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高考 数学 二轮 复习 温习 教学 15 圆锥曲线 方程

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2010届高考数学二轮复习教学考案（15）圆锥曲线方程【打,高考,数学,二轮,复习,温习,教学,15,圆锥曲线,方程

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用心 爱心 专心 15圆锥曲线与方程 【 学法导航 】 圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系 复习过程中要注意下述几个问题： （ 1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对 于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题 . （ 2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判 线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 过图形求解 及弦长问题，常用“韦达定理 法”设而不求计算弦长 (即应用弦长公式 )；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 . （ 3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷 线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程 . 一般求已知曲线类型的曲线方程问题， 可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 . 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置； 定式 根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 (m 0,n 0)； 定量 由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量 关系，通过解方程得到量的大小 . （ 4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义 . （ 5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用 . （ 6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质 . 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等 意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围 . 【 专题综合 】 圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点， 是高考命题的热点之一，用心 爱心 专心 也是高考常见新颖题的板块 ,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示 ,尤其是在最近几年的高考试题中 ,平面向量与解析几何的融合 ,提高了题目的综合性 ,形成了题目多变 ,解法灵活的特点 ,充分体现了高考中以能力立意的命题方向 1 圆锥曲线中最值和范围问题 例 1（ 1） （ 2009 辽宁卷理 ） 以知 F 是双曲线 2214 12的左焦点， (1,4), A 的最小值为 。 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间 ,且双曲线右焦点为 F(4,0), 于是由双曲线性质 | | 2a 4 而 | | | 5 两式相加得 | | 9,当且仅当 A、 P、 F三点共线时等号成立 . 【答案】 9 例 2（ 2009 重庆卷文 、理 ） 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy 的左、右焦点分别为12( , 0 ), ( , 0 )F c F c，若椭圆上存在一点 P 使1 2 2 1s i n s i F P F F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 【解析 1】因为在12，由正弦定理得211 2 2 1s i n s i P F P F F 则由已知，得1 2 1 1F ，即 12 设点00( , )1 0 2 0,P F a e x P F a e x 则00( ) ( )a a e x c a e x 记得0( ) ( 1 )( ) ( 1 )a c a a ex e c a e e由椭圆的几何性质知0( 1 )( 1 )a 则 ，整理得 2 2 1 0, 解得 2 1 2 1 ( 0 , 1 )e e e 或 ， 又，故椭圆的离心率( 2 1,1)e 【解析 2】 由解析 1 知12椭圆的定义知 21 2 2 2 2222 P F a P F P F a P Fa c a 则 即，由椭圆的几何性质知 2 2222, , 2 0 , a c a c c c 则 既所以 2 2 1 0, 以下同解析 1. 用心 爱心 专心 【答案】 2 1,1 例 3（ 2009 四川卷理） 已知直线1 : 4 3 6 0l x y 和直线2 :1，抛物线 2 4上一动点 P 到直线1 ） 点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 【解析 1】 直线2 :1为抛物线 2 4的准线， 由抛物线的定义知， l 的距离等于P 到抛物线的焦点 )0,1(F 的距离，故本题化为在 抛物线 2 4上找一个点 P 使得 P 到点)0,1(F 和直线 2l 的距离之和最小，最小值为 )0,1(F 到直线 1 : 4 3 6 0l x y 的距离，即25 |604|m d ，故选择 A。 【解析 2】如图，由题意可知22| 3 1 0 6 | 234d 【 答案 】 A 例 4 (2009山东 卷文 )（本小题满分 14 分） 设 ,在平面直角坐标系中 ,已知向量 ( , 1)a mx y,向量 ( , 1)b x y, ,动点( , )M x y 的轨迹为 E. （ 1）求轨迹 E 的方程 ,并说明该方程所表示曲线的形状 ; （ 2）已知41m,证明 :存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 B (O 为坐标原点 ),并求出该圆的方程 ; (3)已知41m,设直线 l 与圆 C: 2 2 2x y R (1R2)相切于 l 与轨迹 E 只有一个公共点 R 为何值时 ,|得最大值 ?并求最大值 . 解 （ 1）因为 , ( , 1)a mx y, ( , 1)b x y, 所以 22 10a b m x y , 即 221mx y. 当 m=0 时 ,方程表示两直线 ,方 程为 1y ; 当 1m 时 , 方程表示的是圆 用心 爱心 专心 当 0m 且 1m 时 ,方程表示的是椭圆 ; 当 0m 时 ,方程表示的是双曲线 . (2) 轨迹 E 的方程为 2 2 14x y,设圆心在原点的圆的一条切线为 y kx t,解方程组 22 14y kx tx y得 224 ( ) 4x kx t ,即 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k t x t , 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使 = 2 2 2 2 2 26 4 1 6 ( 1 4 ) ( 1 ) 1 6 ( 4 1 ) 0k t k t k t , 即 224 1 0 ,即 2241, 且12 2212 28144414 2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( 4 4 ) 8 4( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 1 4k t k t t ky y k x t k x t k x x k t x x t tk k k , 要使 B , 需使1 2 1 2 0x x y y,即 2 2 2 2 22 2 24 4 4 5 4 4 01 4 1 4 1 4t t k t kk k k , 所以 225 4 4 0 , 即 225 4 4且 2241, 即 224 4 2 0 5 恒成立 . 所以又因为直线 y kx t为圆心在原点的圆的一条切线 , 所以圆的半径为21, 222224 (1 )451 1 5 , 所求的圆为 2245. 当切线的斜率不存在时 ,切线为 552x,与 2 2 14x y交于点 )552,552( 或)552,552( 也满足 B . 综上 , 存在圆心在原点的圆 2245，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点A,B,且 B . (3)当41轨迹 E 的方程为 2 2 14x y,设直线 l 的方程为 y kx t,因为 直线 l 与圆用心 爱心 专心 C: 2 2 2x y R (1R2)相切于 由（ 2）知21, 即 2 2 2(1 )t R k , 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 由（ 2）知 22 14y kx tx y得 224 ( ) 4x kx t , 即 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k t x t 有唯一解 则 = 2 2 2 2 2 26 4 1 6 ( 1 4 ) ( 1 ) 1 6 ( 4 1 ) 0k t k t k t , 即 224 1 0 , 由得2222223414 , 此时 A,B 重合为 B1(x1, , 由12 2212 28144414 中 21 ,所以 , 2221 224 4 1 6 1 61 4 3 , B1(x1, 在椭圆上 ,所以 22211 2141 43 ,所以 2 2 21 1 1 24| | 5O B x y R , 在直角三角形 , 2 2 2 2 21 1 1 1 2244| | | | | | 5 5 ( )A B O B O A R 因为224 4当且仅当 2 (1, 2 )R 时取等号 ,所以 211| | 5 4 1 ,即 当 2 (1, 2 )R 时 |得最大值 ,最大值为 1. 【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系 ,以及直线与椭圆的位置关系 ,可以通过 解方程组法研究有没有交点问题 ,有几个交点的问题 . 例 5（ 2009 北京理）（本小题共 14 分） 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的离心率为 3 ，右准线方程为 33x（ ）求双曲线 C 的方程； （ ）设直线 l 是圆 22:2O x y上动点0 0 0 0( , ) ( 0 )P x y x y 处的切线， l 与双曲线 用心 爱心 专心 于不同的两点 ,明 的大小为定值 . 【解法 1】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程 等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得2 333 ，解得 1, 3， 2 2 2 2b c a ， 所求 双曲线 C 的方程为 22 12. （ ）点 0 0 0 0,0P x y x y 在圆 222上， 圆在点 00,P x 0000xy y x ， 化简得002x x y y200122x y y 及 22002得 2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x ， 切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且 2002x， 203 4 0x ，且 2 2 20 0 01 6 4 3 4 8 2 0x x x ， 设 A、 B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y，则 2001 2 1 2224 8 2,3 4 3 4x x x ， c o s O A O O B，且 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2201 22O A O B x x y y x x x x x ， 21 2 0 1 2 0 1 2201 422x x x x x x x 2222 00002 2 2 20 0 0 0828 2 81 43 4 2 3 4 3 4x x x 220022008 2 8 2 03 4 3 4 . 的大小为 90 . 【解法 2】 （）同解法 1. （ ）点 0 0 0 0,0P x y x y 在圆 222上， 用心 爱心 专心 圆在 点 00,P x 0000xy y x ， 化简得002x x y y200122x y y 及 22002得 2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x 2 2 20 0 03 4 8 8 2 0x y y x x 切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且2002x， 203 4 0x ，设 A 、 B 两 点的 坐 标 分别 为 1 1 2 2, , ,x y x y ，则22001 2 1 222008 2 2 8,3 4 3 4x y ， 1 2 1 2 0O A O B x x y y ， 的大小为 90 .（ 22002且000 22000 2 , 0 2 ，从而当 203 4 0x 时，方程和方程的判别式均大于零） . 例 6点00( , )P x 2 1 ( 0 )xy 上，00c o s , s i n , 0 a y b 直线201 22:1x 垂直， O 为坐标原点，直线 倾斜角为 ，直线2 . （ I）证明 : 点 P 是椭圆 221与直线1 （ 明 : ta n , ta n , ta n 构成等比数列 . 解：本小 题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分 . 解：（ I）（方法一）由 00221得 2 2020( ) ,by a x 代入椭圆 221, 得 2 2 2 22002 4 2 2 20 0 021( ) ( 1 ) 0b x b x a y a y y . 将 00代入上式 ,得 2 2 22 c o s c o s 0 ,x a x a 从而 用心 爱心 专心 因此 ,方程组2222002211 有唯一解 00,即直线1. (方法二 )显然 P 是椭圆与1 1( c o s , s i n ) , 0 2 是椭圆与1入1c o s s i n 1，得11c o s c o s s i n s i n 1 , 即11c o s ( ) 1 , , 故 P 与 Q 重合。 （方法三）在第一象限内，由 221可得 2 2 2 200,a x y a 椭圆在点 P 处的切线斜率 2000 222 00( ) ,b x b xk y a x 切线方程为 20 0020( ) ,x x 即 221x x y 。 因此，1 处的切线。 根据椭圆切线的性质， P 是椭圆与直线1 （ 0t a n t a n ,y 1l 的斜率为 20 20,2l 的斜率为 20 20t a n t a n ,ya ax b b 由此得 2t a n t a n t a n 0 , ta n , ta n , ta n 构成等比数列。 例 7（ 2009 北京理）点 P 在直线 :1l y x上，若存在过 P 的直线交抛物线 2于 , | | |B ，则称点 P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线 l 上的所有点都是“ 点” B直线 l 上仅有有限个点是“ 点” C直线 l 上的所有点都不是“ 点” D直线 l 上有无穷多个点（点不是所 有的点）是“ 点” 【 答案 】 A 用心 爱心 专心 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力 ,考查学生分析问题和解决问题的能力 . 属于创新题型 . 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设 , , , 1A m n P x x ， 则 2 , 2 2B m x n x ， 2,A B y x在 上 ， 222 1 ( 2 )x m x 消去 n,整理得关于 x 的方程 22( 4 1 ) 2 1 0x m x m （ 1） 2 2 2( 4 1 ) 4 ( 2 1 ) 8 8 5 0m m m m 恒成立， 方程（ 1）恒有实数解， 应选 A. 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、 分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 . 例 8（ 2009 全国卷文） （本小题满分 12 分） )0(12222 33 22 （ ）求 a,b 的值； （ ） C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标 关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理 . 解 ：（）设 ,0,当 l 的斜率为 1 时，其方程为 0 到 l 的距离为 2200 已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 22 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 用心 爱心 专心 故 222c ， 1c 由 33 3a ， 22 = 2 （） C 上存在点 P ，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 成立。 由 （）知 C 的方程为 22x + 23y =6. 设 ).,(),( 2211 ( ) )1( 方程为轴时，设不垂直当 C 使上的点 成立的充要条件是 ）点的坐标为（ 2121 , ， 且6)(3)(2 221221 整理得 6643232 212122222121 632,632 22222121 ，即在、又 故 0332 2121 将 并化简得代入 ,632)1( 22 0636)32( 2222 于是 2221 326 , 212232 63 , 2221221 324)2)(1( 代入 解得， 22 k ，此时2321 2(2121 k， 即 )2,23( 因此， 当 2k 时， )22,23(P， 022 当 2k 时 ， )22,23( P， 022 用心 爱心 专心 （）当 l 垂直于 x 轴时，由 )0,2( ， 使 成立。 综上， 22,23( 成立，此时 l 的方程为 022 【 专题突破 】 5 的一个焦点是（ 0， 2），那么 k 等于（ B ） (A) 1 (B)1 (C) 5 (D) 5 2. （ 2008 年 陕西卷 ）双曲线 221（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是12过10 的直线交双曲线右支于 M 点，若2x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 333. 点 P 是双曲线 2214 12上的一点，1F、2两焦点，1290F ，则12| | | |F等于 （ D ） ()A 48 ()B 32 ()C 16 ()D 24 4. 抛物线 2 2 4 ( 0 )y a x a上有一点 M ，它的横坐标是 3，它到焦点的 距离为 5，则抛物线的方程为 ( ) (A) 2 8 (B) 2 12 (C) 2 20 (D) 2 16 5. 不论 k 取值何值，直线 ( 2 )y k x b 与曲线 221总有公共点，则实数 b 的取值范围是 ( B ) (A) ( 3, 3) (B) 3, 3 (C)( 2,2) (D) 2,2 6.(2008 年 浙江） 已知12椭圆 22125 9的两个焦点，过1B，两点，若2212F A F B，则 8 7.（ 2008 上海理科） 某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含用心 爱心 专心 边界），其边界是长轴长为 2a，短轴长为 2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1、 2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 + 2a 8.（ 2008辽宁文科）在平面直角坐标系 P 到两点（ 0， 3 ）、（ 0， 3 ）的距离之和等于 4设点 ( )写出 ( )设直线 y=与 、 此时 |的值是多少？ 解 ：（）设 P（ x， y） ,由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 , 3 ), (0 , 3 ) 为焦距，长半轴为 2 的椭圆 22 ( 3 ) 1,b 故曲线 C 的方程为 1422 （）设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，其坐标满足 22 1, 消去 y 并整理得 22( 4 ) 2k x 3=0， 故1 2 1 22223,x x 若 ,B 即1 2 1 2 0.x x y y则 221 2 1 2 2223 3 2 1 0 ,444x y y 化简得 24 1 0,k 所以 【点评】 本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力 . 9、 已知抛物线 )0(22 焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点， 作 直于 y 轴，垂足为 B， . （ 1）求抛物线方程； （ 2）过 ，垂足为 N，求点 （ 3）以 半径作圆 M，当 )0,( x 轴上一动点时，讨论直线 解：（ 1）抛物线 24,222 是的准线为抛物线方程为 4x. 用心 爱心 专心 （ 2）点 A 的坐标是（ 4， 4）， 由题意得 B（ 0， 4）， M（ 0， 2）， 又 F（ 1， 0）， ,43,;34 y=34（ x 1）， 432 解方程组 )8(5458,432)1(34得 （ 3）由题意得，圆 0， 2），半径为 2. 当 m=4时，直线 x=4，此时，直线 相离， 当 m 4时，直线 ,(4 4 即为 ,04)4(4 圆心 M（ 0， 2）到直线 (16|82|令 1,2 得 1 ，直线 圆 ； 当 m=1时，直线 圆 当 1m 时，直线 圆 用心 爱心 专心 15圆锥曲线与方程 【 专题要点 】 1考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现 . 2直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题 :常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础 知识等被附以新的背景，以 考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度 . 3在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度 . 4对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势 . 【 考纲要求 】 （ 1）圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 . 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 . 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 . 了解圆锥曲线的简单应用 . 理解数形结合的思想 . （ 2）曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 . 【 知识纵横 】 用心 爱心 专心 【 教法指引 】 高考试题中，解析几何试题的分值一般占 20左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在 14左右，选择、填空、解答三种题型均有选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热解答题的题型设计主要有三类： （ 1） 圆锥曲线的有关元素计算关系证明或范围的确定； （ 2） 涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题； （ 3） 求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹 近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加抛物线 直线与圆锥曲线 曲线与方程 定义 定义 定义 位置关系 曲线 的方程 标准方程 标准方程 标准方程 几何性质 几何性质 几何性质 应用 应用 应用 相交 相切 相离 圆锥曲线的弦 求曲线（轨迹）的方程 画方程的曲线 求两曲线的公共点 圆锥曲线与方程 椭圆 双曲线 用心 爱心 专心 强对于分析和解决问题能力的考查因此，教学中要注重对圆锥 曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用 高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法 充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈， 防止过分拔高，加重负担 圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤 . 【 典例精析 】 质类问题 例 1.（ 2009 广东， 11） 巳知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 32，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 【解析】23e， 122 a ， 6a ， 3b ，则所求椭圆方程为 193622 例 2.（ 2009 江苏 13 ） 如图，在平面直角坐标系 ，1 2 1 2, , ,A A B 22 1 ( 0 )xy 的四个顶点， F 为其右焦点，直线12，线段 椭圆的交点 M 恰为线段 中点，则该椭圆的离心率为 . 【 解析 】 考查椭 圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程 . 直线121； 直线1 程为 ： 1。 二者 联 立解 得：2 ( )( , )a c b a cT a c a c， 则 ()( , )2 ( )a c b a cM a c a c在椭圆 22 1 ( 0 )xy 上， 22 2 2 222() 1 , 1 0 3 0 , 1 0 3 0( ) 4 ( )c a c c a c a e ea c a c ， 解得： 2 7 5e 用心 爱心 专心 例 3.（ 2009 辽宁 ， 16）。以知 F 是双曲线 2214 12的左焦点， (1,4), A 的最小值为 . 【答案】 9 【解析】注意到 P 点 在双曲线的两只之间 ,且双曲线右焦点为 F(4,0), 于是由双曲线性质 | | 2a4，而 | | | 5， 两式相加得 | | 9,当且仅当 A、 P、 F三点共线时等号成立 . 点评 : 在运用双曲线的定义时， 应特别注意定义中的条件 “差的绝对值”，弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支。 例 4. （ 2009 福建 13 ） . 过 抛 物 线2 2 ( 0 )y px p的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 长为 8，则 p _ 【 解析 】 由题意可知过焦点的直线方程为2， 联立有 2 222 3042y p x px p ， 根据 21，得 284 解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程 例 5（ 1） 一动圆与圆 22 6 5 0x y x 外切，同时与圆 22 6 9 1 0x y x 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 （ 2） 双曲线 2 2 19x y有动点 P ，12,12重 心 M 的轨迹方程。 解析：（ 1）（法一）设动圆圆心为 ( , )M x y ，半径为 R ，设已知x y 1用心 爱心 专心 圆的圆心分别为1O、 2O ， 将圆方程分别配方得： 22( 3 ) 4 ， 22( 3 ) 1 0 0 ， 当 M 与11| | 2O M R 当 M 与22| | 1 0O M R 将两式的两边分别相加，得21| | | | 1 2O M O M， 即 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y 移项再两边分别平方 得： 222 ( 3 ) 1 2x y x 两边再平方得： 223 4 1 0 8 0 ， 整理得 22136 27， 所以，动圆圆心的轨迹方程是 22136 27，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y ， 由以上方程知，动圆圆心 ( , )M x y 到点1( 3,0)O 和 2(3,0)O 的距离和是常数 12 ，所以点 M 的轨迹是焦点为1( 3,0)O 、 2(3,0)O ，长轴长等于 12 的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 26c ， 2 12a ， 3c ， 6a ， 2 3 6 9 2 7b ， 圆心轨迹方程为 22136 27。 （ 2） 如图，设 , ) , ( , )P x y M x y， 在已知双曲线方程中 3, 1， 9 1 1 0c 已知双曲线两焦点为12( 1 0 , 0 ) , ( 1 0 , 0 ) 12在， 1 0y 由三角形重心坐标公式有11( 1 0 ) 1 03003 ，即 1133。 1 0y ， 0y 。 已知点 P 在双曲线上，将上 面结果代入已知曲线方程，有 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 ( 0 )9x 即所求重心 M 的轨迹方程为： 229 1 ( 0 )x y y . 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。 例 6(2009 广东卷 理 ） 已知曲线 2:C y x 与直线 : 2 0l x y交于两点 ( , )x , )x y ，且 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 围成的平面区用心 爱心 专心 域（含边界）为 D 设点 ( , ) L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合 （ 1） 若点 Q 是线段 中点，试求线段 中点 M 的轨迹方程； （ 2） 若 曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与 D 有公共点，试求 a 的最小值 解：（ 1）联立 2与 2 2,1 BA 则 点 )25,21(Q，设 线段 中点 M 坐标为 ),( 则225,221 ，即 252,212 又点 P 在曲线 C 上， 2)212(252 点 P 是 L 上的任一点，且 不 与点 A 和点 B 重合 ，则 22121 x，即4541 x， 中点 M 的轨迹方程 为8112 541 x） . （ 2）曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a ， 即圆 E ：2549)2()( 22 圆心坐标为 )2,(半径57 20 a 时，曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与点 D 有公共点； 当 0a 时，要使曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与点 D 有公共点，只需圆心 E 到直线 : 2 0l x y的距离572 |2 |22| 05 27 a，则 a 的最小值为527. 直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重， 在高考中多以高档题、压轴题出 用心 爱心 专心 现 中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题 充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘” 类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 . 例 7.（ 2009 全国卷 9.） 已知直线 20y k x k 与抛物线 2:8C y x 相交于 点， F 为 C 的焦点，若 | | 2 | |B ，则 k A. 13B. 23C. 23D. 223【 解 析一】 设抛物线 2:8C y x 的准线为 :2 直线 20y k x k 恒过定点 P 2,0 B、 分 别作 AM l 于 M , BN l 于 N , 由 | | 2 | |B ,则 | | 2 | |N ,点 B 为 中点 B ,则 1| | | |2F, | | | |F 点 B 的 横 坐 标 为 1 , 故点 B 的 坐 标 为2 2 0 2 2( 1 , 2 2 )1 ( 2 ) 3k , 故选 D 【 解析 二 】 设 ),(),( 2211 (2， 04)84( 2222 得 421 根据焦半径公式，21 ,2 2， | | 2 | |B ，得 22 21 求得 )22,1(B ，将其代入 20y k x k 中得322k，故选 D。 例 8 （ 2009 天 津 卷 理 ） 以 知 椭 圆 22 1 ( 0 )xy 的 两 个 焦 点 分 别 为12( , 0 ) ( , 0 ) ( 0 )F c F c c和， 过 点 2( ,0) 线 与 椭 圆 相 交 与 , 点 ， 且1 2 1 2/ / , 2F A F B F A F B. （ 1） 求椭圆的离心率； 用心 爱心 专心 （ 2） 求直线 斜率； （ 3） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线2 , )( 0 )H m n m 在 1外接圆上，求 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 、直线的方程、圆的方 程等基础知识，考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力 . （ I） 解：由12 2 F B，得2211E F F B 1E F F A 2，从而22整理，得 223，故离心率 33ce a（ 解：由（ I）得 2 2 2 22b a c c ，所以椭圆的方程可写为 2 2 22 3 6x y c 设直线 方程为 2ay k ，即 ( 3 )y k x c. 由已知设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则它们的坐标满足方程组2 2 2( 3 )2 3 6y k x cx y c消去 y 整理，得 2 2 2 2 2 2( 2 3 ) 1 8 2 7 6 0k x k c x k c c . 依题意， 22 334 8 (1 3 ) 0c k k ， 得 而 212 21823k 2212 22 7 623 ck c k 由题设知，点 B 为线段 中点，所以 1232x c x 联立 解得 21 29223k c cx k ， 22 29223k c cx k 将12,，解得 23k . (法一：由（ 知1230, 2用心 爱心 专心 当 23k 时，得 (0, 2 )已知得 (0, 2 ). 线段1l 的方程为 222 2 2cy c x 直线 l 与 x 轴 的交点 ,02c是1接圆的圆心，因此外接圆的方程为 222 . 直线2 ( )y x c，于是点 H（ m， n）的坐标满足方程组 2 22 9242 ( )m c ， 由 0,m 解得53223 故 225当 23k时，同理可得 225. 解法二：由（ 知1230, 2当 23k 时，得 (0, 2 )已知得 (0, 2 ) 由椭圆的对称性可知 B，2F， C 三点共线，因为点 H（ m， n）在1外接圆上， 且12/F A F B，所以四边形1 由直 线2 ( )y x c,知点 H 的坐标为 ( , 2 2 )m m c . 因为1F，所以 2 2 2( 2 2 2 )m m c c a ，解得 m=c（舍），或 53 则 223所以 225. 当 23k时同理可得 n 2 25m 用心 爱心 专心 15圆锥曲线与方程 【 专题测试 】 一、 选择题 1在平面直角坐标系 ，已知 顶点 A（ 4， 0）和 C（ 4， 0），顶点 B 在椭圆B s in s 92522 则上 等于（ ） A54B25C45D352已知 两个定点，点 P 是以 2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ） A 4112221 2112221 42221 D 22221 3已知 P 是椭圆 22143上的一点