【步步高】2015届高考数学总复习 第六章课件 理（打包4套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第六章课件 理（打包4套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第六,课件,打包,北师大
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数学 北（理） 第六章 数 列 列的概念及简单表示法 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 数列的定义 按 排列的一列数叫作数列 ， 数列中的每一个数叫作这个数列的 2 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 有穷数列 项数 按项数分类 无穷数列 项数 一定次序 项 有限 无限 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 递增数列 1 1的大小关系 分类 常数列 1 N+有界数列 存在正数 M ，使 | M 按其他 标准分类 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 1 时， a n S n S n 1 n 23 a n n 13 a n 1 . a 1 n 1n 1 . a na n 1 n 1n 1 ， ，a 4a 3 53 ， 思维启迪 解析 答案 思维升华 a 3a 2 42 ，a 2a 1 3. 【 例 3 】 ( 1) 设数列 中， 2 ， 1 n 1 ，则通项 _ _ _. ( 2) 数列 中， 1 ， 1 3 2 ，则它的一个通项公式为 _ _ _. ( 3) 在数列 中， 1 ，前 nn 的通项 公式为 _ _ _ 题型分类 深度剖析 以上 n 1 个式子的等号两端分别相乘，得到a n n 1 2 ， 题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 又 a 1 1 ， a n n n 1 2 . 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 3 】 ( 1) 设数列 中， 2 ， 1 n 1 ，则通项 _ _ _. ( 2) 数列 中， 1 ， 1 3 2 ，则它的一个通项公式为 _ _ _. ( 3) 在数列 中， 1 ，前 nn 的通项 公式为 _ _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 n n 1 2 1 2 3 n 1 1 a n n n 1 2 以上 n 1 个式子的等号两端分别相乘，得到a n n 1 2 ， 又 a 1 1 ， a n n n 1 2 . 【 例 3 】 ( 1) 设数列 中， 2 ， 1 n 1 ，则通项 _ _ _. ( 2) 数列 中， 1 ， 1 3 2 ，则它的一个通项公式为 _ _ _. ( 3) 在数列 中， 1 ，前 nn 的通项 公式为 _ _ _ 题型分类 深度剖析 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、 构造法求解 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 当出现 a n a n 1 m 时，构造等差数列； 当出现 xa n 1 y 时，构造等比数列； 当出现 a n a n 1 f ( n ) 时，用累加法求解； 当出现 a na n 1 f ( n ) 时，用累乘法求解 n n 1 2 1 2 3 n 1 1 a n n n 1 2 跟踪训练 3 ( 1) 已知数列 a n 满足 a 1 1 ， a n n 1na n 1 ( n 2) ，则a n _. ( 2) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 2 a n 1( n N + ) ，则 a 5等于 ( ) A 16 B 16 C 31 D 32 解析 ( 1) a n n 1n a n 1 ( n 2) ， 题型分类 深度剖析 a n 1 n 2n 1 a n 2 ， ， a 2 12 a 1 . 以上 ( n 1) 个式子相乘得 a n a 1 12 23 n 1n a 1n 1n . 1n ( 2) 当 n 1 时， S 1 2 a 1 1 ， a 1 1. 当 n 2 时， S n 1 2 a n 1 1 ， a n 2 a n 2 a n 1 ， a n 2 a n 1 . a n 是等比数列且 a 1 1 ， q 2 ， 故 a 5 a 1 q 4 2 4 16. B 典例： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数？ n 为何值时， a n 有最小值？并求出最小值 ( 2) 若 a n 4 且对于 n N ，都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 典例： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数？ n 为何值时， a n 有最小值？并求出最小值 ( 2) 若 a n 4 且对于 n N ，都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 (1) 求使 a n a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 解 ( 1) 由 n 2 5 n 4 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 又 n N ， 当 n 2 或 n 3 时， a n 有最小值，其最小值为 a 2 a 3 2. ( 2) 由 a n 1 a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 a n n 2 4 ，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n N ， 所以 3. 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 8分 12分 典例： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数？ n 为何值时， a n 有最小值？并求出最小值 ( 2) 若 a n 4 且对于 n N ，都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 (1) 本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N 上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到解决 典例： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数？ n 为何值时， a n 有最小值？并求出最小值 ( 2) 若 a n 4 且对于 n N ，都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 (2) 在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的 选取 (3) 易错分析：本题易错答案为 k 2. 原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 1 求数列通项或指定项通常用观察法 ( 对于交错数列一般用 ( 1) 1)n 1来区分奇偶项的符号 ) ；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 方 法 与 技 巧 2 强调 a n 与 S n 的关系： a n S 1 n 1 S n S n 1 n 2 . 思想方法 感悟提高 3 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有两种常见思路： ( 1) 算出前几项，再归纳、猜想； ( 2) 利用累加或累乘法可求数列的通项公式 1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 a n f ( n ) 和函数 y f ( x ) 的单调性是不同的 失 误 与 防 范 2 数列的通项公式不一定唯一 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 数列 0,1,0 ， 1,0,1,0 ， 1 ， 的一个通项公式是 a ( ) A 1 n 12B n 2C n 12 D n 22 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 令 n 1, 2, 3 ， 逐一验证四个选项，易得 D 正确 D 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 1 ， a n 1 3 S n ( n 1) ，则 a 6等于 ( ) A 3 44B 3 44 1 C 45D 45 1 解析 当 n 1 时， a n 1 3 S n ，则 a n 2 3 S n 1 ， a n 2 a n 1 3 S n 1 3 S n 3 a n 1 ，即 a n 2 4 a n 1 ， 该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列 又 a 2 3 S 1 3 a 1 3 ， a n 1 n 1 ，3 4 n 2 n 2 . 当 n 6 时， a 6 3 4 6 2 3 4 4 . A 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 若数列 a n 的通项公式是 a n ( 1)n(3 n 2) ，则 a 1 a 2 a 10 等于 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 解析 由题意知， a 1 a 2 a 10 1 4 7 10 ( 1) 10 (3 10 2) ( 1 4) ( 7 10) ( 1) 9 (3 9 2) ( 1) 10 (3 10 2 ) 3 5 15. A 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 已知数列 a n 的通项公式为 a n (49)n 1 (23)n 1，则数列 a n ( ) A 有最大项，没有最小项 B 有最小项，没有最大项 C 既有最大项又有最小项 D 既没有最大项也没有最小项 解析 数列 a n 的通项公式为 a n ( 49 ) n 1 ( 23 ) n 1 ， 令 t ( 23 ) n 1 ， t ( 0,1 ， t 是减函数， 则 a n t 2 t ( t 12 ) 2 14 ， 由复合函数单调性知 a n 先递增后递减 故有最大项和最小项，选 C. C 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 若 S n 为数列 a n 的前 n 项和，且 S n 1，则1a 5等于 ( ) A 56B 65C 130D 30 解析 当 n 2 时， a n S n S n 1 1 n 1n 1n n 1 ， 所以 15 6 30. D 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 已知数列 n 2n 2 1 ，则 0. 98 是它的第 _ 项 解析 n 2n 2 1 4950， n 7. 7 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 数列 a n 中， a 1 1 ，对于所有的 n 2 ， n N ，都有a 1 a 2 a 3 a n a 3 a 5 _. 解析 由题意知： a 1 a 2 a 3 a n 1 ( n 1) 2 ， a n ( 1 ) 2 ( n 2) ， a 3 a 5 (32 )2 ( 54 )2 6116 . 6116 8 已知 a n 是递增数列，且对于任意的 n N ， a n n 2 n 恒成立，则实数 的取值范围是 _ _ _ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 方法一 ( 定义法 ) 因为 a n 是递增数列，所以对任意的 n N ，都有 a n 1 a n ， 即 ( n 1) 2 ( n 1) n 2 n ，整理，得 2 n 1 0 ，即 (2 n 1) ( *) 因为 n 1 ，所以 (2 n 1) 3 ，要使不等式 ( *) 恒成立，只需 3. 8 已知 a n 是递增数列，且对于任意的 n N ， a n n 2 n 恒成立，则实数 的取值范围是 _ _ _ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二 ( 函数法 ) 设 f ( n ) a n n 2 n ，其图像的对称轴为直线 n 2 ， 要使数列 a n 为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f ( n )为 增函数， 故只需满足 f ( 1) 3. ( 3， ) 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 数列 a n 的通项公式是 a n 7 n 6. ( 1) 这个数列的第 4 项是多少？ ( 2) 150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ ( 3) 该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 ( 1) 当 n 4 时， a 4 4 2 4 7 6 6. ( 2) 令 a n 150 ，即 n 2 7 n 6 150 ， 解得 n 16 或 n 9( 舍去 ) ， 即 150 是这个数列的第 16 项 ( 3) 令 a n n 2 7 n 6 0 ，解得 n 6 或 n 0 ，即 a n 1 a n ； 当 n 8 时， a n 1 a n 0 ，即 a n 1 a n ； 当 n 8 时， a n 1 a n a 10 a 11 ， 故数列 a n 有最大项，为第 8 项和第 9 项，且 a 8 a 9 98 910 8 9 910 8 . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 1 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A 8 种 B 13 种 C 21 种 D 34 种 解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 a n ，则到达第 n 个格子的方法有两类： 向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 a n 1 ； 向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 a n 2 ， 则 a n a n 1 a n 2 ， 1 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A 8 种 B 13 种 C 21 种 D 34 种 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1, 1,2,3 ,5,8, 13,2 1. 跳到第 8 个格子的方法种数是 21. 故选 C. C 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 2 数列 a n 满足 a n a n 1 12( n N ) ， a 2 2 ， S n 是数列 a n 的前 n 项和，则 S 21 为 ( ) A 5 B 72C 92D 132解析 a n a n 1 12 ( n N ) ， a 1 12 a 2 12 2 ， a 2 2 ， a 3 12 2 ， a 4 2 ， ， 故 a 2 n 2 ， a 2 n 1 12 2. S 21 10 12 a 1 5 12 2 72 . B 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 3 若数列 n ( n 4)(23 )n 中的最大项是第 k 项，则 k _ _ . 解析 由题意得k k 4 23 k k 1 k 5 23 k 1k k 4 23 k k 1 k 3 23 k 1， 所以 10k 2 2 k 9 0，由 k N 可得 k 4. 4 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 4 已知数列 a n 满足前 n 项和 S n 1 ，数列 b n 满足 b n 2a n 1，且前 n 项和为 T n ，设 c n T 2 n 1 T n . ( 1) 求数列 b n 的通项公式； ( 2) 判断数列 c n 的增减性 解 ( 1) a 1 2 ， a n S n S n 1 2 n 1( n 2) b n 23 n 1 1n n 2 . 4 已知数列 a n 满足前 n 项和 S n 1 ，数列 b n 满足 b n 2a n 1，且前 n 项和为 T n ，设 c n T 2 n 1 T n . ( 1) 求数列 b n 的通项公式； ( 2) 判断数列 c n 的增减性 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 ( 2) c n b n 1 b n 2 b 2 n 1 1n 1 1n 2 12 n 1 ， c n 1 c n 12 n 2 12 n 3 1n 1 12 n 3 12 n 2 1 2 n 3 2 n 2 a 1 . 综上，所求的 a 的取值范围是 9 ， ) 数学 北（理） 第六章 数 列 差数列及其前 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 等差数列的定义 如果一个数列 ，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，通常用字母 表示 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 差为 d ，那么它的通项公式是 . 3 等差中项 如果 ，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项 从第 2项起，每一项与它的前一项的差是同 一个常数 公差 d a n a 1 ( n 1) d A a 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 4 等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： ， ( n ， m N ) (2) 若 为等差数列，且 k l m n ， ( k ， l ， m ， n N ) ，则 . (3) 若 是等差数列，公差为 d ，则 a2 n 也是等差数列，公差为 . (4) 若 ， 是等差数列，则 也是等差数列 (5) 若 是等差数列，公差为 d ，则 m， 2 m， ( k ，m N ) 是公差为 的等差数列 (n m)d a k a l a m a n 2d 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 5 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 的公差为 d ，其前 n 项和 或 . 6 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sna1 数列 是等差数列 ( A 、 B 为常数 ) 7 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 中， ， d 0 ，则 _ _ 值 n a 1 a n2 n n 1 2 d 大 小 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 B C 基础知识 自主学习 B ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 49 【 例 1 】 在等差数列 a n 中，a 1 1 ， a 3 3. (1) 求数列 a n 的通项公式； (2) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 题型一 等差数列的基本运算 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 1 】 在等差数列 a n 中，a 1 1 ， a 3 3. (1) 求数列 a n 的通项公式； (2) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 思维升华 解析 思维启迪 等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 a n 中，a 1 1 ， a 3 3. (1) 求数列 a n 的通项公式； (2) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列的基本运算 解 ( 1) 设等差数列 a n 的公差为 d ，则 a n a 1 ( n 1) d . 由 a 1 1 ， a 3 3 ，可得 1 2 d 3 ，解得 d 2. 从而 a n 1 ( n 1) ( 2) 3 2 n . ( 2) 由 ( 1) 可知 a n 3 2 n ， 所以 S n n 1 3 2 n 2 2 n n 2 . 由 S k 35 ，可得 2 k k 2 35 ， 即 k 2 2 k 35 0 ，解得 k 7 或 k 5. 又 k N ，故 k 7. 【 例 1 】 在等差数列 a n 中，a 1 1 ， a 3 3. (1) 求数列 a n 的通项公式； (2) 若数列 a n 的前 k 项和 S k 35 ，求 k 的值 思维启迪 思维升华 解析 ( 1) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 题型分类 深度剖析 ( 2) 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 题型一 等差数列的基本运算 跟踪训练 1 ( 1) 若等差数列 的前 5 项和 25 ，且 3 ，则 ( ) A 12 B 13 C 14 D 15 ( 2) 记等差数列 的前 n 项和为 2， 20 ，则 ( ) A 16 B 24 C 36 D 48 ( 3) 已知等差数列 的前 n 项和为 满足22 1 ，则数列 的公差是 ( ) A 12B 1 C 2 D 3 题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析 解析 ( 1) 由题意得 S 5 5 a 1 a 5 2 5 a 3 25 ， 故 a 3 5 ，公差 d a 3 a 2 2 ， a 7 a 2 5 d 3 5 2 13. ( 2) S 4 2 6 d 20 ， d 3 ，故 S 6 3 15 d 48. ( 3) S n n a 1 a n 2 ， S a 1 a 又 S 33 S 22 1 ， 得 a 1 a 32 a 1 a 22 1 ，即 a 3 a 2 2 ， 数列 a n 的公差为 2. 答案 ( 1) B ( 2) D (3 )C 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和 ， 若 2 014 ，0 1 42 0140 0 82 008 6 ， 则 0 1 3等于 ( ) A 2 013 B 2 013 C 4 026 D 4 0 26 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和 ， 若 2 014 ，0 1 42 0140 0 82 008 6 ， 则 0 1 3等于 ( ) A 2 013 B 2 013 C 4 026 D 4 0 26 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 (1) 根据 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 为等差数列解此题； (2) 利用 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 求 n ； (3) 数列 S 为等差数列 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和 ， 若 2 014 ，0 1 42 0140 0 82 008 6 ， 则 0 1 3等于 ( ) A 2 013 B 2 013 C 4 026 D 4 0 26 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 解析 ( 1) 由 a n 是等差数列，得 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 为等差数列 即 2( S 6 S 3 ) S 3 ( S 9 S 6 ) ， 得到 S 9 S 6 2 S 6 3 S 3 45 ，故选 B. ( 2) 因为 a 1 a 2 a 3 34 ， a n 2 a n 1 a n 146 ， a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n 34 146 180 ， 又因为 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ， 所以 3( a 1 a n ) 180 ，从而 a 1 a n 60 ， 所以 S n n a 1 a n 2 n 602 390 ，即 n 13. 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和 ， 若 2 014 ，0 1 42 0140 0 82 008 6 ， 则 0 1 3等于 ( ) A 2 013 B 2 013 C 4 026 D 4 0 26 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 ( 3) 由等差数列的性质可得 S 也为等差数列 又 S 2 0 1 42 01 4 S 2 0 0 82 00 8 6 d 6 ， d 1. 故 S 2 0 1 32 01 3 S 11 2 01 2 d 2 01 4 2 01 2 2 ， S 2 0 1 3 2 2 01 3 4 02 6 ，故选 C. 答案 ( 1) B ( 2) A ( 3) C 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为 390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和 ， 若 2 014 ，0 1 42 0140 0 82 008 6 ， 则 0 1 3等于 ( ) A 2 013 B 2 013 C 4 026 D 4 0 26 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 思维升华 在等差数列 a n 中，数列 S m ， S 2 m S m ， S 3 m S 2 m 也成等差数列； S 也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具 跟踪训练 2 ( 1) 设数列 a n 是等差数列，若 a 3 a 4 a 5 12 ，则 a 1 a 2 a 7 等于 ( ) A 14 B 21 C 28 D 35 ( 2) 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S 10 10 ， S 20 30 ，则 S 30 _. 解析 ( 1) a 3 a 4 a 5 3 a 4 12 ， a 4 4 ， 题型分类 深度剖析 C 60 a 1 a 2 a 7 7 a 4 28. ( 2) S 10 ， S 20 S 10 ， S 30 S 20 成等差数列 ， 2( S 20 S 10 ) S 10 S 30 S 20 ， 40 10 S 30 30 ， S 30 60. 【 例 3 】 (1) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 【 例 3 】 (1) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前 思维升华 解析 思维启迪 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 (1) 由 a 1 20 及 S 10 S 15 可求得 d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用 S n 是关于 用二次函数求最值的方法求解 (2) 利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号 【 例 3 】 (1) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 解 ( 1) 方法一 a 1 20 ， S 10 S 15 ， 10 20 10 92 d 15 20 15 142 d ， d 53 . a n 20 ( n 1) 53 53 n 653 . a 13 0 ，即当 n 12 时， a n 0 ， n 14 时， a n 0 ， a 7 1 0 B a 2 a 1 0 0 0 ， a 10 a 11 0 ， a 10 a 11 0 ， a 11 0 的 n 的最大值为 ( ) A 1 1 B 19 C 20 D 21 解析 a 11a 100 ， a 11 0 ， S 20 20 a 1 a 20 2 10( a 10 a 11 ) 0 的 n 的最大值为 19. B 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 2 设等差数列 a n ， b n 的前 n 项和分别为 S n ， T n ，若对任意自 然数 n 都有S nT n2 n 34 n 3，则a 9b 5 b 7a 3b 8 b 4的值为 _ 解析 a n ， b n 为等差数列， a 9b 5 b 7 a 3b 8 b 4 a 92 b 6 a 32 b 6 a 9 a 32 b 6 a 6b 6 . S 11T 11 a 1 a 11b 1 b 11 2 a 62 b 6 2 11 34 11 3 1941 ， a 61941 . 1941 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 3 九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 _ _ _ 升 解析 设所构成数列 a n 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 依题意 a 1 a 2 a 3 a 4 3 ，a 7 a 8 a 9 4 ，即 4 a 1 6 d 3 ，3 a 1 21 d 4 ，解得a 1 1322，d 766， a 5 a 1 4 d 1322 4 766 6766 . 6766 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 4 已知等差数列的前三项依次为 a, 4,3 a ，前 n 项和为 S n ，且 S k 1 1 0. ( 1) 求 a 及 k 的值； ( 2) 设数列 b n 的通项 b n S 明数列 b n 是等差数列，并求其前 n 项和 T n . 解 ( 1) 设该等差数列为 a n ，则 a 1 a ， a 2 4 ， a 3 3 a ， 由已知有 a 3 a 8 ，得 a 1 a 2 ，公差 d 4 2 2 ， 所以 S k k k 1 2 d 2 k k k 1 2 2 k . 由 S k 1 10 ，得 k 2 k 1 10 0 ， 解得 k 10 或 k 1 1( 舍去 ) ，故 a 2 ， k 10 . 4 已知等差数列的前三项依次为 a, 4,3 a ，前 n 项和为 S n ，且 S k 1 1 0. ( 1) 求 a 及 k 的值； ( 2) 设数列 b n 的通项 b n S 明数列 b n 是等差数列，并求其前 n 项和 T n . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 ( 2) 由 ( 1) 得 S n n 2 2 n 2 n ( n 1) ，则 b n S n 1 ， 故 b n 1 b n ( n 2) ( n 1) 1 ， 即数列 b n 是首项为 2 ，公差为 1 的等差数列， 所以 T n n 2 n 1 2 n n 3 2 . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 5 ( 2012 湖北 ) 已知等差数列 a n 前三项的和为 3 ，前三项的积为 8. ( 1) 求等差数列 a n 的通项公式； ( 2) 若 a 2 ， a 3 ， a 1 成等比数列，求数列 | a n | 的前 n 项和 解 ( 1) 设等差数列 a n 的公差为 d ， 则 a 2 a 1 d ， a 3 a 1 2 d . 由题意得 3 a 1 3 d 3 ，a 1 a 1 d a 1 2 d 8 ， 解得 a 1 2 ，d 3 ， 或 a 1 4 ，d 3. 所以由等差数列通项公式可得 a n 2 3( n 1) 3 n 5 或 a n 4 3( n 1) 3 n 7. 故 a n 3 n 5 或 a n 3 n 7. 5 ( 2012 湖北 ) 已知等差数列 a n 前三项的和为 3 ，前三项的积为 8. ( 1) 求等差数列 a n 的通项公式； ( 2) 若 a 2 ， a 3 ， a 1 成等比数列，求数列 | a n | 的前 n 项和 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 ( 2) 当 a n 3 n 5 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 1 ， 4,2 ，不成等比数列； 当 a n 3 n 7 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 1,2 ， 4 ，成等比数列，满足条件 故 |a n | |3 n 7| 3 n 7 ， n 1 ， 2 ，3 n 7 ， n 3. 记数列 | a n | 的前 n 项和为 S n . 5 ( 2012 湖北 ) 已知等差数列 a n 前三项的和为 3 ，前三项的积为 8. ( 1) 求等差数列 a n 的通项公式； ( 2) 若 a 2 ， a 3 ， a 1 成等比数列，求数列 | a n | 的前 n 项和 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 当 n 1 时， S 1 | a 1 | 4 ；当 n 2 时， S 2 | a 1 | | a 2 | 5 ； 当 n 3 时， S n S 2 |a 3 | | a 4 | | a n | 5 (3 3 7) (3 4 7) (3 n 7) 5 n 2 2 3 n 7 2 32 n 2 112 n 10. 当 n 2 时，满足此式 综上， S n 4 ， n 1 ，32 112 n 10 ， n 2.数学 北（理） 第六章 数 列 比数列及其前 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫作等比数列，这个常数 叫作等比数列的 ，通常用字母 表示 ( q 0) 2 等比数列的通项公式 设等比数列 的首项为 比为 q ，则它的通项 ( 0 ， q 0) 3 等比中项 若 ，那么 G 为 a 与 b 的等比中项 从第 2项起，每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数 (不为零 ) 公比 q a 1 q n 1 G 2 a b ( 0) 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 4 等比数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： ， ( n ， m N ) (2) 若 为等比数列，且 k l m n ( k ， l ， m ， n N ) ，则 . (3) 若 ， 项数相同 ) 是等比数列，则 0) ，1 ， ， m a k a l a m a n 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 5 等比数列的前 n 项和公式 等比数列 的公比为 q ( q 0) ，其前 n 项和为 q 1 1 q q q 1 6 等比数列前 n 项和的性质 公比不为 1 的等比数列 的前 n 项和为 S2 nS3 n S2 公比为 . 号 答案 解析 1 2 3 4 5 A 基础知识 自主学习 D 2 2 n 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 2n 【 例 1 】 (1) 设 是由正数组成的等比数列， 知 1 ， 7 ，则 ( ) ) 在等比数列 中，若 6 ， 15 ，则 _. 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 (1) 设 是由正数组成的等比数列， 知 1 ， 7 ，则 ( ) ) 在等比数列 中，若 6 ， 15 ，则 _. 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 利用等比数列的通 项公式与前 n 项和公式列方程 ( 组 ) 计算 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 (1) 设 是由正数组成的等比数列， 知 1 ， 7 ，则 ( ) ) 在等比数列 中，若 6 ， 15 ，则 _. 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 ( 1) 显然公比 q 1 ，由题意得 a 1 q a 1 q 3 1a 1 1 q 3 1 q 7， 解得 a 1 4q 12或 a 1 9q 13( 舍去 ) ， 思维启迪 解析 答案 思维升华 S 5 a 1 1 q 5 1 q 4 1 12 5 1 12314 . 【 例 1 】 (1) 设 是由正数组成的等比数列， 知 1 ， 7 ，则 ( ) ) 在等比数列 中，若 6 ， 15 ，则 _. 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 ( 2) 设等比数列 a n 的公比为q ( q 0) ， 则a 1 a 1 q 6a 1 a 1 15， 两式相除，得 25， 思维启迪 解析 答案 思维升华 即 2 q 2 5 q 2 0 ，解得 q 2 或 q 12 . 所以 a 1 1q 2或 a 1 16q 12. 故 a 3 4 或 a 3 4. 【 例 1 】 (1) 设 是由正数组成的等比数列， 知 1 ， 7 ，则 ( ) ) 在等比数列 中，若 6 ， 15 ，则 _. 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 B 4或 4 ( 2) 设等比数列 a n 的公比为q ( q 0) ， 则a 1 a 1 q 6a 1 a 1 15， 两式相除，得 25， 即 2 q 2 5 q 2 0 ，解得 q 2 或 q 12 . 所以 a 1 1q 2或 a 1 16q 12. 故 a 3 4 或 a 3 4. 【 例 1 】 (1) 设 是由正数组成的等比数列， 知 1 ， 7 ，则 ( ) ) 在等比数列 中，若 6 ， 15 ，则 _. 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a 1 ， n ， q ，a n ， S n ，一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 ( 组 ) 可迎刃而解 思维启迪 解析 答案 思维升华 B 4或 4 跟踪训练 1 (1) 在等比数列 中， 1 ，公比为 q ，且 | q | 1.若 m 等于 ( ) A 9 B 10 C 1 1 D 12 (2) 设 的前 n 项和，已知 3 2,3 2 ，则公比 q 等于 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 (3) 已知 是首项为 1 的等比数列， 的前 n 项和，且9 数列 1的前 5 项和为 ( ) A 158或 5 B 3116或 5 C 3116D 158题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析 解析 ( 1) 1 ， a m a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 q q 3 q 4 q 10 ， 即 a m a 1 q 10 ， m 1 1. 故选 C. ( 2) 因为 3 S 3 a 4 2 ， 3 S 2 a 3 2 得 3 a 3 a 4 a 3 ，即 4 a 3 a 4 ，则 q a 4a 3 4. ( 3) 若 q 1 ，则由 9 S 3 S 6 得 9 3 a 1 6 a 1 ， 则 a 1 0 ，不 满足题意，故 q 1. 由 9 S 3 S 6 得 9 a 1 1 1 q a 1 1 q 6 1 q ， 解得 q 2. 题型分类 深度剖析 故 a n a 1 q n 1 2 n 1 ，1a n (12 )n 1 . 所以数列 1a n 是以 1 为首项，以12 为公比的等比数列， 其前 5 项和为 S 5 1 1 12 5 1 123116 . 答案 ( 1) C ( 2) B ( 3) C 【 例 2 】 (1) 在等比数列 中，各项均为正值，且 1 ， 5 ，则 _. (2) 等比数列 的首项 1 ,前 n 项和为 132，则公比 q _. 题型分类 深度剖析 题型二 等比数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 (1) 在等比数列 中，各项均为正值，且 1 ， 5 ，则 _. (2) 等比数列 的首项 1 ,前 n 项和为 132，则公比 q _. 题型分类 深度剖析 题型二 等比数列的性质及应用 利用等比数列的项的性质和前 n 项和的性质求解 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 (1) 在等比数列 中，各项均为正值，且 1 ， 5 ，则 _. (2) 等比数列 的首项 1 ,前 n 项和为 132，则公比 q _. 题型分类 深度剖析 题型二 等比数列的性质及应用 ( 1) 由 a 6 a 10 a 3 a 5 41 及 a 6 a 10 a 28 ， a 3 a 5 a 24 ， 得 a 24 a 28 41. 思维启迪 解析 答案 思维升华 因为 a 4 a 8 5 ， 所以 ( a 4 a 8 ) 2 a 24 2 a 4 a 8 a 28 41 2 5 51. 又 a n 0 ， 所以 a 4 a 8 51 . 【 例 2 】 (1) 在等比数列 中，各项均为正值，且 1 ， 5 ，则 _. (2) 等比数列 的首项 1 ,前 n 项和为 132，则公比 q _. 题型分类 深度剖析 题型二 等比数列的性质及应用 ( 2) 由S 10S 5 3132 ， a 1 1 知公比q 1 ，S 10 S 5S 5 132 . 由等比数列前 n 项和的性质知S 5 ， S 10 S 5 ， S 15 S 10 成等比数列，且公比为 q 5 ， 思维启迪 解析 答案 思维升华 故 q 5 132 ， q 12 . 【 例 2 】 (1) 在等比数列 中，各项均为正值，且 1 ， 5 ，则 _. (2) 等比数列 的首项 1 ,前 n 项和为 132，则公比 q _. 题型分类 深度剖析 题型二 等比数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 51 12 ( 2) 由S 10S 5 3132 ， a 1 1 知公比q 1 ，S 10 S 5S 5 132 . 由等比数列前 n 项和的性质知S 5 ， S 10 S 5 ， S 15 S 10 成等比数列，且公比为 q 5 ， 故 q 5 132 ， q 12 . 【 例 2 】 (1) 在等比数列 中，各项均为正值，且 1 ， 5 ，则 _. (2) 等比数列 的首项 1 ,前 n 项和为 132，则公比 q _. 题型分类 深度剖析 题型二 等比数列的性质及应用 ( 1) 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “ 若 m n p q ，则 a m a n a p a q ” ，可以减少运算量，提高解题速度 ( 2) 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 思维启迪 解析 答案 思维升华 51 12 题型分类 深度剖析 跟踪训练 2 (1) 已知各项均为正数的等比数列 中， 5 ， 10 ，则 ( ) A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 (2) 记等比数列 的前 n 项积为 n N ) ，已知 1 1 2 0 ，且 T2 m 1 128 ，则 m 的值为 ( ) A 4 B 7 C 10 D 12 (3) 已知 的前 n 项和，且 8 ， 7 ，则 _. 题型分类 深度剖析 解析 ( 1) 把 a 1 a 2 a 3 ， a 4 a 5 a 6 ， a 7 a 8 a 9 看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第 1 项，第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项 因为数列 的各项均为正数， 所以 a 4 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 7 a 8 a 9 5 10 5 2 . ( 2) 因为 a n 是等比数列，所以 a m 1 a m 1 a 2m ， 又由题中 a m 1 a m 1 2 a m 0 ，可知 a m 2. 由等比数列的性质可知前 (2 m 1) 项积为 T 2 m 1 a 2 m 1m ， 即 2 2 m 1 128 ，故 m 4. 题型分类 深度剖析 ( 3) 根据等比数列的性质，知 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 成等比数列，即 8,7 8 ， S 9 7 成等比数列， 所以 ( 1) 2 8( S 9 7) 解得 S 9 718 . 所以 a 4 a 5 a 9 S 9 S 3 718 8 78 . 答案 ( 1) A ( 2) A ( 3) 78 【 例 3 】 已知数列 的前 n，数列 中， b1 1( n 2) ，且n . (1) 设 1 ，求证： 等比数列； (2) 求数列 的通项公式 题型三 等比数列的判定 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 3 】 已知数列 的前 n，数列 中， b1 1( n 2) ，且n . (1) 设 1 ，求证： 等比数列； (2) 求数列 的通项公式 (1) 由 a n S n n 及 a n 1 S n 1 n 1 转化成 a n 与 a n 1 的递推关系，再构造数列 a n 1 题型分类 深度剖析 题型三 等比数列的判定 (2) 由 c n 求 a n 再求 b n . 思维升华 解析 思维启迪 【 例 3 】 已知数列 的前 n，数列 中， b1 1( n 2) ，且n . (1) 设 1 ，求证： 等比数列； (2) 求数列 的通项公式 ( 1) 证明 a n S n n ， a n 1 S n 1 n 1. 题型分类 深度剖析 题型三 等比数列的判定 得 a n 1 a n a n 1 1 ， 2 a n 1 a n 1 ， 2( a n 1 1) a n 1 ， a n 1 11 12 ， a n 1 是等比数列 又 a 1 a 1 1 ， a 1 12 ， 思维升华 解析 思维启迪 【 例 3 】 已知数列 的前 n，数列 中， b1 1( n 2) ，且n . (1) 设 1 ，求证： 等比数列； (2) 求数列 的通项公式 首项 c 1 a 1 1 ， c 1 12 ，公比 q 12 . 题型分类 深度剖析 题型三 等比数列的判定 又 c n a n 1 ， 是以12 为首项，以12 为公比的等比数列 ( 2) 解 由 ( 1) 可知 c n 12 12n 1 12n ， a n c n 1 1 12 n . 思维升华 解析 思维启迪 【 例 3 】 已知数列 的前 n，数列 中， b1 1( n 2) ，且n . (1) 设 1 ，求证： 等比数列； (2) 求数列 的通项公式 当 n 2 时， b n a n a n 1 1 12n1 12n 112n 112n12n. 又 b 1 a 1 12 代入上式也符合， 题型分类 深度剖析 题型三 等比数列的判定 b n 12 n . 思维升华 解析 思维启迪 【 例 3 】 已知数列 的前 n，数列 中， b1 1( n 2) ，且n . (1) 设 1 ，求证： 等比数列； (2) 求数列 的通项公式 注意判断一个数列是 等比数列的方法，另外第 (2) 问中要注意验证n 1 时是否符合 n 2 时的通项公式，能合并的必须合并 题型分类 深度剖析 题型三 等比数列的判定 思维升华 解析 思维启迪 跟踪训练 3 设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 1 ， S n 1 4 a n 2. ( 1) 设 b n a n 1 2 a n ，证明数列 b n 是等比数列； ( 2) 求数列 a n 的通项公式 题型分类 深度剖析 解 ( 1) 由 a 1 1 及 S n 1 4 a n 2 ，有 a 1 a 2 S 2 4 a 1 2. a 2 5 ， b 1 a 2 2 a 1 3. 又 S n 1 4 a n 2 ， S n 4 a n 1 2 ， ，得 a n 1 4 a n 4 a n 1 ， 所以 a n 1 2 a n 2( a n 2 a n 1 ) b n a n 1 2 a n ， b n 2 b n 1 ， 故 b n 是首项 b 1 3 ，公比为 2 的等比数列 跟踪训练 3 设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 1 ， S n 1 4 a n 2. ( 1) 设 b n a n 1 2 a n ，证明数列 b n 是等比数列； ( 2) 求数列 a n 的通项公式 题型分类 深度剖析 ( 2) 由 ( 1) 知 b n a n 1 2 a n 3 2 n 1 ， 所以a n 12 n 1 a n2 n 34 ， 故 a n2 n 是首项为 12 ，公差为 34 的等差数列 所以a n2 n 12 ( n 1) 34 3 n 14 ，得 a n (3 n 1) 2n 2 . 典例： (5 分 ) 设等比数列 a n 的公比为 q ，前 n 项和 S n 0( n 1,2 ,3 ， ) 则q 的取值范围为 _ _ _ _ _ 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 易错警示系列 6 等比数列求和忽视公比 题型分类 深度剖析 典例： (5 分 ) 设等比数列 a n 的公比为 q ，前 n 项和 S n 0( n 1,2 ,3 ， ) 则q 的取值范围为 _ _ _ _ _ 本题易忽视 q 的范围，由于等比数列求和公式中分 两种情况 q 1和 q 1 ，而本题未说明 q 的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式 S n a 1 1 q. 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 易错警示系列 6 等比数列求和忽视公比 典例： (5 分 ) 设等比数列 a n 的公比为 q ，前 n 项和 S n 0( n 1,2 ,3 ， ) 则q 的取值范围为 _ _ _ _ _ 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 易错警示系列 6 等比数列求和忽视公比 因为 a n 为等比数列， S n 0 ， 可以得到 S 1 0 ， q 0 ， 当 q 1 时， S n 0 ； 当 q 1 时， S n a 1 1 q n 1 q 0 ， 即1 q q 0( n 1,2 ,3 ， ) ，上式等价于不等式组 1 q 0( n 1,2 ,3 ， ) 则q 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 易错警示系列 6 等比数列求和忽视公比 或 1 q 0 ，1 q n 0 ， ( n 1,2,3 ， ) 解 式得 q 1 ，解 式，由于 n 可为奇数，可为偶数， 得 10( n 1,2 ,3 ， ) 则q 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ ( 1,0 ) (0 ， ) 题型分类 深度剖析 在应用公式 S n a 1 1 n a 1 a n 注意公式的使用条件为 q 1 ，而当 q 1 时，应按常数列求和，即 S n . 因此，对含有字母参数的等比数列 求和时，应分 q 1 和 q 1 两种情况进行讨论，体现了分类讨论思想 易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析易错警示系列 6 等比数列求和忽视公比 1 已知等比数列 a n ( 1) 数列 c a n ( c 0) ， | a n | ， ， 1a n 也是等比数列 ( 2) a 1 a n a 2 a n 1 a m a n m 1 . 方 法 与 技 巧 2 判断数列为等比数列的方法 (1) 定义法： 1q ( q 是不等于 0 的常数， n N ) 数列 是等比数列；也可用 1 q ( q 是不等于 0 的常数， n N ， n 2) 数列 是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同 (2) 等比中项法： 1 2( 1 2 0 ， n N ) 数列 是等比数列 思想方法 感悟提高 1 特别注意 q 1 时， S n 这一特殊情况 失 误 与 防 范 2 由 a n 1 qa n ， q 0 ，并不能立即断言 a n 为等比数列，还要验证 a 1 0. 3 在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q 1 与 q 1 分类讨论，防止因忽略 q 1 这一特殊情形而导致解题失误 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ( 2012 安徽 ) 公比为 2 的等比数列 a n 的各项都是正数，且 a 3 a 11 16 ，则 a 10 等于 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析 利用等比数列的性质和通项公式求解 a 3 a 11 16 ， a 27 16. 又 等比数列 a n 的各项都是正数， a 7 4. 又 a 10 a 7 q 3 4 2 3 2 5 ， lo g 2 a 10 5. 故选 B. B 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 等比数列 a n 中， | 1 ， a 5 8 a 2 . a 5 a 2 ，则 a n 等于 ( ) A ( 2)n 1B ( 2)n 1C ( 2) ( 2) |a 1 | 1 ， a 1 1 或 a 1 1. a 5 8 a 2 a 2 q 3 ， q 3 8 ， q 2. 又 a 5 a 2 ， 即 a 2 q 3 a 2 ， a 2 0. 而 a 2 a 1 q a 1 ( 2) 0 ， a 1 1. 故 a n a 1 ( 2) n 1 ( 2) n 1 . A 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 ( 2013 课标全国 ) 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知S 3 a 2 10 a 1 ， a 5 9 ，则 a 1 等于 ( ) A 13B 13C 19D 19解析 设等比数列 a n 的公比为 q ， 由 S 3 a 2 10 a 1 得 a 1 a 2 a 3 a 2 10 a 1 ， 即 a 3 9 a 1 ， q 2 9 ， 又 a 5 a 1 q 4 9 ， 所以 a 1 19 . C 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 一个等比数列的前三项的积为 3 ，最后三项的积为 9 ，且所有项的积为 729 ，则该数列的项数是 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 解析 设该等比数列为 a n ，其前 n 项积为 T n ， 则由已知得 a 1 a 2 a 3 3 ， a n 2 a n 1 a n 9 ， ( a 1 a n ) 3 3 9 3 3 ， a 1 a n 3 ，又 T n a 1 a 2 a n 1 a n ， T n a n a n 1 a 2 a 1 ， T 2n ( a 1 a n ) n ，即 729 2 3 n ， n 12. B 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 数列 a n 中，已知对任意 n N ， a 1 a 2 a 3 a n 3n 1 ，则 于 ( ) A (3n 1)2B 12(9n 1) C 9n 1 D 14(3n 1) 解析 a 1 a 2 a n 3 n 1 ， n N ， n 2 时， a 1 a 2 a n 1 3 n 1 1 ， 当 n 2 时， a n 3 n 3 n 1 2 3 n 1 ， 又 n 1 时， a 1 2 适合上式， a n 2 3 n 1 ， 故数列 a 2n 是首项为 4 ，公比为 9 的等比数列 因此 a 21 a 22 a 2n 4 1 9n 1 9 12 (9 n 1) B 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 等比数列 a n 中， S n 表示前 n 项和， a 3 2 S 2 1 ， a 4 2 S 3 1 ，则公比 q 为 _ 解析 由 a 3 2 S 2 1 ， a 4 2 S 3 1 得 a 4 a 3 2( S 3 S 2 ) 2 a 3 ， a 4 3 a 3 ， q a 43. 3 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 ( 2012 江西 ) 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，公比不为 1. 若 a 1 1 ，则对任意的 n N ，都有 a n 2 a n 1 2 a n 0 ，则 S 5 _. 解析 利用 “ 特殊值 ” 法，确定公比 由题意知 a 3 a 2 2 a 1 0 ，设公比为 q ， 则 a 1 ( q 2 q 2) 0. 由 q 2 q 2 0 解得 q 2 或 q 1( 舍去 ) ， 则 S 5 a 1 1 1 q 1 2 53 1 1. 11 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 设等比数列 a n 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，若 S n 1 ， S n ，S n 2 成等差数列，则 q 的值为 _ 解析 由已知条件得 2 S n S n 1 S n 2 ， 即 2 S n 2 S n 2 a n 1 a n 2 ，即a n 2a n 1 2. 2 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 已知等差数列 a n 满足 a 2 2 ， a 5 8. ( 1) 求 a n 的通项公式； ( 2) 各项均为正数的等比数列 b n 中， b 1 1 ， b 2 b 3 a 4 ，求 b n 的前 n 项和 T n . 解 ( 1) 设等差数列 a n 的公差为 d ， 则由已知得 a 1 d 2a 1 4 d 8 . a 1 0 ， d 2. a n a 1 ( n 1) d 2 n 2. ( 2) 设等比数列 b n 的公比为 q ，则由已知得 q q 2 a 4 ， 9 已知等差数列 a n 满足 a 2 2 ， a 5 8. ( 1) 求 a n 的通项公式； ( 2) 各项均为正数的等比数列 b n 中， b 1 1 ， b 2 b 3 a 4 ，求 b n 的前 n 项和 T n . 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a 4 6 ， q 2 或 q 3. 等比数列 b n 的各项均为正数， q 2. b n 的前 n 项和 T n b 1 1 1 q 1 1 2 n 1 2 2n 1. 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 数列 a n 的前 n 项和记为 S n ， a 1 t ，点 ( S n ， a n 1 ) 在直线 y 3 x 1 上， n N . ( 1) 当实数 t 为何值时，数列 a n 是等比数列； ( 2) 在 ( 1) 的结论下，设 b n a n 1 ， c n a n b n ， T n 是数列 c n 的前 n 项和，求
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