【步步高】2015届高考数学总复习 第五章强化训练+章末检测 理（打包6套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第五章强化训练+章末检测 理（打包6套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第五,强化,训练,检测,打包,北师大
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1 面向量的概念及线性运算 1 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有 大小 又有 方向 的量；向量的大小叫作向量的 长度 (或称 模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 零 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度为 单位 1 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合 ，则称这两个向量平行或共线 0 与 任一向量 平行 或共线 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的 向量 0 的相反向量为 0 2 2 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a b b a. (2)结合律： (a b) c a (b c). 减法 求两个向量差的运算 三角形 法则 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 (1)|a| |a|； (2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向 相同 ；当0 时， a 的方向与 反 ；当 0时， a 0 (a) ()a； ( )a a a； (a b) a b 3 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量 b 与非零向量 a 共线 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向 线段来表示向量 ( ) (2)|a|与 |b|是否相等与 a， b 的方向无关 ( ) (3)已知两向量 a， b，若 |a| 1， |b| 1，则 |a b| 2. ( ) (4)在 ， D 是 中点，则 12( ) ( ) (5)向量 与向量 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (6)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) 2 (2012四川 )设 a、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a| b|b|成立的充分条件是 ( ) A a b B a b C a 2b D a b 且 |a| |b| 答案 C 3 解析 a|a|表示与 a 同向的单位向量， b|b|表示与 b 同向的单位向量，只 要 a 与 b 同向，就有 a|a| b|b|，观察选项易知 C 满足题意 3 已知 O 是 在平面内一点， D 为 的中点，且 2 0，那么 ( ) 2 3 D 2 答案 A 解析 由 2 0 可知， O 是底边 的中线 中点，故 . 4 已知 D 为三角形 中点，点 P 满足 0， ，则实数 的值为 _ 答案 2 解析 如图所示，由 ，且 0，则 P 是以 邻边的平行四边形的第四个顶点，因此 2，则 2. 5 设 a、 b 是两个不共线向量， 2a a b， a 2b， 若 A、 B、 D 三点共线，则实数 p 的值为 _ 答案 1 解析 2a b， 又 A、 B、 D 三点共线， 存在实数 ，使 . 即 2 2p ， p 1. 题型一 平面向量的概念辨析 例 1 给出下列命题： 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b. 4 其中正确命题的序号是 _ 思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键 答案 解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， | |且 ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 平行四边形；反之，若四边形 且 | |，因此， ” 是 “ 四边形 的充要条件 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同；又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c. 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 “ |a| |b|且 a b”不是 “ a b” 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈 (4)非零向量 a与 a|a|的关系： a|a|是 给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线 向量 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a 0(为实数 )，则 必为零 ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中错误命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点 正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小 错误当 a 0 时，不论 为何值， a 0. 5 错误当 0 时， a b，此时， a 与 b 可以是任意 向量 题型二 平面向量的线性运算 例 2 (1)如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 等于 ( ) 13 12 12 23 (2)在 ， c， b，若点 D 满足 2，则 等于 ( ) 13c 23b 13c 23c 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键 答案 (1)D (2)A 解析 (1)在 ，有 . 因为点 E 为 中点，所以 12. 因为点 F 为 一个三等分点，所以 23. 所以 12 23 12 23 12 23，故选 D. (2) 2， 2 2( )， 3 2 ， 23 13 23b 13c. 思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 6 (1)已知 O， A， B 是平面上的三个点，直线 有一点 C，满足 2 0，则 等于 ( ) A 2 B 2 13 D 13 23 (2)设 P 是 在平面内的一点， 2，则 ( ) 0 0 0 0 答案 (1)A (2)B 解析 (1)由 2 0 得 2 2 0， 2 2 . (2)如图，根据向量加法的几何意义有 2 P 是 中点，故 0. 题型三 共线向量定理及应用 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若 a b， 2a 8b， 3(a b)，求证： A、 B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 b 和 a 线 思维启迪 解决点共线或向量共线的 问题，要结合向量共线定理进行 (1)证明 a b， 2a 8b， 3(a b)， 2a 8b 3(a b) 2a 8b 3a 3b 5(a b) 5. 、 共线，又 它们有公共点 B， A、 B、 D 三点共线 (2)解 b 与 a 线， 存在实数 ，使 b (a 即 b a (k )a (k 1)b. a、 b 是不共线的两个非零向量， k k 1 0， 1 0. k 1. 思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 7 (2)向量 a、 1， 2， 使 1a 2b 0成立，若 1a 2b 0，当且仅当 1 2 0时成立，否则向量 a、 (1)在平行四边形 ， 交于点 O， E 是线段 中点，延长线与 于点 F，若 a， b，则 等于 ( ) 12b 13b 14b 23b (2)已知向量 a、 b、 c 中任意两个都不共线，并且 a b 与 c 共线， b c 与 a 共线，那么a b c 等于 ( ) A a B b C c D 0 答案 (1)B (2)D 解析 (1)如图， ， 由题意知， 1 3 13， 12a 12b 13(12a 12b) 23a 13b. (2) a b 与 c 共线， a b 1c. 又 b c 与 a 共线， b c 2a. 由 得： b 1c a. b c 1c a c (1 1)c a 2a， 1 1 02 1 ，即 1 12 1 ， a b c c c 0. 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 典例： (12 分 )如图所示，在 ， 14， 12， 交于点 M，设 a， a 和 b 表示向量 . 思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领， 要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去 (2)既然 能用 a、 我们不妨设出 8 (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解 规范解答 解 设 则 a (m 1)a 12 a 12b. 3 分 又 A、 M、 D 三点共线， 与 共线 存在实数 t，使得 ， 即 (m 1)a t a 12b . 5 分 (m 1)a 12 m 1 消去 t 得， m 1 2n， 即 m 2n 1. 7 分 又 14a m 14 a b 14a 14a b. 又 C、 M、 B 三点共线， 与 共线 10 分 存在实数 得 ， m 14 a 14a b ， m 14 14去 4m n 1. 由 得 m 17， n 37， 17a 37b. 12 分 温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清晰，但解题过程复杂，有一定的难度 (2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解 (3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有 “ 形 ” 的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与 9 技巧如本题易忽视 A、 M、 D 三点共线和 B、 M、 C 三点共线这个几何特征 (4)方程思想是解决本题的关键，要 注意体会 . 方法与技巧 1 向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是 “ 首尾相接，指向终点 ” ；向量减法的三角形法则要素是 “ 起点重合，指向被减向量 ” ；平行四边形法则要素是 “ 起点重合 ” 2 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如 且 共线，则 ，则 A、 B、 C 三点共线 失误与防范 1 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 2 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 下列命题中正确的是 ( ) A a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C 解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C. 10 2已知 a 2b， 5a 6b， 7a 2b，则下列一定共线的三点是 ( ) A A、 B、 C B A、 B、 D C B、 C、 D D A、 C、 D 答案 B 解析 2a 4b 2 A、 B、 D 三点共线 3已知 点 M 满足 0，若存在实数 m 使得 成立，则m 等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 由已知条件得 . 如图，因此延长 D 点，则 D 为 中点延长 E 点，延长 F 点，同理可证 E、 F 分别为 中点，即 M 为 重心 23 13( )，即 3，则 m 3. 4已知点 O 为 接圆的圆心，且 0，则 内角 A 等于 ( ) A 30 B 60 C 90 D 120 答案 B 解析 由 0，知点 O 为 重心， 又 O 为 接圆的圆心， 等边三角形， A 60. 5在 ， 2， 3， 60， 上的高， O 为 中点，若 ，则 等于 ( ) A 1 案 D 解析 13， 2 13，即 12 16. 故 12 16 23. 二、填空题 6设向量 3( 2出下列结论： A， 11 B， C 共线； A， B， D 共线； B， C， D 共线； A， C， D 共线，其中所有正确结论的序号为 _ 答案 解析 42 3 由向量共线的充要条件 b a(a 0)可得 A， C， D 共线，而其他 无解 7在 ， a， b， 3， M 为 中点，则 _.(用 a，b 表示 ) 答案 14a 14b 解析 由 3得 34 34(a b)， a 12b， 所以 34(a b) a 12b 14a 14b. 8在 ，已知 D 是 上一点，若 2， 13 ，则 _. 答案 23 解析 由图知 ， ， 且 2 0. 2 得： 3 2， 13 23， 23. 三、解答题 9已知向量 a 23b 23中 量 c 2、 ，使向量 d a b 与 c 共线？ 解 d (23 (23 (2 2)( 3 3) 要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 d 即 (2 2)( 3 3)29 即 2 2 2k， 3 3 9k， 得 2. 12 故存在这样的实数 、 ，只要 2，就能使 d 与 c 共线 10 如图所示，在 ， D、 F 分别是 中点， 23， a， b. (1)用 a、 b 表示向量 ， ， ， ， ； (2)求证： B， E， F 三点共线 (1)解 延长 G， 使 12， 连接 到 所以 a b， 12 12(a b)， 23 13(a b)， 12 12b， 13(a b) a 13(b 2a) 12b a 12(b 2a) (2)证明 由 (1)可知 23， 因为有公共点 B，所以 B， E， F 三点共线 B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1设 O 在 内部， D 为 中点，且 2 0，则 面积与 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 D 为 中点， 则 12( )， 又 2 0， ， O 为 中点， 又 D 为 点， S 12S 14S S 4. 13 2 O 是平面 上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
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