【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第1-6讲课件 理（打包6套）新人教A版
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【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第1-6讲课件 理（打包6套）新人教A版,创新,立异,设计,江苏,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,第十四,课件,打包,新人
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第 1讲 算法的含义及流程图 考点梳理 1算法与流程图 (1)算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是 _和 _的，而且能够在有限步之内完成 (2)设计算法要注意的问题 认真分析问题，找出解决此问题的一般方法 借助有关的变量或参数对算法加以表述 将解决问题的过程划分为若干步骤 用简练的语言将各个步骤表示出来 明确 有效 (3)流程图是由一些 _和 _组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序 . 程序框 名称 功能 终端框 (起止框 ) 表示一个算法 的 _和 _ 输入、输出框 表示一个 算法 _和 _的 信息 处理 (执行 )框 赋值 、 _ 判断框 根据条件决定执行两条路径中的某一条 图框 流程线 起始 结束 输入 输出 计算 (1)顺序结构是由 _组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构 其结构形式为 若干个依次执行的处理步骤 (2)选择结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，也称为分支结构 其结构形式为 (3)循环结构是指在算法中，需要 _的结构 反复执行的处理步骤称为 _循环结构又分为 _和 _循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题常常需要用循环结构来设计算法 其结构形式为 重复执行同一操作 循环体 当型 直到型 一个复习指导 算法初步是必考内容之一，试题难度不大，属基础题，以填空题形式出现，主要考查流程图知识，但往往与其他章节知识结合，常与数列等知识融合在一起 两种循环语句的区别 在当型语句中，是当条件满足时执行循环体，而在直到型语句中是当条件不满足时执行循环体，二者是有区别的，在解决问题时用两种循环语句编写应注意条件的不同 【 助学 微博 】 1阅读如图所示的流程图，若输入的 ，则输出的值为 _ 解析 20，故输出的值为 1. 答案 1 考点自测 2如图所示的是一个算法的流程图，已知 3，输出的结果为 7，则 _ 解析 已知图形是一个顺序结构的框图，表示的算法的功能是求两数a 1 、 a 2 的算术平均数，已知 a 1 3 ，输出结果为 7 ，有a 1 a 22 7 ，解得 a 2 1 1. 答案 11 3 (2012泰州模拟 )如图是一个算法的流程图，则输出 _ 解析 a 8 2； a 3 2； a 2，所以输出 a 答案 (2011湖南卷 )若执行如图所示的框图，输入 1， 2， 4， 8，则输出的数为 _ 解析 解读框图可知，本题的实质是求4 个数 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 的平均数，其平均数为1 2 4 84154. 答案 154 解析 当输入的 时，由于 k 1， p 1，因此 p pk k 1，满足 ，0 x 0 ，2 x x 0，转 果 x0，转 则转 S3 y 2x； S4 y0 ； S5 y2 x； 出 y. 相应的流程图如图所示： 方法总结 利用选择结构解决算法问题时，要引入判断框，要根据题目的要求引入一个或多个判断框而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作也相应地进行变化，故应逐个分析判断框内的条件 【 训练 2】 (1)如图 (1)是某个函数求值的流程图，则满足该程序的函数解析式为 _ (2)(2010山东卷 )执行如图 (2)所示的流程图，若输入 x4，则输出 _ 解析 ( 1) 依题意得当 x 0，即 当 k 5时，满足此条件，此时输出 5. (2)初始值： k 2，执行 “k k 1”得 k 3， a 43 64， b 34 81， a k 4， a 44 256， b 44 256， a k 5， a 45 1 024， b 54 625， a 此时输出 k 5. 答案 (1)5 (2)5 2014年高考，算法初步为必考知识，估计试题难度为中、低档题，一般是以流程图为考查重点，考查对算法思想和流程图的应用 规范解答 24 算法流程图的识别与读取 【 示例 】 (2012山东卷改编 )执行右面的程序框图，如果输入 a 4，那么输出的 _ 审题路线图 (1)这是一个累加求和的当型循环结构 (2)P、 解答示范 n 0， P 0 40 1， Q2 1 3； n 1， P 1 41 5， Q 6 1 7； n 2， P 5 42 21， Q 14 1 15； n 3， PQ.故 . (5分 ) 点评 (1)在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量是用什么字母表示的，再把这两个变量的变化规律弄明白，就能理解这个流程图的功能了，问题也就清楚了 (2)在解决带有循环结构的流程图问题时，循环结构的终止条件是至关重要的，这也是考生非常容易弄错的地方，考生一定要根据问题的情境弄清楚这点 解析 第 1次 s 1， k 1； 第 2次 s 1， k 2，； 第 3次 s 0， k 3； 第 4次 s 3， k 4. 结束 答案 3 高考经典题组训练 1 (2012福建卷 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 _ 2 (2012浙江卷 )若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 _ 解析 第 1 次， T 1 ，第 2 次， T 12，第 3 次， T16，第 4 次， T 124，第 5 次， T 1120， i 6 结束 答案 1120 3 (2012安徽卷改编 )如图所示，程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 _ 解析 x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 答案 4 解析 第 1次， n 1， s 1， a 3， 第 2次， n 2， s 4， a 5， 第 3次， n 3， s 9，输出 s 9. 答案 9 4 (2012湖北卷 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s _. 5 (2010江苏卷 )如图是一个算法的流程图，则输出 _ 解析 执行过程如下表： S 1 1 21 3 3 22 7 7 23 15 15 24 31 31 25 63 n 1 2 3 4 5 1 2 22 24 3133，输出 S 1 2 22 25 63. 答案 63 第 2讲 基本算法语句 考点梳理 1基本算法语句 五种基本算法语句分别是 _、输入语句、输出语句、 _、 _ 2赋值语句、输入语句、输出语句 赋值语句用符号 “” 表示，其一般格式是变量 表达式 (或变量 )，其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“a， b”表示输入的数据依次递给 _，输出语句 “x”表示输出运算结果 x. 赋值语句 条件语句 循环语句 a， b 3 算法的选择结构由 _ 来表达，条件语句有两种，一种是 T h e n E ls e 语句，其格式是A T h e ls n d I 另一种是 T h e n 语句，其格式是 ， 对应的流程图为 . 条件语句 4算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现 (1)当循环的次数已经确定，可用 “句表示 “句的一般形式为 对应的流程图为 说明：上面 “ “间缩进的步骤称为循环体，如果省略 “，那么重复循环时， . (2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构 当型语句的一般格式是 对应的流程图为 直到型语句的一般格式是 对应的流程图为 关于赋值语句，有以下几点需要注意： (1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3 (2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如 Y x，表示用 的原先的取值，不能改写为 x 的值替代变量 (3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个 “” 【 助学 微博 】 1 (课本改编题 )阅读右面伪代码，则输 出的结果为 _ 考点自测 解析 a 5 ， b 3 ， c a b 2 4. 答案 4 2 (2012南通一模 )计算机执行下面的伪代码后，输出的结果是 _ 解析 a 3 1 4， b 4 3 1. 答案 4,1 3当 a 1， b 3时，执行以下伪代码输出的结果为 _ 解析 因为 1 1 00 0 的最小自然数 n 的值 解 本题不等号的左边 1 1213 1可引入和变量 S ，转化为求 S 1 000 的最小自然数 n 的值，故可以用 “ W h il e S 1 000 ” 来控制循环 伪代码如下： 方法总结 通过本题掌握 意与 设计算法时要注意循环体的构成，不能颠倒 【 训练 3】 某算法的伪代码如下： 则输出的结果是 _ 解析 伪代码所示的算法是一个求和运算 答案 50101 结合江苏高考以及实施新课标省份的高考试题来看，对算法的考查深度、难度并不大考查基本上集中在两个方面：一是流程图表示的算法；二是伪代码表示的算法 规范解答 25 算法语句的识别与读取 【 示例 】 (2011江苏卷 )根据如图所示的伪代码，当输入 a， ,3时，最后输出的 _ 审题路线图 (1)本题是一个含条件语句的伪代码 (2)利用流程图和伪代码的关系、算法语句的意义解题 解答示范 由题意知， m为 a， 最后输出的 . (5分 ) 点评 计算机在执行条件语句时，首先对 果条件符合，就执行 ，若条件不符合，对于 ，然后结束这一条件语句对于 直接结束该条件语句 1下列伪代码的运行结果是 _ 高考经典题组训练 答案 8 2 (2012无锡模拟 )当 x 3时，下面算法输出结果是_ 解析 这是一个条件语句， x 3满足 x10，所以 y 2x 6. 答案 6 3下面伪代码运行后输出的结果为 _ 解析 由于 x 5，所以条件不满足，程序执行 y y 3，所以 y 17，从而得 x y 5 ( 17) 22； y x 17 5 22. 答案 22， 22 4为了在运行下面的伪代码后输出 y 16，应输入的整数 _ 解析 当 x0时，由 (x 1)2 16得 x 5；当 x 0时，由 1 16得 15，矛盾 答案 5 5 (2013南京外国语学校调研 )如图所示的伪代码的输出结果为 _ 解析 S 1 1 3 5 7 9 26. 答案 26 揭秘 3年高考 第 3讲 合情推理与演绎推理 揭秘 3年高考 考点梳理 (1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中 _事物都有这种属性的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理 (简称归纳 ) (2)归纳推理的特点 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理； 归纳推理的结论不一定为真； 归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠 1归纳推理 每一个 揭秘 3年高考 (1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有_的其他特征的推理，称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理 (2)类比推理的特点 类比推理是由特殊到特殊的推理； 类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假； 类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠 2类比推理 类似 揭秘 3年高考 (1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 (2)演绎推理的特点 演绎推理是由一般到特殊的推理； 当前提为真时，结论必然为真 (3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为： 大前提 已知的一般原理； 小前提 所研究的特殊情况； 结论 根据一般原理，对特殊情况作出的判断 3演绎推理 揭秘 3年高考 一个命题解读 本部分内容是新课标内容，高考考查的几率非常大对归纳推理与类比推理仍会以填空形式考查，主要是由个别情况归纳出一般结论，或运用类比的形式给出某个问题的结论而演绎推理以解答题出现的可能性较大，因此要求学生具备一定的逻辑推理能力 两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明 (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性 【 助学 微博 】 揭秘 3年高考 1 (2012盐城市第一学期摸底考试 )在平面上，若两个正方形的边长的比为 1 2，则它们的面积比为 1 4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为 1 2，则它们的体积比为 _ 解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得 答案 1 8 考点自测 揭秘 3年高考 (ab)n a b)有 (a b)n )类比，则有 ) ； (a b)2 2a b)2类比，则有 (a b)2 ab 其中结论正确的序号是 _ 答案 2给出下列三个类比结论 揭秘 3年高考 解析 “指数函数 y 是本推理的大前提，它是错误的，因为实数 以导致结论是错误的 答案 大前提错 3 “ 因为指数函数 y 大前提 ) ，而 y 13 小前提 ) ，所以函数 y 13 结论 ) ” ，上面推理的错误在于 _ 错误导致结论错 揭秘 3年高考 4 (2010陕西卷 )观察下列等式： 13 23 32,13 23 33 62,13 23 33 43 102， ，根据上述规律，第五个等式为 _ 解析 13 23 32 (1 2)2,13 23 33 62 (1 2 3)2,13 23 33 43 102 (1 2 3 4)2，则 13 23 (1 2 n )2n n 1 22，故第五个等式即为当 n 6 时， 13 23 33 43 53 636 722 212. 答案 13 23 33 43 53 63 212 揭秘 3年高考 5 (2011盐城调研 )观察下列几个三角恒等式： 0 0 0 0 0 0 1； 00 00 15 ) 15 ) 1； 3 5 5 2 2 3 1. 一般地，若 ， ， 都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 _ 解析 由于三个等式中，角度之间满足 10 20 60 90 ， 5 100 15 90 ， 13 35 42 90 答案 当 90 时， 1 揭秘 3年高考 【 例 1】 观察下列等式： 考向一 归纳推理 可以推测： 13 23 33 _(n N*，用含有 揭秘 3年高考 解析 第二列等式的右端分别是 1 1,3 3,6 6,10 10, 15 15 ， 1,3,6,10,15 ， 第 n 项 第 n 1 项 1( n 2)的差为： 1 n ， 2 ， 3 ， ， ， 1 n ，各式相加得， 2 3 n ，其中 1 ， 1 2 3 n ，即 ann n 1 2， 4n 1)2. 答案 14 n 2 ( n 1) 2 揭秘 3年高考 方法总结 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论 揭秘 3年高考 【训练 1 】 ( 20 1 1 山东 ) 设函数 f ( x ) 2 ( x 0) ，观察： x ) f ( x ) 2， x ) f ( x ) x3 x 4， x ) f ( x ) x7 x 8， x ) f ( x ) x 16， 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n N*且 n 2 时， x ) f ( 1( x ) _. 揭秘 3年高考 解析 由 f ( x ) 2( x 0) 得， x ) f ( x ) 2， x ) f ( x ) x3 x 4x 22 1 x 22， x ) f ( x ) x7 x 8x 23 1 x 23， x ) f ( x ) x 16x 24 1 x 24， 当 n 2 且 n N*时， x ) f ( 1( x ) x 2n 1 x 2n. 答案 x 2 n 1 x 2 n 揭秘 3年高考 考向二 类比推理 【例 2 】 在平面几何里，有 “ 若 三边长分别为 a ， b ，c ，内切圆半径为 r ，则三角形面积为 S 12( a b c ) r ” ，拓展到空间，类比上述结论， “ 若四面体 四个面的面积分别为 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，内切球的半径为 r ，则四面体的体积为 _ ” 解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中12类比为三维图形中的13，得 V 四面体 A B C D 13( S 1 S 2 S 3 S 4 ) r . 答案 V 四面体 A B C D 13 ( S 1 S 2 S 3 S 4 ) r 揭秘 3年高考 方法总结 (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果； (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； (3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能 揭秘 3年高考 【训练 2 】 ( 2012 盐城模拟 ) 记等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，利用倒序求和的方法，可将 S n 表示成首项 a 1 、末项 a n 与项数 n 的一个关系式，即公式 S n n a 1 a n 2；类似地，记等比数列 b n 的前 n 项积为 T n ，且 b n 0( n N*) ，试类比等差数列求和的方法，可将 T n 表示成首项 b 1 、末项 b n 与项数 n 的一个关系式，即公式 T n _. 解析 利用等比数列性质，即若 m n p q ，则 b m b n b p b q ，得 ( b 1 b 2 b n ) ( b n b n 1 b 2 b 1 ) ( b 1 b n )n，即 T n ( b 1 b n ) 答案 ( b 1 b n ) 揭秘 3年高考 考向三 演绎推理 【例 3 】 数列 a n 的前 n 项和记为 S n ，已知 a 1 1 ， a n 1n 2n S n ( n N ) ，证明： ( 1) 数列S 等比数列； ( 2) S n 1 4 a n . 证明 ( 1) a n 1 S n 1 S n ， a n 1 n 2nS n ， ( n 2) S n n ( S n 1 S n ) ，即 nS n 1 2( n 1) S n . S n 1n 1 2S ( 小前提 ) 揭秘 3年高考 故 为公比的等比数列 ( 结论 ) ( 大前提是等比数列的定义，这里省略了 ) ( 2) 由 ( 1) 可知n 1 4n 1( n 2) ， 4( n 1 ) n 1 4n 1 2n 1 4 n 2) ( 小前提 ) 又 3 3 ， 1 3 4 4 ( 小前提 ) 对于任意正整数 n ，都有 4 ( 结论 ) ( 第 ( 2) 问的大前提是第 ( 1 ) 问的结论以及题中的已知条件 ) 揭秘 3年高考 方法总结 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略 揭秘 3年高考 (1)判定函数 f(x)的奇偶性； (2)判定函数 f(x)在 证明 【训练 3 】 已知函数 f ( x ) 2x 12 x 1 ( x R ) ， 解 ( 1) 对 x R 有 x R ，并且 f ( x ) 2 x 12 x 11 2 2x2x 12x 1 f ( x ) ，所以 f ( x ) 是奇函数 ( 2) f ( x ) 在 R 上单调递增，证明如下： 任取 R ，并且 f ( f ( 2 12 12 12 1揭秘 3年高考 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 . 2 2 0 ， 即 2 2 0 ，又 2 1 0,2 1 0. 2 2 2 2 1 2 1 0. f ( f ( f ( x ) 在 R 上为单调递增函数 揭秘 3年高考 考向四 推理的应用 【例 4 】 ( 2012 无锡第一学期期末考试 ) 命题 p ：已知椭圆 1( a b 0) ， F 1 ， F 2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上的一个动点，过点 足为 M ，则 长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题 q ：已知双曲线 1( a 0 ， b 0) ， F 1 ， F 2是双曲线的两个焦点， P 为双曲线上的一个动点，过点 _ 的垂线，垂足为 M ，则 长为定值 揭秘 3年高考 答案 内角平分线 解析 对于椭圆，延长 F 2 M 与 F 1 P 的延长线交于 Q M 为 F 2 Q 的中点，且 从而 F 1 Q 且12F 1 Q 1 Q F 1 P F 1 P 2 a ，所以 a 点 F 2 作 F 1 内角平分线的垂线，垂足为 M ，类比可得 a . 揭秘 3年高考 方法总结 归纳推理可以通过多求几项找规律类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有 “互余 ”关系 揭秘 3年高考 【 训练 4】 (2012常州一中期中 )记 1k 2k 3k k 1,2,3， 时，观察下列等式： 22n ， 326n ， 424 52330n ， 212 可以推测， A B _. 揭秘 3年高考 解析 由题意，得A 16，A 12512 B 1 ，A 16，B 112. A B 1611214. 答案 14 揭秘 3年高考 从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与类比推理 热点突破 35 高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略 揭秘 3年高考 一、归纳推理 【示例】 ( 201 1 陕西卷 ) 观察下列等式： 1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49照此规律，第 n 个等式应为 _ 揭秘 3年高考 审题与转化 第一步 ：等式左端第一个数的特点是该行的行数，且连续 2n 1个数相加，右端为 12,32,52,72. 规范解答 第二步 ：由前 4个等式可知，第 n，且连续 2n 1个整数相加，右边为 (2n1)2，故第 n (n 1) (n 2) (3n 2)(2n 1)2. 反思与回顾 第三步：对有限的条件进行观察、分析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，即猜想，最后检验猜想 揭秘 3年高考 审题与转化 第一步 ：观察等差数列 二、类比推理 【示例】 ( 2009 浙江卷 ) 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，则S 4 ， S 8 S 4 ， S 12 S 8 ， S 16 S 12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 b n 的前 n 项积为 T n ，则 T 4 ， _ _ _ ，_ ，T 16T 12成等比数列 规范解答 第二步： 由等差数列 “ S 4 ， S 8 S 4 ， S 12 S 8 ， S 16 S 12 ” 中的 “ 差 ” ，类比到等比数列中的 “ 商 ” 故可得 T 4 ，T 8T 4 ，T 12T 8 ，T 16T 12 成等比数列 揭秘 3年高考 反思与回顾 第三步 ：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明 揭秘 3年高考 1 (2012江西卷改编 )观察下列各式： a b 1， 3，4， 7， 11， ，则 _. 解析 法一 由 a b 1， 3得 1，代入后三个等式中符合，则 ( 2123. 法二 令 1， 3， 4， 7， 得 2 1，从而 18， 29， 47， 76，123. 答案 123 高考经典题组训练 揭秘 3年高考 2 (2012陕西卷 )观察下列不等式 1 122 32， 1 122 132 53， 1 122 132 142 74， 照此规律，第五个不等式为 _ 揭秘 3年高考 答案 1 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 116 解析 先观察左边，第一个不等式为 2 项相加，第二个不等式为 3 项相加，第三个不等式为 4 项相加，则第五个不等式应为 6 项相加，右边分子为分母的 2 倍减 1 ，分母即为所对应项数，故应填 1 122 132 142 152 162 116. 揭秘 3年高考 3 (2010山东卷改编 )观察 ( 2x， ( 4x) x，由归纳推理可得：若定义在 f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为f(x)的导函数，则 g( x) _. 解析 归纳类比，得偶函数 f(x)的导函数 g(x)是奇函数，从而有 g( x) g(x) 答案 g(x) 揭秘 3年高考 3 7 3 7 ； 5 5 5 5 ； 8 2 8 2 ； 18 ) 8 18 )8 ； 25 ) 5 25 )5 . (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据 (1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 4 (2012福建卷 )某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： 揭秘 3年高考 解 法一 (1) 选择 式，计算如下： co 5 5 1 120 1 1434. (2) 三角恒等式为 0 ) s 30 ) 34. 证明如下： 0 ) s 30 ) s (co s 30 c 0 )2 (0 0 ) 3432 1432 co s 12343434. 揭秘 3年高考 法二 (1) 同法一 (2) 三角恒等式为 0 ) s 30 ) 34. 证明如下： co 0 ) 30 ) 1 21 60 2 2 (0 s 0 ) 1212 1212(co s 60 s 60 ) 32 揭秘 3年高考 121212 1214 34 34 14(1 ) 1 14c o s 2 1414 34. 第 4讲 直接证明与间接证明 考点梳理 (1)综合法定义： 从命题的条件出发，利用 _，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明这样的思维方法称为综合法 ( 2) 框图表示： P Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 3 Q n Q ( 其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示要证的结论 ) 1直接证明 定义、公理、定理及运算法则 (3)分析法定义： 从求证的结论出发，一步一步地探索 _ _，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这样的思维方法称为分析法 ( 4 ) 框图表示： Q P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 得到一个明显成立的条件 . 保证前一个结论成立 的充分条件 (1)反证法定义： 在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法 (2)反证法的证题步骤是： 作出否定结论的假设； 进行推理，导出矛盾； 否定假设，肯定结论 2间接证明 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用 一个考情解决 直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法，在高考题中无处不在主要以不等式、立体几何、解析几何、函数等为载体，考查综合法、分析法及反证法从题型上看，主要以解答题的形式出现，属于中高档题，难度较大 【 助学 微博 】 答案 p q 考点自测 1 已知 p q m 、 n 、 a 、 b 、c 、 d 均为正数 ) ，则 p 、 q 的大小为 _ 解析 q m a n b 2 a b c d p . 2当否定 “自然数 a， b， 时，正确的反设为 _ 解析 a， b， a， b， 反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数 答案 a， b， 3若等差数列 公差 d0，则 _ 解析 等差数列， 27d， 7d， 答案 在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确 例如：在 证： 反证法证明时应分：假设 _和 _两类 答案 (2013南京 29中月考 )对于给定的两个函数 S(x) e x，G(x) e x，则下列运算公式： S(x y) S(x)G(y) G(x)S(y)； S(x y) S(x)G(y)G(x)S(y)； 2S(x y) S(x)G(y) G(x)S(y)； 2S(x y)S(x)G(y) G(x)S(y)其中正确的是 _ 解析 S(x)G(y) G(x)S(y) (e x)(e y) (e x) (e y) y y e x y e x y y y e x y e x y 2(y e x y) 2S(x y)同理可得 2S(x y)S(x)G(y) G(x)S(y) 答案 (1)求 (2)设 1 1， n N*，证明 等比数列 考向一 综合法的应用 【例 1 】 ( 2 0 1 1 天津卷 ) 已知数列 a n 与 b n 满足 b n a n a n 1 b n 1 a n 2 0 ， b n 3 1 n N* ，且 2 ， a 2 4. ( 1) 解 由 1 n N*，可得 1 ， n 为奇数，2 ， n 为偶数 .又 0 ， 当 n 1 时， 2 0 ，由 2 ， 4 ，可得 3 ； 当 n 2 时， 2 0 ，可得 5 ； 当 n 3 时， 2 0 ，可得 4. ( 2) 证明 对任意 n N*， a2 n1 a2 n 2 a2 n1 0 ， 2 a2 n a2 n1 a2 n2 0 ， a2 n1 a2 n2 2 a2 n3 0 ， ，得 a2 n a2 n3， 将 代入 ，可得 a 2 n 1 a 2 n 3 ( a 2 n 1 a 2 n 1 ) ，即 c n 1 c n ( n N*) 又 c 1 a 1 a 3 1 ，故 c n 0 ，因此c n 1c n 1. 所以 c n 是等比数列 方法总结 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性 【 训练 1】 设 x， y， 直线不在平面内，下列条件中能保证 “若 x z，且 y z，则 x y”为真命题的是 _(填写所有正确条件的代号 ) y， x， y， x， x， x， y， 解析 中 x 平面 z，平面 y 平面 z， x 平面 y或 x平面 y. 又 x平面 y， x 中若 x， y， 不成立 x z， y z， x， x z x， z y， x， x y，成立 x， y， x， 面、相交，故不成立 答案 【 例 2】 (2011湖北卷 )已知数列 前 n，且满足：a(a0)， 1 n N*， r R， r 1， r0) (1)求数列 通项公式； (2)若存在 k N*，使得 1， 2成等差数列，试判断：对于任意的 m N*，且 m 2， 1， 2是否成等差数列，并证明你的结论 考向二 分析法的应用 解 ( 1) 当 n 2 时，由 a n S n S n 1 1ra n 1 1ra n ， 得 (1 r ) a n a n 1 . 因为 1 r 0 ， r 0 ，所以a n 1a n r 1 ，所以 ， 成等比数列， 即 n 2 时， r ( r 1)n 2a . 所以 a ， n 1 ，r r 1 n 2a ， n 2.( 2) 对于任意的 m N*，且 m 2 ， ， 成等差数列证明如下： 当 r 0 ， r 1 时， ， . 若存在 k N*，使得 ， 成等差数列，则 2 2 2 2 2 . 由 (1) 知， a 2 ， a 3 ， ， a n ， 的公比 r 1 2 ，于是对于任意的 m N*，且 m 2 ， a m 1 2 a m ，从而 a m 2 4 a m ， a m 1 a m 2 2 a m ，即 a m 1 ， a m ， a m 2 成等差数列 综上，对于任意的 m N*，且 m 2 ， a m 1 ， a m ， a m 2 成等差数列 方法总结 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 【 训练 2】 (2012盐城二模 )对于给定的数列 如果存在实常数 p、 q，使得 1 n N*都成立，我们称数列 “优美数列 ” (1)若 2n， 32n， n N*，数列 否为 “优美数列 ”？若是，指出它对应的实常数 p、 q，若不是，请说明理由； (2)已知数列 足 2， 1 32n(n N*)若数列 “优美数列 ”，求数列 通项公式 解 (1) 2n，则有 1 2， n N*. 数列 “优美数列 ”，对应的 p、 、 2； 32n，则有 1 2n N*. 数列 “优美数列 ”，对应的 p、 、 0. (2) 数列 “优美数列 ”， 存在实常数 p、 q， 使得 1 n N*都成立， 且有 2 1 n N*都成立， 因此 (1 2) p(1) 2n N*都成立， 而 1 32n(n N*)， 且 1 2 32n 1(n N*)， 则有 32n 1 322n N*都成立， 即 32n(2 p) 2n N*都成立， p 2 0，即 p 2， q 1 2 又 2， 2n(n N*) (1)求数列 通项公式； (2)证明：数列 的任意三项不可能成等差数列 考向三 反证法的应用 【例 3 】 ( 20 10 湖北卷 ) 已知数列 a n 满足 a 1 12，3 1 a n 1 1 a n2 1 a n 1 a n 1， a n a n 1 0 ， 1只可能有 2 214 23s 114 23r 114 23t 1， 两边同乘 3t 121 r，化简得 3t r 2t r 2 2s s. 由于 r 0 ，曲线 y f ( x ) 在点 P (0 ， f ( 0) ) 处的切线方程为 y 1. ( 1) 解 由 f ( x ) 13x3 c ，得 f ( 0) c ， f ( x ) b ， f ( 0 ) b . 又由曲线 y f ( x ) 在点 P (0 ， f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y 1 ，得 f ( 0) 1 ， f ( 0) 0 ，所以 b 0 ， c 1. ( 2) 证明 f ( x ) 13x31 ， f ( x ) 由于点 ( t， f ( t ) 处的切线 y f ( t ) f ( t )( x t ) 经过点 ( 0,2) ，所以 2 f ( t ) f ( t )( t ) ，化简得 23t31 0 ，即 t 满足的方程为23t31 0. 下面用反证法证明： 假设 f ( f ( ，则由题意，得 231 0 ，231 0 ，由 ，得 a ，由 ，得 4 因为 ( a x144 故由 ，得 x1时 x2与 所以 f ( f ( 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行 规范解答 26 怎样用反证法证明问题 【 示例 】 (2011安徽卷 )设直线 y 1， y 1，其中实数 2 0. (1)证明 (2)证明 1上 审题路线图 第 (1)问采用反证法，第 (2)问解 坐标，代入椭圆方程验证 解答示范 证明： (1)反证法假设 (2分 ) 则 (4分 ) 代入 2 0，得 k 2 0. (6分 ) 此与 而 k1 (7分 ) ( 2) 由方程组y 1 ，y 1 ，解得交点 P 的坐标 ( x ， y ) 为x 2
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