数学运算题型汇总与解析(中)打印版

数学运算题型详讲（中） 10.自然数的性质 自然数的性质问题包含的范围较广，自然数的整除问题、奇偶性问题、余数问题、最小公倍数问题、最 大公约数问题、自然数大小比较问题等都属于自然数的性质问题。 【例题 1】 （2010 年浙江省第 77 题）有一个自然数“x” ，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 3，问 “x”除以 12 的余数是多少（ ） A1 B5 C9 D11 【例题解析】本题给出数字较小，采用特值法往往可以迅速解题，可以快速看出自然数 11 符合条件， 11 除以 12 商为 0 余数为 11。 正确答案为 D。 【例题2】一类自然数，它们各数位上的和为2012，那么这类自然数中最小的一个的前两位是： A.11 B.12 C.10 D.59 【例题解析】欲使这个自然数最小，就应该使这个自然数的位数最少，也就是使各个位包含的9最多， 由于2012除以9商223余5，所以这个数的后223位均为9，将余数5放至数字的第一位才能使该自然数最小， 故此数的前两位为59。故应选择D选项。 【例题3】已知A，B，C，D和A+C，B+C，B+D，D+A分别表示1至8这八个自然数，且互不相等。如果A是 A，B，C，D这四个数中最大的一个数，那么A是（ ） A. 4 B. 5 C.6 D. 8 【例题解析】A比B、C、D大显然A最小为4，又由于A+B、D+A8，且每个数互不相等所以A最大是 6，C、D为1、2，B为3，符合题意。 故应选择C选项。 【例题4】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直到不能再写 为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是（ ）。 A. 202246 B. 112358 C.10112359 D. 10112358 【例题解析】由于公务员考试一直延用选择题形式，所以很多题目用“答案选项验算法”是最为快捷的 方法，而且为了提高，速度与准确性，“答案选项验算法”也往往是最佳捷径。 用此方法，从最大项开始验算，很容易发现C不合题意，D最大.案为D 【例题5】(2008国考55题)小华在练习自然数求和。从1开始。数着数着他发现自己重复数了一个数，在 这种情况下他将所得的全部数求平均，结果为7.4.请问他重复数的那个数是？ A.2 B.6 C.8 D.10 【例题解析】假设小华一共数了m个数字，重复数字为x 则可列出 (m+1) +x=7.4(m+1)。2 整理得2x=(m+1)(14.8-m), 因为m与x都是整数，所以14.8-m所得小数部分为8， 因此m+1应该是5的整数倍， 可知m=4或m=9或m=14 由于xm，故m=4、x=27(舍)；m=9、x=29(舍)；m=14,x=6为所求解。 故应选择B选项。 【例题6】已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相同的大于0的自然数，要使下列等式成立， A最小是（）。 B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F A.8 B. 9 C.19 D. 21 【例题解析】A=B+C且B=E+D，C=E+F所以A=D+2E+F=G+H+2H+2I+I+K=G+3H+3I+K 令H、I=1、2最小的，而E=H+I+3，又由于F=I+K，D=G+H，且字母间又互不相等，这样K、G最小为4、6， 所以A最小为4+6+32+31=19 故应选择C选项。 【例题7】某校人数是一个三位数，平均每个班级34人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校 人数比实际少180人，那么该校人数最多可以有（ ）个班。 A. 10 B. 19 C.26 D. 29 【例题解析】设百位数为a，十位数为b，则有a100+b10-（b100+10a）=180。解得：a-b=2，这 样，这个三位数就要使百位上的数比十位上的数大2，且是34的倍数，将4个答案选项分别乘以34，只有 1934=646满足百位数比十位数大2。 故应选择 C 选项。 【例题8】把一张纸剪成6块，从所得的纸片中取出若干块 ，每块各剪成6块；再从所有的纸片中取出若 干块，每块各剪成6块如此进行下去，到剪完某一次后停止。所得的纸片总数可能是 2011，2012，2013，2014这四个数中的（ ）。 A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 【例题解析】这道题貌似很难，但实际上我们只要认真分析其规律，很容易做出解答，这样的题目是国 内外招聘考试中最常采用的。 设第一次拿出a 1片剪，第二次拿a 2片剪，。第n次拿a n片剪 则有第二次剪完后有6-a 1+6a1=6+5a1片 第三次剪完后有6+5a 1-a2+6a2=6+5(a1+a2) 第四次剪完后有6+5(a 1+a2)-a3+6a3=6+5(a1+a2+a3) 所以最后有6+5(a 1+a2+an)片 也就是说该数减去6之后是5的倍数。 答案为A 【思路点拨】本题目为本类型重点部分，考生应重点掌握。 人数为一个三位数的某校，每班 34 人。 百位和十位上数字对换后。 比实际人数少的 180 人。 11.整除问题 很多问题，实际上都可以用整除的方法求解，整除问题往往与余数问题、分解因数问题有着密切的 联系。可以说是对同一问题，不同角度的思考方法。 作 答 整 除 问 题 ， 应 注 意 以 下 几 点 ： 1.熟 记 能 被 基 本 数 字 （ 2/3/5） 整 除 的 数 字 规 律 。 掌 握 能 被 数 字 （ 4/8/9） 整 除 的 数 字 规 律 ： 一 个 数 当 且 仅 当 末 两 位 能 被 4整 除 ， 这 个 数 才 能 被 4整 除 ； 一 个 数 当 且 仅 当 末 三 位 能 被 8整 除 ， 这 个 数 才 能 被 8整 除 ； 一 个 数 当 且 仅 当 各 位 数 字 和 能 被 9整 除 ， 这 个 数 才 能 被 9整 除 。 了 解 能 被 数 字 （7/11/13）整 除 的 数 字 的 共 同 规 律 ： 当 且 仅 当 末 三 位 与 其 余 数 字 的 差 能 被 7/11/13整 除 ，这 个 数 才 能 被 7/11/13整 除 。（如 数 字 122135，末 三 位 数 字 为 135，其 余 数 字 为 122，135-122=13，故 122135能 被 13整 除 。） 2.对 于 “见 面 ”问 题 ，要 弄 清 “隔 几 天 一 见 ”与 “几 天 一 见 ”的 区 别 。若 是 N天 一 见 ，则 M天 中 可 以 相 见 MN次 ，若 是 隔 N天 一 见 ，则 M天 中 只 能 相 见 M（N+1）次 ，也 就 是 说 “隔 N天 一 见 ”相 当 于 “N+1天 一 见 ”。 3.结 合 数 字 的 奇 偶 性 、 余 数 ， 运 用 代 入 、 特 值 、 估 算 等 方 法 也 是 解 决 整 数 问 题 的 重 要 方 法 。 如 某 个 三 位 数 的 数 值 是 其 各 位 数 字 之 和 的 23倍 。 则 这 个 三 位 数 为 A 702 B 306 C 207 D 203 由 备 选 项 易 知 每 个 数 字 的 各 位 数 字 之 和 都 小 于 10， 所 以 我 们 所 求 的 数 肯 定 不 大 于 230， 只 能 从 C、 D中 来 选 ， 验 证 可 知 C正 确 ， 故 应 选 择 C选 项 。 【例 1】 （08 河北省第 59 题）某人有 350 万元遗产，在临终前，他给怀孕的妻子写下这样的一份遗 嘱：如果生下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，妻子拿三分之一；如果生下来是个女孩，就把 遗产的三分之一给女儿，三分之二给妻子。结果他的妻子生了双胞胎(一男一女)，按遗嘱的要求，妻子 可以得到多少万元?() A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 【例题解析】通过题目可知，妻子拿的遗产是儿子拿的遗产的 1/2，是女儿拿的遗产的 2 倍 假设女儿拿的遗产为 x,可得妻子拿的遗产为 2x,儿子拿的遗产为 4x 所以 7x=350 即 x=50 答案为 B 【例 2】（2010 年江苏省第 31 题）从 1 开始，自然数中，第 100 个不能被 3 整除 的数是（） A152 B149 C142 D123 【例题解析】从 1 开始每三个数都会有一个数能被 3 整除，即 3、6、9 也即是说每个能被 3 整除的数的前两个是不能被 3 整除的，那么第 100 个不能被 3 整除的数，肯定在第 50 个能被 3 整除的数前，第 50 个能被 3 整除的为 150，所以第 100 个不能被 3 整除的为 149 答案为B 【例3】（2008云南省第6题）1200这200个自然数中，能被4或能被6整除的数有多少个？( ) A.65 B.66 C.67 D.68 【例题解析】 方法一： 1100中能被4整除的共有50个，能被6整除的共有33个；但是我们要看到，能被12整除的数能同时 被4和6整除，也就是说这些数都被我们多算了一次。能被12整除的共有16个，那么能被4或6整除的共有 50+33-16=67 方法二： 实际上在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12中，能被4或能被6整除的数有4个，而之后每12个如 如此循环一次，共16遍零3个，共计67个.案为C 【例题4】共有12盏灯编号为1、2、3，其中第2、3、7、11号是亮的，其余是关着的。从2011年5月 1日开始每天拉一盏灯的灯绳(依次)。一年后，亮着的电灯有多少盏？ A、4 B、6 C、8 D、12 【例题解析】一盏灯被开关偶数次后会与原状态相同，一盏灯被开关奇数次后会与原状态相反。由于 2012年是闰年，所以，一共将开关366次，366除以12，商是30余6，也就是说前6盏灯将被开关31次，后 6盏将被开关30次。前6盏灯将与原来状态相反，后6盏将与原来相同。所以前6盏中1、4、5、6、是亮的， 后6盏中7、11是亮的。 答案为B 【例题5】(2006年山东A卷第8题)有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余 5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是：（ ） A.216 B.108 C.314 D.348 【例题解析】此题的关键在于大家应该注意到，A除以B，商是5余5，就说明A=5B+5，也就是说，A应是5 的倍数，同理，A也应该是6、7的倍数，这样A要满足同时能被5、6、7整除，A也应该是5、6、7的最小 公倍数210的倍数。而题目A、B、C、D的和不超过400，这样就可求出A、B、C、D分别为 210、41、34、29。答案为C 【例6】（2010年国考第48题）某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5 排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无 虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训? A.8 B.10 C.12 D.15 【例题解析】 方法一： 通过题目条件易知，甲教室可容纳510=50人，乙教室可容纳59=45人，两教室 能被 4 整除 的数 50 个 能被 6 整除 的数 33 个 能同时 被 4 和 6 整除的 数 16 个 可容纳人数差值为5人。假设27次培训均在乙教室举行，则培训人数应为45 27=1215人，与实际培训人数差值为1290-1215=75人，总培训人数的差值除以单次培训 人数的差值=甲教室的使用次数，即755=15，故应选择D选项。 方法二： 由题目条件，设甲教室使用x次，乙教室使用y次， 列二元一次方程组50x+45y=1290 x+y=27 联立两方程，解得x=15，y=12，故甲教室使用15次，故应选择D选项。 方法三： 由题目条件易知甲教室可容纳510=50人，乙教室可容纳59=45人。由于参与培训总人数为1290人， 可知乙教室的使用次数应为偶数次。观察选项，只有D选项15人满足使乙教室的使用次数为偶，（27- 15=12），故应选择D选项。 【例题7】三位采购员定期去某商店,小王每隔9天去一次,大刘每隔11天去一次,老杨每隔7天去一次,三 人星期二第一次在商店相会,下次相会是星期几? 星期一 B. 星期二 C.星期三 D.星期四 【例题解析】此题如果不注意审题，很可能误以为求出9、11、7的最小公倍数即可。题目中有一点非常 容易被大家忽略，就是三人都是每隔几天再去。隔9天再去，就是10天之后了。所以，应该求10、12、8 的最小公倍数 ，120天除以7余125320 答案为C 【重点提示】考生要区分“几天一见”和“隔几天一见”的区别。 【例题8】已知2012被一些自然数去除，得到的余数都是10。这些自然数共有（）个。 .9 .10 .11 .12 【例题解析】这道题的关键在能够对余数的定义深入理解。2012被一些自然数去除，余数是10。那么， 这些自然数就应该可以被2002整除，且大于10。 2002分解因数为271113，那么2002就可以被2、7、11、13、14、22、26、77、91、143整除，其 中有11143，8个数大于10，再加上2002本身，一共是9个自然数满足题意 答案为A。 【重点提示】利用“减余”的方法，将余数问题化为整数问题。 12.余数问题 余数问题可以看作整除问题的一类变式，寻求满足条件的数字实际上等同于解决满 足各种限制条件的整除问题，此类问题对大家的要求主要是能够迅速做出准确判断。 解 答 余 数 问 题 ， 需 要 注 意 以 下 几 点 ： 1.余 数 问 题 要 熟 练 掌 握 余 数 问 题 的 基 本 公 式 ： 被 除 数 =除 数 商 +余 数 余 数 问 题 中 余 数 永 远 小 于 除 数 只 要 将 余 数 问 题 中 的 余 数 用 加 减 法 处 理 掉 ， 一 切 余 数 问 题 就 成 为 了 整 除 问 题 。 2.方 阵 问 题 N排 N列 的 方 阵 共 有 N2人 ； N排 N列 的 方 阵 ， 最 外 层 有 4N-4人 ； 方 阵 中 相 邻 的 两 圈 人 数 ， 外 圈 人 数 比 内 圈 多 8人 。 此 外 ， 在 很 多 方 阵 问 题 中 ， 最 后 一 排 不 一 定 排 满 ， 可 能 为 不 大 于 每 排 人 数 的 任 意 一 个 数 。 3.多 个 数 字 的 余 数 问 题 同 时 满 足 被 A整 除 余 X， 被 B整 除 余 Y的 数 可 以 表 示 为 nk+m， 其 中 k为 A、 B的 最 小 公 倍 数 ， m为 同 时 满 足 被 A整 除 余 X， 被 B整 除 余 Y的 最 小 的 整 数 。 如 11是 被 3整 除 余 2， 被 5整 除 余 1的 数 字 中 的 最 小 的 数 字 ， 则 15n+11也 一 定 满 足 相 同 条 件 。 解 决 此 类 问 题 通 常 从 满 足 某 一 条 件 的 最 小 的 自 然 数 入 手 ， 同 时 ， 代 入 试 算 法 也 是 解 答 此 类 问 题 的 一 种 重 要 解 题 方 法 和 验 算 方 法 。 【例题1】有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【例题解析】依照题干条件，可以取得满足此条件的最小整数解为5，5除以12余5。故应选择B选项。 这里请注意一个问题，3和4的最小公倍数是12，那么每个数除以3余数、除以4余数情况，每12个数就是 一次循环。也即是说，任意一个数加上n倍的12，其除以3余数、除以4余数情况，都是一样的。 【例题2】（2010年黑龙江省第44题）一个小于100的整数与5的差是4的倍数，与5的和是7的倍数，这个 数最大是多少?( ) A85 B89 C97 D93 【例题解析】这道题可用代入试算法，因为要找最大的数，所以可从选项中从大往小试算，97+5=102， 无法被7整除，排除C项。93+5=98，可以被7整除；93-5=88，可以被4整除，所以答案为D项。 【例题3】（08广西第11题）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有 官兵多少人( ) A441 B.400 C.361 D.386 【例题解析】在N排方阵中，最外排一定有4N-4个人，（4N-4表示最外排每边人数4-每顶点重复计算 的四个人）。则有4N-4=80，解得N=21 21排的方阵，共有21 2=441人。故应选择A选项。 【例题4】（09四川省公考第13题）学校给一批新入校的同学分宿舍，若每个房间住7人，则6人没有床 位，若每个房间住8人，则空出3个房间，新同学人数是（） A188 B194 C206 D216 【例题解析】设共有x个房间那么可以得出： 7x+6=8(x-3) 所以x=30也即新同学人数为216人.案为D 【例题5】 (2006年国家考试一卷第50题) 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数 共有（ ）。 A5个 B6个 C7个 D8个 【例题解析】954=180,即满足条件的三位数每增加或减少180，同样满足条件，从100到999这900个 三位数中，符合条件的应该为900/180=5个，为187，367，547，727，907。答案选A 【重点提示】每隔这三个数的最小公倍数，都会有一个满足条件的数 【例题6】（2005浙江第13题）自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8 的余数为7。如果：100。故应选择 D 选项。 【例题 2】 （2007 年浙江第 22 题）如图所示，矩形 ABCD 的面积 为 1，E、F、G、H 分别为四条边的中点，FI 的长度是 IE 的两倍，问 阴影部分的面积为多少？ A. B. C. D.3 141165247 【例题解析】连接 FG 与 EH，如下图所示 E、F、G、H 分别为各边中点， AFEFBGGCHEHD 面积均等于 矩形 ABCD 的面积8 1 故四边形 EFGH 面积= 矩形 ABCD 的面2 积=0.5 EFGH，过 I 点做垂线 I 交 GH 于 O 有 IOGH 且 IOEF IGH 的面积= GHIO2 IFG 的面积+EIH 的面积=IFIO2+IEIO2=EFIO2 EF=GH IGH 的面积=IFG 的面积+EIH 的面积 IGH 的面积= 四边形 EFGH 面积=0.252 1 应选择 B 选项。 【例题 3】 ABC 的面积为 1 个单位，延长 AC 的一倍到 D，延长 CB 的二倍到 E，延长 BA 的 3 倍到 F，连接三个点形成DEF，求DEF 的面积。 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【例题解析】连接辅助线 BD，ABC 与 BCD，等底等高，所以 ，而 BCD 与 ECD 的高ABCDS= 是相等的，底的比是 1：3，所以 SECD =3SBCD =3， 连接辅助线 AE，AEC 与 ECD 等底等高。所以， S EAC =SECD =3 大家再看，AB:BF=1:4，所以 SEFB =4SEAB =8，AF:AB=3:1，所以36AFDBS SEFD =SAFD +SEFB + SECD + SABC =18 故应选择 D 选项。 【例题 4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E、H 分别是 AD 和 DC 的 中点，求阴影部分的面积。 A. 14 B.16 C. 17 D. 18 【例题解析】这道题难度有些大，但是包含了很重要的求面积技巧。 FHC 与 DHF 等底等高，S FHC = SDHF 。F 为对角线 BD 上的一点，E、H 都是正方形 ABCD 边上的中点， 所以 FED 与 FDH 全等，所以 SEFD = SFDH = SFHC = 3 1SEDC 而 SEDC = SABCD= 30cm24 1 所以 SFDE =SFDH =SFHC =10cm2 从 BC 的中点 J 做垂线交 BH 于 I，从 J 做垂线到 EC，交点 于 K， 大家 很容易证明 BIJ、JKC、JIK、IGK 与 GHC 全等。 所以 SGHC = SBHC = 30cm2=6cm25 1 SFGH = SFHC -SGHC =10-6=4cm2 所以 SFDHG=SFDH +SFHC =10+4=14cm2 答案为 A （2）周长问题 解决周长问题的关键是要准确找出所求特殊图形与题目中所给的基本图形之间的关系，找出变化规律 即可解决。 【例题 1】图中阴影部分为正方形，那么图中最大的长方形周长是多少厘米？ A.25 B.30 C.32 D. 35 【解析解析】设正方形的边长为 a，则有长边为 6+9-a，周长为 2(6+9-a)+2a=30cm 故应选择 B 选项。 【例题 2】 （09 云南 11 题）如图，它是由 15 个同样大小的 正 方形组成。如果这个图形的面积是 375 平方厘米，那么，它的周 长 是( )。 A150 B155 C160 D165 【例题解析】每个正方形的面积为 37515=25 平方厘米， 边 长为 5 厘米。周长为 532=160 厘米，故应现在 C 选项。 【例题 3】 (2003 年浙江一卷第 19 题)如图所示，以大圆的一条直径上的六个点为圆心，画出六个 圆的周长紧密相连的小圆。请问，大圆的周长与大圆内部六个小圆的周长之和相比较，结果是（） A.大圆的周长大于小圆的周长之和 B. 小圆的周长之和大于大圆的周长 C. 一样长 D.无法判断 【解析解析】公考中的图形题，关键是找出其解题思路，思路 找对， 就会迎刃而解。因为圆的周长=d，圆的周长只与直径有关。所以 在大 圆直径上无论取多少点为圆心，做出的小圆周长之和均等于大圆周 长。 故应选择 C 选项。 【例题 4】(2004 年浙江 A 卷第 17 题)右图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的 等边三角形的边长是 a，问这个六边形的周长是多少？（） A . 30a B. 32a C. 34a D.无法计算 【例题解析】我们设最大的正三角形边长为 b 第二大的三角形边长为 b-a 第三大的三角形边长为（b-a）-a 第四大的三角形的边长为 2 六边形的周长为 6a+5a+5a+4a+4a+3a+3a=30a 故应选择 A 选项。 【例题 5】(2003 年广西考试一卷 44 题)如图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形 EFGH，中间 阴影为正方形。已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是 32cm2，四边形 ABCD 的面积是 20cm2。问甲、乙、丙、丁四个长方 形周长的总和是多少? A32cm B56cm C48cm D68cm 【解析解析】这一类题目只要大家认真观察，凭大家的聪明才 智找出其解题思路是不难的。 SABCD- （S 甲 +S 乙 +S 丙 +S 丁 ）= S 阴影 =20- =42 123 S 阴影 + S 甲 +S 乙 +S 丙 +S 丁 = SEFGH=32+4=36 则EFGH 的边长为 6，周长为 24，甲乙丙丁的周长和是EFGH 的两倍。所以甲乙丙丁的周长和是 242=48。 故应选择 C 选项。 （3）其它类平面几何问题 【例题 1】 （09 江西 14 题）一个等腰三角形，两边长分别为 5cm，2cm，则周长为多少厘米？ A12 B9 C12 或者 9 D无法确定 【例题解析】由三角形的两边之和大于第三边可知，另一条边只能是 5cm，所以周长为 12cm，故应 选择 A 选项。 【例题 2】 （2010 年江苏省第 38 题）若一个三角形的所有边长都是整数，其周长是偶数，且已知其 中的两边长分别 10 和 2000，则满足条件的三角形总个数是（ ） A9 B10 C7 D8 【例题解析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可设第三边为 x x+102000,x-10B的年龄时，M年后，A年龄为A+M，B年龄为B+M，此时必有 。此种性质实际上是年龄问题与AMB 自然数倍数性质的结合，通过此法可以快速判定年龄间倍数关系的变化规律。 【例题1】(2000年国家考试一卷31题 )今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4 倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是（ ）。 A.60岁，6岁 B.50岁，5岁 C.40岁，4岁 D.30岁，3岁 【例题解析】设儿子今年的年龄是x岁，根据年龄问题中年龄的“同增同减”性可知6年后父亲与儿子年 龄增长值都是6，可以轻易列出方程10x+6=4(x+6) 解得x=3 故应选择D选项。 【例题2】（2007年宁夏第13题）甲、乙、丙三人现在年龄之和为100岁。甲28岁时，乙是丙的2倍，乙 20岁时，甲是丙的3 倍。问三人现在的年龄各是多少岁？ A.30 46 24 B.40 38 22 C.40 36 24 D.42 38 20 【例题解析】设甲乙丙三人年龄分别为x、y、z 。 由条件“甲28岁时，乙是丙的2倍”，可列方程 y-(x-28)=2(z-x+28) 由条件“乙20岁时，甲是丙的3 倍”，可列方程 x-(y-20)=3(z-x+20) 又由于三人年龄和为100岁，可列方程 x+y+z=100 联立两方程，可消去未知数x、z。直接解得y=36。故此题应选择C选项。 【重点提示】作答此类题目时，应注意年龄的“同增同减性”，即n人的年龄在m年后，必定总共增长mn 岁，n人的年龄在m年前，必定总共减少mn年。 【例题3】（2009年北京17题）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的年龄的8倍时，父 子的年龄和是多少岁? A36 B54 C99 D162 【例题解析】分析题干中条件“父亲今年44岁，儿子今年16岁”可知当前父亲年龄是当前儿子年龄的 2.75倍。 依据自然数的性质 (A、B、M 均为正自然数, 且 1) 0，B-M0，且 1) 可知要使“父亲的年龄是儿子的年龄的 8 倍” ，须使两人的年龄共同减小。即两人此时 的年龄和定小于当前年龄和 44+16=60，因此可首先排除 C、D 选项。 又知两人父子两人年龄差为 44-16=28 设儿子年龄 x 岁时父亲的年龄是儿子的年龄的 8 倍，可列方程 8x-x=28，解得 x=4。此时两人年龄和为 49=36。故应选择 A 选项。 此题也可利用上述步骤，使用排除、代入相结合的方法，快速作答。 【重点提示】解答年龄题时，一定要把握“两人年龄差为定值”这一重要特点，以帮助考生快速解答年 龄问题。同时，还应注意联系其他数学知识（如此题用到的自然数性质） ，结合代入法、排除法快解年 龄问题。 【例题 4】(2004 年广西第 44 题) 某公司制定的退休政策叫“70 条款” ，即职员的工龄加年龄至少要 70 年。如果一女职员在 1986 年她 32 岁时进入该公司，问到哪一年她才有资格退休? A2003 年 B2004 年 C2005 年 D2006 年 【例题解析】设到公元 x 年，她才有资格退休。该职员每工作一年，工龄和年龄各增长一年，即到 x 年 时，她的工龄和年龄共增长了（x-1986）2 年。故有方程（x-1986）2+32=70，解得 x=2005。答案 C 【思路点拨】作答此题，应注意按题目中的“70 条款” ，该职工每工作一年，年龄和工龄各增长一年。 以此为突破口，可轻松列出方程。 【例题5】（2007年四川省第8题）祖父年龄70 岁，长孙20 岁，次孙13 岁，幼孙7 岁，问多少年后， 三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等？( ) A.10 B.12 C.15 D.20 【例题解析】设 x 年后三个孙子的年龄之和与祖父的年龄相等。可知 x 年后祖父年龄增长 x 岁，三个孙 子年龄共增长 3x 岁。 可列方程 70+x=20+13+7+3x 解得 x=15 故此题应选择 C 选 项。 【思路点拨】解答此类问题，应注意找到“祖父”与“孙子”的年龄增长关系，即当祖父有 n 个孙子时， 若干年后“孙子”年龄的总增长数一定为祖父年龄增长数的 n 倍。 【例题 6】(2008 年国家考试第 52 题 )5 年前甲的年龄是乙的三倍，10 年前甲的年龄是丙的一半，若用 y 表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙当前的年龄？ A. B. C. D.3y-5 565103y103y 【例题解析】y 为丙当前年龄，那么 y-10 为丙 10 年前的年龄，则 为甲 10 年前的年龄， 102y 为甲 5 年的年龄。那么乙五年前的年龄为 ，则乙当前年龄为 。故答案为 A。 102y656 【例题 7】(2005 年国家考试一卷 49 题)甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说： 当我的岁数到你现在岁数时，你将有 67 岁。甲乙现在各有：（ ） A45 岁，26 岁 B46 岁，25 岁 C47 岁，24 岁 D48 岁，23 岁 【例题解析】设甲的年龄为 x 岁，乙为 y 岁。 根据“当甲的岁数是乙现在岁数时，乙才 4 岁”，可列方程 y-(x-y)=4 根据“当乙的岁数到甲现在岁数时，甲将 67 岁”，可列方程 x+(x-y)=67 联立两方程可解得 x=46，y=25 故应选择 B 选项。 【思路点拨】解答此类问题的关键在于充分理解题目中条件。即将“当 A 的岁数是 B 现在岁数时，B 才 n 岁”这句话表示为 B-(A-B)=n 这一关键步骤。同时还要根据题目中叙述，正确判断两人年龄的大小关 系。 此外，在这里再向考生介绍一种所谓的平均分段法。就是将题目中出现的几个年龄，依照两人年龄差为 定值这一年龄特性，构造出一个以年龄差为公差的等差数列。结合此题，如图所示： 年龄差 年龄差 年龄差 建立起一个以 4 为首项，67 为第四项，公差为定值（年龄差）的等差数列。 通过等差数列公式，可求得甲乙二人年龄差为（67-4）3=21， 故甲的年龄为 67-21=46 岁，乙的年龄为 4+21=25 岁。 此种方法较简便，但使用时具备很强的局限性，故不推荐考生强记。考生只要能灵活运用年龄问 题中年龄差恒不变的性质，采用列方程的方法一般都可迎刃而解。 【例题8】（2010年国考第52题） 一位长寿老人出生于19世纪90年代，有一年他发现自己年龄的平方刚 好等于当年的年份。问这位老人出生于哪一年? A.1894年 B.1892年 C.1898年 D.1896年 【例题解析】根据常识我们可以判定长寿老人的年龄一定在130岁之内，即该年份一定在1890年 2020之间。根据我们的知识储备易知40 2=1600，50 2=2500。题目中所述年份，老人年龄在40-50岁之间。 又由于45 2=2025，可知题目中所述年份，可知老人年龄在45岁以下，由于43 2=1849，超出了老人年龄可 能的范围，故可断定，题目中所述年份为44 2=1936年，此时老人年龄为44岁，可轻易计算老人生于1936- 44=1892年。故此题应选择B选项。 【重点提示】与生活常识相联系，也是解答年龄问题的一种重要方法。人的寿命，父子、爷孙之间的年 龄差值的科学性，都是题目所给出的隐含条件。 【例题 9】樊政老师向大家作自我介绍时说：“我是九十年代的大学生，我今年的年龄减去我出生年份 的各个位上的数的和等于 24。 ”今年是 2011 年，问樊政老师今年的年龄是多少？（ ） A35 B37 C39 D41 甲现在年龄+ 两人年龄差 =67 岁 乙现在年龄 乙现在年龄- 两人年龄差 =4 岁 甲现在年龄 【例题解析】解答年龄问题的一个关键在于充分使用题目中的各个条件，将题目中的各种已知条件合理 转换成数学关系。 樊政是 90 年代的大学生，这样就可以断定，樊政的出生年份一定是 19 年。 设樊政的出生年份的十位数为 x，个位数为 y 则有 2011-（1900+10x+y）=1+9+x+y+24 解得： 11x+2y=77 x、y 都是小于 10 大于等于 0 的整数，所以只有当 x=7，y=0 时成立。 樊政的出生年份是 1970 答案为 D 19.平均数问题 平均数是我们日常生活、工作总最常用到的一个数学概念之一，因此平均数问题往往结合实际的情 况较多。 解答平均数问题，要掌握平均数的以下特性 1.平均数的基本公式是：平均数=总数个数 2.将一些数字分成N组，若N组数字的平均数均相等为M，则所有数字的平均数也为M。 3.若有N个数字，将其中任意的N-1个数字的平均数与剩余的一个数相加构成的由N个新数组成的数列中， 新数列的数字和为原数列数字和的二倍。 4.在解答圆桌问题时，选定一个对象作为基准点有助于理清思路，由于圆桌问题中，每个人都有两 个“邻居”，并且每个人都是其他两个人的“邻居”，因此在绕圆桌报平均数时，每个人的数字都 被计算了两遍。 【例题1】 (2005年浙江一卷16题)有十名学生参加某次数学竞赛，已知前八名的平均成绩是90分，第九 名比第十名多2分，所有学生的平均成绩是87分。问第九名学生的数学成绩是几分? A70 B72 C74 D76 【例题解析】十名学生的平均分是87，则十人总分是870分，前8名的平均分是90，则前8人总分是720分， 后两人的总分是870-720=150分，第九名比第十名多2分，则第九名分数是76分，故应选择D选项。 【重点提示】所有人的平均成绩乘以10减去前八名的平均成绩乘以8即为后两名的成绩和 【例题2】（2007年吉林乙级第10题）车间共40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平 均成绩是83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工多少人？ A.16人 B.18人 C.20人 D.24人 【例题解析】设女工为x人。那么可以根据题意列方程为：83（40-x）+78x=4080 得：x=24。故选 D。 【例题3】（2007年广东第7题）小明前三次数学测验的平均分数是88分，要想平均分数达到90分以上， 他第四次测验至少要达到( )。 A98分 B96分 C94分 D92分 【例题解析】前三次的总分为883=264，那么四次平均成绩要想达到90以上，那么四次的总分就要达 到360分以上，所以第四次成绩至少要达到96。故应选择B选项。 【思路点拨】小明前三次考试均比90分差2分，要想使四次考试平均成绩高于90，则最后一次考试必须 比90分高23=6分，故第四次测验至少要达到96分。 【例题 4】 （2010 年吉林省第 7 题）某班一次期末数学考试成绩，平均分为 95.5 分。后来发现小林 的成绩是 97，分误写成 79 分。再次计算后，该班平均成绩是 9595 分，则该班人数是。 A.30 人 B.40 人 C.50 人 D.60 人 【例题解析】该班平均成绩相差仅是因为小林一人的成绩差引起的 所以设该班人数为 x (95.95-95.5)x=97-79 解得：x=40，故应选择 B 选项。 【例题5】（2007年北京市应届第25题）某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、 数学平均成绩90分，语文、英语平均成绩93.5分，则该生语文成绩是多少? A.88 B.92 C.95 D.99 【例题解析】设语文为a,数学为b,英语为c ，所以 a+b+c=279 ，所以 a+b=180 ，所以 93ba 902ba5.92ca a+c=187 综上可得：a=187+180-279=88 分。故应选择 A 选项。 【例题6】有10个数，用其中9个数的平均数，再加上另外的一个数，按这样的方法计算，分别得到： 100、110、120、130、140、150、160、170、180、190，那么原来10个数的平均数是多少？ A50 B75 C100 D150 【例题解析】“其中9个数的平均数再加上另外一个数”，实际上是其中9个数的 的和再加上另外一 19 个数。这样， 121010.90(.)aa12105(.)aa70. 所以平均值为75。答案为B 【重点提示】新数列和的一半即为原数列的和 【例题 7】(2006 年山东 A 卷第 18 题)A、B、C、D、E 五个人在一次满分为 100 分的考试中，得分都 是大于 91 的整数。如果 A、B、C 的平均分为 95 分，B、C、D 的平均分为 94 分，A 是第一名，E 是 第三名得 96 分。则 D 的得分是：（ ） A.96 分 B.98 分 C.97 分 D.99 分 【例题解析】A、B、C、的平均分是 95，B、C、D 的平均分是 94 则（A+B+C）/3-（B+C+D）/3（A-D）/395-941 所以 ，A 最高为 100 则，397 但是如果 D 是 96 分，就与 E 并列第三，则 B、C 必须有一人96，如果 B、C 有一人96，A 考 99，A、B、C 的平均值就不可能为 95 了（因为 B、C 都必须91） 。所以 D 就只能是第二名，97 分。 故选 C。 【例题 8】六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是 99 分，最低分是 76 分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得（ ）分。 A.80 分 B.90 分 C.95 分 D.97 分 【例题解析】六人平均分为 92.5 分，所以总分是 92.56=555 分，第一名为 99 分，最低分为 76 分，则二至五名的分数和为 555-99-76380 分。欲使第三名分数最少，则第二名要尽量高，第二 名最高 98 分，则三、四、五名和最少为 282，这样当三、四、五各为 95、94、93 分时，第三名分 数最少为 95 分，故应选择 C 选项。 【例题 9】樊政和另外 5 个人围坐在一张圆桌旁，每个人将自己 2007 国考行测成绩告诉左右相邻的 两个人。然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的成绩的平均数亮出来。 从樊政开始顺时针依次报的平均数是：69（樊政报的数） 、 67、64、61、53、73。问樊政 2011 国考行测成绩是多少？( ) A.79 B.78 C.76 D.74 【例题解析】如图，设 6 人心中所想的数分别为 a1、a 2、a 3， 则有(a 1+a3 )2=67，(a 5+a1)2=73，(a 3+a5)2=61 则有 a1+(a3+a5)2=140 而(a 3+a5)2=61，所以 a1=79 答案为 A 【重点提示】每个人报的都是他周围的两个人的平均值，每个人也都被报了两次。 20.数位问题 所谓数位问题是指以 数 字 为 主 要 研 究 内 容 的题目，主要包括以下几类：书本的页码问题、自然 数的运算规律以及自然数的相关排列问题。 解 答 数 位 问 题 时 我 们 要 注 意 以 下 几 点 ： 一 、数 字 的 表 示 方 法 任 何 一 个 数 字 ，我 们 都 可 以 用 A0.1+B1+C10+D100的 形 式 来 表 示 。 二 、注 意 数 位 问 题 中 的 特 殊 数 字 与 特 殊 构 造 方 式 当 数 位 问 题 中 出 现 数 字 “0”时 ，考 生 一 定 要 提 高 警 惕 ，因 为 数 字 0是 不 能 作 为 首 位 构 成 数 字 的 。同 时 ，在 构 成 年 份 、日 期 、星 期 等 有 特 定 要 求 的 数 字 时 ，还 要 考 虑 所 选 数 字 是 否 能 满 足 这 些 特 殊 构 造 方 式 的 构 造 习 惯 。 三 、页 码 问 题 的 特 点 一 页 书 有 两 个 页 码 ，并 且 两 个 页 码 一 定 为 连 续 一 奇 一 偶 。 此 外 ，页 码 问 题 还 常 常 要 使 用 等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 辅 助 计 算 ，希 望 考 生 牢 记 公 式 。等 差 数 列 前 n项 和 公 式 ： 四 、利 用 代 入 验 证 法 巧 算 数 位 问 题 的 运 算 量 较 大 ，很 多 题 目 我 们 可 以 结 合 答 案 ，利 用 代 入 验 证 法 来 解 答 ，可 以 为 考 生 节 省 很 多 宝 贵 的 答 题 时 间 。 【例题1】（2008国考51题）编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如115页用了2个1和1个5 共3个数字），问这本书一共有多少页？ A.117 B.126 C.127 D.189 【例题解析】从第一页到第九页，用了9个数字，第10页到第99页，用了两个数字的共有90页，因此三 位数字码占了270-902-9=81个数字，即三位数的页码应该有81/3=27页即100126页。如下图，故选 B。 【思路点拨】做这道题目，一定要清楚毎个数字所占的位数，这些清楚之后计算也就会像是上图所列的 一样，只是简单的加减问题！ 【例题2】 （2006天津一卷第74题）王先生在编一本书,其页数需要用6869个数字,问这本书具体有多 少页? （ ） A、1999 B、9999 C、1994 D、1995 【例题解析】由上题可知，前999页共用2889个数字，6869-2889=3980，39804=995，995+999=1994页。 故应选择C选项。 【思路点拨】本题和例1是同一类型的题，只要考生抓住这个特点：一位数占用一个数字，共有“1-9” 9个数字；两位数占用两个数字，共有“10-99”90个数字；三位数占用三个数字，共有“100-999”900 个数字依此类推，那么就很容易解出此类题目。 【例题3】所有的两位数相乘。问它们相乘的积从个位算起一共连续出现多少个0？（ ） A、9 B、10 C、18 D、21 【例题解析】大家知道乘数的末位每有一个0，积的末位就会对应一个0。另外，由于乘数中偶数足够多， 所以乘数末位每有一个5，积的末位也会相应多一个