八年级数学上册一次函数

函数的概念 一、 知识回顾：平面直角坐标系： 1、 在图中描出下列各点： E（3,2） ，F（1,3） ，G（0,1） ，H（2,0） 2、平面直角坐标系中不同位置点的特征： x轴上的点_坐标为零； y轴上的点_坐标为零； 第二象限的点，横坐标为_，纵坐标为_； 对称点的坐标的特征：关于 x轴对称的两个点的_相同，_相反；关于原点 对称的两个点的横坐标_，纵坐标_。在平面直角坐标系中的点和有序实数 对是 对应的。 3、点 P（2,1）关于 x轴对称的点坐标是_， 点 P（2,1）关于 y轴对称的点坐 标是_，点 P（2,1）关于原点对称的点坐标是_， 二、探究过程： 问题 1：某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中出现 了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？ 问题 2：我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴躁不 安，有时却温柔善良试想，当海上风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们将 会发现水面上有怎样的变化？那么，在这一变化过程中，圆的半径 r，周长 C和面积 S是 怎样变化的呢？圆的周长和直径 2r的比值又是怎样的呢？ 结论：由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值 的，如以上两例中的大米的千克数、总价、圆的半径 r周长 C以及面积 S，我们称之为变 量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价与圆周率 ，我们称之为常量 但请大家注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的例如： （1）从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中， 哪些量是变量，哪些量是常量？ （2）从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中， 哪些量是变量，那些量是常量？ 问题 3：（1）大家试想，若每千克大米售价 2.40元，我们用字母 x表示大米的千克数， 字母 y表示总价，那么 x与 y之间有怎样的关系式呢？ （2）若买 5千克大米，应付多少钱？若买 25千克大米呢？ 问题 4、若每千克散装色拉油售价 6.25元,则货款金额 y(元)与购买数量 x(千克) 之间的 函数关系式为_,其中_是自变量,_是因变量. 三、知识归纳 1、设在一个变化过程中有两个变量 x、y 若对于 x的第一个值 y都有_值与 它对应，那么称 x为_，y 是_ _。如：用总长为 60m的篱笆围成 矩形场地，求矩形面积 S（m 2）与一边长 L（m）之间的关系式，并指出式中的常量与变量， 函数与自变量。 2 上述问题中给出的函数关系式，都是利用数学式子来表示的，我们称这种用数学式 子表示函数的方法叫做解析法 2、下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由： 3、写出下列函数的自变量的取值范围： 1） yx _ 2） 5xy_ 3） 21xy _ 4、设电报收费标准是每个字 0.1元，则电报费 y（元）与字数 x（个）这间的函数关系 式为_ ，自变量 x的取值范围是_ . 5、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来他已存有 50元，从现在起每个月节存 12元试写出小张的存款数 y（元）与从现在开始的月份数 x之间的函数关系式是 。自变量 x的取值范围是_ 6、甲、乙两地相距 100千米，汽车以每小时 40千米的速度由甲地开往乙地，汽车离乙 地的路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的函数关系是_，自变量的 取值范围是_ 。 四、课时作业： A组： 1、求下例函数中自变量 x的取值范围：（1）y=2 x+3； （2） 2、求下列函数当 x=2时的函数值： 3、当 x取什么值时，下列函数值为 0： （1）y=3x-5； （2）y=-5x+3 4、已知点 P(2x,x-3)，若点 P在第四象限，则 x满足_，若点 P在 y轴上，则 x 满足_； B组： 1 点 A（2，a1）与点 B（b+3，1）关于 y轴对称，则 a=_，b=_. 2 函数 34yx的自变量的取值范围是_. 3、 已知点 A（1a，a+2）在第二象限，则 a的取值范围是_. 函数及其图象 3 知识回顾： 提问：1、上节课我们学习了一种表示函数的方法，是什么？ 2、它是不是唯一的表示函数的方法呢？ 知识提升： 提问：一种豆子每千克售价 2元，即单价是 2元/千克，豆子总的售价 y（元）与所售豆 子的数量 x（千克）之间的函数关系式应怎样表示？ 1、你能否指出其中的自变量和函数？ 2、你能否指出这个函数中自变量的取值范围？ 3、你能算出当 x=0，0.5，1.5，2，2.5，3 时的函数值吗？ 上面，通过列表给出 x与 y的对应值，或可以表示 y与 x的函数关系，这种表示函数的 方法叫做列表法 提问：你认为用列表法表示函数有什么样的特征？ 提问：1、看上表，给出的实际是一列实数对，如果规定把自变量 x的值写在前面，函数 y的值写在后面，我们就得到一列什么样的实数对？ 2、想一想，有序实数对与什么有关？有什么样的关系？ 通过这两个问题，可使学生很自然地把上面的列表与坐标平面联系起来，就可以顺 利引出函数与坐标平面内的图形的联系 3、能否把上表中给出的有序实数对在坐标平面内描出相应的点？ 下面我们来看一个简单的函数 y=x 提问：1、能否指出自变量的取值范围？ 2、能否列出 x与 y的对应值表？你认为选什么样的自变量的值较好？ 3、你能否根据表中给出的有序实数对，在直角坐标系中描出相应的点？请根据列表 画出图形 一般地，对于一个函数，如果把自变量 x与函数 y的每对对应值分别作为点的横坐 标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图 象我们也可以用图象来表示一个函数，把这种方法叫做图象法 提问：图象法表示函数有怎样的特征？ 总结：由函数解析式画图象，一般按下列步骤进行： 1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； 4 2描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； 3连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来 提问：1你认为在上述步骤中，每一步都应注意什么问题？ 答：要注意：（1）列表时，选值要恰当，有利于我们正确而方便地画图，并能看到图 的整个变化趋势，另外计算要准确； （2）描点时，要找准点的位置，不要用特别粗的笔，要使点的位置清晰，以便连线； （3）连线时，要注意图象的走势，按照自变量从小到大的顺序，用平滑曲线连结 提问：2你认为我们画出的函数图象，在一般情况下，是全部的图象，还是局部的图象？ 提问：3你认为描点的多少对画函数的图象有何影响？ 提问：4我们画的函数图象，是精确的还是近似的呢？ 课时作业 1、变量与常量：某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做_ _；取值始终 保持不变的量，称为_ _； 在一个变化过程中，有两个变量，例如 x和 y， 对于 x的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说 x是_ _，y 是_ _，此时也称 y是 x的_ _；函数的表示方法通常有三种：_ _、_ _、_ _。 2、自变量的取值范围：在求自变量取值范围时，要看自变量的数学式子，如果是整式， 取值范围是_；如果是分式，则_；如果是开平方的式 子，则_；如果是实际问题，则根据实际的意义定。 3、平面直角坐标系：不同位置点的特征：x 轴上的点_坐标为零；y 轴上的点 _坐标为零；第二象限的点，横坐标为_，纵坐标为_；对称点的坐 标的特征：关于 x轴对称的两个点的_相同，_相反；关于原点对称的两 个点的横坐标_，纵坐标_。在平面直角坐标系中的点和有序实数对是 一一对应的。 4、函数的图象：用描点法画函数的图象通常有_、_、_三步；观察表 示实际问题的函数的图象时，要把握两点：特殊点的坐标和图象的变化趋势。 5、写出图 13-5中 A，B，C，D 各点的坐标 5 一次函数 一、整体感知 提问：1什么是函数？ 2函数有哪几种表示方法？ 3你能否举出几个函数的例子？ 提问：（1）这些式子表示的是什么关系？（函数关系） （2）这些函数中的自变量是什么？函数是什么？ （3）在这些函数式中，含有函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式子？ （4）结合我们学过的一元一次方程的有关知识，你能否说出 x的一次式的一般形式 是什么样的？ 一般地，如果 y=kx+b（k、b 是常数，k0），那么，y 叫做 x的一次函数 提问：（1）k、b 是常数的含义是什么？ 答：对于一个特定的函数式，k 和 b的值是 。 （2）对于函数 y=2x+3和 y=-2x-5，你能否指出其中的 k和 b？ （3）k0 这个条件能否省略不写？ （4）上述一次函数的定义中，限制了 k0，那么 b能否为 0呢？若 b=0，上述式子变形 为什么样？ 特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx+b就成为 y=kx（k 是常数，k0），这时 y叫做 x 的正比例函数 提问：（1）正比例函数与一次函数有怎样的关系？ 答：正比例函数是一次函数的特例 （2）小学时，学过正比例的知识吗？是怎样叙述的？请你回忆一下 小学叙述时，是强调两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这 两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它 们的关系叫做正比例关系写成式子是 提问：小学学过的正比例与我们现在说的正比例函数有什么关系？ 根据实际问题自己列出一次函数和正比例函数的关系式 题 1 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加 2米/秒 （1）求小球速度 v（米/秒）与时间 t（秒）之间的函数关系式； （2）求 3.5秒时小球的速度； （3）求经过几秒小球的速度可变化为 10米/秒 分析：v 与 t是正比例关系，若学生有困难，可出示下表帮助学生理解： 题 2 拖拉机开始工作时，油箱中有油 40升，如果每小时耗油 6升，求油箱中的余 油量 Q（升）与工作时间 t（时）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围 6 这道题学生会感到有困难，以提问的方式分析： （1）油箱中的油为什么会减少？（耗油） （2）余油量与什么有关？（原油量与耗油量） （3）耗油量与什么有关，怎样表示？ （4）你能否确定这个函数关系式？ （5）这道题是实际问题，拖拉机能否一直工作？什么时候拖拉机不能工作了呢？ 随堂练习 1、在下图中，确定 A、B、C、D、E、F、G 的坐标。 A B C D EF 1 y x G x y 1 FE D C BA （第 1题） （第 2题） 2、如右图，求出 A、B、C、D、E、F 的坐标。 3、某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市 A、B、C、D 附近新建机场 E，试建立适 当的直角坐标系，并写出各点的坐标。 D C A B E 4、一次函数：一次函数的一般形式是_ _，正比例函数的 一般形式是_ _； 一次函数的图象和性质（一） 7 整体感知 提问：1以前我们曾画过 y=x的图象，它的图象是什么样的？ 2上节课的作业我们曾在同一直角坐标系中画出了三个函数图象：y=2x，y=2x- 1，y=2x+1，这些函数图象是什么样的？ 3函数 y=x，y=2x，y=2x-1，y=2x+1 各是什么函数？ 4正比例函数与一次函数有什么样的关系？ 5你能否由此猜测：一次函数的图象是什么样的？ 6由几何知识可得，要画一条直线只要知道几点就可以了？ 练习一：在图 13-3中画正比例函数 y=0.5x与 y=-0.5x的图象 提问：你准备取哪两点来画这两个图象？为什么？ 提问：1看 y=0.5x的图象，随着 x的值增大，y 的值有怎样的变化趋势？ 2再看 y=-0.5x的图看，随着 x的值增大，y 的值有怎样的变化趋势？ 3你认为这两个函数图象的变化趋势不同，是由什么因素影响的？ 一般地，正比例函数 y=kx有下列性质： （1）当 时，y 随 x的增大而增大；图象经过 象限； （2）当 时，y 随 x的增大而减小；图象经过 象限。 练习二：在图 13-4中的同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=2x+1，y=-2x+1 提问：要画这两个函数的图象，你认为取哪两点较好？ 连线 注意：通常，我们把一次函数 y=kx+b的图象叫做直线 y=kx+b 8 提问：观察你所画的图象，一次函数 y=kx+b是否具有同正比例函数 y=kx相同的性 质？ 一般地，一次函数 y=kx+b有下列性质： （1）当 时，y 随 x的增大而增大；当 时，图象过 象 限；当 时，图象过 象限； （2）当 时，y 随 x的增大而减小当 时，图象过 象 限；当 时，图象过 象限； 作业：1、在图 13-5中画出函数 y=3x+12的图象，利用图象： （2）求 y=3，9，-3 时对应的 x的值； （3）求方程 3x+12=0的解 2、一次函数的一般形式是_ _，正比例函数的一般形式是 _ _；一次函数的图象是一条_，正比例函数的图 象是经过_的一条直线。对于直线 y k1x b1和直线 y k2x b2，当仅 k1 k2时， 两直线_，当仅 b1 b2时，两直线_；一次函数 y kx b，当 k0 时，y 随 x的增大而_，当 k 0时，x 的取值范围是 ( ) A、 4 B、 0 C、 x4 D、 x0 一次函数的图象和性质（三） 一、点在函数图象上： 图3 图图 图 x y 0-4 图 2 11 点在函数的图象上，是指把点的坐标代入函数关系式中能使等式成立。 如点 P（2，3）在函数 y2x1 的图象上，则当 x= 时，y= 1、 函数 yx 的图象必经过点（ ） (A) (0,0) (B) (0,1) (C) (0,-1) (D) (1,0) 2、函数 y=x+b的图象经过点（2，3） ，也经过点（ ） (A)（3，2） (B)（3，2） (C)（3，2） (D)（3，2） 二、函数图象与坐标轴交点： 1、函数 6yx与 轴、 y轴的交点坐标。 解：函数 3与 轴的交点坐标（x，0） ，即当 0y，x= 函数 y与 轴的交点坐标是 函数 6x与 y轴的交点坐标（0，y）即当 x，y= 函数 3与 轴的交点坐标是 2、函数 24yx与 轴的交点坐标（ ， ） ，与 y轴的交点坐标（ ， ） 。 3、直线 y2 x3 与 x轴的交点坐标 ，与 y轴的交点坐标 4、函数 57的图象与 x轴的交点坐标是_，与 y轴的交点是_. 作业：1、判断正误: (1)一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ） (3)x2y5 是一次函数； （ ） (4)2yx=0 是正比例函数 （ ） 2、选择题 （1）下列说法不正确的是（ ） A一次函数不一定是正比例函数。B不是一次函数就不一定是正比例函数。 C正比例函数是特殊的一次函数。D不是正比例函数就一定不是一次函数。 （2）下列函数中一次函数的个数为（ ） y=2x；y=3+4x；y= 2 1 ；y=ax（a0 的常数） ；xy=3；2x+3y-1=0； A3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 3、填空题 （1）若函数 y=(m-2)x+5是一次函数，则 m满足的条件是_。 （2）关于 x的一次函数 y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则 m应取_。 4、 （1）函数：y=-2x+3；x+y=1；xy=1；y= 1x；y= 2x +1；y=0.5x 中， 属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号） 12 （2）当 m= 时，y= mxm12是一次函数。 (3)请写出一个正比例函数，且 x=2时，y= 6 请写