2009届湖南省长沙市一中高三数学月考试题12套
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湖南省
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一中
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数学
月考
试题
12
十二
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2009届湖南省长沙市一中高三数学月考试题12套,湖南省,长沙市,一中,高三,数学,月考,试题,12,十二
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用心 爱心 专心 2008长沙一中，雅礼中学联考文科数学试卷 （第七次月考） 高三数学联考试题（文科） 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将正确答案的代号填入答卷的表格中 ) 1 设全集为 U，集合 ，则下列关系一定正确的是（ ） A P U M B P U M C D U M U P = U 2设 , ，则 a b 的充分不必要条件是 （ ） A B2 ) 0 C b 2 D. 11 函数 33s i n ( ) c o s ( )44y x x （ ） A 周期为 的偶函数 B 周 期为 的奇函数 C周期 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 4 设 a， b， c 表 示 三条 不同 直线， , 表示两个 不同 平面 ，则下列命题中逆命题不成立的是 : （ ） A b ， c 是 a 在 内的射影，若 ，则 B b ， c ，若 /c ，则 C c ，若 c ，则 / D b ，若 b ，则 5 在 1 ,22x上，函数 2()f x x p x q 与 33()22x在同一点取得相同的最小值，那么 p、 ） A 1,3 B 2,0 C D 6 已知 761, 且它的前 n 项和 最大值，那么当 得最小正值时， n =（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 7如右图，在平面直角坐标系 ，两个非零向量 x 轴正 半轴的夹角分别为3和 56，向量 足 O A O B O C 0，则 x 轴正半轴夹角的取值范围是（ ） A 0,3B 5,36C 2,23D 2,638. 某 舞步每一节共六步 ， 其中动作 A 两步 ，动作 B 两步，动作 C 两步，同一种动作不一定相邻。则这A B C y 用心 爱心 专心 种舞步一节共有多少种不同的变化 （ ） B. 90 种 C. 120种 9. 已知抛物线 2py(p 0)的焦点为 F， P 是抛物线上不同于顶点的任一点，过点 P 作抛物线的切线 l交 x 轴于点 Q，则 = （ ） A 2p B p C 0 D p 10设 f (x)和 g (x) 是定义在同一个区间 a， b上的两个函数，若对于任意的 x a， b，都有 | f (x) g (x)| 1，则 称 f (x)与 g (x)在 a， b上是“密切函数”， a， b称为“密切区间”设 f (x) = 3x + 4 与 g(x) = 2x 3 在区间 a， b上是“密切函数”，则它的密切区间可以是（ ） A 1， 4 B 2， 3 C 3， 4 D 2， 4 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 ) 11 若 23 1 的展开式只有第 6 项的系数最大，则 n 的值 为 . 12 设 O 为坐标原点， (1,1)A ，若点 ( , )B x y 满足 262 3 03 ，则 取得最小值是 . 13如 右 图所示，各棱长均为 3 的正三棱柱内接于球 O 中，则球 O 的表面积 为 14指数函数 y = 对数函数 y = a 0， a 1)的图象分别为 M 在曲线 ，线段 为坐标原点 )交曲线 另一点 N若曲线 存在一点 P，使点 P 的横坐标与点 M 的纵坐标相等，点 P 的纵坐标是点 N 横坐标的 2 倍，则点 P 的坐标为 15. 已知动点 P（ x， y）在椭圆 1162522 ，若 A 点坐标为（ 3， 0） ， | | 1且 0M，则 | 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程及演算步骤 .） 16. （本小题满 分 12 分） 已知函数 ( ) s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) c o s 233f x x x x . （ 1）求函数的最小正周期； （ 2） 将 函数 f(x)的图象 沿向量 3( , 2)8到函数 g(x)的图象 ,求函数 g(x)的单调递减区间 。 用心 爱心 专心 17 （本小题满分 12 分） 已知关于 x 的不等式 2)(l o (l o 的解集分别为 A 和 B，且 1,2 ，求实数 a 的取值范围 . 18 （本小题满分 12 分） 如右图，边长为 3 的正 方形 在平面与平面 交线为 段圆 O 的弦， A 在平面 射影是圆上并异于 C、 D 的点 E，且 32 （ 1）求证：平面 面 （ 2）求 二面角 大小； （ 3）求凸多 面 体 体积 19 （本小题满分 13 分） 已知 a、 b 均为正整数，等差数列 首项为 a，公差为 b；等比数列 首项为 b，公比为 a，且 1 a b， 数列 数列 各存在一项 得 用心 爱心 专心 1 = 21214 lo （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）求数列 的最小项，并说明理由 20 （本小题满分 13 分） 函 数 f (x) =321 ( 1 )3 x b x c x b c ，其图象在点 A(1， f (1)、 B(m， f (m)处的切线斜率分别为 0、 1 （ 1）求证： b 0； （ 2） 若 x k 时，恒有 f(x) 1，求 k 的最小值 . 21 （本小题满分 13 分） 设双曲线 22 1 ( 0 , 0 ) xy 焦点分别为 P 是双曲线右支上一点， 内切圆与 x 轴切于点 Q(1， 0)，且 |= 4 （ 1）求双曲线的方程； （ 2）设 A、 B 分别为双曲线的左、右顶点， R 是直线 x =13上异于点 1,03的任意一点，若直线 R 与双曲线分别交于点 M、 N，试判断点 A 与以 直径的圆的位置关 系，并证明你的结论 用心 爱心 专心 参考答案 一、选择题： B B 、填空题： 11、 10 12、 3 13、 21 14、 4 15、 3 三 、 解答题 ： 16、 【解析】 (1) 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 )34f x x x x x x 3 分 )(的最小正周期 22T ; 6 分 (2) 将 函数 f(x)沿向量 3( , 2)8g(x)= 32 s i n 2 ( ) 2 2 s i n 2 284 9 分 当 2 2 222k x k 即 44k x k k Z 时，函数 g(x)单调递减， 故所求区间为 ,44k k k Z . 12 分 17、 解： 2, 0202 )3)(7(0242132 aa 或3270)2)(3)(7( 5 分 又 ,1 B 01714 )1(22)1(l o (l o 10 分 由知 32 a ，即 a 的取值集合 M=2， 3. 12 分 18、 【解析】（ 1）证明 ：由已知 面 面 ，所以 A 故 面 面 故 平面 平面 4 分 （ 2） 由（ 1）知 故 二面角 平面角 6 分 在 ， 12 用心 爱心 专心 故 平面 平面 成角的平面角的大小 为6 8 分 （ 3）凸多面体 四棱锥 E 934 12 分 19、 【解析】（ 1）由 a + 2b 1 分 1 a b， 3b，则 1 a 3 3 分 又 a 为正整数， a = 2 4 分 1 = 2 + (m 1)b + 1 = b 2n 1 b =1 321 n m 6 分 b N*， 2 n 1 m + 1 = 1 故 b = 3 8 分 （ 2） 2 + (n 1) 3 = 3n 1， 1 = 3 22n， 10 分 223 1 5 3 2l o g ( 5 ) 233 nn 25 252( )22n 当 n = 2 或 n = 3 时， 得最小值，最小值为 12 13 分 20、 【解析】（ 1）依题意， f (1) = 2b + c = 0， f (m) = 2 c = 1 1 分 b c， 2b + c 4c， c 0 将 c = 1 2b 代入 b c，得 1 b 13 3 分 将 c = 1 2b 代入 2 c = 1，得 2 2b = 0 由 = 4 8b 0，得 b 0 或 b 2 5 分 综上所述， b 0 6 分 （ 2）由 f(x) 1，得 2 2b 0 2 0bx b ， 8 分 易知 2( ) ( 2 2 )g b x b x 为关于 b 的一次函数 9 分 依题意，不等式 g(b ) 0 对 b 0 恒成立， 22( 0 ) 0 ,(1 ) 2 2 0 , x x得 x 31或 x 31 12 分 k 31 ，即 k 的最小值为 31 13 分 21、 【解析】（ 1）设 内切圆与 切点分别为 D、 E，则 |= | |=| |= | 用心 爱心 专心 | |= 2a， | |= 2a， Q(1， 0)为双曲线的右顶点，即 a = 1 3 分 又 |= a + c = 4， c = 3，则 8 故双曲线方程为 22 18 5 分 （ 2）设 R 1,3t(t 0)、 N(由 R、 B、 N 三点共线，得 N ，即 2,3t=00( 1, ) 是002( 1) ,3. 1) yt x ，则 R 0021 ,3 3( 1) 6 分 00( 1, )A N x y，0024 ,3 3 ( 1) x ， 2 2 20 0 00002 4 2 44 ( 1 )3 3 ( 1 ) 3 ( 1 )y x A R x 8 分 又点 N 在双曲线上， 220088 20 001 2 1 2 4 ( 1 )3 ( 1 ) A R 9 分 1， 0， 钝角 又 补， 锐角 11 分 故点 A 在以 直径的圆的外部 13 分 用心 爱心 专心 2009 届长沙一中 雅礼中学 高三联 考试卷 数 学（理工农医类） 命题：卿 科 审卷：卿 科 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120分钟 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件 A、 B 互斥，那么 侧P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中， c 表示底面周长、 l 表示斜高或 P（ A B） =P（ A） P（ B） 母线长 如果事件 A 在 1 次实验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复实验中恰好发生 k 334 球次的概率 )1()(其中 R 表示球的半径 第 I 卷 (共 50 分 ) 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项 是 符合要求的 复数 2(1 )z i i 等于 2 2 2i 2i 设全集 是实数集 R. 2 2 | 4 | 1 1M x x N x x 与都是 的子集（如图所示， 则阴影部分所表示的集合为 2 21 22 12 函数 4 c o ss 的最小正周期是 423 设等差数列 ，前 n 项和为下列结论正确的是 12 12 1 1 爱心 专心 抛物线 2 的准线与双曲线 12822 两条渐近线所围成的三角形 的面积为 8 6 4 2 已知 0 ，且 a+b=1，则下列不等式中，正确的是 0 a 212 22 212 在空间给出下列 四 个命题： 如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ； 如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 a ； 如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直，则 a ； 如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 a 其中正确的个数是 1 2 3 4 已知点 (3 , 3)A ， O 是坐标原点，点 ( , )P x y 的坐标满足303 2 00 ， 设 z 为 在 的投影，则 z 的取值范围是 3 , 3 3,3 3 , 3 3, 3 把半径都为 1 的四个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为 261231 62 332110 设点 P 是函数 ),0(,s 象上的任意一点点 A 的坐标为 )0,( ， O 为坐标原点， 则使得 为直角三角形的点 P 的个数是 0 2 4 6 第 二 填空题：本大题共小题，每小题 5 分（第 14、 15 题第一 空分 ，第二空 3 分 ），共25 分 把答案填在 答题卡 中对应题号后的横线上 11 二项式 92()2x x展开式中 152 用心 爱心 专心 12 若31 ，则 13 在 1,2,3,4,5 五个数字组成 没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 24 14 已知 1: 22 直线 052: 点 ),(00 l 上的任意一点 过 ),(00 O 的两条切线 ， 为切点（ i）当 20 直线 192 （ 的最大值为53 15 已知函数 |37|37|)( i）函数 )(对称中心为 )0,0( ；（ 函数2|)3|1) ( |()( 的图象有对称中心，则 a 32 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小 题满分 12 分） 一袋中装有分别标记着 1、 2、 3、 4 数字的 4 个球 , 从这只袋中每次取出 1 个球 , 取出后放回 , 连续取三次 , 设三次取出的球中数字最大的数为 . （ ）求 3 时 的概率； （ ）求 的概率分布列及数学期望 . 解： （） 3 表示取出的三个球中数字最大者为 3 三次取球均出现最大数字为 3 的概率 31 1()4P 三取取球中有 2 次出现最大数字 3 的概率 2223 1 2 6( ) ( )4 4 6 4 三次取球中仅有 1 次出现最大数字 3 的概率 12331 2 1 2( ) ( )4 4 6 41 2 3 19( 3 ) 64P P P P 6 分 （） 在 k 时 , 利用 （） 的原理可知 ： 23 2 2 1 2331 1 1 1 1 3 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 6 4k k k kP k C C ,(k =1,2,3,4) 的概率分布为 ： E =1164 2764 31964 43764 = 5516 12 分 P 641 647 6419 6437 用心 爱心 专心 17 （本小题满分 12 分） 如图 , 在正方体 1111 , E 为 中点 （） 证明 ： 平面 平面 （）求 平面 成角的大小的正弦值 解： （） 取 中点 ,F 中点 ,G 连结 G,平面 11 . 又 , , 面 3 分 , 四边形 平行四边形 , ./ 面 又 面 平面 面 6 分 （）过 C 作 于 H ，连结 由（）中的 平面 平面 所以 面 的射影为 所以 就是所求的角 9 分 令正方体的棱长为 1 ，所以36,25 以15302s C E H 即 平面 成角的大小的正弦值为15302 12 分 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 )( ，过该函数图象上任意一点 )()(,(00 的切线为（ ）证明： )( 图象上的点总在 )( 图象的上方； （ ） 若 x 在 上恒成立，求 实数 a 的取值范围 解： （ ） 000000 )(,)( ， 设 )()()( 0000 )(,0)(,)( 00 时，当为增， 当 0)()()(,0)(000 最小值时，为减，当时，用心 爱心 专心 )()(,0)()()(,0)()( 0 ， 所以 )( 图象上的点总在 )( 图象的上方 6 分 （ ）当2)1()(,)(0 时，令 x （， 0） （ 0， 1） 1 （ 1， +） F（ x） 0 + F（ x） 减 减 e 增 当 x 0 时， F（ x）在 x=1 时有最小值 e， 的范围是恒成立的即, 当 x 0 时， F（ x）为减函数， 0),0,()(,0)()(0 x， ， 0, 范围是恒成立的即 当 x=0 时， a R 由， 恒成立的 a 的范围是 ,0 e 12 分 19 （本小题满分 13 分） 如图，一船在海上由西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 角，前进4 在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛 周围 5.3 围内有暗礁，现该船继续东行 （ ）若 0602 ，问该船有无触礁危险？ 如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自 B 处向东航行多少距离会有触礁危险？ （ ）当 与 满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 解： （ ）作 ，垂足为 C ，由已知 060 ， 030 ， 所以 0120 030所以 4 060 所以 所以该船有触礁的危险 设该船自 B 向东航行至点 D 有触礁危险，则 D ， 在 ， 4 2 32 2(2 所以， D （ 所以，该船自 B 向东航行 5.1 有触礁危险 6 分 （ ）设 ，在 ，由正弦定理得，M A s 北 M A B C 北 M A B C D 用心 爱心 专心 即 co s)s 4 ，) 而)s i n ( c o sc o o ss i n 所以，当 5.3x ， 即27)co ，即87) 时，该船没有触礁危险 13 分 20 （本小题满分 13 分） 在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 )0,1(A ， )0,1(B ，平面内两点 同时满足下列 条件： 0 ； （ ）求 的顶点 C 的轨迹方程； （ ）过点 )0,3(P 的直 线 l 与（ ）中轨迹交于 不同的 两点 ， 求 面积的最大值 解： （ ）设 ).,( , ),( , ),(00 MM ， M 点在线段 中垂线上 由已知 ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , 0 x 1 分 又 0 又 0 0,0,1,1 000000 3 3 , 3 00 3 分 ， 2222 300310 1322 0y ， 顶点 C 的轨迹方程为 1322 0y 5 分 （ ） 设直线 l 方程为： )0)(3( ),( 11 ),( 22 由13)3(22 消去y 得： 03963 2222 用心 爱心 专心 362221 ， 3392221 7 分 由方程知 39346 2222 0 ， 2k 83， 0k ， 0 2k 83 9 分 而212212121 4)(2 |3|23|321 B C 9624939636)3(2|3244222 11 分 令 2 ，则 )83,0(t， 62493 22 记 )830()3(249)(22 求导易得当173面积的最大值23 13 分 21 （本小题满分 13 分） 已知数列 )()(1( *12 ，且 1,0 21 求证： （）数列 )1(1 nn 为等比数列；（）2 )1(1!98nn 解： （）由 )(1(12 得1112 )2()(1()2( 1()1( 11 而 012 12 所以 11 )1()1( 所以数列 )1(1 nn 为等比数列 4 分 （） 由（）有 )2(!)1()!1(! 1 6 分 所以)!12( 1)!22()!12( 2212 )!22( 1)!32()!22( 3222 ， )!2( 1)!1()!2( 12 累和得!21!3 1)!22( 1)!12( 1)!12( 12 n )!12( 22!54!32)!12( 1)!22( 1()!51!41()!31!21( 8 分 用心 爱心 专心 因为 1223)1(! ， 9 分 所以 )1)(2 12 32 221)!12( *325312 也成立检验 记3253 21232221，用错位相减法得 121 2134)41(198所以 98S 所以2 )1(1)!12(98)!12(981212 nn 即当 n 为奇数时命题成立 11 分 又)!2( 198!21!3 1)!22( 1)!12( 1)!2( 1)!2( 2 n ， 所以2 )1(1)!2(981)!2(9822nn 即当 n 为偶数时命题成立 综合以上得2 )1(1!98nn 13 分 用心 爱心 专心 湖南省长沙市一中 2009 届高三第三次月考试卷 学科网 数学文科 学科网 一、选择题： 本题共有 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 ;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的 学科网 1 设全集 1, | 3 0 , | ,2U R A x x B x x 则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） 学科网 A x|x 0 B | 3 0 学科网C 1 | 3 2 D 1 | 2学科网2 设 a,b 均为实数，则 “ 0”是“ | | | | | |a b a b ”成立的 （ ） 学科网 A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 学科网 C充要 条件 D既不充分又不必要的条件 学科网 3 直线 co s 1 0的倾斜角的大小是 （ ）A. 12B. 1 2C. 12D. 1学科网 4 已知点（ n， a n） (n N*)都在直线 3x y 18=0 上，那么在数列 有 （ ）学科网 A a5+ B a5+ 时，由21 1221() xq x q 以及 215(1) 6 分 可得到 22 5 2 0 , 12 2q, 只有 1 , 2 1() ; 8 分 （ 2） 2 111() nn f n n , 10 分 则由 1 1 11 1 ( 1 )( 1 ) ( ) 1 0nn n n n na a n n （ n 是正整数 ） , 可得所求证结论 13 分 20 (本小题满分 13 分 )已知直线 1 与椭圆 22 1 ( 0 )xy 相交于 A、 B 两点，且 B （其中 O 为坐标原点） （ 1） 若椭圆的离心率为 33，求椭圆的标准方程； （ 2） 求证：不论 ,圆恒过第一象限内的一个定点 P，并求点 P 的坐标； 用心 爱心 专心 【解析】 （ 1）由 222 2 2 2 2 222 1, ( ) 2 ( 1 ) 0 ,a b x a x a 消 去 得 1 分 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 4 ( ) ( 1 ) 0 , 1 .a a a b b a b 由 整 理 得2 2 21 1 2 2 1 2 1 22 2 2 22 ( 1 )( , ) , ( ) , , .a a bA x y B x y x x x xa b a b 设 则 3 分 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1y y x x x x x x 4 分 因为 B(其中 O 为坐标原点 ) 1 2 1 2 1 2 1 20 , 2 ( ) 1 0 ,x x y y x x x x 即2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 ( 1 ) 2 1 0 : 2 0 ,a b a a b a ba b a b 整 理 得 6 分 222 2 22 1 5 5. , 6a 2246 所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 8 分 （ 2）由 222 2 2 22222( ) ( )2 0 , 1 ,a b a b 11 分 则不论 a， b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点（ 22， 22） 13 分 21 （本题满分 13 分） 已知函数321( ) ( 2 ) 4 1 , ( ) 5 mf x m x x x g x m x （ 1）当 0m ，求函数 () （ 2）是否存在 0,m 使 得 对 任 意 的1x、2x 121 , 2 ( ) ( ) 1g x f x 都 有，若存在，求 m 的范围；若不存在，请说明理由 . 解：（ 1） 321( ) ( 2 ) 4 1 ,32 mf x m x x x 2( ) ( 4 ) 4 ( 4 ) ( 1 ) .f x m x m x m x x 2 分 当 40 , ( ) ( ) ( 1 ) .m f x m x 时若 441 4 , ( , 1 , ) 即 0 当时有 4( ) 0 , ( , 1 ) ( ) 0f x x f 当 时 有 0 4 , ( )m f x 当 时 的单调递增区间为 ( ,1 和 4 , );m 4 分 若 24 ( ) 4 ( 1 ) 0 .m f x x 时 4 , ( ) ( , ) .m f x 时 的 单 调 递 增 区 间 为 6 分 用心 爱心 专心 若 440 1 , 4 , ( , ) ( 1 , ) 即 当时有 4( ) 0 , ( , 1 ) ( ) 0 .f x x f 当 时 有 44 , ( ) ( , 1 , ) ;m f x m 当 时 的 单 调 递 增 区 间 为 和 8 分 （ 2）当 2 440 , ( ) ( 4 ) 4 ( ) ( 1 ) 1 .m f x m x m x m x 时 且( 1 , ) , ( ) 0 .x f x 当 时 有 0 , ( ) 1 , 2 , ( ) 5 1 , 2 .m f x g x m x 时 在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 减 10 分 m i n 2 1 , 2 , ( ) ( 2 ) 1 f x f m 时 m a x( ) (1 ) 5 .g x g m 依题意m a x m i n 2( ) ( ) ( 5 ) ( 1 ) 1 ,3g x f x m m 解得 9m . 12 分 综上所述，存在1 2 1 2( , 9 , , 1 , 2 ( ) ( ) 1 .m x x g x f x 时 对 任 意 的 都 有 成 立13 分 用心 爱心 专心 湖南省 长沙市一中 2009 届 高三 第三次 月考试卷 学科网 理科数学 学科网 时量： 120 分钟 满分： 150 分 学科网 一、选择题（本大题共 10 小 题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 学科网 1 如图， 已知 U 是全集， M， P， S 是 U 的非空子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）学科网 A (M P) S B (M P) C (M P) D (M P) 科网 2已知 A、 B、 C 三点共线， ( , 1 ) , ( 2 , 3 )A B k A C则 k 的值为（ ） 学科网 A 23B 23C 32D 32学科网3已知函数 f (x) = 2 + a 0，且 a 1)， f 1 (x)是 f (x)的反函数，若 f 1 (x)的图像过点(6， 4)，则 a 等于（ ） 学科网 A 1 B 2 C 2 D 3学科网 4已知 3s i n c o s , ( 0 , )84 ，则 的值等于（ ） 学科网 A 14B 14C 12D 12学科网5在数列 ， = 1+2n)，则 （ ） 学科网 A n+2) B ln n(n+1) C n+2) D 1 + n + ln 6非零向量 a 与 b 的夹角为 120，若向量 c = a + b，且 c b，则 | ） 学科网 A 12B 3 C 2 D 33学科网7若函数 y = f (x)同时具有下列三个性质：（ 1）最小正周期为 ；（ 2）图象关于直线 x =3对称；（ 3）在区间 , 63上是增函数，则 y = f (x)的解析式可以是（ ） 学科网 A y = 6x ) B y = 6x ) C y = 3x ) D y = 6x )学科网 8设 a、 b、 c 是互不相等的正数，则下列不等式中 不恒成立 的是（ ） 学科网 A |a b| |a c| + |b c| B 21a a +131 2 D a b + 1 2学科网 9已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， O 为 外心， D 是 中点，动点 P 满1 ( 3 2 ) (1 2 )4O P O D O C ( R)，则点 P 的轨迹一定过 （ ） 学科网 用心 爱心 专心 A内心 B外心 C重心 D垂心 学科网 10已知函数 g(x) = 定义域内单调递增，设函数 f (x) = ax(a 0， a 0)，则集合 1 | ( | | ) 0 , P x f x x R 与集合 | 1 1Q x x 的关系是（ ） 学科网 A B P Q C P Q D 学科网二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填写在答题卷中对应题号的横线上） 学科网 11不等式 12 0 的解集是 12已知 p 0， q 0， p、 q 的等差中项为 12，且 x = p +1p， y = q +1q，则 x + y 的最小值为学科网 学科网 13若向量 a = (x， 2x)， b = (3x， 2)，且 a， b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 学科网 学科网 14碳 14 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”碳 14 的“半衰期”是 5730 年，即碳 14 大约每经过 5730 年就衰变为原来的一半，经探测，一块鱼化石中碳 14 的残留量约为原始含量的 设这群鱼是距探测时 t 年前死 亡的，则 t 满足的关系式为 15设函数 f(x)的定义域为 R，若 |f(x)| |x|对一切实数 x 均成立，则称 f(x)为 函数，下列函数 f1(x) = f2(x) =1， f3(x) = 22 1 ， f4(x) = ln( 1)中为 函数的是 学科网 （只填序号） 学科网 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 学科网 16（本小题满分 12 分） 学科网 已知关于 x 的不等 式 2 11 4 和 | 2 3 | 在实数集 R 上的解集分别为 A 和 B， 学科网 2 a B，求实数 a 的取值范围 学科网 17（本小题满分 12 分） 学科网 已知二次函数 f (x) = 14与直线 y = x 相切于点 A(1， 1)学科网 （）求 f (x)的解析式； 学科网 （）若对任意 x 1， 9，不等式 f (x t) x 恒成立，求实数 t 的取值范围 学科网 18（本小题满分 12 分） 学科网 在 ，已知内角 A =3，边 23，设内角 B = x， 面积为 y 学科网 （） 求函数 y = f (x)的解析式和定义域； 学科网 （）求 y 的最大值 学科网 19（本小题满分 13 分） 学科网 长、株、潭新工业区某品牌饮料生产企业，其产品开发中心主要从事新产品的研制和开发，该中心的第三实验室的主要任务是对新开发的不同口感的饮料进行口感调和试 用心 爱心 专心 验口感的度量指标称为“口感度”，即该饮料中所含某主要成分的百分比现有甲、乙两个容器，分别盛有口感度为 10、 20的某种饮料各 500验人员对它们进行口感调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出 100液，分别倒 入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出 100液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；依照上述操作程序反复进行调和试验，记第 n 1 (n N*)次调和后甲、乙两容器中饮料的口感度分别为 学科网 （ 1）试写出 ， 值； 学科网 （ 2）依据调和程序，试用 n 表示甲、乙两个容器中的两种饮料的口感度的差 学科网 （ 3）试分别求出第 n 1 次调和后甲、乙两个容器中的口感度 于 n 表达式 学科网 20（本小题满分 13 分） 学科网 已知 f (x) = 111 及 g (x) = 111 学科网（）求证： f (x) g (x)为定值； 学科网 （）求 g (x)的最大值； 学科网 （）若 a = 2 1 , , 1x x b t x c x ，问是否存在满足下列条件的正数 t，使得对于任意的正数 x，以 a、 b、 c 为边可以组成一个三角形？若存在，则求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由 学科网 21（本小题满分 13 分） 学科网 直线 l 过点 P(t， 1t)（ t 1）且斜率为21t ，它与直线 m： y = kx(k 0)交于点 A，与 ；点 A， B 的横坐标分别为 f (t) = 科网 （）求 f (t)的解析式； 学科网 （）设数列 n 1， n N)满足 1， f(1(n 2)，求数列 通项公式； 学科网 （）在（）的条件下，当 1 k 3 时，证明不等式 + 38科网学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 理科数学 学科网 长沙市一中高三月考试卷参考答案（三） 学科网 用心 爱心 专心 学科网 一、选择题 学科网 1 C 学科网 2 A 解析： C ( ,1) (2, 3)k 学科网 213k 23k学科网3 B 学科网 4 D 解析： 0 4， 即 .学科网 1c o s s i n 1 2 s i n c o s 学科网5 B 解析：据题意可知： 1 + 1, 1 = 2 + 1)2 n+1)学科网 6 C 解析： c b (a + b) b = 0 a b + 0学科网 |a| |b| (12) + 0 12|a| + |b| = 0 |2 学科网 7 B 学科网 8 D 解析：由排除可知： a b + 1 2，当 a b 0 时不成立 学科网 9 C 解析： 21( 1 ) ( 1 2 )33O P O D O C 学科网因为 11( 3 2 ) (1 2 )44 = 1，所以 P、 D、 C 三点共线，点 P 的轨迹一定过 重心学科网 10 B 解析： | 1 0 0 1 P x x x 或 学科网 二、填空题 学科网 11 x | 1 x 2学科网 12答案： 5 解析： p + q = 1， x + y = p + 1 1 1 1 1 11 1 ( ) ( ) 3 p qp q p q p q q p 5 当且仅当 p = q =12时等式成立 学科网 13 1 1 4( , ) ( , 0 ) ( , )3 3 3 学科网 1457301( ) t 或 5 7 3 0 5 学科网15答案： 解析： |x| |x|， f1(x) = 函数 学科网 ) =12， |f(0)| |0|不满足， f2(x) =1 不是 函数； 学科网 当 x = 0 时， ) = 0，显然符合条件；当 x 1 时， 学科网 用心 爱心 专心 | f3(x)|= 222 21 | | | |212xx f3(x) = 22 1 是 函数 f4(x) = ln( 1)是偶函数，只需考查 x 0 时即可， 令 g(x) = x f (x)= x ln( 1) ( x 0) g(x) = 1 222( 1)2 11 0（仅有 x = 1 时取“ =”号） g(x)在 0， + )上单调递增，又 g (0) = 0 g(x) 0 x f 4(x) 又 f 4(x) 0 |x| f 4(x) f 4(x) = ln( 1)是 函数 三、解答题 16 2 2 13 42 或 a 2 = 0 ( 7 )( 3)2 0 或 a 2 = 0 ( 7 ) ( 3 ) ( 2 ) 0 7 2 3a a a a a 或 （ 5 分） 又 1 B， | 2 3 | 1 3x x x 由 解 得 又 13a （ 10 分） 由知 2 a3，即 a 的取值集合 M = 2， 3)（ 12 分） (注：没有设 扣 2 分 ) 17解析：（）依题意，有 1( 1 ) 1 11,4 42( 1 ) 2 1f a b a b （ 4 分） 因此， f (x)的解析式为 f (x)=21()2x；（ 5 分） （）由 f(x t) x (1 x 9)得21()2 x (1 x 9)，（ 7 分） 解之得 22( 1 ) ( 1 )x t x (1 x 9) （ 9 分） 由此可得 22m i n m a x ( 1 ) 4 ( 1 ) 4t x t x 且，（ 11 分） 所以实数 t 的取值范围是 t | t =
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