【创新设计】2013-2014学年高中数学课件（打包13套） 新人教B版必修2
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【创新设计】2013-2014学年高中数学课件（打包13套） 新人教B版必修2,创新,立异,设计,学年,高中数学,课件,打包,13,新人,必修
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线方程的几种形式 1 直线的点斜式方程和两点式方程 【课标要求】 1 掌握并能熟练应用直线的点斜式、斜截式、两点式方程及使用条件 2 理解直线的截距式方程及使用条件 3 能根据题目条件不同，选用不同的方程形式求解方程 【核心扫描】 1 了解直线方程的点斜式的推导过程 ( 难点 ) 2 掌握直线方程的点斜式和两点式并会应用 ( 重点 ) 3 掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念 ( 重点、易错点 ) 自学导引 1 直线方程的几种形式 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点 P ( 和斜率 k 斜率存在 斜截式 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b 斜率存在 y y 0 k ( x x 0 ) y b 两点式 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ，y 2 ) 其中 x 1 x 2 ，y 1 y 2 y y 1 y 2 y 1 x x 1x 2 x 1y 1 y 2 且 x 1 x 2 截 距 式 在 x 、 y 轴上的截距a 、 b 且 0 xa1 0 想一想： 平面直角坐标系下 ， 任何直线都有点斜式方程吗 ？ 提示 平面直角坐标系下 ， 并不是所有的直线都存在点斜式方程 当直线与 没有斜率 )， 不能用点斜式方程来表示 2 直线的截距 如果直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0 ， b ) ，代入直线点斜式方程化简得 ，则称 b 为直线 l 在 y 轴上的 y 想一想： 截距和距离有什么区别？ 提示 截距可取一切实数，即可为正数、零、负数；而距离是非负实数 名师点睛 1 直线的点斜式方程的三个注意点 方程 y k ( x 由直线上一定点及其斜率确定，把这个方程叫做 直线的点斜式方程，简称点斜式 ( 1) 方程 y k ( x 与方程 k y 者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于 x 此表示的直线不包括 ，并不是一条完整的直线 ( 2) 由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的即点斜式不能表示与 x 轴垂直的直线；过点 且垂直于 x 轴的直线可以表示为 x ( 3) 点斜式方程可以表示平行于 x 轴的直线过点 且平行于 x 轴的直线方程为 y 特别地， x 轴的方程为 y 0. 2 直线的斜截式方程的三个注意点 如果直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0 ， b ) ，代入直线的点斜式方程，可得 y b k ( x 0) ，即 y b . 我们把直线 l 与y 轴的交点 (0 ， b ) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距 方程 y b 由直线 l 的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以该方程 y b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式 ( 1) 直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在 ( 2) 直线 l 与 y 轴的交点 (0 ， b ) 的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距，截距不是距离，可正可负也可以为 0. ( 3) 斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为 0 时，y b 即为一次函数；当斜率为 0 时， y b 不是一次函数；一次函数 y b ( k 0) 必是一条直线的斜截式方程 3 对直线的两点式方程的理解 ( 1) 方程也可写成y y2x 方程与两点式方程两者形式有异但实质相同； ( 2) 当直线斜率不存在 ( 或斜率为零 ( 时，不能用两点式表示； ( 3) 如果将直线两点式转化为： ( y ( ( x ，此时只要直线上已知两点不重合，都可以用它表示出来 ( 即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线 ) 4 对直线的截距式方程的理解 ( 1) 截距式方程xa1 应用的前提是 a 0 且 b 0 ，即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程； ( 2) 截距式方程的特点有两个：一是中间必须用 “ ” 号连接，二是等号右边为 “ 1” ； ( 3) 截距式方程是两点式的一种特殊情况 ( 两个点是直线与坐标轴的交点 ) ，在求直线方程时合理地选择形式，会加快解题速度 题型一 直线的点斜式和斜截式方程 【例 1 】 根据下列条件写出直线的点斜式 ( 或斜截式 ) 方程 ( 1) 经过点 (4 ， 2) ，斜率为 3 ； ( 2) 经过点 ( 3,1) ，倾斜角为 135 ； ( 3) 斜率为32，与 y 轴交点的纵坐标为 5 ； ( 4) 经过点 ( 3 ， 2) ，倾斜角等于直线 y 3 x 1 的倾斜角的一半 思路探索 直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件 ， (1)可直接写出点斜式方程 ， (2)中根据倾斜角可求出斜率 ，再写出点斜式方程 ， (3)可直接写出斜截式方程 ， (4)先用已知求出倾斜角 ， 再写出点斜式方程 解 ( 1) 由直线的点斜式方程可得 y 2 3( x 4) ( 2) 设直线的倾斜角为 ， 135 ， k ta n ta n 135 1 ， 所求直线的点斜式方程为 y 1 ( x 3) ( 3) 由题意可得，直线的斜截式方程为 y 32x 5. ( 4) 直线 y 3 x 1 的斜率为 3 ，即 k ta n 3 ，所以倾斜角 60 . 故所求直线的倾斜角为 30 ，所求直线的方程为 y 2 ta n 30 ( x 3 ) ，即 y 2 33( x 3 ) 规律方法 求直线的点斜式方程时，首先应确定直线的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程公式即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式 【变式 1 】 ( 1) 求经过点 ( 2 ， 2) ，倾斜角是 60 的直线方程 ( 2) 求经过点 ( 10, 3) 且平行于 x 轴的直线方程 ( 3) 求经过点 ( 3 ， 2) ，倾斜角是 120 的直线方程 ( 4) 倾斜角是 45 ，在 y 轴上的截距是 2 的直线方程 解 ( 1) 因为直线的倾斜角 60 ，由 k ta n 得 k ta n 60 3 ，所以所求直线的方程为 y 2 3 ( x 2 ) ，即 3 x y 6 2 0. ( 2) 由于直线与 x 轴平行，得直线的倾斜角 0 . k 0 ，直线的方程为 y 3. ( 3) 由 k ta n ta n 120 3 ，所求直线的方 程为 y 2 3 ( x 3) ，即 3 x y 2 3 3 0. ( 4) 由 k ta n ta n 45 1 ， 得直线的斜截式方程为 y x 2. 题型二 直线的两点式和截距式方程 【例 2 】 三角形的顶点是 A ( 5, 0) ， B (3 ， 3) ， C ( 0, 2) ，求这个三角形三边所在直线的方程 思路探索 题目中所给条件都是点，可利用直线方程的两点式写出直线方程，又 A ， C 分别是 x 轴和 y 轴上的点，过 A ， C 的直线方程可写成截距式的形式 解 ( 1) 直线 方程由两点式可得y 0 3 0x 5 3 5 ， 化简得： 3 x 8 y 15 0 ， 这就是直线 方程 ( 2) 直线 方程由两点式可得y 3 2 3 x 30 3， 化简得： 5 x 3 y 6 0 ，这就是直线 方程 ( 3) 因为直线 x 轴、 y 轴上的截距分别是 5,2 ，由直线方程的截距式得直线 方程为x 51 ， 即 2 x 5 y 10 0. 规律方法 求直线方程时，要根据题目 的条件，选择直线方程的不同形式，也可以先求出直线的斜率，利用点斜式求解，也可以利用直线方程的斜截式求解，若已知直线在 x ， y 轴上的截距，用截距式方程最为方便 【 变式 2】 已知 (2， 1)， B(2,2)，C(4,1)， 求三角形三条边所在的直线方程 解 A (2 ， 1) ， B ( 2,2) ， A 、 B 两点横坐标相同， 直线 x 轴垂直，故其方程为 x 2. A (2 ， 1) ， C ( 4,1) ， 由直线方程的两点式可得直线 方程为 y 1 1 1x 42 4， 即 x y 3 0. B ( 2, 2) ， C ( 4, 1) ， 由直线方程的两点式可得直线 方程为y 12 1x 42 4， 即 x 2 y 6 0. 题型三 直线方程的综合应用 【例 3 】 直线 l 过定点 A ( 2, 3) ，且与两坐标轴围成三角形的面积为 4 ，求直线 l 的方程 审题指导 规范解答 显然， l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 y 3 k ( x 2) ， (3 分 ) 令 x 0 ，得 y 2 k 3 ；令 y 0 ，得 x 3k 2 ， (6 分 ) 由题意得12|2 k 3 | 3k 2 4 ， 解得 12， 92. (9 分 ) 故所求直线方程为 y 3 12( x 2) ， 或 y 3 92( x 2) 即 x 2 y 4 0 ，或 9 x 2 y 12 0. ( 12 分 ) 【 题后反思 】 (1)用待定系数法求直线方程的步骤： 设方程； 定参数； 写答案 (2)设直线方程的点斜式时 ， 要注意点斜式的适用条件 【变式 3 】 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3 ，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： ( 1) 过定点 A ( 3,4 ) ； ( 2) 斜率为16. 解 ( 1) 设直线 l 的方程是 y k ( x 3) 4 ，它在 x 轴， y 轴上的截距分别是4k 3,3 k 4 ，由已知，得 (3 k 4)4k 3 6 ， 解得 k 1 23或 k 2 83. 故直线 l 的方程为 2 x 3 y 6 0 或 8 x 3 y 12 0. ( 2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，则直线 l 的方程是 y 16x b ，它在 x 轴上的截距是 6 b ， 由已知，得 | 6 b b | 6 ， b 1. 直线 l 的方程为 x 6 y 6 0 或 x 6 y 6 0. 方法技巧 数形结合思想在直线方程中的应用 数形结合的数学思想，包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面在本节中主要借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，达到解决问题的效果 【示例】 直线 l 1 过点 P ( 1,2) ，斜率为33 ，把 l 1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30 角得直线 l 2 ，求直线 l 1 和 l 2 的方程 思路分析 l 1 的方程可以由点斜式直接写出， l 2 经过点 P ，因此，关键是求出 k 2 ，数形结合，找出 l 2 的倾斜角是关键 解 直线 y 2 33( x 1) 即
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