C 2 D 4 答案 D 解析 依题意有 2b a c， a 3b c 10， 代入 求得 b 2. 从而 a c 4，2c 2a 8 0， 解得 a 2 或 a 4. 当 a 2 时， c 2，即 a b c 与已知不符， a 4. 14等比数列 时满足下列三个条件： 4 11 329 三个数 234求数列 通项公式 解 由等比数列的性质知 329 11329 解得 13323求 32313当 13323时 q 2 132 n 1 239329 ， 229 2349成等差数列 ， 132 n 1 当 32313时 q 12， 132 6 n 2392 不符合题意 ， 通项公式 132 n 1. 1等比数列的基本量是 q，依据题目条件建立关于 q 的方程 (组 )，然后解方程 (组 )，求得 q 的值，再解决其它问题 2如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在 1， 2，使 1 2. 3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要 1 等比数列的前 n 项和 (一 ) 课时目标 1掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法 2会用等比数列前 n 项和公式解决一些简单问题 1等比数列前 n 项和公式： (1)公式： q q q. (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略 q 1 的情况 2若 等比数列，且公比 q1 ，则前 n 项和 q(1 A(1)其中 A 1. 3推导等比数列前 n 项和的方法叫 错位相减 法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前 n 项和 一、选择题 1设 前 n 项和， 80，则 ) A 11 B 5 C 8 D 11 答案 D 解析 由 80 得 80， q 2，则 25 22 11. 2记等比数列 前 n 项和为 2， 18，则 ) A 3 B 5 C 31 D 33 答案 D 解析 由题意知公比 q1 ， q 1 9， q 2， q 1 1 25 33. 3设等比数列 公比 q 2，前 n 项和为 ) A 2 B 4 2 答案 C 解析 方法一 由等比数列的定义， 得 1q 1 q 152. 方法二 q ， 1 q q152. 4设 由正数组成的等比数列， n 项和，已知 1， 7，则 ) 案 B 解析 由正数组成的等比数列，且 1， 设 公比为 q，则 q0，且 1，即 1. 7， 11q 1 7， 即 6q 1 0. 故 q 12或 q 13(舍去 )， 14. 1251 12 8(1 125) 314. 5在数列 ， 1 c 为非零常数 )，且前 n 项和为 3n k，则实数 k 的值为 ( ) A 0 B 1 C 1 D 2 答案 C 解 析 当 n 1 时， 3 k， 当 n2 时， 1 (3n k) (3n 1 k) 3n 3n 1 23 n 1. 由题意知 等比数列，所以 3 k 2， k 1. 6在等比数列 ，公比 q 是整数， 18， 12，则此数列的前 8 项和为 ( ) A 514 B 513 C 512 D 510 答案 D 解析 由 18 和 12， 得方程组 1812 ，解得 2q 2 或 16q 12 . q 为整数， q 2， 2， 2 1 29 2 510. 二、填空题 3 7若 等比数列，且前 n 项和为 3n 1 t，则 t _. 答案 13 解析 显然 q1 ，此时应有 A(1)， 又 133 n t， t 13. 8设等比数列 前 n 项和为 1， 4 _. 答案 3 解析 4S3 q 4 q 3(1 不合题意，舍去 ) 13 3. 9若等比数列 ， 1， 512，前 n 项和为 341，则 n 的值是 _ 答案 10 解析 q ， 341 1 512q ， q 2，又 1， 512 ( 2)n 1， n 10. 10如果数列 前 n 项和 21，则此数列的通项公式 _. 答案 2n 1 解析 当 n 1 时， 21， 21， 1. 当 n2 时， 1 (21) (21 1) 21， 等比数列， 2n 1， n N*. 三、解答题 11在等比数列 ， 66， 2 128， 126，求 n 和 q. 解 2 128，解方程组 128，66， 得 64，2， 或 2，64. 将 代入 q ，可 得 q 12， 由 1可解得 n 6. 将 代入 q ，可得 q 2， 由 1可解得 n 6.故 n 6， q 12或 2. 12求和： x 23 x0) 解 分 x 1 和 x1 两种情况 (1)当 x 1 时， 1 2 3 n n n2 . (2)当 x1 时， x 23 23 (n 1)1， (1 x)x 1 x x 1. x x 2 11 x. 4 综上可得 n n2 xx x 2 11 x x1 且 x. 能力提升 13已知 前 n 项和， 54， 60，求 解 方法一 由题意 62 54(60)， 1823 . 方法二 由题意得 a1 ， q 54 q 60 由 得 1 109 ， 19， q 9548 ， q 9548 (1193)1823 . 14已知数列 前 n 项和 2n 2 4. (1)求数列 通项公式； (2)设 an数列 前 n 项和 解 (1)由题意， 2n 2 4， n2 时， 1 2n 2 2n 1 2n 1， 当 n 1 时， 23 4 4，也适合上式， 数列 通项公式为 2n 1， n N*. (2) (n 1)2 n 1， 22 2 32 3 42 4 n2 n (n 1)2 n 1， 222 3 32 4 42 5 n2 n 1 (n 1)2 n 2. 得， 23 23 24 25 2n 1 (n 1)2 n 2 23 23 2n 11 2 (n 1)2n 2 23 23(2n 1 1) (n 1)2 n 2 (n 1)2 n 2 232 n 1 (n 1)2 n 2 2n 2 n2 n 2. 1在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中，共涉及五个量： n， q， 中首项 q 为基本量，且 “ 知三求二 ” 2前 n 项和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论，即 q1 和 q 1 时是不同的公式形式，不可忽略 q 1 的情况 3一般地，如果数列 等差数列， 等比数列且公比为 q，求数列 前 n 项和时，可采用错位相减的方法求和 1 等比数列的前 n 项和 (二 ) 课时目标 1熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题 2能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题 1等比数列 前 n 项和为 公比 q1 时， q q ；当 q 1时， 2等比数列前 n 项和的性质： (1)连续 m 项的和 (如 仍构成 等比 数列 (注意： q 1 或 m 为奇数 ) (2)n q 为数列 公比 ) (3)若 项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则 q. 3解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型 一、选择题 1在各项都为正数的等比数列 ，首项 3，前 3 项和为 21，则 ) A 33 B 72 C 84 D 189 答案 C 解析 由 q 21 且 3，得 q 6 0. q0， q 2. q2( 22 84. 2某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为 ( ) A B C 10a(1) D 11a(1) 答案 D 解析 注 意 去 年 产 值 为 a ， 今 年 起 5 年 内 各 年 的 产 值 分 别 11a(1) 3已知 首项为 1 的等比数列， 前 n 项和，且 9数列 1前5 项和为 ( ) 5 案 C 解析 若 q 1，则由 93 6 则 0，不满足题意，故 q1. 由 9 q q ， 解得 q 2. 故 1 2n 1， 1(12)n 1. 2 所以数列 1以 1 为首项， 12为公比的等比数列，其前 5 项和为 1 12 51 12 3116. 4一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10 次着地时所经过的路程和是 (结果保留到个位 )( ) A 300 米 B 299 米 C 199 米 D 166 米 答案 A 解析 小球 10 次着地共经过的路程为 100 100 50 100 12 8 2993964300( 米 ) 5在等比数列中， 13140，则 ) A 90 B 70 C 40 D 30 答案 C 解析 q1 ( 否则 3 由 13140 ， 10130 ， q 10 q 130， 12 0. 3， q 10(1 3) 40. 6某企业在今年年初贷款 a 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还 ( ) A. a 5 1万元 5 5 1万元 5 4 1万元 5万元 答案 B 解析 设每年偿还 x 万元，则： x x(1 ) x(1 )2 x(1 )3 x(1 )4 a(1 )5， x 5 5 1. 二、填空题 7等比数列 前 n 项和为 知 公比为 _ 答案 13 解析 由已知 43 4( 3( 3 公比 q 13. 8在等比数列 ，已知 48， 60，则 _. 答案 63 3 解析 方法一 q1 ， 由已知得 q 48 q 60 由 得 1 54， 14 将 代入 得 q 64， q 64(1143) 63. 方法二 因为 等比数列， 所以 所以 ( 3n 所以 所以 248 60 63. 9一个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1 天，它飞出
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