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十七、容斥原理 1关键提示： 容斥原理是2004年、2005年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容 斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。另外在练 习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。 2核心公式： （1）两个集合的容斥关系公式： ABAB AB （2）三个集合的容斥关系公式： ABC AB CABBCCAABC 例题1：2004年中央 A 类真题 某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考 试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。 A22 B18 C28 D26 解析：设 A第一次考试中及格的人（ 26） ，B第二次考试中及格的人（24） 显然，AB262450；AB32428， 则根据公式 ABABA B502822 所以，答案为 A。 例题2：2004年山东真题 某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则 既会骑车又会游泳的有（ ）人 A.57 B.73 C.130 D.69 解析：设 A会骑自行车的人（ 68） ，B会游泳的人（62） 显然，AB6862130；AB851273， 则根据公式 ABABA B1307357 所以，答案为 A。 例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个 频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 解析：设 A看过2频道的人（ 62） ，B看过8频道的人（34） 显然，AB623496；AB两个频道都看过的人（11） 则根据公式 ABABAB961185 所以，两个频道都没有看过的人数1008515 所以，答案为15。 例题4：2005年中央 A 类真题 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛， 38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看 戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有： A22人 B28人 C30人 D36人 解析：设 A喜欢看球赛的人（ 58） ，B喜欢看戏剧的人（38） ，C喜欢看电影的人（52） AB既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18） BC既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16） ABC三种都喜欢看的人（12） ABC看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100） 根据公式：ABCAB CABBCCAABC CAAB C（A BCABBCABC ） 148（100181612）26 所以，只喜欢看电影的人CBCCA ABC 52162612 22 4行程问题的相关例题 例1 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男 孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。 则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A80级 B100级 C120级 D140级 （2005年中央真题） 解析；这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或 女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为 X，则可列方程如下， （X+2） 40=（X+3/2）50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）40=100 所以，答案为 B。 例2 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑 圈。丙比 甲少跑 圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面： A85米 B90米 C 100米 D105米 （2005年中央真题） 解析：此题的解题关键是要跳出微观，在宏观上进行解题。依据行程问题的公式，在时间相同的情 况下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比为8/7圈：1圈：6/7 圈=8：7：6，所以当乙跑 了2圈（800米）时，甲跑了700米，丙跑了600米。 所以，正确答案为 C。 例3 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航 行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船 速之比是： A2.5：1 B3：1 C3.5：1 D4：1 （2005年中央真题） 解析：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设顺水速度是逆水速度的 K 倍，则可列如下方程： 21/KV+4/V=12/KV+7/V 将 V 约掉，解得 K=3 所以，正确答案为 B。 2 例4 姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米， 姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑 来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米? A600米 B800米 C1200米 D1600米 （2003年中央 A 类） 解析：此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。 首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/ 分，追击距离=80米，所以，姐姐 只要80米20米/分=4分种即可追上弟弟，在这 4种内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路程 =150米/分4分=600米。 所以，正确答案为 A。 例5 某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学 校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模的步行 速度的几倍? A5倍 B6倍 C7 倍 D8倍 （2003年中央 B 类） 解析， 如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点 在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分） 相等。设劳模的步行速度为 A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的 X 倍，则可列方程 5/4A=1/4AX 解得 X=5 所以，正确答案为 A。 例6 一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶462公里或者在城市道路上行驶336公里，每 公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行驶6公里，问每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶 多少公里? A16 B21 C22 D27 （2003年中央 B 类） 解析：基本路程问题，采用方程法，设每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶 X 公里，则可列 如下方程 462X=336（X-6） 解得 X=22 所以，正确答案为 C。 注：此题亦可用速度差和路程差的关系来求解，速度将更快，详解过程本书略。 例7 甲、乙两人从400米的环形跑道的一点 A 背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每 秒钟比乙每秒钟多行01米，那么，两人第三次相遇的地点与 A 点沿跑道上的最短距离是 A166米 B176米 C224米 D234米 （2000年中央真题） 解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为 X 米/分，乙的速度为 Y 米/分，则依 题意可列方程 8X+8Y=4003 X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/ 分） 从而解得 X=78 Y=72 由 Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。 例8 列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客 发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。 解析：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010（米） ，乙车的速度是每秒钟 54000360015（米） 。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运 动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可： 从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟， 乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离 为（10+15）14350（米） 。又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客 在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内 所走的路程之和。 解：（10+15）14 350（米） 最后得，乙车的车长为350米。 例9 甲、乙二人从相距100千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中， 甲的车发生故障，修车用了1小时。在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍， 且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少? 解析：设乙的速度为 X，则甲的速度为 2X，并可列如下方程 32X+4X=100 解得 X=10 所以，甲的速度为20千米/小时，乙的速度为 10千米/ 小时。 例10 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车比另一列长150米。 时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟? 解析：首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止。因此， 这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇 算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两 个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和。因此，错车时间就等于车长之和除以 速度之和。 设某列火车的车长为 X，则根据速度相等可列如下方程： （250+X ）25=（210+X）23 解得 X=250 火车的速度为20米/秒 72公里/ 时=20米/秒 错车时间为（250+150）（20+20）=10 所以，错车时间为10秒。 4 五、行程问题 1相遇问题 知识要点提示： 甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A，B 之间 这段路程，如果两人同时出发，那么 AB 之间的路程 =甲走的路程+乙走的路程 =甲的速度相遇时间+乙的速度 相遇时间 =（甲的速度+乙的速度）相遇时间 =速度和相遇时间 “相遇问题”的核心是速度和问题。 例题：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米秒，第二列车的车速为125米秒，第二 列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米？ A60米 B75米 C 80米 D135米 （2004年 A 类真题） 解析：这是一个典型的速度和问题，两列火车的速度和为10米秒+125米秒22.5米秒，两 列火车以这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离也即第一列火车的长度。 即22.5米秒6秒135米。 2追及问题 知识要点提示： 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上 他。这就产生了“追及问题” 。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程， 也就是要计算两人走的速度之差。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内： 追及路程 甲走的路程乙走的路程 甲的速度追及时间乙的速度追及时间 （甲的速度乙的速度）追及时间 速度差追及时间 “追及问题”的核心是速度差的问题。 例题： 甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小 时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？ 解析：甲对乙的追及速度差28千米/小时24千米/ 小时 4千米/小时，追及时间为4小时，则追及 的距离为4千米/小时416千米，这也即两码头之间的距离。 3流水问题 知识要点提示： 我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水 的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即 顺水速度=船速+ 水速 同理 逆水速度=船速水速 可推知 船速=（顺水速度+ 逆水速度）2 水速=（顺水速度逆水速度）2 例题1： 一条河的水流速度是每小时2千米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然 后逆流到达中游的乙地，共用6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距 12千米。求甲、乙丙两地的距离。 解析：先求出船在顺流中的速度。因为船在顺流中每小时要加上2千米，在逆流中要减去2千米，两 者相差2+2=4 （千米） ，那么船在顺流通渠道的时速是42=8（千米） 。因为顺流速度等于逆流船速 的2倍，所以船从上游到达下游所用的时间应等于船从下游到中游所用的时间。那只船从上游到下 游所用的时间是62=3（小时） ，甲、丙两地相距38=24 （千米） 。 例题2：小王从甲地到乙地，因有风，所以去时用了2个小时，回来时用了3个小时。已知甲乙两地 的距离是60公里，求风速是多少？ A 5公里/小时 B 10公里 /小时 C 15公里/ 小时 D 20公里/小时 解析：此题可采用代入法。也可设小王的速度为 X，风速为 Y，则可列如下方程： XY602 XY603 解得 X25，Y5。 所以风速为5，答案为 A。 例题3：河水的流速是每小时2000米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后调头 逆行向上到达中游的乙地，共用时6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，甲、乙两地相 距12千米，问甲、丙两地相距多少千米？ A 24 B 18 C 16 D 14 解析：设逆水速度为 V，则顺水速度为 2V，设乙、丙两地相距 S 千米，则可列式如下： 根据顺水速度和逆水速度的公式可知，V 2（公里）2V，则 V2（公里） ，另外可知： （12S）/4S/2 6 解得 S12。 所以，甲、丙两地的距离为121224，即 A。 一、不当得利 不当得利是指没有合法根据，使他人受到损失而自己获得了利益。其中，取得不当利益的人叫受益 人，是不当得利之债的债务人，负有返还不当得利的债务；财产受损失的人叫受害人，是不当得利 之债的债权人，享有请求受益人返还不当利益的债权。 （一）不当得利的构成要件 不当得利的构成要件有四个： 1. 一方获得利益 。所谓获得利益，是指因为一定事实使财产总额增加。增加有积极的增加和消极 的增加两类。财产的积极增加，是指权利的增强或义务的消灭，使财产范围扩大。财产消极的增加， 是指当事人的财产本应减少却因一定事实而没有减少。 2. 他方受到损失。损失，包括：现有财产利益的减少，即直接损失或积极损失；财产利益应当增 加而没有增加，即间接损失或消极损失。 3. 获得利益和受损失之间有因果关系 所谓获得利益和受到损失之间有因果关系，是指他方的损失是因一方获得利益造成的。 4. 没有合法根据 造成他方损失而使自己获得利益，所以构成不当得利，是因为该项利益的取得没有合法根据。没有 合法根据是不当得利成立的重要要件。如果一方获得利益和他方受到损失有法律上的根据，当事人 之间的关系就受到法律的认可和保护，不构成不当得利。 6 但是下列情况下，当事人岁没有给付义务而为给付，另一方得利也不构成不当得利：（1）履行道 德义务而为给付；（2）为履行未到期债务而为给付；（3）明知无给付义务而交付财产；（4）因 不法原因交付的财产。 不当得利一经成立，当事人之间即发生债权债务关系。受害人有权请求受益人返还不当得利，受益 人负有返还不当得利的义务。在受益人死亡的情况下，可依继承法的规定，由其继承人负返还不当 得利的义务。 （二）不当得利的效力 不当得利一经成立，当事人之间即发生债权债务关系。受害人有权请求受益人返还不当得利，受益 人负有返还不当得利的义务。在受益人死亡的情况下，可依继承法的规定，由其继承人负返还不当 得利的义务。 1. 受益人为善意，即在受益人取得利益时不知道没有合法根据，其返还利益的范围以利益存在的 部分(现存利益)为限；如利益已不存在，则不负返还义务。所谓现存利益不限于原物的固有形态， 如果形态改变，其财产价值仍然存在或者可以代偿，仍然属于现存利益。 2. 受益人为恶意，即在取得利益时明知没有合法根据，其返还利益的范围应是受益人取得利益时 的数额，即使该利益在返还之时已经减少甚至不复存在，返还义务也不免除。之所以如此，是因为 受益人明知其取得利益没有合法根据，却仍然置受害人的合法利益于不顾，法律对此没有加以特别 保护的必要。 3. 受益人在取得利益时为善意，嗣后为恶意的，其返还范围应以恶意开始之时存在的利益为准。 二、无因管理 无因管理，是指没有法定的或约定的义务，为避免他人利益受损失，自愿管理他人事务或为他人提 供服务的行为。管理他人事务的人，为管理人；事务被管理的人，为本人。无因管理发生后，管理 人与本人之间便发生债权债务关系，这就是无因管理之债。其主要内容是，管理人享有请求本人偿 还因管理事务而支出的必要费用的债权，本人负有偿还该项费用的债务。 如果管理人为本人管理事务，使本人获得利益，管理人因此受到损失，便也符合不当得利的构成要 件。 （一）无因管理的构成要件 无因管理的构成要件有三，即为他人管理事务，有为他人谋利益的意思，没有法定的约定义务。 1. 为他人管理事务。管理他人事务，就是为他人进行管理或者服务。这是成立无因管理的首要条 件。但下列事项不能成为无因管理的对象：违法事项；不能发生债的关系的事项，如纯粹宗教的、 道德的和属公益性质的事项；依照法律规定必须经本人授权才能办理的事项；必须由本人亲自办理 的事项，如结婚登记；不作为事项等。 2. 有为他人谋利益的意思 为他人谋利益的意思，简称为管理意思，是构成无因管理的主观要件。 3. 没有法定或约定义务 无因管理中所谓“无因” ，就是指“ 没有法定或约定义务”。没有法定或约定义务是无因管理成立的重 要条件。因此在下列情况下就不能发生无因管理：(1)管理人负有法定义务； (2)管理人负有约定义 务。 （二）无因管理的效力 无因管理的效力，表现在无因管理一经成立，管理人与本人之间即产生债的关系。 管理人有要求本人偿付因管理而支付的必要费用和补偿因管理而遭受的相应损失的权利。但与不当 得利之债不同的是，无因管理之债中，管理人不仅是债权人，也是债务人。详言之，无因管理效力 的内容包括： 1. 管理人的义务 （1）适当管理义务 。第一，管理人不应违背本人的管理意思。第二，管理人应依有利于本人的方 法进行管理。 (2)通知义务。管理人应将管理事务的事实及时通知给本人，这是管理人的从属义务。管理开始时， 除管理人确实无法通知本人之外，均应及时通知本人。通知后，除有紧迫情况外，应听候本人的指 示。 （3）报告、计算义务。报告、计算义务主要包括以下三项内容：管理人还应将管理事务的进行 状态及时报告给本人。管理关系终止时，应向本人明确报告其始末；管理人因管理事务所取得 的物品、钱款及孳息应交付给本人；管理人为自己的利益而使用了应交付于本人的钱款，或者 使用了应为本人利益而使用的钱款，应自使用之日起支付利息。 2. 管理人的权利 管理人管理事务对本人有利并不违反社会常识时，管理人有权要求本人：（1）偿还管理人因管理 事务所支出的必要费用及其利息；（2）管理人为本人负担必要的债务时，本人应清偿该债务； （3）管理人因管理事务而遭受损失时，本人负责赔偿。 管理人管理事务违反本人的意思，但管理事务的结果有利于本人，则本人应就实际所得的部分利益 偿还管理人支付的必要费用，而不以管理人实际支付的费用为标准。但是，管理人所管理的事务属 于为本人尽公益的义务或为其履行法定义务时，如代缴税款、支付抚养费等，则本人仍应负全部偿 还管理费用的义务。 申论写作延伸阅读：农民工权益保障的问题与对策 来源：网络 时间： 2012-02-13 加入收藏 电邮给朋友 打印文章 写信给编辑 农民工是产业工人的重要组成部分，是我们党执政的重要群众基础。切实维护农民工合法权益，关 系党的执政基础和执政地位的巩固。党的十七大以来，各地各部门以扩大就业和维护农民工合法权 益为重点，不断加强和改进农民工工作，取得了明显成效。随着我国工业化、城镇化快速发展，农 民工群体不断扩大、结构不断变化，其就业和维权面临一些新情况、新问题，需要高度重视、积极 应对。 问 题 农民工就业形势依然严峻。就业是民生之本。经济发展方式转变和产业结构调整使我国农村富余劳 动力增多，但现行的就业制度设计并没有把农民工群体充分考虑进来，城乡统一的劳动力市场尚未 形成；企业用工谨慎，就业岗位有限；农民工受教育程度低，技能专业性不强，就业领域狭小。 农民工权益屡遭侵害。以工资待遇难以保障为主要特点的侵害农民工权益事件时有发生，用人单位 随意克扣工资、欠薪逃匿的现象大量存在。在一些