2009届湖南省长沙市一中高三数学月考试题12套
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湖南省
长沙市
一中
高三
数学
月考
试题
12
十二
- 资源描述：
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2009届湖南省长沙市一中高三数学月考试题12套,湖南省,长沙市,一中,高三,数学,月考,试题,12,十二
- 内容简介：
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用心 爱心 专心 长沙市一中 2008高三第五次月考理科数学 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分） 1设全集 U = R，集合 M = x | x 1， N = x | | x | 1，则下列关系正确的是（ ） A M = P B M N C N M D ( N = 【答案】 B 2等差数列 20，则 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【解析】由等差数列的性质将已知等式化为 5 20， 4，选 A 3已知向量 a = (3， 4)， b = (， )，若 a b ，则 = （ ） A 34B 34C 43D 43【答案】 A 4若函数 f (x) = 122 1， 1，则 f 1 (x)的值域是（ ） A 1， 1 B 22， 2 C 12， 2 D（ ， 22 2， +） 【解析】即求原函数的定义域，由 1122x 1 22 x 2 ，选 B 5 已知 两条不同轴 直线 平面 ，则直线 一个充分条件是（ ） A 且 B 平面 所成角相等 C 且 D 且 【答案】 D 6若点 P 到定点（ 0， 10）与到定直线 y =185的距离之比是 53，则点 P 的轨迹方程是（ ） A 2219 26B 2219 26C 22136 64D 22136 64【解析】根据双曲线的定义知， P 点的轨迹是焦点在 y 轴上的双曲线，选 D 7若 A、 B、 C 为 三个内角，且 A B C (C2)则下列结论中正确的是（ A ） A B C D 用心 爱心 专心 【解析】 A C a c 1 8设 A、 B、 C、 D 是空间四个不 同 的点，在下列命题中，不正确的是（ ） A若 面，则 面 B若 异面直线，则 异面直线 C若 若 解析】 A、 B 都正确，在 D 中，取 点 M，易证 面 选 C 9设 a 0， b 0，且 a + b，则 a + b 的最大值是（ ） A 12B 14C 2 D 1 【解析】 C 22()2 a + b = (a + b)2 2 (a + b)2 2()2 (a + b)2 2 (a + b) 又 a 0， b 0 a + b 0 a + b 2 选 C 10在 棱长为 2 的正方体 ， O 是底面 M、 N 分别是棱 中点，则直线 ） A与 垂直相交 B与 直，与 垂直 C与 直，与 垂直 D与 不垂直 【解析】由三垂定理可证 勾股定理逆定理可证 选 A 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11 若直线 y 1 = 0 与直线 4x + (a 5) y 2 = 0 垂直，则实数 a 的值等于 1 【解析 】由已知 4a + 1 (a 5) = 0 a = 1 12设函数 f (x) = a |x| (a 0 且 a 1)若 f (2) = 4，则 a = 12， f (2)与 f (1)的大小关系是 f (2) f (1) 【解析】由 f (2) = a 2 = 4，解得 a = 12， f (x) = 2|x| f (2) = 4 2 = f (1) 13不查表求值 2 c o s 1 0 s i n 2 0c o s 2 0 = 3 A B C D M A B C D 1 1 M N O 用心 爱心 专心 【解析】原式 = 2 c o s ( 3 0 2 0 ) s i n 2 0 3 c o s 2 0 3c o s 2 0 c o s 2 0 14已知空间四边形 ， 3， E、 F 分别为 的点，且 12D， 7 ，则直线 成的角的大小是 60 【解析】作 H，则 12B H A F D， D， 23 2， 在 1c o F ， 补角60 为 成角 15对任意 x R， 若关于 x 的不等式 |x + 1| + 2a 0 恒 成立，则实数 a 的取值范围是31 , )4 【解析】原不等式化为 a2| 1|2恒成立，令 f (x) = 2| 1|2则 at = x + 1 则，f (x) = g (t) = 2 |23当 t = 0 时， g (0) = 0；当 t 0 时，m a x 31( ) ( 3 ) 4g t g 当 t 0 时，m a x 31( ) ( 3 ) 4g t g ，fx=m 1() 4， a 314 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = a(22 x) + b （ 1）当 a = 1 时，求 f (x)的单调递减区间； （ 2）当 a 0 时， f (x)在 0， 上的值域是 2， 3，求 a， b 的值 【解析】（ 1）当 a = 1 时， f (x) = 22 x+ b = s i n c o s 1 2 s i n ( ) 14x x b x b 2 分 由 2k + 322 4 2 得 372244k x k ， f (x)的递减区间是 372 , 244（ k Z） 5 分 （ 2） f (x) = 2 s i n ( )4a x a b ， x 0， ， 34 4 4x ， 2 s i n ( ) 124x 8 分 a 0， 2 ( )a a b f x b f (x) 的值域是 2， 3， 2 a + a + b = 2 且 b = 3 A F D E B C 用心 爱心 专心 a = 1 2 ， b = 3 10 分 17（本小题满分 12 分） 如 图，在梯形 ， 90， a， 3a，且 5又 面 a （ 1）求二面角 P A 的大小； （ 2）求点 D 到平面 距离 【解析】（ 1）作 G，连结 面 三垂线定理 ) 二面角 P A 的平面角 2 分 355a， 53 3即所求二面角的大小为 3 6 分 （ 2） 任意一点到平面 距离，就是点 D 到平面 距离作 H 又 面 B 面 A 到平面 10 分 等腰直角三角形 22a 点 D 到平面 距离为 22a 12 分 18（本小题满分 12 分） 已知抛物线顶点在原点，焦点 F 是 圆 4x + 3 = 0 的圆心 （ 1）求抛物线的标准方程； B C D P A B C D G P H A 用心 爱心 专心 （ 2） 若 存在过圆心 F 的直线 l 与抛 物线 及 圆顺次交于 A、B、 C、 D，且使 | 2| |等差数列 ；求直线 【解析】圆方程化为 (x 2)2 + 1，圆心 F（ 2， 0） （ 1）抛物线顶点在原点、焦点为（ 2， 0）， 1 分 抛物线标准方程为 8x 3 分 （ 2） 依题意： |+ |= 4|= 8， |= |+ |+ |= 8 + 2 = 10 当 l 的斜率不存在时， l x 轴，此时 |= 2p = 8，不合题意； 5 分 当 l 的斜率存在 时，设 l 的方程为 y = k (x 2)， A ( D (由2( 2 )8y k 消 y 得 2 2 2 2( 4 8 ) 4k x k x k = 0 8 分 2248由抛物线的定义知 |= |+ |= p = 2248+ 4 = 28k+ 828k+ 8 = 10 解得 k = 2 l 的 方程为 y = 2（ x 2） 12 分 19（本小题满分 13 分） 用一块长为 a，宽为 b (a b)的矩形木块，在二面角为 (0 )的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓 (使木板垂直于地面 ， 两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧 )，试问怎样围才能使储物仓的容积最 大？并求出这个最大值 【解析】（ 1）若使矩形木板长边贴紧地面，即 a， b，设 x， y，则 2xy 2 2xy 22(1 a(当且仅当 x = y 时取等号 ) 5 分 这时容积 (12xy ) b 2 = 14 8 分 （ 2）若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得 22(1 b这时容积 (12xy ) a 14 a b 0， 0 12 分 【答案】当矩形木板的长边紧贴地面，且所围储物仓的底面是以 a 为底的等腰三角形y x D A B C F O l A B C D Q P P 用心 爱心 专心 时，储物仓的容积最大，最大值为 14 13 分 20（本小题 13 分） 已知数列 前 n 项和 2 3 2n + 4 (n N*) （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设 数列 4的前 n 项和， 试比较 14 的大小 【解析】（ 1）由 2 3 2 + 4 得 2， 1 分 由已知，得 1 2 ( 1 (2n + 1 2n) 即 1 = 2 3 2n 两边同除以 2n + 1 得11 32 2 2 即 11 32 2 2 数列 2以 12a= 1 为首项， 32为公差 的等差 数列 4 分 21 + (n 1) 32即 (32n 12)2n， n N* 6 分 （ 2） 4 = 2 3 2n = (3n 4) 2n 1 2 + 2 22 + 5 23 + + (3n 4) 2n 2 1 22 + 2 23 + + (3n 7) 2n + (3n 4) 2n + 1 得 2 + 3(22 + 23 + +2n) (3n 4) 2n + 1 = 2 + 3 212 (2 1)21n (3n 4) 2n + 1 = 14 + (14 6n) 2n 10 分 14 (14 6n) 2n当 n = 1， 2 时， 14 6n 0 14当 n 3 时， 14 6n 0 14 13 分 21已知椭圆 C： 221(a b 0)的左准线恰为抛物线 E： 16x 的准线，直线 l： x + 2y 4 = 0 与椭圆相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）如果椭圆 C 的左顶点为 A，右焦点 为 F，过 F 的直线与椭圆 C 交于 P、 Q 两点，直线 椭圆 C 的右准线分别交于 N、 M 两点，求证：四边形 对角线的交点是定点 【解析】（ 1）由题知抛物线 16x 的准线方程为 x = 4，这也是椭圆的左准线方程 设椭圆 221的右焦点为 F(c， 0)，其中 c = 22，则 2 4，即 4c 由22222 4 0,1, 消去 x，得22 2 2 24 1 1 6 1 6( ) 1 0b a a 用心 爱心 专心 由于直线 x + 2y 4 = 0 与椭圆 C 相切，所以 22 2 2 2 2 2 2 21 6 4 1 1 6 4 1 1 6( ) 4 ( ) ( 1 ) 4 ( ) 0a a b a a b a b 即 4 16 = 0，所以 4( + 16 = 0， 整理得 54 16 = 0 将代入得 5 4c 4 16 = 0，即 5c + 4 = 0，解得 c = 1 或 4 由于 c a 2 4 所以 c = 1 所以 4， 3 所以椭圆 C 的方程为 22143 5 分 （ 2）由（ 1）知， A(2， 0)， F(1， 0)，椭圆的右准线方程为 x = 4 根据椭圆的对称性，当直线 x 轴时，四边形 等腰梯形，对角线 x 轴上 此时，直线 方程为 x = 1 由 221,431,得 3,不妨取 P(1， 32)， Q(1， 32)， 故直线 方程为 y = 1( 2)2 x， 将 x = 4 代入，得 N(4， 3)， 所以直线 方程为 333221 4 1 令 y = 0，得 x = 2，即直线 x 轴的交点为 R(2， 0)， 此点恰为椭圆的右顶点 8 分 下面只要证明，在一般情况下 Q、 N、 R 三点共线即可 设 P( Q( N(4， M(4， 直线 方程为 x = 1 由 221,431,消去 x 得 2213( ) 04 3 2 4m m 用心 爱心 专心 所以1 2 1 222324,114 3 4 3my y y 因为 A(2， 0)， P( N(4， 点共线， 所以11( 2, )A P x y与3(4 2, )A N y共线， 所以 ( 2) 6 116623m y 由于2 3 2 2 2( 4 , ) , ( 2 , )Q N x
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