【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第1-6讲课件 理（打包6套）新人教A版
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【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第1-6讲课件 理（打包6套）新人教A版,创新,立异,设计,江苏,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,第十四,课件,打包,新人
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第 5讲 数学归纳法 考点梳理 1对于某些与自然数 证明当 后假设当 n k(k N*， k 命题成立，证明当 n _时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2数学归纳法的基本形式：设 P(n)是关于自然数 P(立 (奠基 )，假设 P(k)成立 (k 可以推出 P(k 1)成立 (归纳 )，则 P(n)对一切大于等于 k 1 一个命题趋势 预计在 2014年高考中，数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考查与数列相结合的题目，一般会采取 “归纳 猜想 证明 ”的命题思路，以解答题的形式出现，难度较大，为中高档题 【 助学 微博 】 解析 边数最少的凸 答案 3 考点自测 1 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 12 n ( n 3) 条时，第一步检验第一个值 n 0 等于 _ 2 利用数学归纳法证明不等 式 1 1213 12 n 1f ( n )( n 2 ， n N * ) 的过程，由 n k 到 n k 1 时，左边增加了 _ 项 解析 1 1213 12 k 1 1 1 1213 12 k 112 k12 k 1 12 k 1 1，共增加了 2 k 项 答案 2k 答案 1 a 用数学归纳法证明： “ 1 a a 2 a n 1 1 a n 21 a( a 1) ” 在验证 n 1 时，左端计算所得的项为 _ _ _ _ 4某个命题与自然数 n k(k N*)时命题成立，那么可推得当 n k 1时该命题也成立，现已知 n 5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是 _ n 6时该命题不成立； n 6时该命题成立； n 4时该命题不成立； n 4时该命题成立 解析 法一 由 n k(k N*)成立，可推得当 n k 1时该命题也成立因而若 n 4成立，必有 n 5成立现知 n 5不成立，所以 n 4一定不成立 法二 其逆否命题 “若当 n k 1时该命题不成立，则当 n 为真，故 “n 5时不成立 ”“n 4时不成立 ” 答案 5 用数学归纳法证明不等式1n 11n 2 1n n1324的过程中，由 n k 推导 n k 1 时，不等式的左边增加的式子是 _ 解析 不等式的左边增加的式子是12 k 112 k 21k 11 2 k 1 2 k 2 ，故填1 2 k 1 2 k 2 . 答案 1 2 k 1 2 k 2 考向一 数学归纳法的原理 【例 1 】 ( 2 0 1 0 南通高三二模 ) 设数列 a n 满足 a 1 a ， a n 1 a 2n a 1 ， M a R |n N * ， |a n | 2 ( 1) 当 a ( ， 2) 时，求证： a M ； ( 2) 当 a 0 ，14时，求证： a M ； ( 3) 当 a 14， 时，判断元素 a 与集合 M 的关系，并证明你的结论 证明 ( 1) 当 a 2 ，所以 a M . ( 2) 当 014时， a M ，证明如下： 对于任意 n 1 ， a 14，且 a . 对于任意 n 1 ， a 22 a 14 a14，则 a 14. 所以 a na 14. 当 n 2 14时， na 14 a 2 a a 2 ， 即 2 ，因此 a M . 方法总结 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明 n k 1成立时，必须用 n 数学归纳法证题的过程可以总结为 “两个步骤一个结论 ”用数学归纳法证明等式时其过程也是 “两个步骤一个结论 ” 【 训练 1】 (2011南通调研 )用数学归纳法证明： 1 2 3 2 3 4 n ( n 1) ( n 2) n n 1 n 2 n 3 4 .( n N* ) 证明 ( 1) 当 n 1 时，左边 1 2 3 6 ，右边1 2 3 44 6 左边，所以等式成立 ( 2) 设当 n k ( k N*) 时，等式成立， 即 1 2 3 2 3 4 k ( k 1) ( k 2) k k 1 k 2 k 3 4. 则当 n k 1 时， 左边 1 2 3 2 3 4 k ( k 1) ( k 2) ( k 1 ) ( k 2) ( k 3) k k 1 k 2 k 3 4 ( k 1) ( k 2 ) ( k 3) ( k 1) ( k 2) ( k 3)1 k 1 k 2 k 3 k 4 4 k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 3 4所以 n k 1 时，等式成立 由 ( 1 ) ( 2) 可知，原等式对于任意的 n N*成立 【 例 2】 (2010江苏卷 )已知 (1)求证： 是有理数； (2)求证：对任意正整数 n， n N*) 考向二 数学归纳法的应用 证明 (1) 设 A ， B ， C 的对边为 a ， b ， c ，则 a ，b ， c Q ， (2) 用数学归纳法证明 有理数 当 n 1 时，由 (1) 知 是有理数，从而有 A 1 是有理数 假设当 n k(k 1)时， 当 n k 1时， 由 k 1)A k 1)A ( ()(， 及和归纳假设，知 k 1)A与 k 1) 即当 n k 1时，结论成立 综合可知，对任意正整数 n， 方法总结 数学归纳法适用于证明与正整数有关命题的一种常见方法 常用数学归纳法可以证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与求和等证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其他方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n n k1时成立，主要方法有：放缩法；基本不等式法；作差比较法等 【训练 2 】 (2012 江苏南通一模 ) 已知数列 a n 满足： a 1 1 ， 1 1a n 1( n 2) ， a n 12 求证：1a 11a 2 1a n 4( n 1)23 1. 证明 由题得 1 1 是有 1 1 1 1 1. 要证明1 14( n 1)23 1 ， 只需证明 2 下面使用数学归纳法证明 当 n 1 时， 1 ，120 ， 即 1 高考经典题组训练 1 ( 2 0 0 9 安徽卷 ) 首项为正数的数列 a n 满足 a n 1 14 ( a 2n 3) ，n N . ( 1) 证明 若 a 1 是奇数，假设当 n k 时， a k 2 m 1 是奇数，其中 m 为正整数， 则当 n k 1 时，由递推关系得 a k 1 34 m ( m 1) 1是奇数 根据数学归纳法，对任何 n N ， a n 都是奇数 ( 2) 解 法一 由 4( 1) ( 3) 知， 成立 另一方面，若 03 ，则 32 34 3. 根据数学归纳法，对一切 n N ， 03 3. 综上所述，对一切 n N 都有 0 3 法二 由 a234 4 3 0 ， 于是 0 3. 1 an34 1 34 1 14. ， 134， 所有的 ，因此 1 1同号 根据数学归纳法，对一切 n N ， 1 因此，对一切 n N 都有 1 0 3 2 ( 2009 陕西卷 ) 已知数列 x n 满足 x 1 12 ， x n 1 11 n N * . ( 1 ) 猜想数列 x 2 n 的单调性，并证明你的结论； ( 2 ) 证明： |x n 1 x n |16 25n 1 . ( 1) 解 由 x 1 12及 x n 1 11 x n得 x 2 23， x 4 58， x 6 1321. 由 x 2 x 4 x 6 猜想：数列 x 2 n 是递减数列 下面用数学归纳法证明： 当 n 1 时，已证命题成立 假设当 n k 时命题成立，即 x 2 k x 2 k 2 ，易知 x n 0 ， 那么 x2 k 2 x2 k 411 x2 k 111 x2 k 3x2 k 3 x2 k 1 1 x2 k 1 1 x2 k 3x2 k x2 k 2 1 x2 k 1 x2 k 1 1 x2 k 2 1 x2 k 30 ， 即 k
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