【步步高】2015届高考数学总复习 第五章强化训练+章末检测 理（打包6套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第五章强化训练+章末检测 理（打包6套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第五,强化,训练,检测,打包,北师大
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1 面向量的概念及线性运算 1 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有 大小 又有 方向 的量；向量的大小叫作向量的 长度 (或称 模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 零 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度为 单位 1 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合 ，则称这两个向量平行或共线 0 与 任一向量 平行 或共线 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的 向量 0 的相反向量为 0 2 2 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a b b a. (2)结合律： (a b) c a (b c). 减法 求两个向量差的运算 三角形 法则 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 (1)|a| |a|； (2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向 相同 ；当0 时， a 的方向与 反 ；当 0时， a 0 (a) ()a； ( )a a a； (a b) a b 3 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量 b 与非零向量 a 共线 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向 线段来表示向量 ( ) (2)|a|与 |b|是否相等与 a， b 的方向无关 ( ) (3)已知两向量 a， b，若 |a| 1， |b| 1，则 |a b| 2. ( ) (4)在 ， D 是 中点，则 12( ) ( ) (5)向量 与向量 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (6)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) 2 (2012四川 )设 a、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a| b|b|成立的充分条件是 ( ) A a b B a b C a 2b D a b 且 |a| |b| 答案 C 3 解析 a|a|表示与 a 同向的单位向量， b|b|表示与 b 同向的单位向量，只 要 a 与 b 同向，就有 a|a| b|b|，观察选项易知 C 满足题意 3 已知 O 是 在平面内一点， D 为 的中点，且 2 0，那么 ( ) 2 3 D 2 答案 A 解析 由 2 0 可知， O 是底边 的中线 中点，故 . 4 已知 D 为三角形 中点，点 P 满足 0， ，则实数 的值为 _ 答案 2 解析 如图所示，由 ，且 0，则 P 是以 邻边的平行四边形的第四个顶点，因此 2，则 2. 5 设 a、 b 是两个不共线向量， 2a a b， a 2b， 若 A、 B、 D 三点共线，则实数 p 的值为 _ 答案 1 解析 2a b， 又 A、 B、 D 三点共线， 存在实数 ，使 . 即 2 2p ， p 1. 题型一 平面向量的概念辨析 例 1 给出下列命题： 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b. 4 其中正确命题的序号是 _ 思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键 答案 解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， | |且 ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 平行四边形；反之，若四边形 且 | |，因此， ” 是 “ 四边形 的充要条件 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同；又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c. 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 “ |a| |b|且 a b”不是 “ a b” 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈 (4)非零向量 a与 a|a|的关系： a|a|是 给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线 向量 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a 0(为实数 )，则 必为零 ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线 其中错误命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点 正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小 错误当 a 0 时，不论 为何值， a 0. 5 错误当 0 时， a b，此时， a 与 b 可以是任意 向量 题型二 平面向量的线性运算 例 2 (1)如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 等于 ( ) 13 12 12 23 (2)在 ， c， b，若点 D 满足 2，则 等于 ( ) 13c 23b 13c 23c 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键 答案 (1)D (2)A 解析 (1)在 ，有 . 因为点 E 为 中点，所以 12. 因为点 F 为 一个三等分点，所以 23. 所以 12 23 12 23 12 23，故选 D. (2) 2， 2 2( )， 3 2 ， 23 13 23b 13c. 思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 6 (1)已知 O， A， B 是平面上的三个点，直线 有一点 C，满足 2 0，则 等于 ( ) A 2 B 2 13 D 13 23 (2)设 P 是 在平面内的一点， 2，则 ( ) 0 0 0 0 答案 (1)A (2)B 解析 (1)由 2 0 得 2 2 0， 2 2 . (2)如图，根据向量加法的几何意义有 2 P 是 中点，故 0. 题型三 共线向量定理及应用 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若 a b， 2a 8b， 3(a b)，求证： A、 B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 b 和 a 线 思维启迪 解决点共线或向量共线的 问题，要结合向量共线定理进行 (1)证明 a b， 2a 8b， 3(a b)， 2a 8b 3(a b) 2a 8b 3a 3b 5(a b) 5. 、 共线，又 它们有公共点 B， A、 B、 D 三点共线 (2)解 b 与 a 线， 存在实数 ，使 b (a 即 b a (k )a (k 1)b. a、 b 是不共线的两个非零向量， k k 1 0， 1 0. k 1. 思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 7 (2)向量 a、 1， 2， 使 1a 2b 0成立，若 1a 2b 0，当且仅当 1 2 0时成立，否则向量 a、 (1)在平行四边形 ， 交于点 O， E 是线段 中点，延长线与 于点 F，若 a， b，则 等于 ( ) 12b 13b 14b 23b (2)已知向量 a、 b、 c 中任意两个都不共线，并且 a b 与 c 共线， b c 与 a 共线，那么a b c 等于 ( ) A a B b C c D 0 答案 (1)B (2)D 解析 (1)如图， ， 由题意知， 1 3 13， 12a 12b 13(12a 12b) 23a 13b. (2) a b 与 c 共线， a b 1c. 又 b c 与 a 共线， b c 2a. 由 得： b 1c a. b c 1c a c (1 1)c a 2a， 1 1 02 1 ，即 1 12 1 ， a b c c c 0. 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 典例： (12 分 )如图所示，在 ， 14， 12， 交于点 M，设 a， a 和 b 表示向量 . 思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领， 要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去 (2)既然 能用 a、 我们不妨设出 8 (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解 规范解答 解 设 则 a (m 1)a 12 a 12b. 3 分 又 A、 M、 D 三点共线， 与 共线 存在实数 t，使得 ， 即 (m 1)a t a 12b . 5 分 (m 1)a 12 m 1 消去 t 得， m 1 2n， 即 m 2n 1. 7 分 又 14a m 14 a b 14a 14a b. 又 C、 M、 B 三点共线， 与 共线 10 分 存在实数 得 ， m 14 a 14a b ， m 14 14去 4m n 1. 由 得 m 17， n 37， 17a 37b. 12 分 温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清晰，但解题过程复杂，有一定的难度 (2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解 (3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有 “ 形 ” 的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与 9 技巧如本题易忽视 A、 M、 D 三点共线和 B、 M、 C 三点共线这个几何特征 (4)方程思想是解决本题的关键，要 注意体会 . 方法与技巧 1 向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是 “ 首尾相接，指向终点 ” ；向量减法的三角形法则要素是 “ 起点重合，指向被减向量 ” ；平行四边形法则要素是 “ 起点重合 ” 2 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如 且 共线，则 ，则 A、 B、 C 三点共线 失误与防范 1 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 2 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 下列命题中正确的是 ( ) A a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C 解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C. 10 2已知 a 2b， 5a 6b， 7a 2b，则下列一定共线的三点是 ( ) A A、 B、 C B A、 B、 D C B、 C、 D D A、 C、 D 答案 B 解析 2a 4b 2 A、 B、 D 三点共线 3已知 点 M 满足 0，若存在实数 m 使得 成立，则m 等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 由已知条件得 . 如图，因此延长 D 点，则 D 为 中点延长 E 点，延长 F 点，同理可证 E、 F 分别为 中点，即 M 为 重心 23 13( )，即 3，则 m 3. 4已知点 O 为 接圆的圆心，且 0，则 内角 A 等于 ( ) A 30 B 60 C 90 D 120 答案 B 解析 由 0，知点 O 为 重心， 又 O 为 接圆的圆心， 等边三角形， A 60. 5在 ， 2， 3， 60， 上的高， O 为 中点，若 ，则 等于 ( ) A 1 案 D 解析 13， 2 13，即 12 16. 故 12 16 23. 二、填空题 6设向量 3( 2出下列结论： A， 11 B， C 共线； A， B， D 共线； B， C， D 共线； A， C， D 共线，其中所有正确结论的序号为 _ 答案 解析 42 3 由向量共线的充要条件 b a(a 0)可得 A， C， D 共线，而其他 无解 7在 ， a， b， 3， M 为 中点，则 _.(用 a，b 表示 ) 答案 14a 14b 解析 由 3得 34 34(a b)， a 12b， 所以 34(a b) a 12b 14a 14b. 8在 ，已知 D 是 上一点，若 2， 13 ，则 _. 答案 23 解析 由图知 ， ， 且 2 0. 2 得： 3 2， 13 23， 23. 三、解答题 9已知向量 a 23b 23中 量 c 2、 ，使向量 d a b 与 c 共线？ 解 d (23 (23 (2 2)( 3 3) 要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 d 即 (2 2)( 3 3)29 即 2 2 2k， 3 3 9k， 得 2. 12 故存在这样的实数 、 ，只要 2，就能使 d 与 c 共线 10 如图所示，在 ， D、 F 分别是 中点， 23， a， b. (1)用 a、 b 表示向量 ， ， ， ， ； (2)求证： B， E， F 三点共线 (1)解 延长 G， 使 12， 连接 到 所以 a b， 12 12(a b)， 23 13(a b)， 12 12b， 13(a b) a 13(b 2a) 12b a 12(b 2a) (2)证明 由 (1)可知 23， 因为有公共点 B，所以 B， E， F 三点共线 B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1设 O 在 内部， D 为 中点，且 2 0，则 面积与 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 D 为 中点， 则 12( )， 又 2 0， ， O 为 中点， 又 D 为 点， S 12S 14S S 4. 13 2 O 是平面 上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： | |， 0， )，则 P 的轨迹一定通过 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 答案 B 解析 作 平分线 | |， | | |( 0， )， |， . P 的轨迹一定通过 内心 3 如图所示，在 ，点 O 是 中点过点 O 的直线分别交直 线 不同的两点 M、 N，若 ， ，则 m n 的值为 _ 答案 2 解析 O 是 中点， 12( ) 又 ， ， . M， O， N 三点共线， 1.则 m n 2. 4设 a， b 是两个不共线的非零 向量，若 a 与 b 起点相同， t R， t 为何值时， a， 13(ab)三向量的终点在一条直线上？ 解 设 a， 13(a b) 若 A， B， C 三点共线，则有 ， ( )， 14 a 13(a b) a 化简整理得， (23 1)a (13 t)b， a 与 b 不共线，由平面向量基本定理得 32且 t 12. 故当 t 12时， a， 13(a b)三向量的终点在一条直线上 5已知 O， A， B 是不共线的三点，且 (m， n R) (1)若 m n 1，求证： A， P， B 三点共线； (2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n 1. 证明 (1)若 m n 1， 则 (1 m) m( )， m( )， 即 ， 与 共线 又 与 有公共点 B，则 A、 P、 B 三点共线， (2)若 A， P， B 三点共线，则存在实数 ，使 ， ( ) 又 . 故有 (n 1) ， 即 (m ) (n 1) 0. O， A， B 不共线， ， 不共线， m 0，n 1 0， m n 1. 1 面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 如果 同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a， 存在唯一 一对实数 1、 2，使 a 12我们把不共线的向量 底 2 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a ( b (则 a b ( a b ( a ( |a| (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A( B(则 ( | . 3 平面向量共线的坐标表示 设 a ( b (其中 b b 0. 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)在 ，向量 ， 的夹角为 ( ) (3)若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2. ( ) (4)平面向 量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 ( ) (5)若 a ( b (则 a ( ) (6)已知向量 a (1 ， 1)， b (12， 1 )，若 a b，则 等于 45. ( ) 2已知点 A(6,2)， B(1,14)，则与 共线的单位向量为 ( ) A (1213， 513)或 ( 1213， 513) 2 B ( 513， 1213) C ( 513， 1213)或 ( 513， 1213) D ( 513， 1213) 答案 C 解析 因为点 A(6,2)， B(1,14)，所以 ( 5,12)， | 13，与 共线的单位向量为 | 113( 5,12) ( 513， 1213) 3已知 A( 3,0)， B(0,2)， | 2 2，且 4，设 ( R)，则 的值为 ( ) A 1 案 D 解析 过 E (图略 ) 由 4，知 2， 所以 ，即 ， 所以 ( 2,0) ( 3,0)，故 23. 4 在 一条对角线， (2,4)， (1,3)，则向量 的坐标为 _ 答案 ( 3， 5) 解析 ， ( 1， 1)， ( 3， 5) 5 在平面直角坐标系中， A、 B、 C 23 13，则 | _. 答案 13 解析 23 13， 13 13 13( )， 3 13， | 13. 题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 在 B 上一点，且 23 13， C 的中点， ，又 ，试求 思维启迪 根据题意可选择 ， 为一组基底，将 ， 线性表示出来，通过 建立关于 而求出 解 23 13， 3 2 ， 即 2 2 ， 2 ， 即 靠近点 A)，如图所示 A， M， 设 (1 x) (x 1)， 而 ， (1). 又 13 ， 由已知 可得， (1) t(13 )， x21 t，解得 t 34. 思维升华 平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的 “ 唯一性 ” 可建立方程组求解 4 如图，在 13， 211，则实数 _ 答案 311 解析 设 | y， | x， 则 14 ， ， y P y4x y， 令 y4x y 211，得 y 83x，代入得 m 311. 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(1， 2)， B(2,1)， C(3,2)， D( 2,3)， (1)求 2 3； (2)设 3， 2，求 及 M、 思维启迪 (1)先计算 、 、 的坐标，然后再运算； (2)根据向量的坐标 相等列方程求点 M， 解 (1) A(1， 2)， B(2,1)， C(3,2)， D( 2,3)， ( 2 1,3 2) ( 3,5)， ( 2 2,3 1) ( 4,2)， (3 2,2 1) (1,1)， 2 3 ( 3,5) 2( 4,2) 3(1,1) ( 3 8 3,5 4 3) ( 14,6) (2) 3， 2， 2 3 2 3， 由 A、 B、 C、 C (3,2) (1， 2) (2,4) 2(1,1) 3(2,4) (4,10) 设 M( N( 又 3， 3( )， 5 ( (3,2) 3(1， 2) (3,2) ( 6， 12) 3， 10， M( 3， 10) 又 2，即 2， ( (3,2) 2(1,1)， 1， 0， N(1,0) 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 已知 A( 2,4)， B(3， 1)， C( 3， 4)设 a， b， c，且 3c， 2b， (1)求 3a b 3c； (2)求满足 a m， n； (3)求 M、 N 的坐标 解 由已知得 a (5， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 3 24) (6， 42) (2) ( 6m n， 3m 8n)， 6m n 5， 3m 8n 5， 解得 m 1，n 1. (3)设 3c， 3c (3,24) ( 3， 4) (0,20) M(0,20)又 2b， 2b (12,6) ( 3， 4) (9,2)， N(9,2) (9， 18) 题型三 向量共线的坐标表示 例 3 (1)已知梯形 中 2个顶点 A(1,2)， B(2,1)， C(4,2)，则点 _ (2)已知向量 a (3,1)， b (1,3)， c (k,7)，若 (a c) b，则 k _. 思维启迪 (1)根据向量共线列式求相关点的坐标； (2)根据向量共线求参数 答案 (1)(2,4) (2)5 6 解析 (1) 在梯形 2 2. 设点 x， y)， 则 (4,2) (x， y) (4 x,2 y)， (2,1) (1,2) (1， 1)， (4 x,2 y) 2(1， 1)，即 (4 x,2 y) (2， 2)， 4 x 22 y 2 ，解得 x 2y 4 ， 故点 2,4) (2)依题意得 a c (3,1) (k,7) (3 k， 6)， 又 (a c) b，故 3 63 ， k 5. 思维升华 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式： 若 a ( b (则 a 0； 若 a b(a 0)，则 b a. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 (1)已知向量 a (1,2)， b (1,0)， c (3,4)若 为实数， (a b) c，则 等 于 ( ) C 1 D 2 (2)已知向量 (3， 4)， (6， 3)， (5 m， 3 m)，若点 A、 B、 实数 _ 答案 (1)B (2)m 12 解析 (1) a (1,2)， b (1,0)， a b (1,2) (1,0) (1 ， 2)， 由于 (a b) c，且 c (3,4)， 4(1 ) 6 0，解得 12. (2)因为 (3， 4)， (6， 3)， (5 m， 3 m)， 所以 (3,1)， ( m 1， m) 由于点 A、 B、 以 与 不共线， 而当 与 共线时，有 3 m 1 1 m，解得 m 12， 7 故当点 A、 B、 m 12. 忽视平行四边形的多样性致误 典例： (12 分 )已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0)， (3,0)， (1， 5)，求第四个顶点的坐标 易错分析 此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形 规范解答 解 如图所示， 设 A( 1,0)， B(3,0)， C(1， 5)， D(x， y) 2 分 若四边形 ，而 (x 1， y)， ( 2， 5) 由 ，得 x 1 2，y 5. x 3，y 5. 3， 5) 5 分 若四边形 2. 而 (4,0)， (x 1， y 5) x 1 4，y 5 0. x 5，y 5. ， 5) 8 分 若四边形 . 而 (x 1， y)， (2,5)， x 1 2，y 5， x 1，y 5. ,5) 11 分 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 ( 3， 5)或 (5， 5)或 (1,5) 12 分 温馨提醒 (1)本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论此外，有的学生不知道 运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口 8 (2)向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解 方法与技巧 1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键 2 平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若 a ( b (则 a a b，这与 0在本质上是没有差异的，只是形式上不同 (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定 失误与防范 1 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况 2 若 a ( b (则 a b 的充要条件不能表示成 为 ，所以应表示为 0. A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 (2012广东 )若向量 (2,3)， (4,7)，则 等于 ( ) A ( 2， 4) B (2,4) C (6,10) D ( 6， 10) 答案 A 解析 由于 (2,3)， (4,7)， 所以 (2,3) ( 4， 7) ( 2， 4) 2 在 2，点 C 的中点，若 (4,3)， (1,5)， 9 则 等于 ( ) A ( 2,7) B ( 6,21) C (2， 7) D (6， 21) 答案 B 解析 3 3(2 ) 6 3 (6,30) (12,9) ( 6,21) 3设向量 a， a| 2 5， b (2,1)，则 “ a (4,2)” 是 “ a b” 成立的 ( ) A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若 a (4,2)，则 |a| 2 5，且 a 因 a b，设 a b (2， )，由 |a| 2 5，知 42 2 20， 2 4， 2， a (4,2)或 a ( 4， 2) 因此 “ a (4,2)” 是 “ a b” 成立的充分不必要条件 4已知 a (1,1)， b (1， 1)， c ( 1,2)，则 c 等于 ( ) A 12a 32b 32b C 32a 12b D 32a 12b 答案 B 解析 设 c a b， ( 1,2) (1,1) (1， 1)， 1 2 ， 12 32， c 12a 32b. 5 如图，在 ，且 2，则 ( ) A x 23， y 13 B x 13， y 23 C x 14， y 34 D x 34， y 14 答案 A 10 解析 由题意知 ，又 2，所以 23 23( ) 23 13，所以 x 23， y 13. 二、填 空题 6 已知 A( 3,0)， B(0， 3)， 30， ，则实数 的值为 _ 答案 1 解析 由题意知 ( 3,0)， (0， 3)，则 ( 3， 3)， 由 30知以 50， 50 3 3，即 33 33， 1. 7 已知向量 a (1,2)， b (x,1)， u a 2b， v 2a b，且 u v，则实数 _ 答案 12 解析 因为 a (1,2)， b (x,1)， u a 2b， v 2a b， 所以 u (1,2) 2(x,1) (2x 1,4)， v 2(1,2) (x,1) (2 x,3)， 又因为 u v，所以 3(2x 1) 4(2 x) 0， 即 10x 5，解得 x 12. 8 ，内角 A， B， a， b， c，若 p (a c， b)， q (b a， c a)，且 p q，则角 C _. 答案 60 解析 因为 p q，则 (a c)(c a) b(b a) 0， 所以 12， 结合余弦定理知， 12， 又 0C180， C 60. 三、解答题 9已知 A(1,1)、 B(3， 1)、 C(a， b) (1)若 A、 B、 a、 (2)若 2，求点 解 (1)由已知得 (2， 2)， (a 1， b 1) 11 A、 B、 ， 2(b 1) 2(a 1) 0，即 a b 2. (2) 2， (a 1， b 1) 2(2， 2)， a 1 4b 1 4 ，解得 a 5b 3 ， 点 5， 3) 10 如图， P， A、 P， G， (1)设 ，将 用 ， ， 表示； (2)设 ， ，证明： 1x 1 (1)解 ( ) (1 ) . (2)证明 一方面，由 (1)，得 (1 ) (1 ) ； 另一方面， 23 23 12( ) 13 13. 而 ， 不共线， 由 ，得 1 x 13，y 1x 3 3，1y 3. 1x 1y 3(定值 ) B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1已知 a， a b， a b， ， R，那么 A、 B、 ( ) A 2 B 1 C 1 D 1 答案 D 解析 A、 B、 存在实数 t，满足 ，即 a b 12 又 a， t ， 1. 2已知 C 边上，且 2， ，则 r ) C 3 D 0 答案 D 解析 ， 12 ， 32 ， 23 23. 又 ， r 23， s 23， r s 0，故选 D. 3已知 A(7,1)、 B(1,4)，直线 y 12，且 2，则实数 a _. 答案 2 解析 设 C(x， y)，则 (x 7， y 1)， (1 x,4 y)， 2， x 7 21 xy 1 24 y ，解得 x 3y 3 . C(3,3)又 y 12 3 12a3 ， a 2. 4 给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 23 点 为圆心的圆弧 运动若 ，其中 x， y R，求 x 解 以 所在的直线为 标系， 如图所示，则 A(1,0)， B( 12， 32 )， 设 ( 0， 23 )， 则 C(， )， 由 ， 13 得 x 12 32 y， 所以 x 33 ， y 2 33 ， 所以 x y 3 2 6)， 又 0， 23 ，所以当 3时， x . 5已知 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 ，试问： (1)P在 第三象限？ (2)四边形 能，求出相应的 不能，请说明理由 解 (1) (1,2)， (3,3)， (1 3t,2 3t) 若点 P在 2 3t 0，解得 t 23； 若点 P在 1 3t 0，解得 t 13； 若点 1 3t0，2 3t0. 解得 t23. (2)若四边形 ， 1 3t 3，2 3t 3. 该方程组无解， 四边形 1 面向量的数量积 1 两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b， (0 180)叫作向量 a 与 2 平面向量的数量积 已知两个向量 a和 b，它们的夹角为 ，我们把 |a|b|叫作 a与 或内积 )，记作 ab |a|b|. 3 平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a|与 b 在 a 方向上的射影 |b| 的乘积或 b 的长度 |b|与 a 在 a|的乘积 4 平面向量数量积的重要性质 (1)ea ae |a|； (2)a， b， a b ab 0； (3)|a| aa； (4) ab|a|b|； (5)|ab|_ _|a|b|. 5 平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ba； (2)(a)b (ab) a( b)； (3)(a b)c ac bc. 6 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a ( b (则 ab 此得到 (1)若 a (x， y)，则 |a|2 a| (2)设两个非零向量 a， b， a ( b (则 a b 0. 2 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)向量在另一个向量 方向上的射影为数量，而不是向量 ( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 ( ) (3) 有一点 O，满足 0，且 ，则 定是等腰三角形 ( ) (4)在四边形 ， 且 0，则四边形 矩形 ( ) (5)两个向量的夹角的范围是 0， 2 ( ) (6)已知 a (， 2)， b (3， 2)，如果 a与 的取值范围是 0. ( ) 2 (2012陕西 )设向量 a (1， )与 b ( 1,2)垂直，则 等于 ( ) A. 22 0 D 1 答案 C 解析 利用向量垂直及倍角公式求解 a (1， )， b ( 1,2) a b， ab 1 20， 12， 21 1 1 0. 3 已知向 量 a， 0，且 |a| 2， |b| 1，则向量 a 2 ) A 150 B 90 C 60 D 30 答案 D 解析 |a 2b|2 4 4 4ab 8 80 12， |a 2b| 2 3， a( a 2b) |a|a 2b| 2 2 3 4 3， 又 a( a 2b) 2ab 4 40 6， 4 3 6， 32 ， 0， 180， 30，故选 D. 3 4 在 ， | 1， | 2，则 的长度为 ( ) A 1 B 3 C 5 D 9 答案 B 解析 |表示在 方向上的单位向量 设 a， b， c，则 | b 1， 同理， | a 2. 由余弦定理可得 b 1，a 2，解方程组得 c 3或 0(舍 )故选 B. 5 已知 a (2,3)， b ( 4,7)，则 a在 _ 答案 655 解析 设 a和 ， |a| |a| ab|a|b| 2 4 3 7 42 72 1365 655 . 题型一 平面向量数量积的运算 例 1 (1)在 ， C 90， 4，则 等于 ( ) A 16 B 8 C 8 D 16 (2)(2012北京 )已知正方形 边长为 1，点 E 是 上的动点，则 的值为_； 的最大值为 _ 思维启迪 (1)C 90，可选取向量 ， 为基底表示向量或者利用数量积的几何意义； (2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义 答案 (1)D (2)1 1 4 解析 (1)方法一 ( )( ) 2 16. 方法二 在 方向上的射影是 |2 16. (2)方法一 以射线 A(0,0)， B(1,0)， C(1,1)， D(0,1)， 设 E(t,0)， t 0,1， 则 (t， 1)， (0， 1)， 所以 (t， 1)(0， 1) 1. 因为 (1,0)，所以 (t， 1)(1,0) t 1， 故 的最大值为 1. 方法二 由图知，无论 在 方向上的射影都是 1， |1 1， 当 E 运动到 B 点时， 在 方向上的射影最大即为 1， ()|11. 思维升华 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条 件 已知点 A， B， C 满足 | 3， | 4， | 5，则 值是 _ 答案 25 解析 方法一 如右图，根据题意可得 且 B 2， 35， 45， 4 5 C) 5 3 A) 20 15 20 45 15 35 5 25. 方法二 易知 0， 将其两边平方可得 2 2 2 2( ) 0， 故 12(2 2 2) 25. 题型二 求向量的夹角与向量的模 例 2 (1)(2012课标全国 )已知向量 a， 5，且 |a| 1， |2a b| 10，则 |b| _. (2)(2013山东 )已知向量 与 的夹角为 120，且 | 3， | P ，且 ，则实数 的值为 _ 思维启迪 利用数量积的定义 ab |a|b|. 答案 (1)3 2 (2) 712 解析 (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解 a， 5， |a| 1， ab |a|b|5 22 |b|， |2a b|2 4 4 22 |b| |b|2 10， |b| 3 2. (2)由 知 0， 即 ( )( ) ( 1) A B 2 2 ( 1) 3 2 12 9 4 0，解得 712.
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