【步步高】2015届高考数学总复习 第六章课件 理（打包4套）新人教B版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第六章课件 理（打包4套）新人教B版,步步高,高考,数学,复习,温习,第六,课件,打包,新人
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数学 R B（理） 第六章 数 列 列求和 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 等差数列前 n 项和 ， 推导方法： ； 等比数列前 n 项和 推导方法：乘公比，错位相减法 2 数列求和的常用方法 (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列 na 1 a n2 n n 1 2 d 倒序相加法 1 (1 )11 a 础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 (3) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广 (5) 并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 ( 1) n ) 类型，可采用两项合并求解 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 例如， 1002 992 982 972 22 12 ( 100 99) ( 98 97) (2 1) 5 050. 3 常见的裂项公式 ( 1)1n n 1 1n1n 1； ( 2)1 2 n 1 2 n 1 1212 n 112 n 1； ( 3)1n n 1 n 1 n . 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 A B 基础知识 自主学习 C 4 n 42 n ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型一 分组转化求和 【 例 1 】 已知数列 是 3 2 1 , 6 22 1 , 9 23 1 , 1 2 24 1 ， ，写出数列 的通项公式并求其前 n 项和 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 1 】 已知数列 是 3 2 1 , 6 22 1 , 9 23 1 , 1 2 24 1 ， ，写出数列 的通项公式并求其前 n 项和 思维升华 解析 思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解 题型分类 深度剖析 题型一 分组转化求和 【 例 1 】 已知数列 是 3 2 1 , 6 22 1 , 9 23 1 , 1 2 24 1 ， ，写出数列 的通项公式并求其前 n 项和 思维启迪 思维升华 解析 由已知得，数列 a n 的通项公式为 a n 3 n 2 n 1 3 n 1 2 n ， S n a 1 a 2 a n (2 5 3 n 1) (2 22 2n)n 2 3 n 1 22 1 2n1 212n (3 n 1) 2n 1 2. 题型分类 深度剖析 题型一 分组转化求和 【 例 1 】 已知数列 是 3 2 1 , 6 22 1 , 9 23 1 , 1 2 24 1 ， ，写出数列 的通项公式并求其前 n 项和 思维启迪 思维升华 解析 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论 题型分类 深度剖析 题型一 分组转化求和 跟 踪 训 练 1 求和 S n 1 1 121 1214 1 1214 12n 1 . 解 和式中第 k 项为 a k 1 1214 12k 1 1 1212 21 12k . 题型分类 深度剖析 S n 21 121 122 1 12n 2 (1 1 1 ) (12122 12n ) 2n 12 1 121212n 1 2 n 2. 题型二 错位相减法求和 【 例 2 】 已知等差数列 的前3 项和为 6 ，前 8 项和为 4. (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 (4 1( q 0 ，n N ) ，求数列 的前 n 项和 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 2 】 已知等差数列 的前3 项和为 6 ，前 8 项和为 4. (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 (4 1( q 0 ，n N ) ，求数列 的前 n 项和 思维升华 解析 思维启迪 ( 1 ) 列方程组求 a n 的首项、公差，然后写出通项 a n . 题型分类 深度剖析 题型二 错位相减法求和 ( 2 ) q 1 时， b n 为等差数列，直接求和； q 1 时，用错位相减法求和 【 例 2 】 已知等差数列 的前3 项和为 6 ，前 8 项和为 4. (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 (4 1( q 0 ，n N ) ，求数列 的前 n 项和 思维启迪 思维升华 解析 解 ( 1 ) 设等差数列 a n 的公差为 d . 由已知得3 a 1 3 d 68 a 1 28 d 4， 解得a 1 3d 1. 题型分类 深度剖析 题型二 错位相减法求和 故 a n 3 ( n 1 ) ( 1 ) 4 n . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得， b n n q n 1 ，于是 S n 1 q 0 2 q 1 3 q 2 n q n 1 . 若 q 1 ，将上式两边同乘以 q 有 【 例 2 】 已知等差数列 的前3 项和为 6 ，前 8 项和为 4. (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 (4 1( q 0 ，n N ) ，求数列 的前 n 项和 qS n 1 q 1 2 q 2 ( n 1) q n 1 n q n . 两式相减得到 ( q 1) S n nq n 1 q 1 q 2 q n 1 题型分类 深度剖析 题型二 错位相减法求和 nq n q n 1q 1 nq n 1 n 1 q n 1q 1 . 于是， S n 1 n 1 q n 1 q 1 2 . 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 已知等差数列 的前3 项和为 6 ，前 8 项和为 4. (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 (4 1( q 0 ，n N ) ，求数列 的前 n 项和 若 q 1 ，则 S n 1 2 3 n n n 1 2. 所以 S n n n 1 2， q 1 1 n 1 1 q 1 2 ， q 1. 题型分类 深度剖析 题型二 错位相减法求和 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 已知等差数列 的前3 项和为 6 ，前 8 项和为 4. (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 (4 1( q 0 ，n N ) ，求数列 的前 n 项和 思维升华 解析 ( 1) 错位相减法是求解由等差数列 b n 和等比数列 c n 对应项之积组成的数列 a n ，即 a n b n c n 的前 n 项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练 题型分类 深度剖析 题型二 错位相减法求和 思维启迪 ( 2) 注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围 跟踪训练 2 已知等差数列 a n 满足 a 2 0 ， a 6 a 8 10. ( 1) 求数列 a n 的通项公式； ( 2) 求数列a n2 n 1 的前 n 项和 解 ( 1 ) 设等差数列 a n 的公差为 d ， 题型分类 深度剖析 由已知条件可得 a 1 d 0 ，2 a 1 12 d 10 ， 解得 a 1 1 ，d 1 . 故数列 a n 的通项公式为 a n 2 n . ( 2 ) 设数列 a n2 n 1 的前 n 项和为 S n ， 即 S n a 1 a 22 a n2 n 1 ， 故 S 1 1 ， S a 12 a 24 a n2 n . 题型分类 深度剖析 跟踪训练 2 已知等差数列 a n 满足 a 2 0 ， a 6 a 8 10. ( 1) 求数列 a n 的通项公式； ( 2) 求数列a n2 n 1 的前 n 项和 所以，当 n 1 时， 得 a 1 a 2 a 12 a n a n 12 n 1 a n2 n 1 ( 12 14 12 n 1 ) 2 n2 n 1 ( 1 12 n 1 ) 2 n2 n n2 n . 所以 S n n2 n 1 . 当 n 1 时也成立 综上，数列 a n2 n 1 的前 n 项和 S n n2 n 1 . 题型三 裂项相消法求和 【 例 3 】 在数列 中， 1 ，当 n 2 时，其前 n 项和 2n 2. (1) 求 (2) 设 n2 n 1，求 的前n 项和 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 3 】 在数列 中 ， 1 ，当 n 2 时 ， 其前 n 项和 2n 2. ( 1 ) 求 ( 2 ) 设 n2 n 1， 求 的前n 项和 思维升华 解析 思维启迪 第 (1) 问利用 a n S n S n 1 ( n 2)后，再同除 S n 1 S n 转化为1S n . 题型分类 深度剖析 题型三 裂项相消法求和 第 (2) 问求出 b n 的通项公式，用裂项相消法求和 【 例 3 】 在数列 中 ， 1 ，当 n 2 时 ， 其前 n 项和 2n 2. ( 1 ) 求 ( 2 ) 设 n2 n 1， 求 的前n 项和 思维启迪 思维升华 解析 解 ( 1) S 2n a n 12 ， a n S n S n 1 ( n 2 ) ， 题型分类 深度剖析 题型三 裂项相消法求和 S 2n ( S n S n 1 ) S n 12 ， 即 2 S n 1 S n S n 1 S n ， 由题意得 S n 1 S n 0 ， 式两边同除以 1 S n ， 得1S n 1S n 1 2 ， 【 例 3 】 在数列 中 ， 1 ，当 n 2 时 ， 其前 n 项和 2n 2. ( 1 ) 求 ( 2 ) 设 n2 n 1， 求 的前n 项和 数列1S 1a 1 1 ， 公差为 2 的等差数列 1S n 1 2( n 1) 2 n 1 ， 题型分类 深度剖析 思维启迪 思维升华 解析 题型三 裂项相消法求和 S n 12 n 1 . 【 例 3 】 在数列 中 ， 1 ，当 n 2 时 ， 其前 n 项和 2n 2. ( 1 ) 求 ( 2 ) 设 n2 n 1， 求 的前n 项和 题型分类 深度剖析 ( 2 ) b n S n2 n 1 1 2 n 1 2 n 1 12 12 n 1 12 n 1 ， 思维启迪 思维升华 解析 题型三 裂项相消法求和 T n b 1 b 2 b n 12 ( 1 13 ) (13 15 ) (12 n 112 n 1) 121 12 n 1 n2 n 1 . 【 例 3 】 在数列 中 ， 1 ，当 n 2 时 ， 其前 n 项和 2n 2. ( 1 ) 求 ( 2 ) 设 n2 n 1， 求 的前n 项和 思维启迪 思维升华 解析 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 题型分类 深度剖析 题型三 裂项相消法求和 跟踪 训练 3 已知数列 a n 的各项均为正数 ， 前 n 项和为 S n ，且 S n a n a n 1 2， n N . ( 1 ) 求证 ： 数列 a n 是等差数列 ； ( 2 ) 设 b n 12 S n， T n b 1 b 2 b n ， 求 T n . 题型分类 深度剖析 ( 1 ) 证明 S n a n a n 1 2 ， n N ， 当 n 1 时， a 1 S 1 a 1 a 1 1 2 ( a n 0 ) ， a 1 1. 当 n 2 时，由 2 S n a 2n a n ，2 S n 1 a 2n 1 a n 1 得 2 a n a 2n a n a 2n 1 a n 1 . 即 ( a n a n 1 )( a n a n 1 1) 0 ， a n a n 1 0 ， a n a n 1 1( n 2) 跟踪 训练 3 已知数列 a n 的各项均为正数 ， 前 n 项和为 S n ，且 S n a n a n 1 2， n N . ( 1 ) 求证 ： 数列 a n 是等差数列 ； ( 2 ) 设 b n 12 S n， T n b 1 b 2 b n ， 求 T n . 题型分类 深度剖析 所以数列 a n 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列 ( 2) 解 由 ( 1) 可得 a n n ， S n n n 1 2 ， b n 12 S n 1n n 1 1n 1n 1 . T n b 1 b 2 b 3 b n 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1 . 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 审题路线图系列 4 四审结构定方案 题型分类 深度剖析 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . S n 12 n 2 S n 最大值为 8 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 审题路线图系列 4 四审结构定方案 S n 是 n 的二次函数 n k 时 ( S n ) m a x S k 8 根据 S n 的结构特征确定 k 值 k 4 ， S n 12 n 2 4 n 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . a n 92 n 化简数列9 2 a n2 n 题型分类 深度剖析 审题路线图系列 4 四审结构定方案 9 2 a n2 n n2 n 1 根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 利 用 a n 、 S n 的关系 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . 2 T n 2 2 32 n 12 n 3 n2 n 2 错位相减 题型分类 深度剖析 审题路线图系列 4 四审结构定方案 T n 2 1 12 12 n 2 n2 n 1 4 n 22 n 1 . 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 1 22 32 2 n 12 n 2 n2 n 1 式两边同乘以 2 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 解 ( 1 ) 当 n k N 时， S n 12 n 2 得最大值， 审题路线图系列 4 四审结构定方案 即 8 S k 12 k 2 k 2 12 k 2 ，故 k 2 16 ， k 4. 当 n 1 时， a 1 S 1 12 4 72 ， 当 n 2 时， a n S n S n 1 92 n . 当 n 1 时，上式也成立，综上， a n 92 n . 3分 6分 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . 题型分类 深度剖析 审题路线图系列 4 四审结构定方案 ( 2 ) 因为 9 2 a n2 n n2 n 1 ， 所以 T n 1 22 32 2 n 12 n 2 n2 n 1 ， 所以 2 T n 2 2 32 n 12 n 3 n2 n 2 ： 2 T n T n 2 1 12 12 n 2 n2 n 1 4 12 n 2 n2 n 1 4 n 22 n 1 故 T n 4 n 22 n 1 . 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 7分 11分 12分 典例 ： (12 分 ) ( 2012 江西 ) 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 其中k N ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 求数列9 2 a 前 n 项和 T n . 题型分类 深度剖析 审 题 路 线 图 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析( 1) 根据数列前 n 项和的结构特征和最值确定 k 和 S n ，求出 a n 后再根据9 2 a n2 n 的结构特征确定利用错位相减法求 T n . 在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； 审题路线图系列 4 四审结构定方案 ( 2) 利用 S n 求 a n 时不要忽视 n 1 的情况；错位相减时不要漏项或算错项数 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1) 转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； (2) 不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 方 法 与 技 巧 思想方法 感悟提高 1 直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 ( 字母 ) 时，应对其公比是否为 1进行讨论 失 误 与 防 范 2 在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号 思想方法 感悟提高 3 在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项 . 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 已知数列 a n ：12，1323，142434， ，110210310 910， ，若 b n 1a n a n 1，那么数列 b n 的前 n 项和 S n 为 ( ) 1B .4 1C.3 1D.5 1专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 b n 1an a n 1 4n n 1 4( 1n 1n 1 ) ， 解析 a n 1 2 3 1 S n 4(1 12 ) ( 12 13 ) ( 1n 1n 1 ) 4( 1 1n 1 ) 4 1 . B 专项基础训练 练出高分 2 . 已知数列 a n 是等差数列，若 a 9 3 a 11 0 ， a 11 0 ， S 20 20 a 1 a 20 2 10( a 10 a 11 ) 2 1 1 1 ( ) A 为递减数列 B 为递增数列 C S2 n 1 为递增数列， S2 n 为递减数列 D S2 n 1 为递减数列， S2 n 为递增数列 练出高分 2 3 4 1 5 专项 能力提升 练出高分 解析 因为 b 1 c 1 ，不妨设 b 1 4 a 13 ， c 1 2 a 13 ； a 2 a 1 ， b 2 23 a 1 a 12 56 a 1 ， c 2 43 a 1 a 12 76 a 1 ， 故 S 1 3 a 12 a 12 a 16 5 a 16 1512 a 21 ； 2 3 4 1 S 2 3 a 12 a 12 2 a 13 a 13 66 a 21 . 显然 S 2 S 1 ； a 3 a 1 ， b 3 76 a 1 a 12 1312 a 1 ， c 3 56 a 1 a 12 1112 a 1 ， S 3 3 a 12 a 12 5 a 112 7 a 112 10524 a 21 ， 显然 S 3 S 2 . 答案 B 5 3 ( 2013 湖南 ) 设 S n 为数列 a n 的前 n 项和 ， S n ( 1)na n 12n ， n N ， 则 ： ( 1) a 3 _ ； ( 2) S 1 S 2 S 1 0 0 _ _ _ _ . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 1 解析 a n S n S n 1 ( 1) n a n 12 n ( 1) n 1 a n 1 12 n 1 ， a n ( 1) n a n ( 1) n 1 a n 1 12 n . 当 n 为偶数时， a n 1 12 n ， 当 n 为奇数时， 2 a n a n 1 12 n ， 当 n 4 时， a 3 12 4 116 . 根据以上 a n 的关系式及递推式可求 5 3 ( 2013 湖南 ) 设 S n 为数列 a n 的前 n 项和 ， S n ( 1)na n 12n ， n N ， 则 ： ( 1) a 3 _ ； ( 2) S 1 S 2 S 1 0 0 _ _ _ _ . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 1 a 1 12 2 ， a 3 12 4 ， a 5 12 6 ， a 7 12 8 ， a 2 12 2 ， a 4 12 4 ， a 6 12 6 ， a 8 12 8 . a 2 a 1 12 ， a 4 a 3 12 3 ， a 6 a 5 12 5 ， ， S 1 S 2 S 100 ( a 2 a 1 ) ( a 4 a 3 ) ( a 1 0 0 a 99 ) 12122 123 121 0 0 12123 1299 12122 121 0 0 13 121 0 0 1 . 116 1312 1 0 0 1 5 专项 能力提升 4 已知数列 a n 的前 n 项和 S n ，满足： S n 2 a n 2 n ( n N ) ( 1) 求数列 a n 的通项 a n ； ( 2) 若数列 b n 满足 b n l ( a n 2) ， T n 为数列 b na n 2 的前 n 项和，求证： T n 12. 练出高分 2 3 4 1 ( 1) 解 当 n N 时， S n 2 a n 2 n ， 两式相减得 a n 2 a n 2 a n 1 2 ，即 a n 2 a n 1 2 ， 则当 n 2 时， S n 1 2 a n 1 2( n 1) ， a n 2 2( a n 1 2) ， a n 2 1 2 2 ， 当 n 1 时， S 1 2 a 1 2 ，则 a 1 2 ， 5 4 已知数列 a n 的前 n 项和 S n ，满足： S n 2 a n 2 n ( n N ) ( 1) 求数列 a n 的通项 a n ； ( 2) 若数列 b n 满足 b n l ( a n 2) ， T n 为数列 b na n 2 的前 n 项和，求证： T n 12. 专项 能力提升 练出高分 a n 2 是以 a 1 2 4 为首项， 2 为公比的等比数列， ( 2) 证明 b n ( a n 2) 2 n 1 n 1 ， a n 2 4 2 n 1 ， a n 2 n 1 2 ； b 2 n 12 n 1 ，则 T n 22 2 32 3 n 12 n 1 ， 2 3 4 1 5 4 已知数列 a n 的前 n 项和 S n ，满足： S n 2 a n 2 n ( n N ) ( 1) 求数列 a n 的通项 a n ； ( 2) 若数列 b n 满足 b n l ( a n 2) ， T n 为数列 b na n 2 的前 n 项和，求证： T n 12. 专项 能力提升 练出高分 12 T n 22 3 32 4 n2 n 1 n 12 n 2 ， 两式相减得12 T n 22 2 12 3 12 4 12 n 1 n 12 n 2 2 3 4 1 5 14 14 1 12 n 1 12n 12 n 2 14 12 12 n 1 n 12 n 2 34 n 32 n 2 ， 4 已知数列 a n 的前 n 项和 S n ，满足： S n 2 a n 2 n ( n N ) ( 1) 求数列 a n 的通项 a n ； ( 2) 若数列 b n 满足 b n l ( a n 2) ， T n 为数列 b na n 2 的前 n 项和，求证： T n
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