【创新设计】2013-2014学年高中数学课件（打包13套） 新人教B版必修2
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【创新设计】2013-2014学年高中数学课件（打包13套） 新人教B版必修2,创新,立异,设计,学年,高中数学,课件,打包,13,新人,必修
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的方程 2 的标准方程 【课标要求】 1 会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点 2 会根据已知条件求圆的标准方程 3 能准确判断点与圆的位置关系 【核心扫描】 1 由已知条件求圆的标准方程 ( 重点 ) 2 灵活应用圆的几何性质 ( 如弦的中垂线过圆心 ) 确定圆心的位置和半径大小 ( 难点 ) 3 准确判断点与圆的位置关系 ( 易混点 ) 自学导引 1 圆的定义及圆的标准方程 ( 1) 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 定点 圆的圆心 ；定长 圆的半径 ( 2) 圆的标准方程 设圆的圆心是 C ( a ， b ) ，半径为 r ，则圆的标准方程是 ，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为 r ，则圆的标准方程是 . ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 x 2 y 2 r 2 想一想： 方程 (x a)2 (y b)2 r2(a， b， r R)表示一个圆吗 ？ 为什么 ？ 提示 未必表示圆，当 r 0 时，表示圆心为 ( a ， b ) ，半径为 | r |的圆；当 r 0 时，表示一个点 ( a ， b ) 2 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： ( 1) 将所 给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较： 若 | r ，则点 M 在 ； 若 | r ，则点 M 在 ； 若 | r ，则点 M 在 圆上 圆外 圆内 ( 2) 可利用圆 C 的标准方程 ( x a )2 ( y b )2 点 M ( m ， n ) 在 ( m a )2 ( n b )2 点 M ( m ， n ) 在 ( m a )2 ( n b )2 点 M ( m ， n ) 在 ( m a )2 ( n b )2 圆 圆 圆 试一试： 若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？ 提示 不是，因为从几何意义上讲圆指的是 “ 圆圈 ” ，圆上的点并不含圆心从点与圆 的位置关系看，圆心应该在圆内 名师点睛 1 确定圆的方程的条件 圆的标准方程 ( x a )2 ( y b )2 三个参数 a 、 b 、 r ，只要求出 a 、 b 、 r ，这时圆的方程就确定了因此确定圆的方程，需要三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定量条件 2 求圆的标准方程 确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法 ( 1) 几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程常用的几何性质有：圆心与切点的连线垂直于切线；圆心到切点 的距离等于圆的半径；圆的弦垂直平分线过圆心；两条弦的垂直平分线的交点为圆心等 (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程 ， 解方程组以得到圆的标准方程中三个参数 ， 从而确定圆的标准方程 它是求圆的方程最常用的方法 ， 一般步骤是：先设方程 ， 再列式 ， 后求解 (3)几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的形式 圆心在原点 r2(r 0) 过原点 (x a)2 (y b)2 b2() 圆心在 (x a)2 r2(r 0) 圆心在 (y b)2 r2(r 0) 圆心在 (x a)2 a2(a 0) 圆心在 (y b)2 b2(b 0) 与 (x a)2 (y b)2 b2(b 0) 与 (x a)2 (y b)2 a2(a 0) 题型一 求圆的标准方程 【例 1 】 求圆心在直线 2 x y 3 0 上，且过点 ( 5, 2) ，和点(3 ， 2) 的圆的方程 思路探索 利用圆的标准方程的特点，只须找到该圆的圆心和半径即可，可以利用待定系数 法，也可利用圆的性质求出圆心坐标和半径，从而写出该圆的方程 解 法一 设圆的方程为 ( x a )2 ( y b )2 则2 a b 3 0 ， 5 a 2 2 b 2 3 a 2 2 b 2 得a 2 ，b 1 ，r 10 x 2)2 ( y 1)2 10. 法二 因为圆过 A ( 5,2) ， B (3 ， 2) 两点，所以圆心一定在线段 A B 的垂直平分线上，线段 垂直平分线方程为 y 12( x 4) ， 设所求圆的圆心坐标为 C ( a ， b ) ，则有 2 a b 3 0 ，b 12 a 4 ，解得a 2 ，b ( 2,1) ， r | 5 2 2 2 1 2 10 ， 所求圆的方程为 ( x 2)2 ( y 1)2 10. 规律方法 (1)确定圆的方程需要三个独立条件 “ 选标准 ， 定参数 ” 是解题的基本方法 ， 其中 ， 选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式 ， 进而确定其中三个参数 (2)注意圆的有关几何性质 ， 可使问题计算简单 【 变式 1】 求圆心在 且过点 A(5,2)和 B(3， 2)的圆的标准方程 解 法一 设圆的方程为 ( x a )2 ( y b )2 r 0) 则b 0 ， 5 a 2 2 b 2 3 a 2 2 b 2 得a 4 ，b 0 ，r 5 . 所求圆的方程为 ( x 4)2 5. 法二 圆过 A ( 5,2) ， B (3 ， 2) 两点， 圆心一定在线段 中垂线上 垂线的方程为 y 12( x 4) ， 令 y 0 ，得 x 4. 即圆心坐标 C ( 4,0) ， r | 5 4 2 2 0 2 5 ， 所求圆的方程为 ( x 4)2 5. 题型二 点与圆的位置关系 【例 2 】 ( 201 2 枣庄高一检测 ) 求圆心 在直线 2 x y 0 上，且与直线 y x 1 相切于点 (2 ， 1) 的圆的方程，并判断点 O ( 0,0 ) ，A ( 1,2 2 ) 与圆的位置关系 思路探索 先求出圆的方程，再判断点与圆的位置关系 解 因为圆心在直线 2 x y 0 上，故设圆心为 ( a ， 2 a ) ，又圆与 y x 1 相切点 (2 ， 1) ，所以| a 2 a 1|2 a 2 2 2 a 1 2，解得 a 1. 所以圆心为 C (1 ， 2) ，半径 r 1 2 2 2 1 2 2 . 故所求圆的方程为 ( x 1)2 ( y 2)2 2. | 5 2 r ， 点 O 在圆 C 外； | 1 1 2 2 2 2 2 2 r ， 点 A 在圆上 规律方法 解答这种类型的题目可以从形的角度，比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小，从而作出判断，还可以从数的角度，将定点的坐标代入圆的方程左边，再与右边的值比较作出判断两种方法体现了几何与代数相互转化的数学思想 【变式 2 】 已知两点 P 1 ( 3,8 ) 和 P 2 ( 5,4 ) ，求以 P 1 P 2 为直径的圆的方程，并判断 M ( 6,3 ) ， Q ( 8,1 ) 是在圆上？圆外？圆内？ 解 由 4,6 ) ，半径为 5 ， 圆方程为 ( x 4)2 ( y 6)2 5 ， 把 M 、 Q 两点坐标代入圆的方程 (6 4)2 (3 6)2 13 5 (8 4)2 (1 6)2 41 5 M 、 Q 两点均在圆外 题型三 圆的方程的应用 【例 3 】 已知圆 C ： ( x 3)2 ( y 4)2 1 ，点 A (0 ， 1) ， B ( 0,1 ) ，设 P 点是圆 C 上的动点， d | 2 | 2，求 d 的最大、最小值及对应的 P 点坐标 审题指导 设出点的坐标，建立函数关系式，再利用圆的几何性质求最值 规范解答 如图，设 P ( ，则 d ( 1)2 ( 1)2 2( 2. (4 分 ) 显然 到坐标原点距离的平方；所以 小值分别是 | | 1|2 (5 1)2，| | 1|2 (5 1)2. (8 分 ) 所以 2 36 2 74 ，此时 P 点的坐标为185，245，同理dm i n 2 16 2 34 ，对应 P 点的坐标为125，165. ( 12 分 ) 【 题后反思 】 一般地 ， 与圆有关的最值问题 ， 常利用圆的几何性质完成 本题充分反映了解析几何的解题思想方法：一方面 ， 对几何问题代数化；另一方面 ， 对代数问题几何化 ， 充分体现了数形结合的思想方法 【变式 3 】 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A ( 1,0) ，B (5 ， 0) ( 1) 求此圆的标准方程； ( 2) 设 P ( x ， y ) 为圆 C 上任意一点，求点 P ( x ， y ) 到直线 x y 1 0 的距离的最大值和最小值 解 ( 1) 由题意，结合图 ( 1) 可知圆心 ( 3,0 ) ， r 2 所以圆 C 的标准方程为 ( x 3)2 4. ( 2) 如图 ( 2) 所示，过点 C 作 直于直线 x y 1 0 ，垂足为 D . 由点到直线的距离公式可得 | |3 1|2 2 2 ， 又 P ( x ， y ) 是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2. 结合图形易知点 P 到直线 x y 1 0 的距离的最大值为 2 2 2 ，最小值为 2 2 2. 误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距 离是到 y 轴的距离的 2倍，且经过点 A ( 1, 0) ， B ( 3, 0) ，求圆 C 的方程 错解 由题意可知圆心在直线 y 2 x 上，且在线段 垂直平分线 x 2 上，由y 2 x ，x 2 ，可得圆心 C ( 2,4) ， r | 17 ， 圆 C 的方程为 ( x 2)2 ( y 4)2 17. 思维突破 本题出错原因在于没有理解题意，错将圆心到 x 、 a 、 b ) 中 a 、 b 的值，这是错误的，而事实上，圆心到 x 、 y 轴距离应该是 | a |、 | b |，从而圆心在直线 y 2| x |上 正解 由圆心到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的 2 倍可知，圆心必在直线 y 2 x 或 y 2
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