【步步高】2015届高考数学总复习 第三章课件 理（打包4套）新人教B版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第三章课件 理（打包4套）新人教B版,步步高,高考,数学,复习,温习,第三,课件,打包,新人
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数的概念及运算 数学 R B（理） 第三章 导数及其应用 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 1 函数 y f ( x ) 在区间 x 0 ， x 0 x 的平均变化率 y x . f x 0 x f x 0 x 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 2 函数 f ( x ) 在点 (1) 定义 函数 y f ( x ) 在点 l ，通常称为 f ( x ) 在点 记作 f ( ，即 x 0f x f x f ( (2) 几何意义 函数 f ( x ) 在点 f ( 的几何意义是曲线 y f ( x ) 在点 的切线的 等于 f ( x 0f x 0 x f x 0 x ( x 0 ， f ( x 0 ) 斜率 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 3 函数 f ( x ) 的导函数 如果 f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内每一点 x 导数都存在，则称f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 可导这样，对开区间 ( a ， b ) 内每个值x ，都对应一个确定的导数 f ( x ) 于是，在区间 ( a ， b )内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y f ( x ) 的导函数，记为 f (x) f ( x )( 或 y x 、 y ) 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 4 基本初等函数的导数公式 y f ( x ) y f ( x ) y c y n N ) y x 0 ， 0 且 Q) y a 0 ， a 1) y a 0 ， a 1 ， x 0) y x y x y c os x y 0 y 1， n 为正整数 y 1， 为有理数 y a y 1x 1 c os x y x 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 5 导数的运算法则 ( 1) f ( x ) g ( x ) ； ( 2) f ( x ) g ( x ) ； ( 3)f x g x ( g ( x ) 0) 6 复合函数的导数 复合函数 y f ( g ( x ) 的导数和函数 y f ( u ) ， u g ( x ) 的导数间的关系为 y x ，即 y 对 x 的导数等于 的导数与 的导数的乘积 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f x g x f x g x g x 2 y u u x y 对 u u 对 x 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 B 2 基础知识 自主学习 D 13 (1) ( 2) ( 3) ( 4 ) (5) ( 6) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型分类 深度剖析 题型一 利用定义求函数的导数 【 例 1 】 利用导数的定义求函数 f ( x ) x x 0 处的导数，并求曲线 f ( x ) x x 0 处的切线与曲线f ( x ) 思维启迪 解析 思维升华 题型分类 深度剖析 题型一 利用定义求函数的导数 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 利用导数的定义求函数 f ( x ) x x 0 处的导数，并求曲线 f ( x ) x x 0 处的切线与曲线f ( x ) 题型分类 深度剖析 题型一 利用定义求函数的导数 f ( x 0 ) 0f x f x 0 x x 00 x 00( 3 曲线 f ( x ) x 的切线方程为 y x 30 3 x 20 ( x x 0 ) ， 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 利用导数的定义求函数 f ( x ) x x 0 处的导数，并求曲线 f ( x ) x x 0 处的切线与曲线f ( x ) 题型分类 深度剖析 题型一 利用定义求函数的导数 即 y 3 x 2 由y x3，y 3 x 2 得 ( x x 0 )2( x 2 x 0 ) 0 ，解得x x 0 ， x 2 x 0 . 若 0 ，则交点坐标为 ( x 0 ， x 30 ) ， ( 2 x 0 ， 8 x 30 ) ；若x 0 0 ，则交点坐标为 (0 , 0 ) 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 利用导数的定义求函数 f ( x ) x x 0 处的导数，并求曲线 f ( x ) x x 0 处的切线与曲线f ( x ) 题型分类 深度剖析 题型一 利用定义求函数的导数 求函数 f ( x ) 的导数步骤： ( 1 ) 求函数值的增量 y f ( x 2 ) f ( x 1 ) ； (2 ) 计算平均变化率 y x f x 2 f x 1 x 2 x 1； (3) 计算导数 f ( x ) x 0 y x . 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 利用导数的定义求函数 f ( x ) x x 0 处的导数，并求曲线 f ( x ) x x 0 处的切线与曲线f ( x ) 跟踪训练 1 若函数 y f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内可导，且 x 0 ( a ，b ) ，则 0f x 0 h f x 0 h ( ) A f ( x 0 ) B 2 f ( x 0 ) C 2 f ( x 0 ) D 0 解析 0f x 0 h f x 0 h h 2 0f x 0 h f x 0 h 2 h 2 f ( x 0 ) 题型分类 深度剖析 B 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 (1) y (e x l n x ) e x l n x e x 1x l n x 1x ) (2 ) y x 3 1 1x 2 ， y 3 x 2 2x 3 . 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 ( 3) y s x 3) 1212 4 x 23) 故设 y 1212u u 4 x 23 ， ( 4) 设 y ln u ， u 2 x 5 ，则 y x y u u x ， 因此 y 12 x 5( 2 x 5) 22 x 5. 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 (1 ) 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 (2 ) 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量； 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) 题型分类 深度剖析 题型二 导数的运算 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列函数的导数： (1 ) y exl n x ； (2 ) y xx1 (3 ) y 2 x 3； (4 ) y l n( 2 x 5) (3 ) 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1 ) y ( x 1 )( x 2 )( x 3) ； (2 ) y s i n 2 co s2 ； (3 ) y l n( 1) 解 析 ( 1 ) 方法一 y ( x 2 3 x 2 )( x 3) x 3 6 x 2 11 x 6 ， y 3 x 2 12 x 1 1 . 题型分类 深度剖析 方法二 y ( x 1 )( x 2 ) ( x 3) ( x 1 )( x 2 )( x 3) ( x 1) ( x 2) ( x 1 )( x 2) ( x 3) ( x 1 )( x 2) ( x 2 x 1 )( x 3) ( x 1 )( x 2) (2 x 3 )( x 3) ( x 1 )( x 2) 3 12 x 1 1 . 题型分类 深度剖析 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1 ) y ( x 1 )( x 2 )( x 3) ； (2 ) y s i n 2 co s2 ； (3 ) y l n( 1) 解析 (2 ) y s i n c o s 12 s i n x ， y ( 12 s i n x ) 12 (s i n x ) 12 co s x . 题型分类 深度剖析 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1 ) y ( x 1 )( x 2 )( x 3) ； (2 ) y s i n 2 co s2 ； (3 ) y l n( 1) 解析 (3) y l n( x 2 1) 1x 2 1 ( x 2 1) 2 1 . 题型分类 深度剖析 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1 ) y ( x 1 )( x 2 )( x 3) ； (2 ) y s i n 2 co s2 ； (3 ) y l n( 1) 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 思维启迪 解析 思维升华 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 (1 ) f ( x ) 3 x 2 8 x 5 ， f ( 2 ) 1 ， 又 f ( 2 ) 2 ， 曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f (2 ) 处的切线方程为 y ( 2) x 2 ， 即 x y 4 0. 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 (2 ) 设切点坐标为 ( x 0 ， x 30 4 x 20 5 x 0 4) ， f ( x 0 ) 3 x 20 8 x 0 5 ， 切线方程为 y ( 2) (3 8 x 0 5 )( x 2) ， 又切线过点 ( x 0 ， 4 5 x 0 4) ， 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 4 5 x 0 2 (3 8 x 0 5 )( x 0 2) ， 整理得 ( x 0 2)2( x 0 1) 0 ，解得 x 0 2 或 x 0 1 ， 经过 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x )的切线方程为 x y 4 0 ，或 y 2 0. 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1 ) 当曲线 y f ( x ) 在点 ( x 0 ，f ( x 0 ) 处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 x x 0 ； 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 题型分类 深度剖析 题型三 导数的几何意义 (2 ) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 y f ( x ) 在点 P ( x0，f ( 处的切线方程是 y f ( f ( x ；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 4 5 x 4. (1 ) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 )处的切线方程； (2 ) 求经过点 A (2 ， 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程 跟踪训练 3 已知抛物线 y c 通过点 P ( 1,1) ，且在点Q (2 ， 1) 处与直线 y x 3 相切，求实数 a 、 b 、 c 的值 题型分类 深度剖析 解 y 2 b ， 抛物线在点 Q (2 ， 1) 处的切线斜率为 k y |x 2 4 a b . 4 a b 1. 又 点 P ( 1,1) 、 Q (2 ， 1) 在抛物线上， a b c 1 ， 4 a 2 b c 1. 联立 解方程组，得a 3 ，b 11 ，c 9. 实数 a 、 b 、 c 的值分别为 3 、 11 、 9. 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析 审 题 路 线 图 C 1 与 C 2 有交点 ( 可设 C 1 与 C 2 的交点为 ( x 0 ， y 0 ) 过交点的两切线互相垂直 ( 切线垂直隐含着斜率间的关系 ) 两切线的斜率互为负倒数 导数的几何意义 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 题型分类 深度剖析 审 题 路 线 图 利用导数求两切线的斜率： k 1 2 x 0 2 ， k 2 2 x 0 a 等价转换 (2 x 0 2 )( 2 x 0 a ) 1 ( 交点 ( x 0 ， y 0 ) 适合解析式 ) 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 题型分类 深度剖析 审 题 路 线 图 y 0 2 x 0 2y 0 b，即 2 ( a 2) x 0 2 b 0 注意隐含条件方程 同解 a b 52 消元 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 题型分类 深度剖析 审 题 路 线 图 a52 a a 542 2516当 a 54时， 大且最大值为2516. 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 题型分类 深度剖析 (1) 对于 C 1 ： y x 2 2 x 2 ，有 y 2 x 2 ， 对于 C 2 ： y x 2 b ，有 y 2 x a ， 设 C 1 与 C 2 的一个交点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 由题意知过交点 ( x 0 ， y 0 ) 的两切线互相垂直 (2 x 0 2)( 2 x 0 a ) 1 ， 即 4 x 20 2( a 2) x 0 2 a 1 0 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 1分 2分 题型分类 深度剖析 又点 ( x 0 ， y 0 ) 在 C 1 与 C 2 上， 故有y 0 2 x 0 2y 0 b 2 ( a 2) x 0 2 b 0 由 消去 x 0 ，可得 a b 52. 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 6分 题型分类 深度剖析 (2 ) 由 ( 1 ) 知： b 52 a ， a52 a a 542 2516. 当 a 54 时， ( 最大值 2516 . 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 9分 12分 题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P ( x 0 ， y 0 ) ，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程 . 审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒 审题路线图系列 1 一审条件挖隐含 典例： ( 1 2 分 ) 设函数 y 2 x 2 的图象为 C 1 ，函数 y b 的图象为 C 2 ，已知过 C 1 与 C 2 的一个交点的两切线互相垂直 (1 ) 求 a ， b 之间的关系； (2 ) 求 最大值 1 f ( x 0 ) 代表函数 f ( x ) 在 x x 0 处的导数值；( f ( x 0 ) 是函数值 f ( x 0 ) 的导数，而函数值 f ( x 0 ) 是一个常量，其导数一定为 0 ，即 ( f ( x 0 ) 0. 方 法与 技 巧 2 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 思想方法 感悟提高 1 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导 失 误 与 防 范 2 求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 3 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 . 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 1 设 f ( x ) x l n x ，若 f ( x 0 ) 2 ，则 x 0 的值为 ( ) A e 2 B e C.l n 22 D l n 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 B 根据题意知 l n x 0 1 2 ，所以 l n x 0 1 ，因此 x 0 e. 解析 由 f ( x ) x x 得 f ( x ) x 1. 专项基础训练 练出高分 2 若函数 f ( x ) c 满足 f ( 1 ) 2 ，则 f ( 1) 等于 ( ) A 1 B 2 C 2 D 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析 f ( x ) 4 2 f ( x ) 为奇函数且 f ( 1 ) 2 ， f ( 1) 2. B 专项基础训练 练出高分 3 若曲线 y l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为 ( ) A 4 x y 3 0 B x 4 y 5 0 C 4 x y 3 0 D x 4 y 3 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 3 解析 切线 l 的斜率 k 4 ，设 y x 4 的切点的坐标为( x 0 ， y 0 ) ，则 k 4 x 30 4 ， x 0 1 ， 切点为 ( 1,1 ) ， A 即 y 1 4( x 1) ，整理得 l 的方程为 4 x y 3 0. 专项基础训练 练出高分 4 曲线 y 1 ,1) 处的切线与 x 轴及直线 x 1 所围成的三角形的面积为 ( ) 3 5 6 7 8 9 10 4 解析 求导得 y 3 x 2 ，所以 y 3 x 2 | x 1 3 ， 所以曲线 y x 3 在点 (1,1) 处的切线方程为 y 1 3( x 1) ， B 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是 (23， 0) ， (1 , 0 ) ， ( 1 ,1) ， 于是三角形的面积为12 (1 23) 1 16，故选 B. 专项基础训练 练出高分 5 已知 f 1 ( x ) s i n x c o s x ， f n 1 ( x ) 是 f n ( x ) 的导函数，即 f 2 ( x ) f 1 ( x ) ， f 3 ( x ) f 2 ( x ) ， ， f n 1 ( x ) f n ( x ) ，n N + ，则 f 2 0 1 5 ( x ) 等于 ( ) A s i n x co s x B s i n x c o s x C s i n x co s x D s i n x co s x 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 解析 f 1 ( x ) s i n x co s x ， f 2 ( x ) f 1 ( x ) c x s x ， f 3 ( x ) f 2 ( x ) si n x co s x ， f 4 ( x ) f 3 ( x ) c os x si n x ， f 5 ( x ) f 4 ( x ) s i n x co s x ， 5 已知 f 1 ( x ) s i n x c o s x ， f n 1 ( x ) 是 f n ( x ) 的导函数，即 f 2 ( x ) f 1 ( x ) ， f 3 ( x ) f 2 ( x ) ， ， f n 1 ( x ) f n ( x ) ，n N + ，则 f 2 0 1 5 ( x ) 等于 ( ) A s i n x co s x B s i n x c o s x C s i n x co s x D s i n x co s x 专项基础训练 练出高分 f n ( x ) 是以 4 为周期的函数， A f 2 0 1 5 ( x ) f 3 ( x ) si n x co s x ，故选 A. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 专项基础训练 练出高分 6 已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x ) ，且满足 f ( x ) 3 x 2 2 x f ( 2 ) ，则 f ( 5 ) _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6 解析 对 f ( x ) 3 x 2 2 ( 2) 求导，得 f ( x ) 6 x 2 f ( 2) 令 x 2 ，得 f ( 2) 1 2. 再令 x 5 ，得 f ( 5 ) 6 5 2 f ( 2) 6. 6 专项基础训练 练出高分 7 已知函数 y f ( x ) 及其导函数 y f ( x ) 的图 象如图所示，则曲线 y f ( x ) 在点 P 处的切 线方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 2 3 4 5 6 8 9 10 7 解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线 y f ( x ) 在点 P 处的切线的斜率 k f ( 2 ) 1 ，又过点 P ( 2 , 0 ) ， 所以切线方程为 x y 2 0. x y 2 0 专项基础训练 练出高分 8 若函数 f ( x ) 12 l n x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 _ _ _ _ _ _ _ 1 2 3 4 5 6 7 9 10 8 解析 f ( x ) 12 x 2 l n x ， f ( x ) x a 1x . f ( x ) 存在垂直于 y 轴的切线， f ( x ) 存在零点， x 1x a 0 ， a x 1x 2. 2 ， ) 专项基础训练 练出高分 9 求下列函数的导数 (1 ) y x ； (2 ) y 1x21 (3 ) y s i n (4 ) y l o i n x ( a 0 且 a 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 解 (1) y nx n 1 l g x x n 1x l n 1 0 x n 1 ( n lg x 1l n 10 ) 专项基础训练 练出高分 9 求下列函数的导数 (1 ) y x ； (2 ) y 1x21 (3 ) y s i n (4 ) y l o i n x ( a 0 且 a 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 ( 2) y (1x ) (2x 2 ) (1x 3 ) ( x 1 ) (2 x 2 ) ( x 3 ) x 2 4 x 3 3 x 4 1x 2 4x 3 3x 4 . 专项基础训练 练出高分 9 求下列函数的导数 (1 ) y x ； (2 ) y 1x21 (3 ) y s i n (4 ) y l o i n x ( a 0 且 a 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 ( 3) y (xx n ) x n x x n s n x n c os x nx n 1 n x c os x n xx n 1. 专项基础训练 练出高分 9 求下列函数的导数 (1 ) y x ； (2 ) y 1x21 (3 ) y s i n (4 ) y l o i n x ( a 0 且 a 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 (4) 令 y a u ， u s i n x ， y 1u l o g a e co s x 1x l og a e l o g a x . 专项基础训练 练出高分 10 已知曲线 y 133. (1 ) 求曲线在点 P ( 2 ,4 ) 处的切线方程； (2 ) 求曲线过点 P ( 2 ,4 ) 的切线方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 (1) P ( 2,4) 在曲线 y 13 x 3 43 上，且 y x 2 ， 在点 P (2, 4) 处的切线的斜率为 y | x 2 4. 曲线在点 P (2, 4) 处的切线方程为 y 4 4( x 2) ， 即 4 x y 4 0. 10 已知曲线 y 133. (1 ) 求曲线在点 P ( 2 ,4 ) 处的切线方程； (2 ) 求曲线过点 P ( 2 ,4 ) 的切线方程 专项基础训练 练出高分 (2 ) 设曲线 y 133与过点 P (2 , 4 ) 的切线相切于点Ax 0 ，1343，则切线的斜率为 y |0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 点 P (2, 4) 在切线上， 4 2 x 20 23 x 30 43 ， 即 x 30 3 x 20 4 0 ， x 30 x 20 4 x 20 4 0 ， x 20 ( x 0 1) 4( x 0 1 )( x 0 1) 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 已知曲线 y 133. (1 ) 求曲线在点 P ( 2 ,4 ) 处的切线方程； (2 ) 求曲线过点 P ( 2 ,4 ) 的切线方程 切线方程为 y 13x 30 43 x x 0 ) ， 即 y x 20 x 23x 30 43. 专项基础训练 练出高分 ( x 0 1 )( x 0 2) 2 0 ，解得 x 0 1 或 x 0 2 ， 故所求的切线方程为 x y 2 0 或 4 x y 4 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 已知曲线 y 133. (1 ) 求曲线在点 P ( 2 ,4 ) 处的切线方程； (2 ) 求曲线过点 P ( 2 ,4 ) 的切线方程 专项 能力提升 练出高分 1 2 3 4 5 1 在函数 y 9 x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 专项 能力提升 练出高分 2 3 5 1 解析 依题意得 ， y 3 9 ， 令 0 y 0 ， b 0. 又 f ( x ) 2 x b ，斜率为正，纵截距为负，故选 A. A 4 3 已知曲线 C ： f ( x ) a ，若过曲线 C 外一点A (1 , 0 ) 引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ 专项 能力提升 练出高分 1 2 5 3 解析 设切点坐标为 ( t ， t 3 a ) 由题意知， f ( x ) 3 x 2 a ， 切线的斜率为 k y | x t 3 t 2 a ， 所以切线方程为 y ( t 3 a ) (3 t 2 a )( x t ) 将点 ( 1 ,0) 代入 式得， ( t 3 a ) (3 t 2 a )( 1 t ) ， 解之得， t 0 或 t 32 . 4 3 已知曲线 C ： f ( x ) a ，若过曲线 C 外一点A (1 , 0 ) 引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ 专项 能力提升 练出高分 分 别将 t 0 和 t 32 代入 式，得 k a 和 k 274 a ， 由题意得它们互为相反数得 a 278 . 278 1 2 5 3 4 专项 能力提升 练出高分 解析 (1) 方程 7 x 4 y 12 0 可化为 y 74 x 3. 当 x 2 时， y 12 . 又 f ( x ) a ， 1 2 3 5 4 设函数 f ( x ) 线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 ) 处的切线方程为 7 x 4 y 12 0. (1 ) 求 f ( x ) 的解析式； (2 ) 曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 4 专项 能力提升 练出高分 于是2 a 2，a 4，解得a 1 ，b 3.故 f ( x ) x 3x. 1 2 3 5 4 设函数 f ( x ) 线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 ) 处的切线方程为 7 x 4 y 12 0. (1 ) 求 f ( x ) 的解析式； (2 ) 曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 4 专项 能力提升 练出高分 (2 ) 设 P ( x 0 ， y 0 ) 为曲线上任一点，由 y 1 3 曲线在点 P ( x 0 ， y 0 ) 处的切线方程为 y y 0 1 3 ( x x 0 ) ， 1 2 3 5 4 设函数 f ( x ) 线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 ) 处的切线方程为 7 x 4 y 12 0. (1 ) 求 f ( x ) 的解析式； (2 ) 曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 4 4 设函数 f ( x ) 线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 ) 处的切线方程为 7 x 4 y 12 0. (1 ) 求 f ( x ) 的解析式； (2 ) 曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 专项 能力提升 练出高分 令 x 0 ，得 y 6x 0 ， 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为0 ， 6x 0 . 1 2 3 5 即 y x 0 3 1 3x 20( x x 0 ) 4 4 设函数 f ( x ) 线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 ) 处的切线方程为 7 x 4 y 12 0. (1 ) 求 f ( x ) 的解析式； (2 ) 曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 专项数与函数的单调性、 极值、最值 数学 R B（理） 第三章 导数及其应用 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 1 函数的单调性 设函数 y f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内可导，如果在 ( a ， b )内， ，则 f ( x ) 在此区间是增函数；如果在( a ， b ) 内， ，则 f ( x ) 在此区间是减函数 f ( x ) 0 f ( x ) f ( x 0 ) y 极小 f ( x 0 ) 极小值点 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 3 求可导函数极值的步骤 ( 1) 求导数 f ( x ) ； ( 2) 求方程 的所有实数根； ( 3) 考察在每个根 左到右，导函数 f ( x ) 的符号如何变化如果 f ( x ) 的符号由正变负，则 f ( 是 ；如果 f ( x ) 的符号由负变正，则 f ( 是 如果在 f ( x ) 0 的根 x 侧， f ( x ) 符号不变，则 f ( f ( x ) 0 极大值 极小值 不是极值 知识回顾 理清教材 要点梳理 基础知识 自主学习 4 函数的最值 ( 1) 在闭区间 a ， b 上连续的函数 f ( x ) 在 a ， b 上必有最大值与最小值 ( 2) 若函 数 f ( x ) 在 a ， b 上单调递增 ，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 f ( x ) 在 a ， b 上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值 ( 3) 求可导函数 f ( x ) 在 a ， b 上的最大值和最小值的步骤如下： 求 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的 ； 将 f ( x ) 的各极值与 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f( a )， f( b ) 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 A B 基础知识 自主学习 C 3 ， ) (1) ( 2) ( 3) ( 4 ) (5) ( 6) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型分类 深度剖析 题型一 利用导数研究函数的单调性 【 例 1 】 已知函数 f ( x ) 1. (1 ) 求 f ( x ) 的单调增区间； (2 ) 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( 2 ,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 已知函数 f ( x ) 1. (1 ) 求 f ( x ) 的单调增区间； (2 ) 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( 2 ,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由 题型分类 深度剖析 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论 思维启迪 解析 思维升华 题型一 利用导数研究函数的单调性 【 例 1 】 已知函数 f ( x ) 1. (1 ) 求 f ( x ) 的单调增区间； (2 ) 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( 2 ,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由 题型分类 深度剖析 f ( x ) a ， (1 ) 若 a 0 ，则 f ( x ) a 0 ， 即 f ( x ) 在 R 上单调递增， 若 a 0 ， e x a 0 ， e x a ，x l n a . 思维启迪 解析 思维升华 题型一 利用导数研究函数的单调性 因此当 a 0 时， f ( x ) 的单调增区间为 R ， 当 a 0 时， f ( x ) 的单调增区间是 l n a ， ) 【 例 1 】 已知函数 f ( x ) 1. (1 ) 求 f ( x ) 的单调增区间； (2 ) 是否存在 a ，使 f ( x ) 在 ( 2 ,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由 题型分类 深度剖析 (2 ) f ( x ) e x a 0 在 ( 2 ,3) 上恒成立 a e x 在 x ( 2 ,3) 上恒成立 思维启迪 解析 思维升华 题型一 利用导数研究函数的单调性 又 21 ，则 f ( x ) 的单调减区间为 _ _ _ _ _ _ 解析 f ( x ) x 2 2 (1 a ) x 4 a ( x 2) ( x 2 a ) ， 题型分类 深度剖析 由 a 1 知，当 x 0 ， 故 f ( x ) 在区间 ( ， 2) 上是增函数； 当 22 a 时， f ( x ) 0 ， 故 f ( x ) 在区间 (2 a ， ) 上是增函数 题型分类 深度剖析 综上，当 a 1 时， f ( x ) 在区间 ( ， 2) 和 (2 a ， ) 上是增函数， 在区间 (2 ,2 a ) 上是减函数 跟踪训练 1 ( 1) 设函数 f ( x ) 13 (1 a ) x 2 4 24 a ，其中常数 a 1 ，则 f ( x ) 的单调减区间为 _ _ _ _ _ _ (2,2a) 题型分类 深度剖析 (2) 若 f ( x ) 12 b l n( x 2) 在 ( 1 ， ) 上是减函数，则 b 的取值范围是 _ _ _ _ _ _ 解析 转化为 f ( x ) x 2 0 在 1 ， ) 上恒成立， 即 b x ( x 2) 在 1 ， ) 上恒成立，令 g ( x ) x ( x 2) ( x 1) 2 1 ， 所以 g ( x ) m 1 ，则 b 的取值范围是 ( ， 1 ( ， 1 题型分类 深度剖析 题型二 利用导数求函数的极值 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 思维启迪 解析 思维升华 题型分类 深度剖析 (1) 通过 f (2 ) 的值确定 a ； 思维启迪 解析 思维升华 题型二 利用导数求函数的极值 (2 ) 解 f ( x ) 0 ，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 题型分类 深度剖析 (1 ) 由已知，得 x 0 ， f ( x ) x ( a 1) y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 ) 处切线的斜率为 1 ， 所以 f (2 ) 1 ，即 2 ( a 1) 1 ， 思维启迪 解析 思维升华 题型二 利用导数求函数的极值 所以 a 0 ，此时 f ( 2) 2 2 0 ， 故所求的切线方程为 y x 2. 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 题型分类 深度剖析 (2 ) f ( x ) x ( a 1) ax a 1 x x 1 x a x. 当 0 0 ， 函数 f ( x ) 单调递增； 思维启迪 解析 思维升华 题型二 利用导数求函数的极值 若 x ( a, 1) ， f ( x ) 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 题型二 利用导数求函数的极值 若 x (1 ， ) ， f ( x ) 0 ，函数 f ( x ) 单调递增 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 此时 x a 是 f ( x ) 的极大值点， x 1 是 f ( x ) 的极小值点， 函数 f ( x ) 的极大值是 f ( a ) 12a l n a ， 极小值是 f ( 1 ) 12. 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 题型二 利用导数求函数的极值 当 a 1 时， f ( x ) x 1 2x 0 ， 所以函数 f ( x ) 在定义域 (0 ， ) 内单调递增， 此时 f ( x ) 没有极值点，故无极值 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 当 a 1 时，若 x (0 , 1 ) ，f ( x ) 0 ，函数 f ( x ) 单调递增； 题型分类 深度剖析 若 x (1 ， a ) ， f ( x ) 0 ，函数 f ( x ) 单调递增 此时 x 1 是 f ( x ) 的极大值点， x a 是 f ( x ) 的极小值点， 函数 f ( x ) 的极大值是 f ( 1 ) 12， 极小值是 f ( a ) 12a ln a . 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 题型分类 深度剖析 综上，当 01 时， f ( x ) 的极大值是 12 ，极小值是12 a l n a . 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 题型分类 深度剖析 (1 ) 导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点 (2 ) 若函数 y f ( x ) 在区间 ( a ，b ) 内有极值，那么 y f ( x ) 在( a ， b ) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 思维启迪 解析 思维升华 题型二 利用导数求函数的极值 【 例 2 】 设 a 0 ，函数 f ( x ) 12( a 1) x a (1 l n x ) (1 ) 求曲线 y f ( x ) 在 (2 ， f ( 2 )处与直线 y x 1 垂直的切线方程； (2 ) 求函数 f ( x ) 的极值 跟踪训练 2 设 f ( x ) 其中 a 为正实数 (1 ) 当 a 43时，求 f ( x ) 的极值点； (2 ) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 解 对 f ( x ) 求导得 f ( x ) e x 1 2 1 2 . 题型分类 深度剖析 (1) 当 a 43 时，若 f ( x ) 0 ，则 4 x 2 8 x 3 0 ， 跟踪训练 2 设 f ( x ) 其中 a 为正实数 (1 ) 当 a 43时，求 f ( x ) 的极值点； (2 ) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 题型分类 深度剖析 解得 x 1 32， x 2 12. 结合 ，可知 x ，121212，323232， f ( x ) 0 0 f ( x ) 极大值 极小值 所以 x 1 32 是极小值点， x 2 12 是极大值点 题型分类 深度剖析 (2 ) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，则 f ( x ) 在 R 上不变号，结合 与条件 a 0 ，知 2 1 0 在 R 上恒成立，即 4 4 a 4 a ( a 1) 0 ，由此并结合 a 0 ，知0 0 ) ， g ( x ) (1 ) 若曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c )处具有公共切线，求 a ， (2 ) 当 a 3 ， b 9 时，若函数 f ( x ) g ( x ) 在区间 k, 2上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围 思维启迪 解析 思维升华 题型分类 深度剖析 (1) 题目条件的转化： f ( 1) g (1 ) 且 f ( 1) g ( 1) ； 思维启迪 解析 思维升华 题型三 利用导数求函数的最值 (2 ) 可以列表观察 h ( x ) 在 ( ， 2 上的变化情况，然后确定 k 的取值范围 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 1( a 0 ) ， g ( x ) (1 ) 若曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c )处具有公共切线，求 a ， (2 ) 当 a 3 ， b 9 时，若函数 f ( x ) g ( x ) 在区间 k, 2上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围 题型分类 深度剖析 (1) f ( x ) 2 g ( x ) 3 x 2 b . 因为曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c ) 处具有公共切线， 思维启迪 解析 思维升华 题型三 利用导数求函数的最值 所以 f (1 ) g ( 1 ) 且 f ( 1 ) g ( 1 ) ，即 a 1 1 b 且 2 a 3 b ， 解得 a 3 ， b 3. 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 1( a 0 ) ， g ( x ) (1 ) 若曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c )处具有公共切线，求 a ， (2 ) 当 a 3 ， b 9 时，若函数 f ( x ) g ( x ) 在区间 k, 2上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围 题型分类 深度剖析 (2) 记 h ( x ) f ( x ) g ( x ) ，当 a 3 ， b 9 时， h ( x ) x 3 3 x 2 9 x 1 ， 所以 h ( x ) 3 x 2 6 x 9. 思维启迪 解析 思维升华 题型三 利用导数求函数的最值 令 h ( x ) 0 ，得 x 1 3 ，x 2 1. 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 1( a 0 ) ， g ( x ) (1 ) 若曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c )处具有公共切线，求 a ， (2 ) 当 a 3 ， b 9 时，若函数 f ( x ) g ( x ) 在区间 k, 2上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 题型三 利用导数求函数的最值 h ( x ) ， h ( x ) 在 ( ， 2 上的变化情况如下表所示： x ( ， 3) 3 ( 3 ,1 ) 1 (1 ,2 ) 2 h ( x ) 0 0 h ( x ) 28 4 3 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) 1( a 0 ) ， g ( x ) (1 ) 若曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c )处具有公共切线，求 a ， (2 ) 当 a 3 ， b 9 时，若函数 f ( x ) g ( x ) 在区间 k, 2上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围 题型分类 深度剖析 由表可知当 k 3 时，函数h ( x ) 在区间 k, 2 上的最大值为 28 ； 当 3 0 ) ， g ( x ) (1 ) 若曲线 y f ( x ) 与曲线 y g ( x ) 在它们的交点 (1 ， c )处具有公共切线，求 a ， (2 ) 当 a 3 ， b 9 时，若函数 f ( x ) g ( x ) 在区间 k, 2上的最大值为 28 ，求 k 的取值范围 题型分类 深度剖析
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