【测控设计】2015-2016学年高中数学课件(全册打包14套)北师大版选修4-5
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【测控设计】2015-2016学年高中数学课件(全册打包14套)北师大版选修4-5,测控,设计,学年,高中数学,课件,打包,14,北师大,选修
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-*- 学归纳法的应用 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 并能利用它证明简单的不等式 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 1 运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式 一方面需要我们充分利用归纳假设提供的 “ 便利 ” , 另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法 . 【做一做 1 - 1 】 设 f ( k ) 是定义在正整数集上的函数 , 且 f ( k ) 满足 : 当“ f ( k ) 总可推出 f ( k+ 1) ( k+ 1)2成立 . ” 那么下列命题总成立的是( ) A . 若 f ( 3 ) 9 成立 , 则当 k 1 时 , 均有 f ( k ) B . 若 f ( 5 ) 25 成立 , 则当 k 42, 对于任意的 k 4, 总有 f ( k ) 答案 : D 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 2 对任何实数 x - 1 和任何正整数 n , 有 (1 +x )n 1 + n x . 【做一做 2 】 设 n N + , 求证 :3n 2 n . 分析 :利用贝努利不等式来证明 . 证明 : 3n= (1 + 2)n,根据贝努利不等式 ,有 (1 + 2)n 1 +n 2 = 1 + 2 n . 上式右边舍去 1, 得 (1 + 2)n 2 n . 3n 2 n 成立 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 纳、猜想、证明的方法 剖析 :这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题 ,命题的成立或不成立都需要预先归纳与探索 ,而归纳与探索多数情况下是从特例入手 ,得到一个结论 ,但这个结论不一定正确 ,因为这是由归纳法得出的 ,因此 ,需要给出一定的逻辑证明 ,所以通过观察、分析、归纳、猜想 ,探索一般规律 ,其关键在于正确地归纳猜想 ,如果归纳不出正确的结论 ,那么数学归纳法的证明也就无法进行了 . 在观察与归纳时 , n 的取值不能太少 ,因为前 n 项的关系可能只是特殊情况 ,不具有一般性 ,因而 ,要从多个特殊事例上探索一般结论 . 2 n = k ” 到 “ n = k + 1 ” 的方法与技巧 剖析 :在用数学归纳法证明不等式的问题中 ,从 “ n = k ” 到 “ n = k + 1 ” 的过渡 ,利用归纳假设是比较困难的一步 ,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样 ,只需拼凑出所需要的结构来 ,而证明不等式的第二步中 ,从 “ n = k ” 到“ n = k + 1 ” ,只用拼凑的方法 ,有时也行不通 ,因为对不等式来说 ,它还涉及 “ 放缩 ” 的问题 ,它可能需要通过 “ 放大 ” 或 “ 缩小 ” 的过程 ,才能利用上归纳假设 ,因此 ,我们可以利用 “ 比较法 ”“ 综合法 ”“ 分析法 ” 等来分析从 “ n = k ” 到 “ n = k + 1 ”的变化 ,从中找到 “ 放缩尺度 ” ,准确地拼凑出所需要的结构 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 用数学归纳法证明不等式 【例 1 】 已知数列 满足 : 2+ ( 1+ 2) 2 1+ 1 = 0 - 1 56( n 2, n N+) . 证明 : ( 1 ) 当 n= 2 时 ,左边 =13+14+15+16=576056,不等式成立 . ( 2 ) 假设当 n = k ( k 2, k N+) 时命题成立 ,即1 + 1+1 + 2+ +13 56,则当n = k + 1 时 ,1( + 1 ) + 1+1( + 1 ) + 2+ +13 +13 + 1+13 + 2+13 ( + 1 )=1 + 1+1 + 2+ +13 + 13 + 1+13 + 2+13 + 3 + 156+ 13 + 1+13 + 2+13 + 3 + 156+ 33 + 3 + 1=56, 所以当 n = k + 1 时 ,不等式也成立 . 由 ( 1 ) ( 2 ) 可知 ,原不等式对一切 n 2, n N+均成立 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 利用贝努利不等式证明不等式 【例 2 】 设 n 为正整数 , 记 1 +1 + 1, n= 1 , 2 , 3 , 11, n= 1 , 2 , 3 , . 由于 + 1=1 +1 + 11 +1 + 1 + 2= 1 +11 +1 + 1 + 1 1 +1 + 1- 1= ( + 1 )( + 1 ) ( + 2 ) + 1 + 1 + 2= 1 + ( + 2 ) ( + 2 ) + 1 + 1 + 2= 1 +1 ( + 2 ) + 1 + 1 + 2, 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 因此 ,根据贝努利不等式 , 有 + 1 1 + ( + 1 ) 1 ( + 2 ) + 1 + 2 1 + + 1 2 + 2 + 1 + 1 + 2= 1 +1 + 1 + 1 + 2= 1 . 所以 a n a n+ 1 对于一切正整数 n 都成立 . 反思 本题在证明的过程中 ,综合运用了求商比较法、放缩法 ,进而通过贝努 利不等式证明不等式成立 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2 】 设 1 +1( n= 1 , 2 , ), 求证 : + 1( + 1 )2= 1 + 1, 即 1 + 1 + 11 +1 + 1 + 1 1 + 1, 故 1 +1 + 1 + 1 1 + 1- = + 1- = + 1= 1 +1, 2 = 48, g (23) = 43- 24= 48,有 f ( 3 ) g (23) . 当 n= 4时 , f ( 4 ) = ( a + b )4- 4 4 6 4 a2+ 6 4 2 a b + 6 4 224, g (24) = 44- 25= 224, 有 f ( 4 ) g (24) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 由此推测当 1 n 2( n N+)时 , f ( n ) =g (2n) .当 n 3( n N+)时 , f ( n ) g (2n) . 下面用数学归纳法证明 . ( 1 ) 当 n= 3 时 ,由上述计算知推测成立 ; ( 2 ) 假设当 n = k ( k 3, k N+) 时 ,推测成立 ,则 f ( k ) g (2k), 即( a + b )k- 4k+ 1, 那么当 n = k + 1时 , f ( k+ 1) = ( a + b )k+ 1- 1- 1= ( a + b ) ( a + b )k- a b ( a + b )( a + b )k- + a 依 题设 a + b 2 = 4, a 2 = 2( + 12 = 2k+ 2, 有 f ( k+ 1) 4 ( a + b )k- + 2k+ 2 4 ( 4k+ 1) + 2k+ 2= 4k+ 1- 2k+ 2=g (2k+ 1), 即 n = k + 1 时 ,推测也成立 , 由 ( 1 ) ( 2 ) 知 , n 3, n N+时 , f ( n ) g (2n) 都成立 . 反思 利用数学归纳法解决探索型不等式问题的思路是 :先通过观察、判断、猜想得出结论 ,然后用数学归纳法证明结论 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 3 】 若不等式1 + 1+1 + 2+1 + 3+ +13 + 124对一切正整数 n 都成立 , 求正整数 a 的最大值 , 并证明你的结论 . 解 :当 n= 1 时 ,11 + 1+11 + 2+13 1 + 124,即262424, 所以 ( 1 ) 当 n= 1 时 ,已证 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 ( 2 ) 假设当 n = k ( k 1, k N+) 时 , 1 + 1+1 + 2+ +13 + 12524, 则当 n = k + 1 时 ,有 1( + 1 ) + 1+1( + 1 ) + 2+ +13 + 1+13 + 2+13 + 3+13 ( + 1 ) + 1= 1 + 1+1 + 2+ +13 + 1+ 13 + 2+13 + 3+ 13 + 4 + 12524+ 13 + 2+13 + 4 + 1 ). 因为13 + 2+13 + 4=6 ( + 1 )9 2+ 18 + 823 ( + 1 ), 所以13 + 2+13 + 423 ( + 1 ) 0, 所以1( + 1 ) + 1+1( + 1 ) + 2+ +13 ( + 1 ) + 12524也成立 . 由 ( 1 ) ( 2 ) 可知 ,对一切 n N+,1 + 1+1 + 2+ +13 + 12524都成立 . 所以 a 的最大值为 25 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 1 用数学归纳法证明 1 +12+13+ +12 - 11) 时 , 第一步即证下述哪个不等式成立 ( ) A . 1 2, f ( 8 ) 52, f ( 1 6 ) 3, f ( 3 2 ) 当 n 2 时 , 有 ( ) A . f (2n - 1) + 12B . f (2n) + 22C . f (2n) 2D . f (2n - 1) 2解析 : f ( 2 ) =32; f ( 4 ) 2, 即 f (22) 2 + 22; f ( 8 ) 52,即 f (23) 3 + 22; f ( 1 6 ) 3, 即f (24) 4 + 22; f ( 3 2 ) 72,即 f (25) 5 + f (2n) + 22( n 2) . 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 3 用数学归纳法证明122+132+142+ +1( + 1 )2121 + 2, 假设 n = k 时 , 不等式成立 , 则当 n = k + 1 时 , 应推证的目标是 ( ) A 32+ +1( + 2 )2121 + 3B 32+ +1( + 1 )2121 + 2C 32+ +12121 + 1D 32+ +1( - 1 )2121解析 :注意不等式两边含变量 “ n ” 的式子 ,因此当 n = k + 1 时 ,应该是含 “ n ” 的式子发生变化 ,所以 n = k + 1 时 ,应为122+132+ +1( + 1 )2+1( + 2 )2121( + 1 ) + 2. 答案 : A 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 4 用数学归纳法证明不等式1 + 1+1 + 2+ +12 12( n 2) 的过程中 , 由n = k 递推到 n = k + 1 时 , 不等式左边应添加的项是 . 解析 : n = k 时 ,左边 =1 + 1+1 + 2+ +1 + , 当 n = k + 1 时 ,左边 =1( + 1 ) + 1+1( + 1 ) + 2+ +1 + +1 + + 1+1 + + 2=1 + 1+1 + 2+ +1 + + 1 + + 1+1 + + 2 + 1,因此应添加12 + 1+12 + 21 + 1. 答案 :12 + 1+12 + 21 + 1识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航
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