数量关系讲义(公务员考试)

数 量关系模 块 班讲义 讲 义 结 构 及 内 容 安 排 一、 数量关系 1、 数字推理 第一章 基 础数列类 型 第一章 多 级数列 第二章 多 重数列 第三章 多 元 数列 第四章 幂 次数列 第五章 递 推数列 数字推理做 题思维过 程结构图及解题技巧 2、 数学运算 第零章 代 入排除法 第一章 计 算问题模 块 第二章 初 等数学模 块 第三章 比 例问题模 块 第四章 行 程问题模 块 第五章 几 何问题模 块 第六章 计 数问题模 块 第七章 杂 题模块 数学基础知识附录 注意事项： 正文中带* 部分为自 学内容， 课堂上面 不再 细讲。 数量关系讲义 数 量关 系 主要测查应试者理解、把 握事物间量 化关系 和解决数量关 系问题的 技能，主 要涉及数字 和数据关 系的分析 、推理、 判断、运 算等 。 上篇 数字推理 第一 种题型： 数字推理。 每 道题给出 一个数列 ， 但 其中缺少一 项， 要求 应试者仔 细观察 这个数列 各数字之 间的关系 ， 找出 其中的排 列规律 ， 然后从 四个供选 择的答案 中选出 ，合适的 一项，使 之符合原 数列的 排列规律。 备考重点方向： n 基础数列类型（第一章详细阐述） n 五大基本题型（多级、多重、多元、幂 次、递推） n 基本运算速度（计算速度、数字敏感） 【 第 一 章 基 础 数列 类型 基本数列： 1、 【例】 7、 7、 7、 7、 7、 7、 7、 7、 7 2、 【例】 2、 5、 8、 11、 14、 17、 20、 23 3、 【 例 】 5、 15、 45、 135、 405、 1215、 3645、 10935 4、 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19 4、 6、 8、 9、 10、 12、 14、 15 【注】 1既不是质 数 、也不 是合数。 经典分解： 200以内质数表 91 = 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41 111= 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97 119= 101、 103、 107、 109、 113、 127、 131、 137、 139、 149 、 151 133= 157、 163、 167、 173、 179、 181、 191、 193、 197、 199 5、 【例 1】 1、 3、 4、 1、 3、 4 【例 2】 1、 3、 1、 3、 1、 3 【例 3】 1、 3、 4、 -1、 -3、 -4 6、 【例 1】 1、 3、 2、 5、 2、 3、 1 【例 2】 1、 3、 2、 5、 5、 2、 3、 1 【例 3】 1、 3、 2、 5、 -5、 -2、 -3、 -1 【例 4】 1、 3、 2、 0、 -2、 -3、 -1 例 题 【例 1】582 、554、5 26、498 、470（ ） 精 讲 .442 B. 452 C.432 D. 462 【例 2】8、1 2、18、 27（ ） A.39 B.37 C.40.5 D.42.5 【例 3】4、 6、10、14、22（ ） A 30 B 28 C 26 D24 第 二 章 多 级 数列 第一 节 二 级 数列 例 题 【例 1】12、 13、15 、18、22 、( ) 精 讲 A.25 B.27 C.30 D.34 【例 2】32、 27、23 、20、18 、( ) A.14 B.15 C.16 D.17 【例 3】2、3 、5、9 、17（ ） A.29 B.31 C.33 D.37 【例 4】20、 22、25 、30、37（ ） A.39 B.46 C.48 D.51 【例 5】1、4 、8、13 、16、20 、( ) A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 【例 6】39， 62，91 ，126，14 9，178（ ） A.205 B.213 C.221 D.226 【例 7】102 、96、10 8、84、1 32、( ) A.36 B.64 C.216 D.228 【例8】32， 48，40， 44，42， （ ） A.41 B.43 C.47 D.49 【例 9】1、2 、6、15 、31 ( ) A.53 B.56 C.62 D. 87 【例 10】6、 8、( )、 27、44 A.14 B.15 C.16 D.17 第二 节 三 级 数列 例 题 【例 1】1、1 0、31、 70、133 、( ) 精 讲 A.136 B.186 C.226 D.256 【例 2】0、4 、16、4 0、80、 ( ) A. 160 B. 128 C. 136 D.140 【例 3】0、1 、3、8 、22、63 、( ) A.163 B.174 C.185 D.196 【例 4】1，8 ，20，4 2，79（ ） A.126 B.128 C.132 D.136 【例 5】5、1 2、21、 34、53、 80（ ） A. 121 B. 115 C. 119 D. 117 【例 6】7、7 、9、17 、43（ ） A. 119 B. 117 C. 123 D. 121 【例 7】1、9 、35、9 1、189（ ） A. 361 B. 341 C. 321 D. 301 第三 节 做 商 数列 例 题 【例 1】1、1 、2、6 、24、( ) 精 讲 A. 48 B. 96 C. 120 D. 144 【例 2】2、4 、12、4 8、( ) A.96 B.120 C.240 D.480 核心提示 做商数列相 对做差数 列的特点 是： . 【例 3】2，6 ，30，2 10，2310 （ ） A.30160 B.30030 C.40300 D. 32160 2【例 4】100 ，20，2 ， 15 1A. B. 1， 150 1 （ ） 1 1C. D. 3750 225 6 500 10【例 5】1200 ，200， 40（ 3 A. 10 B. 20 C. 30 D. 5 【例 6】675 、225、9 0、45、3 0、30（ ） A 15 B 38 C 60 D 124 第 三 章 多 重 数 列 数列基本类型：1 交叉数列： 2 分组数列： 数列基本特征：1 数列较长： 2 两个括号： 例 题 【例 1】3、1 5、7、1 2、1 1、9、1 5、( ) 精 讲 A.6 B.8 C.18 D.19 【例 2】33 ，32 ，34 ，31 ，35 ，30 ，36 ，29 （ ） A.33 B.37 C.39 D.41 【例 3】1、1 、8、16 、7、21 、4、16、 2、( ) A.10 B.20 C.30 D.40 【例 4】400 、360、2 00、170 、100、80 、50、 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40 【例 5】1、3 、3、5 、7、9、1 3、15、 ( )、( ) A.19、21 B.19、23 C.21、23 D.27、30 【例 6】1、4 、3、5 、2、6、4 、7、( ) A.1 B.2 C.3 D.4 核心提示 1. 分组数列基 本上都是 两两分组 ，因此项 数（包括 未知 项）通常都 是 。 2. 分组后统一 在各组进 行形式一 致的简单 运 算，得到一 个非常简 单的数列 。 3. 奇偶隔项数 列若只有 奇数项规 律明显， 那偶数项 可能 依赖于奇数 项的规律 ，反之亦 然。 第 四 章 多 元 数列 所谓多元数列：数列中的数由多个部分组成，各部分之间形成某种特定的规律。 多数分数 分数数 列 “分数”数列判定特征 少数分数 带分数数列 小数数列 分数数列基本处理方式 整 化 分 观察特征 分组看待 有 理 化 约 分 广义通分 ： 反 约 分 ： 例 题 5 精 讲 【例 1】 7 31 7 12、 、 12 19 1 19、 、( ) 31 31 50A. B. C. D. 49 39 50 31 2【例 2】1、 3 5 13、 、 8 21 （ ） A 21/33 B 35/64 C 40/70 D 34/55 【例 3】 133 57 119 91 49、 、 、 51 39 21 7、( )、 3 28 21 28 31A. B. C. D. 12 14 9 15 2【例 4】 3 1 2 1 2、 、 、 、 2 5 3 7 、 ( ) 1 1A. B. 4 6 2 2C. D. 11 9 1【例 5】 6 2 3 8、 、 、 3 2 3 、( ) 10 25A. B. 3 6 C. 5 D. 35 6 【例 6】 2 1 、 1 1、 、( ) 3+ 1 3 A. 5 1 B. 2 C. 14 5-1 D. 3 【例 7】 1、 2 、 5 、( ) 、 7 、 43 9 1 3A. B. 15 9 2 3C. D. 2 4 13 7 8 5【例 8】4、3 、 、 3 2 13A. 5 （ ） 12B. 5 11 14C. D. 5 5 1 3 1【例 9】0、 、 、 6 8 2 1、 （ ） 2 5 7A. B. 13 13 5 7C. D. 12 12 第 四 章 幂 次 数列 幂次变换法则 1. 普通幂次数 ：； 2. 普通数变换 ： 3. 负幂次变换： 2 N 1 34 负底数变换 ： 5 非唯一变换： 常用幂次数 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 底数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 平方 底数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 平方数 平方 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11立方数 立方 次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 3 3 9 27 81 243 729 4 4 16 64 256 1024 5 5 25 125 625 3125 多次方 数 6 6 36 216 1296 常用非唯一变换 1. 数字 0 的变 换： 2 数字 1 的变 换： 3. 特 殊 数 字 变 换 ： 4. 个位幂次数 字： 第一 节 普 通 幂次数列 例 题 【例 1】4、 9、 16 、 25、 ( ) 精 讲 A.18 B.26 C.33 D.36 【例 2】8、 27、 64 、 125、 ( ) A.293 B.176 C.189 D.216 【例 3】16、 81、256 、625、 ( ) A.1296 B.1725 C.1449 D.4098 【例 4】1、4 、16、4 9、121、 ( ) A.256 B.225 C.196 D.169 【例 5】1、4 、27、 ( )、3125 A. 70 B. 184 C. 256 D. 351 1【例 6】27、 16、5、 ( )、 7 A.16 B.1 C.0 D.2 【例 7】1、3 2、81、 64、25、 ( )、1 A.5 B.6 C.10 D.12 1【例 8】1、8 、9、4 、( )、 6 1A.3 B.2 C.1 D. 3 第二 节 幂 次 修正数列 例 题 【例 1】2、3 、10、1 5、26、 ( ) 精 讲 A.29 B.32 C.35 D.37 【例 2】0、5 、8、17 、( )、3 7 A.31 B. 27 C.24 D.22 【例 3】0、9 、26、6 5、124、 ( ) A. 165 B. 193 C. 217 D. 239 【例 4】2、7 、28、6 3、( )、 215 A.116 B.126 C.138 D.142 【例 5】0、 -1、 ( )、7、28 A.2 B.3 C.4 D.5 【例 6】5、1 0、26、 65、145 、( ) A.197 B.226 C.257 D.290 【例 7】4、1 1、 30、67 、( ) A.121 B.128 C.130 D.135 【例 8】- 1、10、2 5、66、1 23、( ) A.214 B.218 C.238 D.240 【例 9】- 3、 0、 23、 252 、 （ ） A. 256 B. 484 C. 3125 D. 3121 【例 10】14 、20、54 、76（ ） A. 104 B. 116 C. 126 D. 144 【例 11】0、2、 10、30（ ） A 68 B 74 C 60 D 70 第五章 递推数列 递推数列具 有 六种 基本形 态并 包括其变式 例 题 【例 1】1、3 、4、7 、1 1（ ） 精 讲 A.14 B.16 C.18 D.20 【例 2】0、1 、1、2 、4、7、1 3、 ( ) A.22 B.23 C.24 D.25 【例 3】25、 15、10 、5、5、 ( ) A.10 B.5 C.0 D.-5 【例 4】1、3 、3、9 、( )、24 3 A. 12 B. 27 C. 124 D. 169 【例 5】1、2 、2、3 、4、6、 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【例 6】3、7 、16、1 07、 ( ) A.1707 B.1704 C.1086 D.1072 3【例 7】9、6 、 2 、4、( ) 、1 0 3A.2 B. 4 3C.3 D. 8 【例 8】144 、18、9 、3、4、 ( ) A.0.75 B.1.25 C.1.75 D. 2.25 【例 9】0、1 、3、8 、22、63 、( ) A.163 B.174 C.185 D.196 【例 10】1、 1、3、7 、17、41 、( ) A.89 B.99 C.109 D.119 【例 11】1 18、60、 32、20 、( ) A.10 B.16 C.18 D.20 【例 12】323 ， 107 ， 35， 1 1， 3， ？ 1A.-5 B. 3 C.1 D.2 【例 13】1、 2、3、7 、46、 ( ) A.2109 B.1289 C.322 D.147 【例 14】2、 3、13、 175、( ) A.30625 B.30651 C.30759 D.30952 【例 15】157 、65、2 7、1 1、5（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 图 形 数阵 圆圈题观察 角度： 【例 1】 A.5 B.4 C.3 D.2 【例 2】 A.24 B.16 C.6 D.3 【例 3】 A.5 B.4 C.3 D.2 圆圈题运算 角度： 两个圆里的 奇数都是 偶数个： 有一个圆里 的奇数是 奇数个： 【例 4】 A.22 B.23 C.24 D.25 【例 5】 6 4 3 2 3 1 20 17 ? 4 2 3 4 2 5 A.10 B.11 C.16 D.18 【例 6】 A.20 B.30 C.61 D.110 【例 7】 A.2.5 B.1 C.-1.5 D.-2.5 【例 8】 A.225 B.221 C.114 D.30 【例 9】 A.40 B.60 C.110 D.210 【例 10】 A.2.5 B.0 C.-3 D.-5 【例 11】 A.100 B.56 C.25 D.0 【例 12】 A.39 B.49 C.61 D.140 【例 13】 A.13 B.7 C.0 D.6 【例 14】 16 4 1 32 ? 2 64 16 4 A.4 B.8 C.16 D.32 【例 15】 12 9 -6 2 3 10 1 3 ? A.26 B.17 C.13 D.11 【例 16】 84 9 ? 72 37 218 23 -12 22 A.106 B.166 C.176 D.186 【例 17】 12 9 ? 11 33 66 8 3 27 A.35 B.40 C.45 D.55 【例 18】 ? 10 28 6 15 36 3 3 9 A.12 B.18 C.9 D.8 【例 19】 21 3 6 63 9 ? 81 27 18 A27 B8 C21 D18 【例 20】 2 26.4 6.6 6 13.6 1.7 ? 10.8 2.7 A6.1 B5.3 C4 D2 【例 21】 11 13.1 ? 40 2.5 22.5 19 3.4 12.9 A20.4 B18.6 C1 1.6 D8.6 解题技巧 交叉分组数列长 幂次递推变化大 两两做差最常用 如遇振荡分解看 L y 2L 下篇 数学运算 第二种题型： 数学运算 。 每道题 给出一道 算术式子 ， 或者表达 数量关系 的一段文 字， 要求应试者 熟练运用 加、 减、 乘、 除 等基本运 算法则 ， 利用基本 的数学知 识， 准确 、 迅速 地 计 算出结果 。 第 零 章 代 入 排除 法 直接代入法 ： 是指将题目 的选项直 接代入题 干当中判 断选项正 误的 方法。这是 处理“客 观单选一 题” 非常行之有 效的方法 ，广泛应 用到各种 题型当中 。 例 题 【例 1】 一个小 于 80 的自 然数与 3的和是 5的倍数， 与 3的差是6的倍数， 这 个 精 讲 自然数最大 是多少？ A.32 B.47 C.57 D.72 【例 2】 一个 五位数， 左 边三位数 是右边 两位数的5 倍， 如果把右 边的两位 数移到前 面， 则 所得新的五 位数要比 原来的五 位数的 2倍还多 75，则 原五位数是 多少？ A.12525 B.13527 C.17535 D.22545 【例 3】装某 种产品的 盒子有大 、小两种 ，大盒每 盒 能装 11 个，小盒每 盒能装 8 个， 要把 89 个产品装 入盒内， 要求每个 盒子都恰 好装满， 需要 大、小盒子 各多少个 ？ A.3，7 B.4，6 C.5，4 D.6，3 【例 4】共有 20个 玩具交给小王 手工制作完成 规 定，制作的玩具每合 格一个得5元， 不 合格一个扣2元 ，未完成的不得 不扣最后小 王 共收到56元，那 么他制作的玩 具中，不合格 的共 有（ ） 个。 A2 B . 3 C . 5 D .7 【例 5】 有粗细不 同的两支 蜡烛 ， 细蜡烛 的长度 是粗 蜡烛长度的2 倍， 点完细蜡烛 需要 1 小 时，点完 粗蜡烛需 要 2 小时 。有 一次停电， 将这 样两支蜡烛 同时点燃 ，来电时 ，发现两 支蜡烛所 剩长 度一样，则 此次 停电共停了 多少分钟 ？ A.10 分钟 B.20 分钟 C.40 分钟 D.60 分钟 【例 6】甲 班与乙班 同学同时 从学校出 发去某公 园， 甲班步行的 速度 是每小时 4 千米， 乙班步行 的速度是 每小时 3 千米 。学校有一 辆汽车， 它的速度 是每小时 48 千米 ， 这辆汽 车恰好能 坐一个班 的学生 。 为了 使这 两班学生在 最短的时 间内到达 ， 那 么， 甲班学生与 乙班学生 需要步行 的距离之 比是（ ） A15: 11 B. 17:22 C. 19:24 D. 21:27 【例 7】 现有一种 预防禽流 感药物 配置成的 甲、 乙两 种不同浓度 的消毒的 消毒溶液 。 若 从甲 中 取 2100 克 、乙中取 700 克混 合 而成的消 毒溶液 的 浓度为 3； 若从甲中 取 900 克 、乙中 取 2700 克则混合而成 的消毒 溶液的浓 度为5则甲 乙两种消毒 溶液的浓 度分别（ ） A.3，6 B.3，4 C.2，6 D.4，6 【例 8】某次 测验有 50 道判断题 ，每做对 一题得 3 分，不做或 做错一题 倒扣 1 分， 某学生 共得 82 分， 问答对题 数和答错 题数（包 括不做 ）相 差多少？ A.33 B.39 C.17 D.16 【例 9】某城市共有四个 区，甲区人口数是全城的 4/13，乙区人口数是甲区的5/6，丙区人口数是前两区人口数的 4/11，丁区比丙区多4000人，全城共有人口多少万？（ ） A.18.6 万 B.15.6 万 C.21.8 万 D.22.3 万 【例 10】两 个数的差 是 2345， 两数相除 的商是 8，求 这两个数之 和？ A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 【例 11】 师徒二 人负责生 产一批零 件， 师傅 完成全部 工作数量的 一半还多30 个， 徒 弟完成 了师傅生产 数量的一 半，此时 还有 100 个没有完 成， 师徒二人已 经生产多 少个？ A.320 B.160 C.480 D.580 【例 12】 甲、乙两 人共 有 260 本书， 其中甲的 书有 13%是专业 书，乙的 书有 12.5%是专业 书，问甲有 多少非专 业书？（ ） A. 75 B. 87 C. 174 D. 67 【例 13】 甲、乙 有数量相 同的萝卜 ，甲打算 卖 1 元 2 个，乙 打算 卖 1 元 3 个，如甲 、乙二 人一起按 2 元 5 个卖 全部的萝 卜， 总收入会 比预想的 少 4 元， 问两人共 有多少萝 卜？ （ ） A. 420 B. 120 C. 360 D. 240 【例 14】 某 公司， 甲 、 乙两 个营业部 共有 50 人 ， 其 中， 32 人为 男性， 甲 营业部 男女比例 为 5：3，乙为 2：1，问 甲营业部 有多少名 女职员？ （ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 9 【例 15】甲、乙、 丙、丁四个队 共同植树造林 ，甲 队造林的亩数是另外 三个队造林总 亩数 1 1的 ，乙队造林的亩数 是另外三个队 造林总亩数的 4 3 ，丙 队造林的亩数是另外 三个队造林 总亩数的一 半。已知 丁队共造 林 3900 亩 ，问甲 队共 造林多少亩 ？（ ） A9000 B. 3600 C. 6000 D. 4500 第 一 章 计 算 问 题 模块 第一 节 尾数法 例 题 【例 1】173 173173-162162162 （ 。 精 讲 A.926183 B.936185 C.926187 D.926189 【例 2】1.1 2+1.22+1.32+1.42 的值是 （ 。 A.4.98 B.5.49 C.6.06 D.6.30 第二 节 整体消 去 法 核心提示 所谓“整体消去 法” ，是指在 比较复杂的 计算当中， 将相近的数化为 相同，从而 作 为一个整体 进行抵消 的方法。 例题 精讲 【例 1】1994 2002-19932003 的 值是( ) A.9 B.19 C.29 D.39 【例 2】 (873477-198)（47 6874 199)的值是多 少 ？ A.1 B.2 C.3 D.4 第三 节 估算法 例 题 【例 1】0.04 95250049.5 2.451 4.95 的 值是多 少 ？ 精 讲 A.4.95 B.49.5 C.495 D.4950 【例 2】 (873477-198)（47 6874 199)的值是多 少 ？ A.1 B.2 C.3 D.4 第四 节 裂项相 加 法 裂项相加法核心提示 公式： 例题精讲 【例 1】 的值是多少？ A B C D 204052405 【例2】 的值是多少？ A B C D 【例 3】 的值是多少？221616016 A B C D2553 【例 4】 的值是多少？31691452 A B C D7619817819 1113204053381937 第 五 节 乘方尾 数 问题 1. 乘方尾数问题核心口诀 2. 注： 例 题 【例 1】1999 1998 的末位数字是（ 。 精 讲 A.1 B.3 C.7 D.9 【例 2】2002 2002 的个位数是（ 。 A.1 B.2 C.4 D.6 【例 3】2008 2008 的值的个位数是（ 。 A.1 B.4 C.8 D.6 【例 4】9 2008 的个位数是（ 。 A. 1 B. 2 C. 8 D. 9 【例 5】1988 1989+19891988 的个位数是（ 。 A.9 B.7 C.5 D.3 【例 6】9 9+1919+9999 的个位数字是（ 。 A. 1 B.2 C.3 D.7 【例 7】 12007+32007+52007+72007+92007 的值的个位数是（ 。 A.5 B.6 C.8 D.9 【例 8】 (19951995+19961996+19971997+19981998)2008 的值 的个位数 是 （ 。 A.1 B.3 C.6 D.9 第 二 章 初 等 数 学 模块 第一 节 多 位 数问题 基本知识点 多位数问题 是针对 “一个数 及其个位 、 十 位、 百 位等位 置上的数字 ， 以及 小数点后 一位、 两位、三位 等位置上 的数字” 的问题。 掌握多位数 问题首先 要掌握多 位数的基 本概念： 1位数 从 1 到 9 共 9个 2位数 从 10 到 99 共 90个 3位数 从 100 到 999 共 900个 4位数 从 1000 到 9999 共 9000个 基本解题思路 “直接代入 法”在多 位数问题 中起核心 性作用。 例 题 【例 1】最大 的四位 数比最大 的两位数 大的倍数 是（ 。 精 讲 A.99 B.100 C.101 D.102 【例 2】最大 的四位 数与最小 的五位数 相差多少 ？（ ） A.1 B.9 C.1000 D.1111 【例 3】一 个三位数 ，百位上 的数比十 位上的 数大 4，个位上的 数比十位 上的数 大 2，这个 三位数恰好 是后两个 数字组成 的两位数 的 21 倍 ，那 么，这个三 位数是（ 。 A.532 B.476 C.676 D.735 【例 4】 一个小 数的小数 点向右移 动一位 与向左移 动 一位所得的 两数之和 为 1214.222， 这个 小数是多少? （ ） A.118.82 B.119.22 C.119.82 D.120.22 【例 5】大小两 个数的 差是 49.23， 较小数的 小数点 向右移动一 位就等于 较大的数 ，求较小 的数？（ ） A.4.923 B.5.23 C.5.47 D.6.27 【例 6】编一本书的 书页， 用 了 270 个 数字 （重复 的也算， 如 页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5 共 3 个数字，问这本 书一共有 多少页？ （ ） A. 117 B. 126 C. 127 D. 189 数字 “100 999页书”页 码与数字 问题：页 码 3 36 第二 节 余 数 相关问题 余数问题基本等式 余数基本关 系式：被 除数除 数 =商余 数（ 0 余数 除数） 余数基本恒 等式：被除数=除数 商+余数 同余问题核心口诀（应先尝试代入法、 试值法） “公倍数作 周 期 ” 1.余同：用 一个数除 以几个不 同的数， 得到的余 数相 同 此时该数可 以选这个 相同的余 数，余同 取余 例“一个数 除以 4余 1，除以 5余 1， 除以 6余 1”， 则取 1，表 示 为 60n+1 2.和同：用 一个数除 以几个不 同的数， 得到的余 数和 除数的和 相 同 此时该数可 以选这个 相同的和 数，和同 加和 例“一个数 除以 4余 3，除以 5余 2， 除以 6余 1”， 则取 7，表 示 为 60n+7 3.差同：用 一个数除 以几个不 同的数， 得到的余 数和 除数的差 相 同 此时该数可 以选除数 的最小公 倍数减去 这个相同 的差 数，差同减 差 例“一个数 除以 4余 1，除以 5余 2， 除以 6余 3”， 则取 -3， 表 示为 60n-3 选取的这个 数加上除 数的最小 公倍数的 任意整数 倍（ 即例中的 60n）都满 足条件 例 题 【例 1】 一个两位 数除以一 个一位数 ， 商仍 然是两位 数， 余数 是 8。 问被除数 、 除 精 讲 数、商以及 余数之和 是多少？ A. 98 B. 107 C. 114 D. 125 【例 2】 两个整数 相除 ， 商是 5， 余数 是 11， 被除数 、 除数 、 商及 余数的和 是 99， 求被除 数 是 多少？（ ） A.12 B.41 C.67 D.71 【例 3】有 四个自然 数 A、B 、C 、D ， 它们的和 不超 过 400，并 且 A 除以 B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么 ，这 四个自然数 的和是？ A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【例 4】一堆苹 果，5 个 5 个的分 剩余 3 个；7 个 7 个的分剩余 2 个。 问这堆苹 果的个数 最 少为（ 。 A.31 B.10 C.23 D.41 【例 5】一个 数除以3 余 2，除 以 4 余 1，请问这 个数 除以 12 余数 是多少？ A.3 B.4 C.5 D.6 【例 6】自然 数 P 满足下列条 件：P 除以 10 的余数 为 9， P 除以 9 的余 数为 8，P 除以 8 的 余数为 7。如 果：100 P1000， 则这样 的 P 有几个? A.不存在 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【例 7】一个 三位数 除以 9 余 7，除以 5 余 2，除 以 4 余 3，这样的 三位数 共有多少 个？ A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 第三 节 星 期 日期问题 平年与闰年 判断方法 一共天数 2月 平年 年份不能被 4整除 365天 有 28天 闰年 年份可以被 4整除 366天 有 29天 附：实际平 年和闰年 的计算比 这个复杂 ，我们一 般只 要掌握上述 规律即可 。 大月与小月 包括月份 共有天数 大月 一、三、五 、七、八 、十、腊 （十二） 月 31天 小月 二、四、六 、九、十 一月 30天（ 2月 除外） 例 题 【例 1】200 3 年 7 月1 日是星 期二，那 么 2005 年 7 月 1 日是？ 精 讲 A. 星期三 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期六 【例 2】200 3 年 8 月1 日是星 期五，那 么 2005 年 8 月 1 日是？ A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 【例 3】 甲、乙、丙 、丁四个 人去图书 馆借书， 甲每隔 5 天去 一次，乙每隔 11 天去 一次， 丙每隔 17 天去一 次 ，丁每隔 29 天去 一次，如果 5 月 18 日四人在图书 馆相遇， 则下一次 四 个人相遇是 几月几号 ？（ ） A. 10 月 18 日 B. 10 月 14 日 C. 11 月 18 日 D. 11 月 14 日 第 三 章 比 例 问 题 模块 第 一 节 设 “1”思 想 【例1】李森在一次村委会选举中，需2/3的选票才能当选，当统计完3/5的选票时，他得到 的选票数已达到当选票数的3/4，他还需要得到剩下选票的几分之几才能当选？（ ） A 7/10 B 8/11 C 5/12 D 3/10 【例2】商店购进甲 、乙、丙三种 不同的糖，所 用费 用相等，已知甲、乙 、丙三种糖每 千克 的费用分别 为4.4元、 6元和6.6 元。 如 果把这三 种糖混 在一起成为 什锦糖， 那么这种 什锦糖每 千 克的成本 是多少元 ？ A.4.8 B.5 C.5.3 D.5.5 第二 节 工 程 问题 例 题 【例 1】一个浴 缸放满水 需要 30 分钟 ，排光水 需要 50 分钟，假如忘 记关上出 水 精 讲 口，将这个 浴缸放满 水需要多 少分钟? A. 65 B. 75 C. 85 D. 95 【例 2】 一条隧道 ， 甲 单独挖 要 20 天完 成， 乙单独挖 要 10 天完成 ， 如 果甲先挖 1 天 ， 然后 乙接甲挖 1 天，再由 甲接乙挖1 天， ，两 人如 此交替，共 用多少天 挖完？（ ） A. 14 B. 16 C. 15 D. 13 【例 3】一 篇文章， 现有甲乙 丙三人， 如果由 甲乙两 人合作翻译 ，需要 10 小时 完成，如 果 由乙丙两人 合作翻译 ，需要 12 小时完 成。现在 先由 甲丙两人合 作翻译 4 小时， 剩下的再 由 乙单独去翻 译，需 要 12 小 时才能完 成，则， 这篇文 章如果全部 由乙单独 翻译，要 多少个小 时完成？ A.15 B.18 C.20 D.25 第三 节 浓 度 问题 基础知识 溶液溶质 +溶剂； 浓 度溶质 溶液； 溶质 溶液 浓度；溶 液溶质 浓度 例 题 【例 1】 浓度为 70的酒 精溶液 100 克与浓 度为 20 的酒精溶液 400 克混 合后得 精 讲 到的酒精溶 液的浓度 是多少？ A.30 B.32 C.40 D.45 【例2】甲杯中有浓 度为17的溶液 400克，乙杯 中有 浓度为23的溶液6 00克。现在从 甲、 乙两杯中取 出相同总 量的溶液 ， 把从 甲杯中取 出的倒 入乙杯中， 把从乙杯 中取出 的倒入甲 杯 中，使甲、 乙两杯溶 液的浓度 相同。问 现在两杯 溶液 的浓度是多 少（ ） A.20 B.20.6 C.21.2 D.21.4 【例 3】在 20时 100 克水 中最多能 溶解 36 克食盐 。从中取出 食盐水 50 克，取 出的溶液 的浓度是多 少？ A.36.0% B.18.0% C.26.5% D.72.0% 【例4】 一 杯 溶 液 ， 每 次 加 同 样 多 的 水 ， 第 一 次 加 水 后 浓 度 为15%，第二次加水后浓度为12 %， 请 问 第 三 次 加 水 后 浓 度 为 多 少 ？ （ ） A 8% B 9% C 10% D11% 【例 5】 一种溶液 ， 蒸 发一定水 后， 浓度为 10%； 再 蒸发同样的 水， 浓 度为 12%； 第三次 蒸 发同样多的 水后，浓 度变为多 少？（ ） A. 14% B. 17% C. 16% D. 15% 第 四 章 行 程 问 题 模块 第一节 平 均 速度问题 等距离往返运动核心公式 往返平均速度=2 /( )(其中 和 分别代表往返的速度1v221v2 例 题 【例 1】 有一货车 分别以时 速 40km 和 60km 往返于两个城 市 ， 往返这 两个城市 一 精 讲 次的平均时 速为多少 ？ A.55km B.50km C.48km D.45km 【例 2】一辆 汽车从 A 地到 B 地的速 度为每小时 30 千米，返回 时速度为 每小时 20 千 米， 则它的平均 速度为多 少千米/ 时？ A.24 千米时 B.24.5 千米时 C.25 千米时 D.25.5 千 米/ 时 【例 3】一人骑 车从 M 地到 N 地速度为 每小时 10 千 米，到达 N 地后， 立刻接 到通知返 回 M 地。 为了使其 往返于 两地之间 的平均速 度为每小 时 12 千米， 则其 骑车返回 M 地的速 度应 为多少？ A. 14 千米小时 B. 15 千米 小 时 C . 16 千米 小时 D. 18 千米/ 小时 第二 节 相遇 追及、流水行 船问题 1 相遇追及问题： 2 环形运动问题： 3 流水行船问题（风中飞行问题类似） 4 队伍行进问题： 5 电梯运动问题 例 题 【例 1】姐弟俩 出游，弟 弟先走 一步，每 分钟走 40 米，走 80 米后姐 姐去追他 。 精 讲 姐姐每分钟 走 60 米姐 姐带的小 狗每分钟 跑 150 米小狗追上弟 弟又转去 找姐姐， 碰上姐姐又转 去追弟弟 ，这样跑 来跑去， 直到姐弟 相 遇小狗才停下 来。问小 狗共 跑了多少米? A.600 B.800 C.1200 D.1600 【例 2】红 星小学组 织学生排 成队步行 去郊游 ，每分 钟步行 60 米，队 尾的王老 师以每分 钟 步行 150 米 的速度赶 到排头， 然后立即 返回队尾 ，共 用 10 分钟。 求队伍的 长度？ A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米 【例 3】 商场的自 动扶梯以 匀速由 下往上行 驶， 两个 孩子嫌扶梯 走得太慢 ， 于 是在行驶 的扶 梯上，男孩 每秒钟向 上走 2 个梯级，女 孩每 2 秒钟向 上走 3 个梯级。结果 男孩用 40 秒钟到 达，女孩用 50 秒钟到 达。则当 该扶梯静 止时， 可看 到的扶梯梯 级有多少 级？ A. 80 级 B. 100 级 C. 120 级 D.140 级 【例 4】一艘 游轮逆流 而行，从 A 地到 B 地需 6 天 ； 顺流而行，从 B 地 到 A 地需 4 天。问 若不考虑其 他因素， 一块塑料 漂浮物从 B 地漂流到 A 地需要多少 天? A.12 天 B.16 天 C.18 天 D.24 天 “漂流瓶”问题核心公式 漂流所需时 间 T= （其 中 t2和 t1分别 代表船 顺流所需时 间和逆流 所需时间 ） 【例 5】 A B 两城由 一 条河流相 连， 轮船 匀速前进 ， 从A 城到 B 城需行 3 天时 间， 而 从 B 城 到 A 城需行 4 天， 从 A 城放一个无 动力的木 筏，它 漂到 B 城需多少 天？ A.3 天 B.21 天 C.24 天 D.木筏无 法自己漂 到 B 城 【例 6】 已知： A、B 是 河边的两 个口岸。 甲船由 A 到 B 上行 需要 10 小 时，下行 由 B 到 A 需要 5 小时 。若乙船 由 A 到 B 上行需要15 小时， 则 下行由 B 到 A 需要（ ）小时 。 A.4 B.5 C.6 D.7 第 五 章 几 何 问 题 模块 第一 节 几 何 公式 法 * 基本知识点 几何问题一般涉及到几何图形的周长 、面积、角度、 表面积与体积，一般来说， 对于规则图 形的这些 量都有现 成的公式， 因此， 掌握 以下基本公 式是解决 规则图形 几何 问题的关键 。 1. 常用周长公 式： 几何基本公式 正方形 C正方 形 =4a； 长 方形 C长方形 =2（ a+b；圆形 C圆 =2 R 2. 常用面积公 式： 正方形 S正方 形 =a2； 长方形 S长方 形 =ab； 圆 形 S圆 = R2 1三角形 S 三角形 = 2 ah； 平 行四边 形 面积 S平等四边形 =ah； 1梯形面积 S 梯形 = 2 （ a+b） h； 扇 形面积 S扇形 = n360 R2 3. 常用角度公 式： 三角形内角 和 180； N边形内 角和为（ N-2） 180 4. 常用表面积 公式： 正方体的 表 面积 =6a2 长方体的表 面积 =2ab+2bc+2ac 球 体的 表 面积 =4 R2= D2 圆柱体的表 面积 =2 R2+2 Rh 圆柱体的 底 面积 =2 R2 圆柱体的侧 面积 =2 Rh 5. 常用体积公 式： 正方体的 体 积 =a3 长方体的 体 积 =abc 球的体积 = 4 R3= 1 D33 6 圆柱体的 体 积 = R2h 圆锥体的体 积 = 1 R2h3 例 题 【例 1】假设 地球是一 个正球形 ，它的赤 道长 4 万 千 米。现在用 一根比赤 道长 10 精 讲 米的绳子围绕 赤道一周 ，假设在 各处绳子 离地面的 距 离都是相同的 ，请问绳 子距 离地面大约 有多高? （ ） A.1.6 毫米 B.3.2 毫米 C.1.6 米 D.3.2 米 答案C 解析赤 道长：2 R =4 万千米 ；绳长：2 （R +h）= 4 万千米 +10 米； 两式相减：2 h=10 米 h=（10/ 2） 1.6 米， 选择 C。 21t y 2 4 y 2 x 3 x 3 2 【例 2】有 A、 B 两个电脑显示器 ，已知旧 显示器 A 的宽与高的 比例是 4：3， 新显示器 B 的宽与高的 比例是 16：9，如 果两个显 示器的面 积相 同，问 B 的宽度 与 A 的宽度之 比是： A. 3 :1 B. 3 :6 C. 2 : 3 D. 4 : 3 答案C 3解析设 A 的宽为 x， 则 A 的高为 x S A4 3 x2 4 9B 的宽为 y， 则 B 的高为 16 y SB 9 y2 16 3 2由于 x 9 y2 y 4 16 x2 【例 3】 甲、 乙 两个长方 形的面积 相等， 甲 的长与宽 之比是 54， 乙的长与 宽之比 是 65， 甲、乙两个 长方形的 周长比是 多少? （ ） 7 6 9 6 6A. B. C. 22 22 2 136D. 11 答案B 解析设 它们的面 积为 S，则 长 方形甲的 长 5x， 宽4x；设长方 形乙的长6y ，宽 5y： S=5x4x=6y5y x= S S，y =20 30 S SC 甲 =2（5x +4x）= 18x=18 ；C 乙 =2（6y +5y）= 22y=2220 30 C 甲 C 乙 =18 S 22 20 S = 9 3 = 9 30 11 2 22 6 ，选择 B。 【例 4】 市民 广场中有 两块草坪， 其中一 块草坪是 正 方形， 面积为400 平方 米， 另一 块草坪 是圆形，其 直径比正 方形边长 长 10%，圆形 草坪的面 积是多少平 方米 A. 410 B. 400 C. 390 D. 380 答案D 解析正 方形草坪 面积为 400 平方 米，根 据 S 正方形 =a2，得正方 形 草坪边 长 是 20 米。那么 圆形草坪的 半径是 201.12=11 米，那么 圆形草坪 的 面积是 112380（平 方米） 【例 5】如图 所示， 圆 O 的 面积为 314 平方米（ 3. 14，平 行四边形 ABCD 的面 积为 180 平方米， 则三角形 ABO 的面 积是多少 平方米？ （ ） A.49.5 米 2 B.48 米 2 C.47.5 米 2 D.45 米 2 【答案】D 1解析S ABO= 2 1S ABC= 4 1S ABCD= 4 180=45（m 2） 【例 6】三角 形的内 角和为 180 度，问 六边形的 内 角和是多少 度？（ ） A.720 度 B.600 度 C.480 度 D.360 度 答案A 解析利 用 N 边 形内角和 为（N -2） 180，当 N=6 时内角和 720 注释 如 图将六边 形分成四 个三角形 ，所以 六边 形的内角和 为 1804=720 【例 7