【步步高】2015届高考数学总复习 第六章课件 理（打包4套）新人教B版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第六章课件 理（打包4套）新人教B版,步步高,高考,数学,复习,温习,第六,课件,打包,新人
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数学 R B（理） 第六章 数 列 列的概念及简单表示法 分类原则 类型 满足条件 有穷数列 项数 按项数分类 无穷数列 项数 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 数列的定义 按照 排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 2 数列的分类 一定次序 项 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 有限 无限 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 递增数列 1_ 1_ 常数列 1 N 有界数列 存在正数 M ，使 | M 按其他标准分类 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 1 时， a n S n S n 1 n 23 a nn 13 a n 1 . a 1 n 1n 1 . a na n 1 n 1n 1 ， ，a 4a 3 53 ， 思维启迪 解析 答案 思维升华 a 3a 2 42 ，a 2a 1 3. 【 例 3 】 ( 1) 设数列 中， 2 ， 1 n 1 ，则通项 _ _ . ( 2) 数列 中， 1 ， 1 3 2 ，则它的一个通项公式为 _ _ _. ( 3) 在数列 中， 1 ，前 nn 23则 的通项公式为 _ _ _ _ 题型分类 深度剖析 以上 n 1 个式子的等号两端 分别相乘，得到a n n 1 2， 题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 又 a 1 1 ， a n n n 1 2 . 思维启迪 解析 答案 思维升华 以上 n 1 个式子的等号两端 分别相乘，得到a n n 1 2， 又 a 1 1 ， a n n n 1 2 . 【 例 3 】 ( 1) 设数列 中， 2 ， 1 n 1 ，则通项 _ _ . ( 2) 数列 中， 1 ， 1 3 2 ，则它的一个通项公式为 _ _ _. ( 3) 在数列 中， 1 ，前 nn 23则 的通项公式为 _ _ _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 n n 1 2 1 2 3 n 1 1 a n n n 1 2 【 例 3 】 ( 1) 设数列 中， 2 ， 1 n 1 ，则通项 _ _ . ( 2) 数列 中， 1 ， 1 3 2 ，则它的一个通项公式为 _ _ _. ( 3) 在数列 中， 1 ，前 nn 23则 的通项公式为 _ _ _ _ n n 1 2 1 2 3 n 1 1 a n n n 1 2 题型分类 深度剖析 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 当出现 a n a n 1 m 时，构造等差数列；当出现 a n xa n 1 y 时，构造等比数列；当出现 a n a n 1 f ( n ) 时，用累加法求解；当出现a na n 1 f ( n ) 时，用累乘法求解 跟踪训练 3 ( 1) 已知数列 a n 满足 a 1 1 ， a n n 1na n 1 ( n 2) ，则 a n _. ( 2) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 2 a n 1( n N ) ，则 a 5等于 ( ) A 16 B 16 C 31 D 32 解析 ( 1 ) a n n 1n a n 1 ( n 2 ) ， 题型分类 深度剖析 a n 1 n 2n 1 a n 2 ， ， a 2 12 a 1 . 以上 ( n 1 ) 个式子相乘得 a n a 1 12 23 n 1n a 1n 1n . 1n 跟踪训练 3 ( 1) 已知数列 a n 满足 a 1 1 ， a n n 1na n 1 ( n 2) ，则 a n _. ( 2) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 2 a n 1( n N ) ，则 a 5等于 ( ) A 16 B 16 C 31 D 32 1n 解析 ( 2) 当 n 1 时， S 1 2 a 1 1 ， a 1 1. 题型分类 深度剖析 当 n 2 时， S n 1 2 a n 1 1 ， a n 2 a n 2 a n 1 ， a n 2 a n 1 . a n 是等比数列且 a 1 1 ， q 2 ， 故 a 5 a 1 q 4 2 4 16. B 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1 ) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数 ？ n 为何值时 ， a n 有最小值 ？ 并求出最小值 ( 2 ) 若 a n 4 且对于 n N ， 都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1 ) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数 ？ n 为何值时 ， a n 有最小值 ？ 并求出最小值 ( 2 ) 若 a n 4 且对于 n N ， 都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 (1) 求使 a n a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 解 ( 1 ) 由 n 2 5 n 4 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 又 n N ， 当 n 2 或 n 3 时， 最小值，其最小值为 a 2 a 3 2. ( 2 ) 由 a n 1 a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 a n n 2 4 ，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n N ， 所以 3. 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 8分 12分 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1 ) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数 ？ n 为何值时 ， a n 有最小值 ？ 并求出最小值 ( 2 ) 若 a n 4 且对于 n N ， 都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 (1) 本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N 上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到解决 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n ( 1 ) 若 a n 5 n 4 ， 数列中有多少项是负数 ？ n 为何值时 ， a n 有最小值 ？ 并求出最小值 ( 2 ) 若 a n 4 且对于 n N ， 都有 a n 1 a n . 求实数 k 的取值范围 思想与方法系列 9 数列问题中的函数思想 题型分类 深度剖析 (2) 在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取 (3) 易错分析：本题易错答案为 k 2. 原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 1 求数列通项或指定项通常用观察法 ( 对于交错数列一般用 ( 1) 1)n 1来区分奇偶项的符号 ) ；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 方 法 与 技 巧 2 强调 a n 与 S n 的关系： a n S 1 n 1 S n S n 1 n 2 . 思想方法 感悟提高 3 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有二种常见思路： ( 1) 算出前几项，再归纳、猜想； ( 2) 利用累加或累乘法可求数列的通项公式 1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 a n f ( n )和函数 y f ( x ) 的单调性是不同的 失 误 与 防 范 2 数列的通项公式不一定唯一 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 数列 0,1,0 ， 1,0,1,0 ， 1 ， 的一个通项公式是 a n 等于 ( ) A. 1 n 12B c os n 2C c os n 12 D c os n 22 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 令 n 1 , 2 , 3 ， 逐一验证四个选项，易得 D 正确 D 专项基础训练 练出高分 2 数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 1 ， a n 1 3 S n ( n 1) ，则a 6 等于 ( ) A 3 44B 3 44 1 C 45D 45 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 当 n 1 时， a n 1 3 S n ，则 a n 2 3 S n 1 ， a n 2 a n 1 3 S n 1 3 S n 3 a n 1 ，即 a n 2 4 a n 1 ， 该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列 又 a 2 3 S 1 3 a 1 3 ， a n 1 n 1 ，3 4 n 2 n 2 . 当 n 6 时， a 6 3 4 6 2 3 4 4 . A 专项基础训练 练出高分 3 若数列 a n 的通项公式是 a n ( 1)n(3 n 2) ，则 a 1 a 2 a 10 等于 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 由题意知， a 1 a 2 a 10 1 4 7 10 ( 1) 10 (3 10 2) A ( 1 4 ) ( 7 10 ) ( 1) 9 (3 9 2) ( 1) 10 (3 10 2 ) 3 5 15 . 专项基础训练 练出高分 4 已知数列 a n 的通项公式为 a n (49)n 1 (23)n 1， 则数列 a n ( ) A . 有最大项 ， 没有最小项 B . 有最小项 ， 没有最大项 C . 既有最大项又有最小项 D . 既没有最大项也没有最小项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 数列 a n 的通项公式为 a n ( 49 ) n 1 ( 23 ) n 1 ， 令 t ( 23 ) n 1 ， t ( 0 , 1 ， t 是减函数， 则 a n t 2 t ( t 12 ) 2 14 ， 由复合函数单调性知 a n 先递增后递减 C 故有最大项和最小项，选 C. 专项基础训练 练出高分 5 若 S n 为数列 a n 的前 n 项和，且 S n 1，则1a 5等于 ( ) 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 当 n 2 时， a n S n S n 1 1n 1n1n n 1 ， 所以 15 6 30. D 专项基础训练 练出高分 6 已知数列 1 ，则 0 它的第 _ _ _ _ _ _ _ _ 项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 n 2n 2 1 0 4950 ， n 7. 7 专项基础训练 练出高分 7 数列 中， a 1 1 ，对于所有的 n 2 ， n N ，都有 a 1 a 2 a 3 a n n 2 ，则 a 3 a 5 _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 由题意知： a 1 a 2 a 3 a n 1 ( n 1) 2 ， a n ( 1 ) 2 ( n 2) ， a 3 a 5 ( 32 ) 2 ( 54 ) 2 6116 . 6116 8 已知 a n 是递增数列，且对于任意的 n N ， a n n 2 n 恒成立，则实数 的取值范围是 _ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 方法一 ( 定义法 ) 因为 a n 是递增数列，所以对任意的 n N ，都有 a n 1 a n ， 即 ( n 1) 2 ( n 1) n 2 n ，整理，得 2 n 1 0 ，即 (2 n 1) ( *) 因为 n 1 ，所以 (2 n 1) 3 ，要使不等式 ( *) 恒成立，只需 3. 8 已知 a n 是递增数列 ， 且对于任意的 n N ， a n n 2 n 恒成立 ， 则实数 的取值范围是 _ _ 专项基础训练 练出高分 方法二 ( 函数法 ) 设 f ( n ) a n n 2 n ，其图象的对称轴为直线 n 2 ， 要使数列 为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f ( n ) 为增函数， 故只需满足 f ( 1 ) 3. ( 3 ， ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 . 数列 a n 的通项公式是 a n 7 n 6. ( 1) 这个数列的第 4 项是多少？ ( 2) 150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ ( 3) 该数列从第几项开始各项都是正数？ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 ( 1 ) 当 n 4 时， a 4 4 2 4 7 6 6. ( 2 ) 令 a n 150 ，即 n 2 7 n 6 150 ， 解得 n 16 或 n 9 ( 舍去 ) ， 即 150 是这个数列的第 16 项 ( 3 ) 令 a n n 2 7 n 6 0 ，解得 n 6 或 n 0 ，即 a n 1 a n ； 当 n 8 时， a n 1 a n 0 ，即 a n 1 a n ； 当 n 8 时， a n 1 a n a 10 a 11 ， 故数列 a n 有最大项，为第 8 项和第 9 项， 且 a 8 a 9 98 910 8 9 910 8 . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 专项 能力提升 1 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A 8 种 B 13 种 C 21 种 D 34 种 练出高分 2 3 4 5 1 解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 a n ，则到达第 向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 a n 1 ； 向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 a n 2 ， 则 a n a n 1 a n 2 ， 1 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A 8 种 B 13 种 C 21 种 D 34 种 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21. 跳到第 8 个格子的方法种数是 21. 故选 C. 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 C 专项 能力提升 2 数列 a n 满足 a n a n 1 12( n N ) ， a 2 2 ， S n 是数列 a n 的前 n 项和，则 S 21 为 ( ) A . 5 2 3 4 5 1 解析 a n a n 1 12 ( n N ) ， 故 a 2 n 2 ， a 2 n 1 12 2. a 1 12 a 2 12 2 ， a 2 2 ， a 3 12 2 ， a 4 2 ， ， S 21 10 12 a 1 5 12 2 72 . B 3 若数列 n ( n 4)(23 )n 中的最大项是第 k 项，则 k _ _. 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 解析 由题意得k k 4 23k k 1 k 5 23k 1k k 4 23k k 1 k 3 23k 1， 所以 10k 2 2 k 9 0 ，由 k N 可得 k 4. 4 专项 能力提升 4 已知数列 a n 满足前 n 项和 S n 1 ，数列 b n 满足 b n 2a n 1，且前 n 项和为 T n ，设 c n T 2 n 1 T n . ( 1) 求数列 b n 的通项公式； ( 2) 判断数列 c n 的增减性 练出高分 2 3 4 5 1 解 ( 1 ) a 1 2 ， a n S n S n 1 2 n 1 ( n 2 ) b n 23 n 1 1n n 2 . ( 2 ) c n b n 1 b n 2 b 2 n 1 1n 1 1n 2 12 n 1 ， 4 已知数列 a n 满足前 n 项和 S n 1 ，数列 b n 满足 b n 2a n 1，且前 n 项和为 T n ，设 c n T 2 n 1 T n . ( 1) 求数列 b n 的通项公式； ( 2) 判断数列 c n 的增减性 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 c n 1 c n 12 n 2 12 n 3 1n 1 12 n 3 12 n 2 1 2 n 3 2 n 2 a 1 . 综上，所求的 a 的取值范围是 9 ， ) 当 n 2 时， a n 1 a n 12( 32 ) n 2 a 3 0 a 9. 数学 R B（理） 第六章 数 列 差数列及其前 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 _ 表示 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 差为 d ，那么它的通项公式是 . 从第 2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数 公差 d (n 1)d 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3 等差中项 如果三个数 x ， A ， y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 与 y 的等差中项 4 等差数列的常用性质 ( 1) 通项公式的推广： ( n ， m N ) ( 2) 若 为等差数列，且 k l m n ( k ， l ， m ， n N ) ，则 . ( 3) 若 是等差数列，公差为 d ，则 a2 n 也是等差数列，公差为 . ( 4) 若 ， 是等差数列，则 也是等差数列 ( 5) 若 是等差数列，公差为 d ，则 m， 2 m， ( k ，m N ) 是公差为 的等差数列 ( n m ) d a k a l a m a n 2d 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 5 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 的公差为 d ，其前 n 项和 或 . 6 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sna1 数列 是等差数列 ( A 、 B 为常数 ) 7 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 中， ， d 0 ，则 _ 值 n a 1 a n 2 n n 1 2 d . 大 小 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 B C 基础知识 自主学习 B ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 49 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 中，1 ， 3. (1) 求数列 的通项公式； (2) 若数列 的前 k 项和 35 ，求 k 的值 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 1 】 在等差数列 中，1 ， 3. (1) 求数列 的通项公式； (2) 若数列 的前 k 项和 35 ，求 k 的值 思维升华 解析 思维启迪 等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 中，1 ， 3. (1) 求数列 的通项公式； (2) 若数列 的前 k 项和 35 ，求 k 的值 思维启迪 思维升华 解析 解 ( 1 ) 设等差数列 a n 的公差 为d ，则 a n a 1 ( n 1 ) d . 由 a 1 1 ， a 3 3 ，可得 1 2 d 3 ， 解得 d 2. 题型分类 深度剖析 从而 a n 1 ( n 1 ) ( 2 ) 3 2 n . 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 中，1 ， 3. (1) 求数列 的通项公式； (2) 若数列 的前 k 项和 35 ，求 k 的值 思维启迪 思维升华 解析 (2 ) 由 (1 ) 可知 a n 3 2 n ， 题型分类 深度剖析 所以 S n n 1 3 2 n 2 2 n 由 S k 35 ，可得 2 k k 2 35 ， 即 k 2 2 k 35 0 ，解得 k 7 或 k 5. 又 k N ，故 k 7. 题型一 等差数列的基本运算 【 例 1 】 在等差数列 中，1 ， 3. (1) 求数列 的通项公式； (2) 若数列 的前 k 项和 35 ，求 k 的值 思维启迪 思维升华 解析 ( 1) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 题型分类 深度剖析 ( 2) 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 题型一 等差数列的基本运算 跟踪训练 1 ( 1) 若等差数列 a n 的前 5 项和 S 5 25 ，且 a 2 3 ，则 a 7 等于 ( ) A 12 B 13 C 14 D 15 ( 2) 记等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 12， S 4 20 ，则 S 6等于 ( ) A 16 B 24 C 36 D 48 解析 ( 1 ) 由题意得 S 5 5 a 1 a 5 2 5 a 3 25 ，故 a 3 5 ，公差 d a 3 a 2 2 ， a 7 a 2 5 d 3 5 2 13. 题型分类 深度剖析 ( 2) S 4 2 6 d 20 ， d 3 ，故 S 6 3 15 d 48. B D ( 3) 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足S 33S 22 1 ，则数列 a n 的公差是 ( ) A 12B 1 C 2 D 3 解析 ( 3) S n n a 1 a n 2 ， 题型分类 深度剖析 S a 1 a 又 S 33 S 22 1 ， 得 a 1 a 32 a 1 a 22 1 ，即 a 3 a 2 2 ， 数列 a n 的公差为 2. C 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 题型分类 深度剖析 ( 1 ) 根据 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 为等差数列解此题； 思维启迪 解析 答案 思维升华 ( 2 ) 利用 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 求 n ； ( 3 ) 数列 S 为等差数列 题型二 等差数列的性质及应用 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 题型分类 深度剖析 ( 1) 由 a n 是等差数列，得 S 3 ， S 6 S 3 ， S 9 S 6 为等差数列 即 2( S 6 S 3 ) S 3 ( S 9 S 6 ) ， 得到 S 9 S 6 2 S 6 3 S 3 45 ， 故选 B. 思维启迪 解析 答案 题型二 等差数列的性质及应用 思维升华 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 题型分类 深度剖析 ( 2 ) 因为 a 1 a 2 a 3 34 ， a n 2 a n 1 a n 146 ， a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n 34 146 180 ， 又因为 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ， 所以 3 ( a 1 a n ) 180 ， 从而 a 1 a n 60 ， 所以 S n n a 1 a n 2 n 602 390 ，即 n 13. 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 题型分类 深度剖析 ( 3) 由等差数列的性质可得 S 也为等差数列 又 S 2 0 1 42 0 1 4 S 2 0 0 82 0 0 8 6 d 6 , d 1. 故S 2 0 1 32 0 13 S 11 2 0 12 d 2 0 14 2 0 12 2 ， S 2 0 1 3 2 2 0 13 4 0 26 ，故选 C. 题型二 等差数列的性质及应用 思维启迪 解析 答案 思维升华 ( 3 ) 由等差数列的性质可得 S 也为等差数列 又 S 2 0 1 42 0 1 4 S 2 0 0 82 0 0 8 6 d 6 , d 1. 故S 2 0 1 32 0 13 S 11 2 0 12 d 2 0 14 2 0 12 2 ， S 2 0 1 3 2 2 013 4 026 ，故选 C. 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 B 思维启迪 解析 答案 思维升华 A C 【 例 2 】 ( 1) 设等差数列 的前 n 项和为 9 ， 36 ，则 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 ( 2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为 14 6 ，且所有项的和为390 ，则这个数列的项数为 ( ) A 13 B 12 C 1 1 D 10 ( 3) 已知 的前 n 项和，若 2 0 14 ，142 014082 008 6 ，则13等于 ( ) A 2 01 3 B 2 01 3 C 4 02 6 D 4 02 6 题型分类 深度剖析 题型二 等差数列的性质及应用 B A C 思维启迪 解析 答案 思维升华 在等差数列 中，数列 2 m S3 m S2 也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具 B A C 跟踪训练 2 ( 1) 设数列 a n 是等差数列，若 a 3 a 4 a 5 12 ，则a 1 a 2 a 7 等于 ( ) A 14 B 21 C 28 D 35 ( 2) 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S 10 10 ， S 20 30 ，则S 30 _ _. 解析 ( 1 ) a 3 a 4 a 5 3 a 4 12 ， a 4 4 ， 题型分类 深度剖析 C 60 a 1 a 2 a 7 7 a 4 28. ( 2 ) S 20 S 10 ， S 30 S 20 成等差数列 ， 2 ( S 20 S 10 ) S 10 S 30 S 20 ， 40 10 S 30 30 ， S 30 60. 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 【 例 3 】 ( 1 ) 在等差数列 中，已知 20 ，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值； (2) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ，求数列 | 的前n 项和 【 例 3 】 ( 1 ) 在等差数列 中 ，已 知 20 ， 前 n 项和为 求当 n 取何值时 ， 并求出它的最大值 ； ( 2 ) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ， 求数列 | 的前n 项和 思维升华 解析 思维启迪 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 (1 ) 由 a 1 20 及 S 10 S 15 可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用S n 是关于 n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解 ( 2 ) 利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号 【 例 3 】 ( 1 ) 在等差数列 中 ，已 知 20 ， 前 n 项和为 求当 n 取何值时 ， 并求出它的最大值 ； ( 2 ) 已知数列 的通项公式是4 n 25 ， 求数列 | 的前n 项和 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 题型三 等差数列的前 解 ( 1 ) 方法一 a 1 20 ， S 10 S 15 ， 10 20 10 92 d 15 20 15 142 d ， d 53 . a n 20 ( n 1) 5353n 653. a 13 0 ，即当 n 12 时， a n 0 ，n 14 时， a n 0 ， a 7 1 0 B a 2 a 1 0 0 0 ， a 10 a 11 0 ， a 10 a 11 0 ， a 11 0 的 n 的最大值为 ( ) A 1 1 B 19 C 20 D 21 练出高分 2 3 4 5 1 解析 a 11a 10 0 ， a 11 0 ， S 20 20 a 1 a 20 2 10( a 10 a 11 ) 0 的 n 的最大值为 19. B 专项 能力提升 2 设等差数列 a n ， b n 的前 n 项和分别为 S n ， T n ，若对任意自然数 n 都有S nT n2 n 34 n 3，则a 9b 5 b 7a 3b 8 b 4的值为 _ _ _ 练出高分 2 3 4 5 1 解析 a n ， b n 为等差数列， S 11a 1 a 11b 1 b 11 2 a 62 b 6 2 11 34 11 3 1941 ， a 9 b 7 a 3 b 4 a 92 a 32 a 9 a 32 a 6 a 6b 6 1941 . 1941 专项 能力提升 3 九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节 的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 _ 升 练出高分 2 3 4 5 1 解析 设所构成数列 a n 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 依题意 a 1 a 2 a 3 a 4 3 ，a 7 a 8 a 9 4 ，即 4 a 1 6 d 3 ，3 a 1 21 d 4 ，解得a 1 1322 ，d 766 ， a 5 a 1 4 d 1322 4 766 6766 . 6766 专项 能力提升 4 . 已知等差数列的前三项依次为 a, 4,3 a ，前 n 项和为 S n ，且 S k 1 10. ( 1) 求 a 及 k 的值； ( 2) 设
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