数学建模竞赛论文稿-

眼科病床的合理安排模型研究及应用 摘要 医院是一个复杂的系统，病人从挂号、就诊、划价、取药每一个服务需求，当某 项服务的现有需求超过提供该服务的现有能力时，排队现象就会发生。由于患者到达 的时间和诊治患者所需时间的随机性，可控性小，排队几乎是不可避免的。当诊室不 足以及床位紧张时，常出现患者排队等待时间太长，患者满意度下降，医务人员工作 过于忙乱，易出差错引起纠纷，对患者和社会都会带来不良影响。因此如何合理科学 安排医护人员及其设备，使医院不会盲目增加医生和设备造成不必要的空闲，形成资 源浪费，又使患者排队等待时间尽可能减少，如何在两者之间取得平衡，以便提高服 务质量，降低服务费用，这是现代医院管理者必须面对的课题。 医院病床是重要的卫生资源，而病床的使用情况又是反映医院工作质量和管理效 益的主要内容之一。合理分析床位利用情况对于提高医院经济效益，改善病房管理， 挖掘潜力增强服务能力等具有十分重要的意义。医院床位利用情况不平衡，有时床位 超负荷运转，有时床位大量闲置，造成卫生资源的短缺与浪费现象并存。因此，有必 要对医院病床利用情况进行综合评价。当某项服务的现有需求超过提供该服务的现有 能力时，排队现象就会发生 本文通过排队论模型，运用数学方法定量地、对一个客观复杂的排队系统的结构 和行为进行动态模拟研究，科学准确地描述排队系统的概率规律，排队论也是运筹学 的一个重要的分支学科，在医院管理中，如果在排队论的基础上对医院门诊、诊室以 及病房的排队系统的结构和行为进行科学的模拟和系统的研究，从而对诊室和医生安 排进行最优设计，以获得反映其系统本质特征的数量指标结果，进行预测、分析和评 价，最大限度的满足患者及家属的需求，将有效避免资源浪费，提高医院资源利用效 率，获得更大的利润。 关键词：排队论；优化；合理分配 一问题的提出 某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分四大类： 白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类 病人的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受 手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排 在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但 考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不 安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数 学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优 劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第 二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一 中的指标体系作出评价。 问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院 病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手 术时间安排是否应作出相应调整? 问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取 使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统 内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 二问题的分析 我们认为考虑该问题的出发点有以下几点： 最大限度地满足病人的基本住院需求， 平时尽可能使病床负荷率保持在一定水 平，从而缩短住院治疗的病人的平均等待时间； 尽可能提高病床的利用率， 以充分利用现有资源； 尽量减少一般病人排队等待时间， 缩短病人的排队队长； 显而易见， 以上三项要求之间存在着矛盾冲突： 满足其中一项要求要以牺牲另外一 项甚至两项要求为代价 因此， 如何协调上述三项要求，寻求总体综合效益优化是 本文的中心 三模型基本假设和说明 假设医院排队系统由 4 个部分组成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排 队规则。 1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各规律来到医院。 2、服务时间是指患者接受服务的时间规律。 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者。 4、排队规则确定到达的患者按照某种一点的次序接受服务。 （1）来到过程 假设病人来到过程服从泊松分布，满足以下几个条件的输入： 平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长短和患者数 有关，不考虑病人到达流的季节性和趋势性； 无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的； 普通性：在同时间点上就诊或手术最多达到一个患者，不存在同时到达 2 个以 上患者的情况； 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者，不可能有无限个患者到达。 （2）服务时间 假设患者接受服务的时间规律服从负指数分布，即每位患者接受服务的时间是独立 同分不的，其分布函数为： ()1(0)tBe 其中 0 为一常数，代表单位时间内的服务率，而 1 则是平均服务时 间。 （3）服务窗口 服务窗口主要属性是服务台的个数，一般有并联、串联和混合型三种，最基本的 类型为多服务台并联。 病人到达 排队 病 床 病床 病 床 病 床 病人出院 （4）排队规则 假设为等待制，即患者到达时，如果所有服务台都没有空闲，他们就排队等候。 等候服务的次序又有不同的规则： 先到先服务，如就诊、排队取药等； 后到先服务，入医院处理急诊病人； 随机服务，服务台空闲时，随机挑选等待的患者进行服务； 四定义符号说明 ；:患 者 的 平 均 到 达 率 ；： 单 个 服 务 台 的 平 均 服 务 率 ；： 系 统 的 服 务 强 度 ；ql： 平 均 队 列 长 ；w： 平 均 逗 留 时 间 ；q： 平 均 等 待 时 间 ；sw： 平 均 服 务 时 间 ；sl： 平 均 队 长 累积服务率；:nC ：有 n 个病人的概率；P :排队队长概率KQ 五、模型的建立与求解 （一）评价指标体系的确立 1、队长分布 设 为系统平稳后队长 的概率分布, 则由npPN0,12.nN (1) , (累积服务率) 120.nC,. (2) (无病人的概率) 01()np (3) , (有 个病人的概率)0nC,2.n 及 , 和 , , 并记n1,.n12. (服务强度, 一般 ) 1 可得 , nnC1,2. 故有 , 0 np1,2. 其中 01()nC1()n .0 n 因此 , .(1) nnp1,2 从而可得无病人的的概率: , 0p 至少有一病人的概率 病床处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用 率。 如单位时间, , ,则 ,即 40%在忙.250.4 2.主要指标确立 (1) 系统中平均顾客数=平均队长01()nnLp23(.)234(.)23.1 (2)医院住院部等待的平均病人数=平均排队长 0111()()qnnnnLppL . 2 由于病人在住院部中逗留时间 服从参数为 的负指数分布, 即T 密度分布函数: ()(),0.tfte 分布函数: ()1,.tFtPTt 于是得医院住院部等待的平均病人数= （即平均排队长）ql （3）在医院住院部中病人平均逗留时间 ; 1WET (4) 在队列中病人平均等待时间 因为 逗留时间=等待时间+服务时间, 即 qS 故 , 1()(qqWETVW 从而得 1q 另外还可得到(时间与空间关系): 和LWq 即 Little 公式. 各公式如下: 由 和 服务效率 , 从逗留时间 等待时间 1WqW 队长 排队队长 或LqL 还可导出关系： 和 1qW1qL 3. 医院住院部的忙期 和闲期 分析BI (1) 因为 忙期=至少一客的概率为 , 闲期无客的概率为1 所以有忙期时间长度/闲期时间长度= (2) 因为在此系统中忙闲交替,而且他们的次数大致均等，所以可以得到 平均忙期时间长度/平均闲期时间长度= 1 从而有： .1 BI (3) 又由于分布无记忆性和到达与服务相互独立性，我们可知从任意时刻起,下一客到 达的时间间隔依然服从 负指数分布，所以可以推出平均闲期等同于下一客到达间隔 ，即 1I1BW 即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的. （二）病床安排模型的建立与求解 1.根据题目中给出的该医院住院部当前的情况，对非急症病人按照 FCFS 的规则安排住 院，但等待住院病人队列越来越长，于是我们考虑住院排队模型 PQMI (Patient Queuing Mode lI)在对此住院排队模型做以下假设: (1)将准予住院治疗的病人分为急诊病人和一般病人两种(以下简称“急诊病人及一般 病人”)，其到达分别服从参数为 和 的Poisson分布;np (2)无论急诊病人还是一般病人，其住院时间均服从参数为 的指数分布; (3)预先给定一个病床占用限制数B (规定B小于拥有的最大病床数S(S=79)当实际占 用的病床数 C0 0916 通过上述指标的分析，不难发现该眼科医院病床的安排经常处于紧张状态，而且 病床的周转率较低，实际服务的人数少，这样就大大降低了医院病床资源的使用，加 大了医院的管理成本，综合效益的提高受到限制。 （三）对问题三的分析及解决 从该医院的病床安排上来看，白内障手术的术前准备时间在1,2天区间内，从做 手术到出院之间的平均时间约为 5 天，又由于做两只眼的病人占到 60%，在此，可以全 按双眼对待，从而使问题简化，由于手术是周一做第一只，周三做一只，且顺序不能 颠倒，平均逗留时间接近一周，这样可按一周作为周期，安排这类病人在双休日入住， 大约一周后可出院，不会因手术时间的限制而逗留过长的时间。至于其他眼科疾病病 人，术前准备时间约为 2-3 天，由于医生的安排问题，周一周三不能做手术，但对此 影响不大，只要有空床的情况下，可根据现阶段住院人数和等待住院人数可告知病人 大致的入住时间区间。 已知当时病人数 L,等待住院的病人数 ，平均到达率 ，又知 = ，所以由qLqL 此可推算病人大致入住时间的区间。 （四）根据问题四的要求对模型进行调整 当前该医院的排队系统并不能完全满足前面的基本假设，根据此住院部住院排队 系统的特征，住院时间服从Erlgng分布，另外，由于PQM-模型是根据没有休息日的 服务制度建立的，在其他条件不变，而周六和周日不安排手术时，为PQM-I模型的实际 应用带来了困难。为此，结合该医院的实际情况，我们对PQMI模型做了若干修正而 得到与这一调整相对应的PQM住院排队模型。 1.首先对指数分布和爱尔朗(Erlang)分布进行比较 具有相同服务率的各阶Erlang分布示意图如下图所示。 具有相同服务率的Erlang分布 当k=1时，Erlang分布化为指数分布，即可以看成是完全随机的； 当k增大时，Erlang分布的图形逐渐变得对称； 当K30时近似于正态分布由于Erlang分布的方差 = ，故当k愈大时,TV21 住院时间T的波动性愈小; 当 k 时， ，这时Erlang的分布化为确定型分布因此,若用住院TV0 排队模型PQM-I的计算公式来计算具有Erlang分布住院时间的实际排队系统的特征量， 则必然会产生较大的差异。 2对PQMI模型的修正 由于我们考察的往往只是某一时间段上的情况，因此当平均住院时间较长， 即 较大时,往往使所考察的该时间段初始点上病床占用数(即病床占用初始值)较大，1 这就导致该住院排队系统的部分状态根本反映不出来，从而影响若干指标的计算结果。 当平均住院时间较短时(即 较小时)，计算出的特征量对于时间的反应比较灵1 敏。反之，由于各特征量对于日均病人到达数的增减反应具有滞后性， 也将影响计算 结果。 综合以上，病床占用数初始值及特征量对病人平均到达数增减反应的滞后性将明 显导致计算结果与实际情况的差异。 为此，我们对PQMI模型的计算公式作如下修正： 设0，t为所考察的时间段 ML为0,t上病床占用数最小值 NL为0，t上排队长最小值 令：AB= ， 其中c(k),Q（k）即 1()MLkoc10()NLKCDQk ,kcQ 于是采用下列修正公式计算该住院部排队系统的各特征量： (一般病人到达后必须等待的概率) (对急诊病人的拒收率) (日均病床占用数) (无人 排队的概率) (病床平均利用率) (平均排队长， 其中T为所控制的排队 队长限制) (平均队长) （五）对问题五的分析及模型的建立； 21 科室指标分值的计算 我们选取了反映病床使用情况的4个常见统 计指标(病床使用率、病床周转次、病床工作日、平 均住院日)组成医院科室病床使用情况综合评价指 标体系，采用秩和比法(RSR)L1 J进行分析。 由于经过等级达标(三甲医院)活动后，科室间 因收治病种、病情分型不同所致的指标变异已稳定 在一个相对固定的范围内，我们可以认为这些指标 的值在科室间虽然高低不等，但水平是在同一等级 上的。所以，以各科室各项指标的实际值经过数据 处理后作为各科室的标准值，在不同科室之间就有 了相同的比较标准。因此在进行计算时，首先以各 科室前一年各项指标的实际值进行数据转换(取对 数)后作为各科室的标准值，再以各科室评价期指 标值标准值得各指标分值。经过此种处理后的指 标分值，既能够横向反映出本科室前后两个时期的 病床工作状况，又能够纵向比较出科室间病床工作 负荷的强弱l 2l。 六、模型的评价 上述住院排队模型的实用价值在于其具有广泛的应用前景。现简述如下： (1)只要知道W、 、B、S、 、Lp、ML、NL等这些最基本的数据就可以直接应用PQMslNL 模型的计算公式算出一系列住院排队特征量。分析这些特征量指标值就可以了解当前 该住院排队系统的基本情况，从而对病床安排的合理程度以及医院的综合效益作出评 价。 为了使计算结果可靠，对 , ，U等基础数据最好是通过现场统计调查并经皮NLp 尔逊 检验得出。2x (2)倘若对住院排队系统的运行现状不满意，则可以对特征量指标(如排队队长等)进行 人为控制，利用PQM计算公式的逆求出相应的B或S;或