开普勒第一、二、三定律

开普勒第一定律 开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿一个 椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。开普勒第一定律是由德 国天文学家 约翰尼斯开普勒提出的。在此定律以前，人们认为天体的运行轨 道是：“完美的圆形”. 1 定律定义 开普勒在宇宙和谐论发表的表述：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环 绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。 2 数学推导 设定 这样，角速度是 对时间微分和对角度微分有如下关系： 根据上述关系，径向距离 对时间的导数为： 再求一次导数： 代入径向运动方程 ， 将此方程除以 ，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程 来描述行星轨道： 为了解这个微分方程，先列出一个特解 再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程， 它的解为 这里， 与 是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解 选择坐标轴，让 。代回 ， 其中， 是离心率。 这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若 ，则 所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。 3 发展简史 开普勒 1596 年出版宇宙的神秘一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附 近的天文台做研究工作。1600 年，到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世， 开普勒成为第谷事业的继承人。 第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行分析，他在 分析火星的公转时发现，无论按哥白尼的方法还是按托勒密或第谷的方法，算 出的轨道都不能同第谷的观测资料相吻合，他坚信观测的结果，于是他想到火 星可能不是作当时人们认为的匀速圆周运动，他改用各种不同的几何曲线来表 示火星的运动轨迹，终于发现了“火星沿椭圆轨道绕太阳运行。 3 开普勒在 1619 年出版的宇宙和谐论发表该定律。 4 定律影响 开普勒第二定律：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径） 所扫过的面积都是相等的。 这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。 开普勒第三定律：是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭 圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。这里，a 是行星公转轨道 半长轴，T 是行星公转周期，K 是常数，其大小只与中心天体的质量有关。 开普勒第二定律 开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中 的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。 3 该定律是德国天文学家 约翰尼斯开普勒发现的三条开普勒定律之一。最 初刊布在 1609 年出版的新天文学中，该书还指出该定律同样适用于其它绕 心运动的天体系统中。 开普勒第二定律是对行星运动轨道更准确的描述，为哥白尼的日心说提供 了有力证据，并为牛顿后来的万有引力证明提供了论据，和其他两条开普勒定 律一起奠定了经典天文学的基石。 1 定律定义 约翰内斯开普勒在新天文学中的原始表述：在相等时间内，太阳和 运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。 常见表述：中心天体与环绕天体的连线 （称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。 即： 式中，k 为开普勒常量（且不 同的天体系统内拥有不同的开普勒常量），r 为从中心天体的质心引向行星的 矢量。 为行星速度与矢径 r 之间的夹角。 如左图所示，用公式表示为： Sek=Scd=Sab。 开普勒第二定律示意图 2 数学推导 由于万有引力充当向心力，所以角动量守恒定律给出： 解出 r2，得到， 同时，极坐标形式下，面积元为： 代入上面的求得的 r2，可以得到： 即， 再把两边积分即得到了开普勒第二定律。 由一式可以看出，这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。 3 适用范围 范围 开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。 局限点 1.对于处在较大引力场中的行星，如水星，会出现近日点进动的现象，此 时开普勒第二定律需要用广义相对论加以修正。具体为： 1915 年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力 场中的运动，由于太阳的质量造成周 围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日 点进动为： 其中 a 为行星轨道的长半轴，c 为光速，以 cm/s 表示，e 为偏心率，T 为 公转周期。对于水星，计算出 =43/百 年。 2.对于具有极大能量的天体，如类星体，现有的开普勒第二定律显然不适 用。 衍生推论 1.设行星 1 和行星 2 运行轨道的半径分别为 R1 和 R2，当 R1 小于 R2 时 则有 （1）行星 1 的线速度大于行星 2 的线速度； （2）行星 1 的角速度大于行星 2 的角速度； （3）行星 1 的加速度大于行星 2 的加速度 ； （4）行星 1 的运行周期小于行星 2 的运行周期 ； （5）在相同的时间内，行星 1 的运行路程大于行星 2 的运行路程 ； （6）在相同的时间内，行星 1 扫过的角度大于行星 2 扫过的角度。 2.行星在椭圆轨道运动时，极径(又称向径 R)所扫过面积与经过的时间成 正比，即掠面速度守恒 (dS/dt=R*da/dt=vR)，亦即矢积守恒，又称动量矩（角 动量 mvR）守恒。 拓展形式 数据：两倍掠面速度(J 0)，两倍椭圆面积(2ab)，椭圆周期定律(T)，极 径(R)，偏斜速度(V S)，偏斜动量(mV S)，速度方向与极径夹角()，球面速度 (VD)，极径角速度(R), 弧高(RL) ，最小曲率半径（L 0），速度系数（V C）， 天体引力常数（GM） 开普勒第二定律掠面速度守恒公式： J0 = (GML0） 1/2 = L0（GM/ L 0） 1/2 = L0Vc = a(1-e2)VC = RVSsin= V SRcos。 这是天体偏斜运动一般的矢积面速度守恒公式：极径*天体速度*两矢夹角 正弦。 开普勒第二定律几种表述： 表述一：两倍掠面速度(J 0)= 两倍椭圆面积(2ab)/椭圆周期(T) J0 = 2ab/T = 2(ab/n)/(T/n) = 2dA/dt 表述二：极径(R)* 天体速度(VS)*两矢夹角的正弦 sin()的三个变量的 积是不变量。 J0 = VSRsin= V SRcos 表述三：天体速度(V S)*弧高(RL) 二个变量的积是不变量。 5 J0 = VS（Rcos）= V SRL 表述四：极径(R)*球面速度(V D)二个变量的积是不变量。 J0 =R（V S cos）= RV D = RdD/dt 表述五：极径的平方(R 2)*极径角速度(R)的积是不变量。 J0 = RVD = R（RR） = R 2R 表述六：最小曲率半径（L 0）*速度系数（V C）。 J0 = RVD=（L 0/K0）（V C K0）= L 0VC = L0（GM/ L 0） 1/2 表述七：天体引力常数（GM）与最小曲率半径（L 0）积的平方根。 J0 = L0VC = L0（GM/ L 0） 1/2 = （GML 0） 1/2 特别的： 近日点的天体速度最大：Vm= J 0/Rn =J0/a(1-e) = a(1-e)(1+e)VC/a(1-e) = VC(1+e) 远日点的天体速度最小：Vn= J 0/Rm =J0/a(1+e) = a(1-e)(1+e)VC/a(1+e) = VC(1-e)。 4 发展简史 丹麦天文学家 第谷布拉赫死后，留下 20 多年的观测资料和一份精密星表。 第谷提出了一种介于地心说和日心说之间的学说，在 17 世纪传入我国，并产生 重大影响。在没有天文望远镜的情况下，第谷对天体方位进行了几十年的观测， 凭借着惊人的毅力和耐心，积累了大量的精确材料，开普勒的发现，就是通过 归纳分析这些材料得出的。 开普勒认为通过对第谷的记录做仔细的数学分析可以确定哪个行星运动学 说正确的：哥白尼日心说，古老的托勒密地心说，或者是第谷本人提出的第三 种学说。但是经过多年仔细的计算和研究，他发现这三种学说与第谷的星表和 观测数据都不符合。 约翰内斯开普勒在无法用已有的行星运动理论解释第谷的观测资料的情 约翰内斯开普勒 况下，果断放弃了行星作匀速圆周运动的观念，并试图用别的几何图形来 解释，经过四年的苦思冥想，也就是到了 1609 年他发现椭圆形完全适合这里的 要求，能做出同样准确的解释，于是得出了“开普勒第一定律”：火星沿椭圆 轨道绕太阳运行，太阳处于两焦点之一的位置。 当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来，开普勒和 前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了 1 年，却仍 得不到结果。后来他发现，火星运行速度是不匀的，当它离太阳较近时运动得 较快(近日点),离太阳远时运动得较慢(远日点)。 开普勒发现该问题后，经过精准刻苦的计算，他发现：在椭圆轨道上运行 的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相 等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。 这两条定律刊布在 1609 年出版的新天文学(又名论火星的运动)中， 该书还指出两定律同样适用于其他行星和月球的运动。 5 应用领域 开普勒第二定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时 间跟轨道参数相连结。有效解决了对于天体运动规律的解释。在研究天体的运 动中，利用牛顿的力学和开普勒三大定律的有效结合，可以预测天体的运行轨 道、运动速度、旋转周期，从而能够预测某一时刻到天体在空间中的位置，能 够应用到天体探测、卫星发射等领域。 6 定律影响 开普勒定律一经确立，本轮系彻底垮台，天体运动不再无规律可循，开普 勒定律成了天空世界的“法律”。后世学者尊称开普勒为“天空立法者”。 首先，开普勒定律在科学思想上既有重要影响。其表现出的无比勇敢的创 造精神和质疑精神激励着后来的学者们勇于创新，勇于质疑。 其次，开普勒第二定律和开普勒第一定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把 哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。从此，不 须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。 第三，包括开普勒第二定律在内的开普勒定律使人们对行星运动的认识得 到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的、可以计算的系统。太阳位于每个 行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无 关。 第四，开普勒第二定律有力的证明了日心说，进一步推翻了神创论，弘扬 了科学精神，推动了时代发展。为后来牛顿万有引力的提出奠定了基础，提供 了有力论据。 开普勒第三定律 7 开普勒第三定律也叫行星运动定律。开普勒第三定律的常见表述是：绕以 太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期 的平方之比是一个常量。 德国天文学家 约翰尼斯开普勒根据丹麦天文学家 第谷布拉赫等人的观 测资料和星表，通过开普勒本人的观测和分析后，于 1609 年在他出版的新天 文学上发表了关于行星运动的前两条定律，又于 1618 年，在宇宙谐和论 提出了第三条定律。 开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出 重要的提示。 1定律定义 开普勒在宇宙谐和论上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行 的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。 常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ ）跟 它的公转周期的二次方（ ）的比值都相等，即 ， （其中 M 为 中心天体质量，k 为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量 ，G 为引力 常量，其 2006 年国际推荐数值为 ）不确定度为 。 2推导过程 万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来 推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第 谷的观测数据来计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律 的联系，不能叫推导。 观测数据 右图是开普勒经过艰苦计算所发现第三定律时的原始数据表 开普勒的原始数据： 开普勒整理数据发现，右图下方的坐标中各点大致连成一条直线，因此他 认为行星的运行周期 和 成正比（其中 为轨道半径），并计算出该直线的 斜率为 ，即 。 常规方法 方法一： 现实中的星体运动的轨道大多数是椭圆，于是便有以下推导： 利用微元，矢径 R 在很小的 t 时间内，扫过面积为 S，矢径 R 与椭圆 该点的切线方向夹角为 ，椭圆的弧长为 R。在 t0 时，扫过面积可以看 作为三角形， R 为半长轴 面积速度为 设各行星绕太阳运行周期为 T，椭圆半长轴为 a、半短轴为 b、太阳到椭圆 中心的距离为 c 则行星绕太阳运动的周期 。 选近日点 A 和远日点 B 来研究，由 S 相等可得 从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得： 得： 由几何关系得： ， ， 所以 9 整理得 。 方法二： 行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则椭圆的面积 （ a 为长轴， b 为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积 则周期 （1） 根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴 （2） （2）式得 （2）式代入（1）式得 （3） 根据椭圆的性质，椭圆的半短轴 ，则 （4） 式（4）代入（3）式得 ，由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们 的公转周期的二次方的比值由中心天体的质量所决定。 轨道能量推导 由运动总能量 ，得 ，则运动周期为 即 其中 ， ， ， 和 是方程 的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a 为轨道半径，G 为引力常量，M 为 中心天体的质量。 3适用范围编辑 成立条件 开普勒定律是一个普适定律，适用于一切二体问题。开普勒定律不仅适用 于太阳系，他对具有中心天体的引力系统（如行星-卫星系统）和双星系统都成 立。 11 围绕同一个中心天体运动的几个天体，它们轨道半径三次方与周期的平 方的比值（ )都相等，为 11 ，M 为中心天体质量。这个比值是一个与行星无关的常量，只与中心体质 量有关，那么 M 相同是这个比值相同。 用开普勒第三定律解决二体问题时，可将两个质点在相互作用下的运动， 可约化为一个质点相对另一个质点的相对运动，质点的质量需改用约化质量 ，即 ，其中 ， 为两质点的质量。 拓广形式 开普勒第三定律也可以表示为： 引入天体质量后可表示为： 其中 ， 为两个相应的行星质量， ， 为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期， ， 为两个行星围绕同一恒星运动的平均轨道半径。通过拓展形式，可以根据 绕同一行星的两星体轨道半径估测星体质量，或根据星体质量估测运行轨道。 4应用实例 天体 实际星体问题大多数为二体问题，实际应用时，人们把开普勒定律看成是 牛顿定律和万有引力定律的表现形式。(M 为中心天体质量，m 为行星质量) 在 时，可以认为 ，这就是开普勒定律的第三表达式，其中 为开普勒常数。 由此可见，开普勒定律只是一个近似定律。 通过开普勒第三定律，在天体运行中有以下应用： 1. 通过测出形体的绕转周期以及半长轴，算出双星的质量及估计中心 天体的质量； 2. 通过两绕同一中心天体运动的行星的公转周期，算出这两行星分别 到中心天体的平均距离。（因实际轨道为椭圆形，故采用平均距离）。 3. 在星箭分离问题中，通过星箭椭圆运动周期之比，计算星箭运动 轨迹半长轴之比。 二体问题 二体问题是天体力学中的一个基本问题，它是指可视为质点的两个天体在 相互间唯一的万有引力作用下的运动规律问题。二体问题可以用牛顿万有引力 定律和牛顿运动定律来描述并得到完全解决。开普勒三定律是二体问题的解。 航天 开普勒轨道这个名词时开普勒以后的人提出来的，并把开普勒轨道扩展到 二体问题的解。由于航天器的轨道运动也符合开普勒三定律，因此开普勒轨道 同样适用于航天器。 开普勒轨道的定义： 1. 符合开普勒三定律的天体或航天器的运行轨道； 2. 由二体问题的解的道德天体或航天器的运行轨道。 由定义可知，开普勒的轨道也称为二体问题轨道，符合上述定义的开普勒 轨道也称为理想的开普勒轨道。航天器的开普勒轨道可由如下二体问题的基本 方程解得： 上述方程描述在惯性坐标系中航天器相对于天体的轨道运动，式中的 是从天体（质量记为 ）到航天器（ ）的位置矢量， 是二体系统的引力常数，G 是万有引力常数。由于 ，可以只考虑 13 对 的引力，这种情况可把航天器开普勒轨道看成是限制性二体问题的解，即 看成是在惯性固体天体中心引力场中的运动（有心力运动）轨迹。 电学 开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与 万有引力均遵循“平方反比”规律，通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆 运动也遵循开普勒第三定律。 先构造一个匀速圆周运动的模型，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算 圆周运动周期，再将粒子由静止开始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭 圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。 5发展简史 约翰尼斯开普勒 1576 年，在丹麦国王腓特烈二世的资助下，第谷在汶岛建立了一个当时最 先进的天文台，装备了他亲自设计的大量古代天文仪器。利用这些仪器，第谷 和他的助手们在汶岛进行了长达二十一年的天文观测。他重新精确地