2017长沙中考创新型题25题附答案

1 创 新 型 题 专 题 训 练 2 1、 若存在实数对坐标 (x,y)同时满足一次函数 y=px+q 和反比例函数 y= ,则二 次函数 y=px2+qx-k 为一次函数和反比例函数的“联姻”函数。 (1)试判断一次函数 y=-x+3 和反比例函数 y= 是否存在“联姻”函数，若存在， 求出它们的“联姻”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由： (2)已知：整数 m、 n、 t 满足条件 tbc， a+b+c=0，设 L=|x1-x2|，求 L 的 取值范围。 3 2、 若实数 m， n 满足 m+n=mn 且 n0 时，就称点 P（ m， ）为 “ 完美点 ” （ 1）判断点 A（ 2， 3）、 B（ 3， 2）是不是完美点； （ 2）若反比例函数 y= 的图象上存在两个 “ 完美点 ”C 、 D，且 CD= ， 请求出 k 的值； （ 3）已知抛物线 y=14x2+（ p-t+1） x+q+t-3 上存在唯一的 “ 完美点 ” ， 且当 -2p3 时， q 的最小值为 t，求 t 值 . 4 5 3、 若实数 m、 n 满足 n=m2+1,我们就称点 P(m,n)为“创新点” （ 1）求直线 y=x+3 上的创新点坐标； （ 2）已知抛物线 y=-x2+2x-k 上有两上创新点，且这两个点的横坐标分别为 x1,x2， 若 x1=2x2，求 k 的值； （ 3）在平面直角坐标系中，圆 M 经过 A、 B 两个创新点，且 A（ 0， 1） A、 B 对应 的弦长为 .若创新点 Q 的横坐标为 2，求圆心 M 到点 Q 的最小距离。 6 4、 使得函数值为零的自变量的值称为函数的 零 点 。 例如 ，对于函数 1yx，令 y=0，可 得 x=1， 我们就说 1 是 函数 1yx的零点 。 己知函数 2 2 2 ( 3 )y x m x m (m m 为常数 )。 （ 1）当 m =0 时，求该函数的零点； （ 2）证明： 无论 m 取何值，该函数总有两个零点； （ 3） 设函数的两个零点分别为 1x 和 2x ，且 12 1 1 14xx ，此时函数图象与 x 轴的交 点分别为 A、 B(点 A 在点 B 左侧 )，点 M 在直线 10yx 上，当 MA+MB 最小时，求直线 AM 的函数解析式 。 解析： （ 1） 当 m =0 时，该函数的零点为 6 和 6 。 （ 2）令 y=0，得 = 22( 2 ) 4 2 ( 3 ) 4 ( 1 ) 2 0 0m m m 无论 m 取何值 ，方程 2 2 2 ( 3 ) 0x m x m 总有两个不相等的实数根。 即 无论 m 取何值，该函数总有两个零点 。 （ 3）依题意有 122x x m ， 12 2( 3)x x m 由 12 1 1 14xx 解得 1m 。 函数的解析式为 2 28y x x 。 令 y=0，解得 1224xx ， A( 20， )， B(4,0) 作点 B 关于直线 10yx 的对称点 B ，连结 AB ， 则 AB 与直线 10yx 的交点就是满足条件的 M 点。 易求得直线 10yx 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 C（ 10,0）， D（ 0,10）。 连结 CB ，则 BCD=45 BC=CB =6， B CD= BCD=45 BCB =90 即 B （ 10 6， - ） 设直线 AB的解析式为 y kx b，则 7 2010 6kbkb ，解得 1 12kb ， 直线 AB的解析式为 1 12yx ， 即 AM 的解析式为 1 12yx 。 5、 设 ,ab是任意 两个不等 实数 ， 我们规定：满足不等式 a x b 的实数 x 的所有取值的全 体叫做闭区间，表示为 a,b 对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 m x n 时，有 m y n ，我们就称此函数 是闭区间 ,mn 上的 “ 闭函数 ” （ 1）反比例函数 2013y x 是闭区间 1,2013 上的 “ 闭函数 ” 吗 ？ 请判断并说明理由 ； （ 2） 若一次函数 ( 0)y kx b k 是闭区间 m,n 上的 “ 闭函数 ”， 求此函数的解析式 ； （ 3） 若二次 函数 21 4 7 5 5 5y x x 是闭区间 a,b 上的 “ 闭函数 ” ， 求实数 ,ab的值 解析： 8 6、 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（ 1,1）， （ -2， -2）， 22（ ， ） ，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。 21 教育名师原创作品 （ 1）若点 P（ 2， m）是反比例函数 ny x （ n 为常数， n 0）的图像上的“梦之点”，求这 个反比例函数的解析式； 21*cnjy*com （ 2）函数 31y kx s （ k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦 之点”的坐标，若不存在，说明理由； （ 3）若二次函数 2 1y ax bx （ a,b 是常数， a 0）的图像上存在两个“梦之点” A 11( , )xx ， B 22( , )xx ,且满足 -2 1x 2， 12xx =2，令 2 15748t b b ，试求 t 的取值范围。 9 解析： （ 1） 4y x （ 2）由 31y kx s 得当 yx 时， (1 3 ) 1k x s 当 13k 且 s=1 时， x 有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个； 当 13k 且 s 1 时，方程无解，此时的“梦之点”不存在； 当 13k ，方程的解为 113sx k ，此时的“梦之点”存在，坐标为（ 113s k ， 113s k ） （ 3）由 2 1y ax bx yx 得： 2 ( 1) 1 0ax b x 则 12,xx为此方程的两个不等实根， 由 12xx =2，又 -2 1x 2 得： -2 1x 0 时， -4 2x 2； 0 1x 2 时， -2 2x 4； 抛物线 2 ( 1) 1y ax b x 的对称轴为 12bx a ，故 -3 12ba 3 由 12xx =2, 得： 22( 1) 4 4b a a ，故 a 18 ； 2 15748t b b = 2 109( 1) 48b = 244aa +10948 = 21 614( )2 48a，当 a 12 时， t 随 a 的增大而增大，当 a =18 时， t= 176 , a 18 时， 176t 。 7、 定义：若一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=- 满足 = ，则称 y=ax2+bx+c 为一次函数和反比例函数的“等比”函数 （ 1）试判断（需写出判断过程）一次函数 y=x+b 与反比例函数 y=- 是否存 在“等比”函数？若存在，请写出它们的“等比”函数的解析式； （ 2）若一次函数 y=9x+b（ b 0） 与反比例函数 y=- 存在“等比”函数，且 “等比”函数的图象与 y=- 的图象的交点的横坐标为 x=- ，求反比例函 数的解析式； （ 3）若一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=- （其中 a 0， c 0， a=3b） 存在“等比”函数，且 y=ax+b 的图象与“等比”函数图象有两个交点 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2） ，试判断“等比”函数图象上是否存在一点 P（ x， y）（其中 x1 x x2），使得 ABP 的面积最大？若存在，请用 c 表示 ABP 面积的最大值； 若不存在，请说明理由 10 【考点】 二次函数综合题 菁优网版权所有 【分析】 （ 1）假设存在，根据等比函数定义得出 b2=9，继而可得 b 的值，从而 得出解析式； （ 2）根据等比函数定义及 b 0 得出 b2=9c，即 b= 3 ，根据 “等比 ”函数的图 象与 y= 的图象的交点的横坐标为 x= ，列出方程即可解决问题 （ 3）存在，由题意 b2=ac，且 a=3b，推出 b2=3bc，因为 a 0， c 0，所以 b=3c， a=9c，则一次函数解析式为 y=9cx+3c， “等比 ”函数解析式为 y=9cx2+3cx+c，即 9x2 6x 2=0 ，可得 x1+x2= ， x1x2= ， |x1 x2|= = = ，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】 解：（ 1）存在， 假设一次函数 y=x+b 与反比例函数 y= 存在 “等比 ”函数，则 b2=9， 解得： b=3 或 3， 存在 “等比 ”函数，其解析式为 y=x2+3x+9 或 y=x2 3x+9； （ 2）根据题意知， b2=9c， b= 3 ， b 0， b= 3 ， 则 “等比 ”函数的解析式为 y=9x2 3 x+c， 根据题意， x= 时， 9x2 3 x+c= ， 1+ +c=3c，即（ 1）（ 2 +1） =0， 解得： =1， c=1， 故反比例函数的解析式为 y= ； （ 3）存在， b2=ac，且 a=3b， 11 b2=3bc， a 0， c 0， b=3c， a=9c， 则一次函数解析式为 y=9cx+3c， “等比 ”函数解析式为 y=9cx2+3cx+c， 由 9cx2+3cx+c=9cx+3c 化简得： 9x2 6x 2=0， x1+x2= ， x1x2= ， |x1 x2|= = = ， 如图，过点 P 作 PH x 轴，交 AB 于 H， H（ x， 9cx+3c）、 P（ x， 9cx2+3cx+c）， PH=9cx+3c（ 9cx2+3cx+c） = c（ 9x2 6x 2）， S= PH|x1 x2|= c（ 9x2 6x 2） = 3 c（ x ） 2+ c， 当 x= 时， S 取得最大值，最大值为 c 【点评】 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数 的关系等知识，解题的关键是理解新定义，学会利用方程组解决两个函数图象的 交点问题，学会构建二次函数利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴 题 8、若抛物线 L： y=ax2+bx+c(a， b， c 是常数， abc 0)与直线 l 都经过 y 轴上的 一点 P，且抛物线 L 与顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“一 带一路”关系，此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”，抛物线 L 叫做直线 l 的 “路线” . (1) 若直线 y=mx+1 与抛物线 y=x2 2x+n 具有“一带一路”关系，求 m， n 的 12 值； (2) 若某“路线” L 的顶点在反比例函数 xy 6 的图像上，它的“带线” l 的 解析式为 y=2x 4，求此“路线” L 的解析式； (3) 当常数 k 满足 21 k 2 时，求抛物线 L: y=ax2+(3k2 2k+1)x+ k 的“带 线” l 与 x 轴， y 轴所围成的三角形面积的取值范围 . 解析： 13 9、 在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为 “中国结 ”。 （ 1） 求函数 32yx的图像上所有 “中国结 ”的坐标； （ 2） 求函数 ky x （ k0， k 为常数）的图像上有且只有两个 “中国结 ”，试求出常数 k 的值 与相应 “中国结 ”的坐标； （ 3） 若二次函数 2 2 2 2( k 3 2 ) x ( 2 4 k 1 ) x k ( k )y k k k 为 常 数的图像与 x 轴相 交得到两个不同的 “中国结 ”，试问该函数的图像与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一 共包含有多少个 “中国结 ”？ 14 10、 我们定义：平面直角坐标系中点 P（ x,y） 到 x 轴的距离称为点 P 的偏 离距离，如 P(1,-2)的偏离距离为 2，已知抛物线 y=ax2+bx+c与直线 y=ax+n 相交于不同的两点 A,B，其中点 A 在 y 轴的负半轴，且偏离距离为 ,点 B 坐标为 (m-b,m2-mb+n),其中 a,b,c,m,n 为实数，且 a,m 不为 0. （ 1） 求 c 的值； 15 （ 2） 设抛物线 y=ax2+bx+c 上偏离距离为 0 的两个点横坐标分别为 x1和 x2，求 x1x2的值； （ 3） 若函数图象在 r x t 上所有点的偏离距离的最大值记为 d,如函数 y=x+1 在 -2 x 3 上的最大偏离距离 d=4，求抛物线 y=ax2+bx+c 在 -1 x 1 上的最大偏离距离 d 的最小值。 16 11.(本题满分 10 分 )对于平 面 直 角 坐 标系 xOy 中的点 P（ a， b），若点 的坐标为（ ， ）（其中 k 为常数，且 k0 ），则称点 为点 P 的 “k 属派生点 ” 例如： P（ 1， 4） 的 “2 属派生点 ” 为 （ ， ），即 （ 3， 6） （ 1）写出点 P(1,-2)的 “2 属派生点 ” 的坐标。 （ 2）若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的 “k 属派生点 ” 为 E 点，且 OPE 为等腰直角三角形， 求 k 的值 。 (3)已知二次函数 的对称轴在 y 轴右侧，顶点 R 的 “k 属派生点 ” 为 F 点 ,当 F 离 y 轴最近时，求 k 的值。 （ 4）如图 , 点 Q 的坐标为（ 0， ） ， 点 A 在函数 的图象上，且点 A 是点 B 的 “ 属 派生点 ” ， 当线段 B Q 最短时，求 B 点坐标 解：（ 1） （ 0， 0） ； -2 分 （ 2）若点 P 在 x 轴的正半轴上，则 P（ a， 0），点 P 的 “k 属派生点 ” 为点 E 为（ a， ka） . EOP 为等腰直角三角形， ka = k ,即 k =1， k= 1. -5 分 （ 3） 对称轴为直线 x=k 在 y 轴右侧，故 k 大于 0 又顶点 R（ k,1）的 “k 属派生点 ” 为点 F（ k+） ,而当 k 大于 0 时 k+ 2=2 F 离 y 轴最近时， k+=2,解之得 k=1 为所求。 -8 分 （ 4） 设 B（ a,b）则 A（ a-,-a+b）在反比例函数 y=-(x0)的图像上 -9 分 （ a-）（ -a+b） =-，解得 b=a+2 B 在直线 y=x+2 上 . 过 Q 作 直线 y=x+2 的垂线 QH，垂足为 H。 Q（ 0， 4），且线段 BQ 最短，故 H 即为所求的点 B()-10 分 12、 .我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n=pq（ p， q 是正整数，且 pq）， 在 n 的所有这种分解中，如果 p， q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分 ba k ka b 412 2 1 4 2221y x kx k 43 43y x ( 0)x 3 X Y O Q 17 解并规定： F（ n） = 例如 12 可以分解成 112， 26 或 34，因为 12 1 6 2 4 3， 所有 34 是 12 的最佳分解，所以 F（ 12） = （ 1）如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数求证： 对任意一个完全平方数 m，总有 F（ m） =1； （ 2）如果一个两位正整数 t， t=10x+y（ 1xy9， x， y 为自然数），交换其个位上的数与 十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 t 为 “吉祥 数 ”，求所有 “吉祥数 ”中 F（ t）的最大值 【考点】 实数的运算 【专题】 新定义 【分析】 （ 1）根据题意可设 m=n2，由最佳分解定义可得 F（ m） = =1； （ 2）根据 “吉祥数 ”定义知（ 10y+x）（ 10x+y） =18，即 y=x+2，结合 x 的范围可得 2 位数 的 “吉祥数 ”，求出每个 “吉祥数 ”的 F（ t），比较后可得最大值 【解答】 解：（ 1）对任意一个完全平方数 m，设 m=n2 （ n 为正整数）， |n n|=0， nn 是 m 的最佳分解， 对任意一个完全平方数 m，总有 F（ m） = =1； （ 2）设交换 t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为 t，则 t=10y+x， t 为 “吉祥数 ”， t t=（ 10y+x）（ 10x+y） =9（ y x） =18， y=x+2， 1xy9， x， y 为自然数， “吉祥数 ”有： 13， 24， 35， 46， 57， 68， 79， F（ 13） = ， F（ 24） = = ， F（ 35） = ， F（ 46） = ， F（ 57） = ， F（ 68） = ， F（ 79） = ， ， 所有 “吉祥数 ”中， F（ t）的最大值是 18 【点评】 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、 “吉祥数 ”的定义，并将其转化为实数的 运算是解题的关键 13、 （ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（ a， b）和点 Q（ a， b），给出如下定义： 若 b= ，则称点 Q 为点 P 的限变点例如：点（ 2， 3）的限变点的坐标是（ 2， 3），点（ 2， 5）的限变点的坐标是（ 2， 5） （ 1） 点（ ， 1）的限变点的坐标是 ； 在点 A（ 2， 1）， B（ 1， 2）中有一个点是函数 y= 图象上某一个点的限变点，这 个点是 ； （ 2）若点 P 在函数 y= x+3（ 2 x k， k 2）的图象上，其限变点 Q 的纵坐标 b的取 值范围是 5 b 2，求 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 根据限变点的定义可知点（ ， 1）的限变点的坐标为（ ， 1）； （ 1， 2）是函数 y= 图象 上的点，（ 1， 2）限变点为（ 1， 2），即这个点是点 B （ 2）依题意， y= x+3（ x 2）图象上的点 P 的限变点必在函数 y= 的图象上 b 2，即当 x=1 时， b取最大值 2 当 b= 2 时， 2= x+3 x=5 当 b= 5 时， 5=x 3 或 5= x+3 x= 2 或 x=8 5 b 2， 由图象可知， k 的取值范围是 5 k 8， 故答案为： 5 k 8 19 【点评