【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第4讲（含解析）（打包10套）新人教A版
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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第4讲（含解析）（打包10套）新人教A版,步步高,高考,数学,第一轮,知识点,巩固,题库,解析,打包,10,新人
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1 第 4讲 函数 y x )的图象及性质 一、选择题 1已知函数 f(x) x 3 ( 0)的最小正周期为 ，则该函数的图像 ( ) A关于点 3 ， 0 对称 B关于直线 x 4 对称 C关于点 4 ， 0 对称 D关于直线 x 3 对称 解析 由已知， 2，所以 f(x) 2x 3 ，因为 f 3 0，所以函数图像关于点3 ， 0 中心对称，故选 A. 答案 A co s( 2 1)的图像，只要将函数 的图像（ ） A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 12个单位 12个单位 解析 因为 1c o s ( 2 1 ) c o s ( 2 ( )2y x x ,所以将 向左平移 12个单位 ,故选C. 答案 C 3. 函数 f(x) x )A0， 0， |0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的 2 最小值为 ( ) D. 12 解析 将函数 y 个单位，得到函数 y (x ) x 2)的图象，由题意得 2 2 k(k Z)，故 的最小值为 4. 答案 C 5 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 P(x， y)若初始位置为 32 ， 12 ，当秒针从 ：此时 t0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 ( ) A y 30t 6 B y 60t 6 C y 30t 6 D y 30t 3 解析 由题意可得，函数的初相位是 6，排除 B， 0(秒 )且秒针按顺时针旋转，即 T 2 60，所以 | 30，即 30，故选 C. 答案 C 6电流强度 I(安 )随时间 t(秒 )变化的函数 I t )(A0， 0,00， 2 2 的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，则 _. 解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2，而 f(x)f(x)2，由勾股定理可得 2 2 22 2， T 4， 2T 2. 答案 2 8已知函数 f(x) 3 x 6 ( 0)和 g(x) 2x ) 1 的图象的对称轴完全相同，若x 0， 2 ，则 f(x)的取值范围是 _ 解析 f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同， f(x)与 g(x)的最小正周期相等， 0， 2， f(x) 3 2x 6 ， 0 x 2， 6 2x 6 56， 12 2x 6 1， 32 3 2x 6 3，即 f(x)的取值范围是 32， 3 . 答案 32， 3 9已知函数 f(x) 2x )(|)，若 8， 58 是 f(x)的一个单调递增区间，则 的值为_ 解析 令 2 22x 32 2k Z， k 0时，有 4 2 x 34 2，此时函数单调递增，若 8， 58 是 f(x)的一个单调递增区间，则必有 4 2 8，34258，解得 4， 4，故 4. 4 答案 4 10在函数 f(x) x )(A 0， 0)的一个周期内，当 x 9 时有最大值 12，当x 49 时有最小值 12，若 0， 2 ，则函数解析式 f(x) _. 解析 首先易知 A 12，由于 x 9 时 f(x)有最大值 12，当 x 49 时 f(x)有最小值 12，所以 T 49 9 2 23 ， 2 3 9 12， 0， 2 ，解得 6 ，故 f(x) 12 3x 6 . 答案 12 3x 6 三、解答题 11已知函数 f(x) 32(1)将 f(x)的图像向右平移 12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数 g(x)的图像，求 g(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间 解 (1)依题意 f(x) 32 12 31 2 2x 6 1， 将 f(x)的图像向右平移 12个单位长度，得到函数 f1(x) 2 2 x 12 6 121 的图像，该函数的周期为 ，若将其周期变为 2 ，则得 g(x) 21. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T ， 当 2 2 2 x 6 2 2(k Z)时，函数单调递增， 解得 3 x 6(k Z)， 函数的单调递增区间为 3 ， 6 (k Z) 12已知向量 m (x,1)， n ( 3x， x)(A 0)，函数 f(x) mn 的最大值为 6. (1)求 A； 5 (2)将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 0， 524 上的值域 解 (1)f(x) mn 3x x A 32 x 12x A 2x 6 . 因为 A 0，由题意知 A 6. (2)由 (1)知 f(x) 6 2x 6 . 将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位后得到 y 6 2 x 12 6 6 2x 3 的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变，得到 y 6 4x 3 的图象 因此 g(x) 6 4x 3 . 因为 x 0， 524 ，所以 4x 3 3， 76 ， 故 g(x)在 0， 524 上的值域为 3,6 13 已知函数 f(x) 2 34 4 x ) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移 6个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 0， 上的最大值和最小值 解 (1)因为 f(x) 3 x 2 x 3x x 2 32 x 12x 2 x 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为 2. (2) 将 f(x)的图象向右平移 6个单位，得到函数 g(x)的图象， g(x) f x 6 2 x 6 3 2 x 6 . 6 x 0， ， x 6 6， 76 ， 当 x 6 2，即 x 3时， x 6 1， g(x)取得最大值 2. 当 x 6 76 ，即 x 时， x 6 12， g(x)取得最小值 1. 14设函数 f(x) 22 2x 4 (1)求 f(x)的最小 正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x R，有 g x 2 g(x)，且当 x 0， 2 时， g(x) 12 f(x)求 g(x)在区间 ， 0上的解析式 解 (1)f(x) 22 2x 4 22 x x 1 12 12x， 故 f(x)的最小正周期为 . (2)当 x 0， 2 时， g(x) 12 f(x) 12x，故 当 x 2， 0 时， x 2 0， 2 . 由于对任意 x R， g x 2 g(x)， 从而 g(x) g x 2 12 2 x 2 12 2x) 12x. 当 x ， 2 时， x 0， 2 . 从而 g(x) g(x ) 12(x ) 12x. 综合 、 得 g(x)在 ， 0上的解析式为 g(x) 12x， x ， 2 ， 12x， x 2， 0 . 1 第 4讲 古典概型 一、选择题 1将一颗质地均匀的骰子 (它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具 )先后抛掷 3 次，至少出现一次 5 点向上的概率是 ( ) A. 5216 析 抛掷 3 次，共有 666 216 个事件一次也不出现 5，则每次抛掷都有 5 种可能，故一次也未出现 5 的事件总数为 555 点向上的概率P 125216，所求的概率为 1 125216 91216. 答案 D 2一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中有 3 个黑球与 2 个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ( ) B. 310 析 基本事件有 10个，其中为同色球的 有 4个，故所求概率为 410 25. 答案 C 3甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ( ) 析 (甲送给丙，乙送给丁 )， (甲送给丁，乙送给丙 )， (甲、乙都送给丙 )， (甲、乙都送给丁 )，共四 种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以 P 24 12. 答案 A 4甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ( ) D. 618 解析 正方 形四个顶点可以确定 6 条直线，甲乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本事件两条直线相互垂直的情况有 5 种 (4 组邻边和对角线 )，包括 10 个基本事件，所以概率等于 518. 2 答案 C 5一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是 ( ) D. 1125 解析 小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况，故所求其概率为： 81 000 1125. 答案 D 6将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为 a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为 b，则使不等式 a 2b 4n，即 7n 120. 解得 n 1,2,5,6. 从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率 P 46 23. (2)不放回的任意取出 2 个球，这两个球编号的所有可能情形共有 15 种 设编号分别为 m 与 n(m， n 1,2,3,4,5,6，且 m n)球的重量相等，则有 6m 126n 12，即有 (m n)(m n 6) 0. 5 m n(舍去 )或 m n 6. 满足 m n 6 的情形为 (1,5)， (2,4)，共 2 种情形 由古典概型，所求事件的概率为 215. 14某省实验中学共有特级教师 10 名，其中男性 6 名，女性 4 名，现在要从中抽调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调 (1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女教师的概率； (2)若抽到的女教师的人数为 ，求 P( 2) 解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况： 若甲和乙都不被抽调，有 若甲和乙中只有一人被抽调，有 从 10 名教师中抽调 4 人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为 70 112 (1)记事件 “ 抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且恰有 2 名男教师， 2 名女教师 ” 为 A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是 女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有 教师的抽取方法有 调的方法数是 抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女教师 ” 含有的基本事件的个数是 1240. 根据古典概型概率的计算公式得 P(A) 40182 2091. (2) 的可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P( 2) 1 P(2) 1 P( 3) P( 4)，若 3，则选出的 4 人中，可以含有女教师乙，这时取法为 可以不含女教师乙，这时有 P( 3) 21182326； 若 4，则选出的 4 名教 师全是女教师，必含有乙，有 P( 4) 182，于是 P( 2) 1 21182 1182 160182 8091. 1 第 4讲 基本不等式 一、选择题 1若 x 0，则 x 4 ) A 2 B 3 C 2 2 D 4 解析 x 0， x 4x4. 答案 D 2已知 a 0， b 0， a b 2，则 y 1a 4 ) B 4 D 5 解析 依题意得 1a 4b 12 1a 4b (a b) 12 5 4 12 5 2 4 92，当且仅当 a b 20， b 0，即 a 23， b 43时取等号，即 1a 42. 答案 C 3小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(b 0， va. 答案 A 4若正实数 a， b 满足 a b 1，则 ( ) 1 B 最小值 14 2 C. a D 2 解析 由基本不等式，得 a b 2 2所以 4，故 B 错；1a1ba 1 ，故 A 错；由基本不等式得 a a 12，即 a b 2，故C 正确； (a b)2 21 2 2 14 12，故 D 错 答案 C 5已知 x0， y0，且 2x 1y 1，若 x 2y2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 2 4， ) B ( ， 4 2， ) C ( 2,4) D ( 4,2) 解析 x0， y0且 2x 1y 1， x 2y (x 2y) 2x 1y 4 4 4 2 48，当且仅当 4 即 x 4， y 2时取等号， (x 2y)8，要使 x 2y2 只需 (x 2y)2 即 82m，解得 40)， 函数 y |图象从左至右相交于点 A， B， 函数 y |图象从左至右相交于点 C， C 和 x 轴上的投影长 度分别为 a， b.当 m 变化时， ( ) A 16 2 B 8 2 C 83 4 D 43 4 解析 如图，作出 y |图象，由图可知A， C 点的横坐标在区间 (0,1)内， B， D 点的横坐标在区间 (1， )内，而且 以 据已知 | m， 3 即 m，所以 2 2 82m 1， 2m， 2 82m 1，所以 m 2 82m 12 82m 1 2 m2m 2 82m 112 82m 1 12m2m 2 82m 12m 2 82m 12m2 82m 1 2 82m 1 m，由于 82m 1 m 82m 12m 12 12 41272，当且仅当82m 12m 12 ，即 2m 1 4，即 m32时等号成立，故72 8 2. 答案 B 二、填空题 7设 x， y 为实数若 41，则 2x y 的最大值是 _ 解析 依题意有 (2x y)2 1 31 32 2x y 1 32 2x ，得 58(2x y)2 1，即 |2x y| 2 105 x y 105 时， 2x 105 . 答案 2 105 8在平面直角坐标系 ，过坐标原点的一条直 线与函数 f(x) 2， Q 两点，则线段 的最小值是 _ 解析 假设直线与函数 f(x) 2，在第三象限内的交点为 Q，由题意知线段 长为 的 2 倍 假设 P 点的坐标为 则 | 2| 2 . 当且仅当 2时，取 “ ” 号 答案 4 9若正数 a， b 满足 a b 3，则 取值范围是 _ 解析 由 a， b R ，由基本不等式得 a b 2 则 a b 3 2 3， 即 2 3 0 ( 3)( 1) 0 3， 9. 答案 9， ) 10已知两正数 x， y 满足 x y 1， 则 z x 1x y 1y 的最小值为 _。 4 解析 z x 1x y 1y 11x y2 222，令 t 00， y0，且 2x 5y 20. (1)求 u lg x lg y 的最大值； (2)求 1x 1小值 解 (1) x0， y0， 由基本不等式，得 2x 5y 2 10 2x 5y 20， 2 1020， 10，当且仅当 2x 5y 时，等号成立 因此有 2x 5y 20，2x 5y， 解得 x 5，y 2， 此时 最大值 10. u lg x lg y lg( 0 1. 当 x 5， y 2 时， u lg x lg y 有最大值 1. (2) x0， y0， 1x 1y 1x 1y 2x 5 5 120 7 5 2 1207 2 527 2 1020 ，当且仅当52，等号成立 由 2x 5y 20，52解得 x 10 10 203 ，y 20 4 103 . 1x 1 2 1020 . 13设 f(x) 168(x0) (1)求 f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数 a， b，恒有 f(a)3b 214 . (1)解 f(x) 168 16x 8x 162 x8x 2 2， 当且仅当 x 8 x 2 2时，等号成立 所以 f(x)的最大值为 2 2. (2)证明 3b 214 b 32 2 3， 当 b 32时， 3b 214 有最小值 3， 由 (1)知， f(a)有最大值 2 2， 对任意实数 a， b，恒有 f(a)3b 214 . 14桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形 池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围 (阴影部分所示 )种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面积为 S 平方米 (1)试用 x 表示 S； (2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值 解 (1)由图形知， 3a 6 x， a x 63 . 则总面积 S 1 800x 4 a 2a 1 800x 6 6 a 5 400x 16 x 63 5 400x 16 1 832 10 800x 16 即 S 1 832 10 800x 16x 0) (2)由 S 1 832 10 800x 16 得 S 1 832 2 10 800x 16 1 832 2 240 1 352. 当且仅当 10 800x 16此时， x 45. 即当 x 为 45 米时， S 最大，且 S 最大值为 1 352 平方米 . 1 第 4讲 定积分的概念与微积分基本定理 一、选择题 1以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体， t 秒时刻的速度 v 40 10此物体达到最高时的高度为 ( ) m m m m 解析 v 40 100， t 2， 02(40 10t2) 40t 1030 402 103 8 1603(m) 答案 A 2已知 f(x) 2 |x|，则 2 1f(x)于 ( ) A 3 B 4 析 f(x) 2 |x| 2 xx 0，2 x 由 f(0) 0，得 c (x) 2b，因过点 ( 1,0)与(0,2)，则有 2a 1 b 0，2a 0 b 2， a 1，b 2. f(x) 2x，则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S 0 2( 2x) 13 2 13 ( 2)3 ( 2)2 43. 答案 B 2 4已知 a i 1 ， n N*， b 01 a， b 的大小关系是 ( ) A ab B a b C 或 m 40， 即 4m4. 故实数 m 的取值范围是 ( 4,4) 7 1 第 4讲 平面向量应用举例 一、选择题 1 三个内角成等差数列，且 ( 0，则 定是 ( ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 的中线又是 的高，故 等腰三角形，又 A， B， C 成等差数列，故 B 3. 答 案 C 2. 半圆的直径 4， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A、 B 的任意一点，若 P 为半径 中点，则 ( ) 的值是 ( ) A 2 B 1 C 2 D无法确定，与 C 点位置有关 解析 ( ) 2 2. 答案 A 3. 函数 y 2的部分图象如图所示，则 ( ) ( ) A 4 B 6 C 1 D 2 解析 由条件可得 B(3,1)， A(2,0)， ( ) ( )( ) 2 2 10 4 6. 答案 B 4在 ， 60， 2， 1， E， F 为边 三等分点，则 ( ) 解析 法一 依题意，不妨设 12， 2， 则有 12( )，即 23 13； 2 2( )，即 13 23. 所以 23 13 13 23 19(2 )( 2) 19(22 22 5) 19(2 22 2 12 5 2 1 0) 53，选 A. 法二 由 60， 2， 1可得 90， 如图建立直角坐标系，则 A(0,1)， E 2 33 ， 0 ，F 33 ， 0 ， 2 33 ， 1 33 ， 1 2 33 33 ( 1)( 1)23 153，选 A. 答案 A 5如图所示，已知点 G 是 重心，过 G 作直线与 边分别交于 M， N 两点，且 则 x ) A 3 C 2 析 (特例法 )利用等边三角形，过重心作平行于底边 直线，易得 x y 13. 答案 B 6 外接圆圆心为 O，半径为 2， 0，且 | |，则 在 方向上的投影为 ( ) A 1 B 2 C. 3 D 3 解析 如图，由题意可设 0，得 2 0，即 2， A，O， | 2|，又 3 | | | 2， | 1， | 3， 在 方向上的投影为 3. 答案 C 二、填空题 7. 顶点坐标为 A(1,0)， B(0,2)， O(0,0)， P(x， y)是坐标平面内一点，满足 0 ， 0 ，则 的最小值为 _ 解析 (x 1， y)(1,0) x 10 ， x1 ， x 1， (x， y 2)(0,2) 2(y 2)0 ， y2. (x， y)( 1,2) 2y x3. 答案 3 8已知平面向量 a， b 满足 |a| 1， |b| 2， a 与 b 的夹角为 3.以 a， b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 _ 解析 |a b|2 |a b|2 4a b 4|a|b| 4 0， |a b| |a b|，又 |a b|2 2a b 3， |a b| 3. 答案 3 9已知向量 a (x 1,2)， b (4， y)，若 a b，则 9x 3_ 解析 若 a b，则 4(x 1) 2y 0，即 2x y 2. 9x 3y 32x 3y 2 32x y 2 32 6. 当且仅当 x 12， y 1时取得最小值 答案 6 10已知 |a| 2|b| 0，且关于 x 的函数 f(x) 1312|a|a R 上有极值，则 a 与 b 的夹角范围为 _ 解析 由题意得： f (x) |a|x a |a|2 4ab0，即 4|b|28|b|2a， b 0，即 1 a， b a与 3， . 答案 3， 三、解答题 11已知 A(2,0)， B(0,2)， C( ， )， O 为坐标原点 4 (1) 13，求 的值 (2)若 | 7，且 ( ， 0)，求 夹角 解 (1) ( ， ) (2,0) ( 2， ) ( ， ) (0,2) ( ， 2) ( 2) ( 2) 2 2 1 2( ) 13. 23， 1 2 49， 49 1 59. (2) (2,0)， ( ， )， (2 ， )， | 2 7. 即 4 4 7. 4 2，即 12. 0， 3. 又 (0,2)， 12， 32 ， | | 0 32 32 . 56 . 12已知 A， B， C 的坐标分别为 A(3,0)， B(0,3)， C(， )， 2， 32 . (1)若 | |，求角 的值； (2)若 1，求 21 的值 解 (1) ( 3， )， (， 3)， 5 2 ( 3)2 10 6， 2 ( 3)2 10 6， 由 | |，可得 2 2， 即 10 6 10 6，得 . 又 2， 32 ， 54 . (2)由 1， 得 ( 3) ( 3) 1， 23. 又 21 221 2. 由 式两边分别平方，得 1 2 49， 2 59. 21 59. 13已知向量 a (x， x)， b ( x， x)， c ( 1,0) (1)若 x 6 ，求向量 a 与 c 的夹角； (2)当 x 2 ， 98 时，求函数 f(x) 2a b 1 的最大值，并求此时 x 的值 解 (1)设 a 与 c 夹角为 ，当 x 6 时， a 32 ， 12 ， a c|a|c|32 120322122 2 02 32 . 0， ， 56 . (2)f(x) 2a b 1 2( x) 1 2x (21) x x 2 2x 4 ， x 2 ， 98 ， 2x 4 34 ， 2 ， 6 故 2x 4 1， 22 ， 当 2x 4 34 ， 即 x 2 时， f(x)1. 14已知向量 m 31 ， n (1)若 mn 1，求 23 x 的值； (2)记 f(x) mn，在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足 (2a c) ，求函数 f(A)的取值范围 解 (1)mn 3x4 32 6 12， mn 1， 6 12. x 3 1 2 6 12， 23 x x 3 12. (2) (2a c) ， 由正弦定理得 (2 ) ， 2 . 2 C) A B C ， C) 0. 12， 0 B ， B 3， 0 A 23 . 6 6 2， 6 12， 1 . 又 f(x) 6 12， f(A) 6 12. 故函数 f(A)的取值范围是 1， 32 . 1 第 4讲 指数与指数函数 一、选择题 1函数 y a|x|(a1)的图像是 ( ) 解析 y a|x| x0 ，a x x 0 . 当 x0 时，与指数函数 y ax(a1)的图像相同；当x0 ，则 f(9) f(0) ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 f(9) 2， f(0) 20 1， f(9) f(0) 3. 答案 D 3不论 a 为何值时，函数 y (a 1)2x 这个定点的坐标是 ( ) A. 1， 12 B. 1， 12 C. 1， 12 D. 1， 12 解析 y (a 1)2x a 2x 12 2x，令 2x 12 0，得 x 1，则函数 y (a 1)2x 1， 12 . 答案 C 4定义运算： a*b a， a b，b， ab， 如 1*2=1,则函数 f(x) =2x *2值域为 ( ) A R B (0， ) 2 C (0,1 D 1， ) 解析 f(x) 2x*2 x 2x， x 0，2 x， x0， f(x)在 ( ， 0上是增函数，在 (0， )上是减函数， 01， b0，且 a b 2 2，则 a ) A. 6 B 2 或 2 C 2 D 2 解析 (a b)2 8 a 2b 6， (a b)2 a 2b 2 4. 又 aba b(a1， b0)， a b 2. 答案 D 6若函数 f(x) (k 1)a x(a0 且 a 1)在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g(x) x k)的图象是下图中的 ( ) 解析 函数 f(x) (k 1)a f(0) 0，即 (k 1)0，解得 k 2，所以 f(x) a x，又 f(x) a 00，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 令 x a 0 即 x a， 若 01， y y x a 的图象如图所示 答案 (1， ) 10已知 f(x) g(x) 12 x m，若对 1,3， 0,2， f( g(则实数 _ 解析 1,3时， f( 0,9， 0,2时， g( 12 2 m， 12 0 m ，即 g( 14 m， 1 m ，要使 1,3， 0,2， f( g(只需 f(x)g(x) 014 m，故 m 14. 答案 14， 三、解答题 11已知函数 f(x) 2x 12x 1. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)求证 f(x)在 R 上为增函数 (1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x) 2x 12x 1 122x 1，所以 f( x) f(x)1 22 x 1 1 22x 1 2 22x 122 x 1 2 22x 1221 222x 12x 1 22 0，即 f( x) f(x)，所以 f(x)是奇函数 (2)证明 设 R，且 10， f(， a1)的图象经过点 A(1,6)， B(3,24) (1)求 f(x)； (2)若不等式 (1a)x (1b)x m0 在 x ( ， 1时恒成立，求实数 m 的取值范围 解析 (1)把 A(1,6)， B(3,24)代入 f(x) b 6 4 b 结合 a0 且 a1，解得 a 2，b 3. f(x) 32x. (2)要使 (12)x (13)xm 在 ( ， 1上恒成立， 只需保证函数 y (12)x (13) ， 1上的最小值不小于 m 即可 函 数 y (12)x (13) ， 1上为减函数， 当 x 1 时， y (12)x (13)6. 只需 m56即可 m 的取值范围 ( ， 56 13已知函数 f(x) 13 4x 3. (1)若 a 1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值 解析 (1)当 a 1 时， f(x) 13 4x 3， 令 t 4x 3， 由于 t(x)在 ( ， 2)上单调递增，在 2， )上单调递减， 而 y 13 上单调递减， 所以 f(x)在 ( ， 2)上单调递减，在 2， )上单调递增， 即函数 f(x)的递增区间是 2， )，递减区间是 ( ， 2) (2)令 h(x) 4x 3， f(x) 13 h(x)， 5 由于 f(x)有最大值 3， 所以 h(x)应有最小值 1， 因此必有 a0，12a 164a 1，解得 a 1. 即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值等于 1. 14已知定义在 R 上的函数 f(x) 2x 12|x|. (1)若 f(x) 32，求 x 的值； (2)若 2t) mf(t) 0 对于 t 1,2恒成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)当 x 1. (2)当 t 1,2时， 2t 22t 122t m 2t 12t 0， 即 m(22t 1) (24t 1)， 22t 10， m (22t 1)， t 1,2， (22t 1) 17， 5， 故 m 的取值范围是 5， ) 1 第 4讲 数列求和 一、选择题 5,1 42 则 项和5S=( ) 解析 15 242 4 51 , 5 5 5 1 522aa a S . 答案 B 2若数列 通项公式是 ( 1)n(3n 2)，则 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 解析 设 3n 2，则数列 以 1为首项， 3 为公差的等差数列，所以 ( ( ( ( ( 53 15. 答案 A 3在数列 ， 1nn 1，若 前 n 项和为 2 0132 014，则项数 n 为 ( ) A 2 011 B 2 012 C 2 013 D 2 014 解析 1nn 1 1n 1n 1， 1 1n 1 1 2 0132 014，解得 n 2 013. 答案 C 4数列 足 1 ( 1)2n 1，则 前 60 项和为 ( ) A 3 690 B 3 660 C 1 845 D 1 830 解析 当 n 21 4k 1， 当 n 2k 1时， 1 4k 3， 1 1 2， 1 3 2， 1 3， ( ( ( 3 7 11 (4 30 1) 30 3 1192 30 61 1 830. 答案 D 5. 已知数列 通项公式为 2n 1，令 1n( 则数列 前 10 项和 ( ) A 70 B 75 C 80 D 85 2 解析 由已知 2n 1，得 3， 2n2 n(n 2)， 则 n 2， 2 75，故选 B. 答案 B 6数列 足 1 12(n N*)，且 1， 前 n 项和，则 ( ) B 6 C 10 D 11 解析 依题意得 1 1 2 12，则 2 数列 的奇数项、偶数项分别相等，则 1， ( ( ( 10( 10 12 1 6，故选 B. 答案 B 二、填空题 7在等比数列 ，若 12， 4，则公比 q _； | | | _. 解析 设等比数列 公比为 q，则 入数据解得 8，所以 q 2；等比数列 |的公比为 |q| 2，则 | 12 2n 1，所以 | | | | 12(1 222 2n 1) 12(2n 1) 2n 1 12. 答案 2 2n 1 12 8等比数列 前 n 2n 1，则 _. 解析 当 n 1时， 1， 当 n2 时， 1 2n 1 (2n 1 1) 2n 1， 又 1适合上式 2n 1， 4n 1. 数列 以 1 为首项，以 4为公比的等比数列 44 13(4n 1) 答案 13(4n 1) 9已知等比数列 ， 3， 81，若数列 足 数列 11的前 n _. 解析 设等比数列 公比为 q，则 27，解得 q 1 33 n 1 3n，故 n， 3 所以 11 1n n 1n 1n 1. 则 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1. 答案 1 10设 f(x) 42，利用倒序相加法，可求得 f 111 f 211 f 1011 的值为 _ 解析 当 1时， f( f( 42 42 2 42 4444 2 4 1. 设 S f 111 f 211 f 1011 ，倒序相加有 2S f 111 f 1011 f 211 f 911 f 1011 f 111 10，即 S 5. 答案 5 三、解答题 11等差数列 各项均为正数， 3，前 n， 等比数列， 1，且 64， 960. (1)求 (2)求 11 1解 (1)设 公差为 d， 公比
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