数学理卷·2015届广东省湛江市第一中学高三8月月3考(2014.08)

广东省湛江市第一中学 2015 届高三 8 月月考 数学（理）试题 【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面 广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测 评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重 学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅 读与思考等方面的考查。 一、 选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，把答案按要求答在答题卡） 【题文】1、设集合 6,43,21P， 62xRQ，那么下列结论正确的 是（ ） A、 Q B、 C、 P D、 QP 【知识点】集合及其运算；A1 【答案解析】 D 解析：解:根据集合的定义可知 ，所以只有 D 选项2,3456 正确. 【思路点拨】根据已知条件求出交集，再利用集合的运算找到集合之间的关系. 【题文】2、设集合 2|xM， |xP，那么“ PxM或 ”是“xP ”的（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分条件也非必要条件 【知识点】命题及其关系；A2 【答案解析】 B 解析：解: Px或 表示实数集 R， ，所|23Px 以只有 B 选项的说法是正确的 . 【思路点拨】根据条件求出所表达的集合，再根据命题的关系找到正确结果. 【题文】3、命题“ ,xR 都有 32”的否定是（ ） A、 0,x使得 320 B、 0,xR使得 320x C、 使得 x D、 使得 【知识点】命题的否定；A2 【答案解析】 C 解析：解:带有全称量词的否定，要把全称量词改成特称量词，结论要变 成否定形式，所以 C 选项正确 . 【思路点拨】根据命题之间的关系直接求出正确结果. 【题文】4、设函数 ()yfx 是偶函数，且在 ,0上单调递增，则（ ） A、 (2)1f B、 2(1)ff C、 (2)ff D、 (|)(fxf 【知识点】函数的奇偶性与单调性；B3，B4 【答案解析】 A 解析：解:因为函数为偶函数，所以 ，又因为在2ff 上函数单调递增，所以可得 ，所以 A 正确.0,)21fff 【思路点拨】先利用函数的奇偶性把自变量化简到同一个区间，再根据函数的单调性进行 求解. 【题文】5、在同一坐标系内作出的两个函数图像图 1 所示，则这两个函数 为（ ） A、 xya和 log()ax B、 xya 和 1log()ax C、 和 1 D、 和 y 【知识点】指数函数与对数函数的概念与图像；B6，B7 【答案解析】D 解析：解:由指数函数的概念与对数函数的概念可知两个函数的图像应该为xya 和 log()ax所以 D 选项正确 【思路点拨】根据指数函数的定义与对数函数的定义可以直接找到正确结果. 【题文】6、若定义在 R 上的函数 ()fx满足 2log(1)0)()5xff，则(2014)f ( ) A、2 B、1 C、0 D、 1 【知识点】函数的周期性；对数函数；B4，B7 【答案解析】B 解析：解：由题可知当 x0 时函数为周期等于 5 的函数，所以 ， ，所以 B 选项正确.014ff2log1f 【思路点拨】根据函数的周期性把变量导入可计算值的区间，再根据解析式进行计算. 【题文】7、若函数 3()fxab在 )0,(上有最小值5， （ a， b为常数） ，则函 数 )(xf在 ,0上（ ）A 有最大值 5 B有最小值 5 C有最大值 3 D有最大值 9 【知识点】函数的奇偶性与最值；B3，B4 【答案解析】D 解析：解：设 可知函数 为奇函数，由题意可知3gxabgx 在 有最大值 7， ，所以 在 有最大值 9，所以gx0,2f f0, D 正确. 【思路点拨】把已知条件可转化成奇函数，然后根据函数的性质进行求解. 【题文】8、已知函数 ()1|)fxax. 设关于 x 的不等式 ()(fxaf 的解集为 A, 若 1,2A , 则实数 a 的取值范围是 A、 5,0 B、 13,02 C、 1130,5,22D、 52,1 【知识点】特殊值法；分类讨论；M2 【答案解析】A 解析：解：取 1122axx时 ， f ,(1)x- m2m 若 为假则有三种情况，1)当 p 假 q 真时， ，2)当 p 真 q 假时，pq12 ，3)当 p 假 q 也为假时， ，综上所述 m 的取值范围是:m2或 -1 【思路点拨】根据条件求出 m 的取值范围，再根据命题的关系求出 m 的范围. 【题文】13、设 ()fx是定义在 R上且以 3 为周期的奇函数，若 (1)f，23()1af ， 则实数 的取值范围是 【知识点】函数的周期性与奇偶性；B4 【答案解析】 解析：解解：f（x）是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函23a或 数 f（x+3）=f（x）， f（-x）=-f（x） f（2）=f（2-3）=f（-1）=-f（1） 又 f（1）1， f（2）-1 即 3213aa或 故答案为： 或 【思路点拨】根据函数的性质求出 的取值范围，然后求出 a 的值.f 【题文】14、若对任意 ,xAyB， （ ,R）有唯一确定的 (,)fxy与之对应， 则称 (,)fy为关于 的二元函数。 定义：满足下列性质的二元函数 (,)fxy为关于实数 ,xy的广义“距离”: （1）非负性： (,)0fxy,当且仅当 时取等号; （2）对称性：(,)fxy ; （3）三角形不等式： (,)(,)(,)fxyfzfy对任意的实数 z均成立 给出三个二元函数: 2(,)()fxyy; (,)fxyy; (,)fxy 请选出所有能够成为关于 ,x的广义“距离”的序号_ 【知识点】新定义概念；不等式；函数.B1，E2 【答案解析】 解析：解解：对于，不妨令 x-y=2，则有 此时12xy 有（x-y） 2=4，而 故 f（x，y）f（x，z）+f（z，y）不 221xyy 成立，所以不满足三角不等式，故不满足,对于，f（x，y）=|x-y|0 满足（1）； f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）| =f（x，z）+f（z，y）满足（3），故能够成为关于的 x、y 的广义“距z 离”的函数 对于，由于 x-y0 时， 无意义，故不满足,fxy 故答案为： 【思路点拨】通过令特殊值的形式说明关系式是否成立，根据不等式的关系进行证明. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【题文】15、 （本小题满分 12 分）已知：集合 2|30Ax，1|28xB ， 2| 0Cm （ R） 。 （1）求： AB； （2）若 ()C，求：实数 m的取值范围。 【知识点】集合及其运算.A1 【答案解析】 (1) (2) 1,48或 解析：解：(1) 2 1|30,.|20,4AB=-14xAxB则 ， (2) 22| |Cmxxm 当 m0 时， 1, 8242mmCABC由 得 当 m=0 时， 不合题意. 当 m0 时 ，综上所述， 4,212mmCABC由 得48或 【思路点拨】根据集合的关系进行运算，对于字母参数进行讨论. 【题文】16、 （本小题满分 12 分） 已知： )()(2Rmxf且 maf)(log2， 2)(log2af， 1， （1）求 ,a的值； （2）求： )(log2f的最小值及对应的 x值； 【知识点】复合函数；对数函数；B7，B3 【答案解析】 （1） ；（2） ,am2min7log4fx时 ， 解析：解 22222log,logl,l1l0,a21(f aa或 即 或 舍 ）, ogafff (2) 22 2217llog4fxxfxx222 2min17 7loglog,l4 4f当 即 时 ， 【思路点拨】根据函数的复合关系求出 a、m 的值，再由复合函数的单调性求出函数的最 小值. 【题文】17 （本小题满分 14 分） 已知：定义在 (1,)上的函数 ()fx满足：对任意,(1,)xy 都有 ()xyff 。 （1）求证：函数 f是奇函数； （2）如果当 (1,0)x时，有 ()0fx，求证： ()fx在 1,)上是单调递减函数。 【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.B3,B4 【答案解析】 （1）见解析（2）见解析 解析：证明：令 ，令0,0,0xyfff则 f故 ，即函数 为奇 2,f1xyffffxf则 fx 函数. (2)证明：设 12121212xfxffxffx则 12121212121212,0,00,0x ，当121212112,xxx 时，有 所以函数 在,0x 12120,0,ff fx即 f fx 上是减函数.1, 【思路点拨】分别利用函数的奇偶性与函数的单调性进行证明. 【题文】18、 （本小题满分 14 分）已知函数 log()(0,1ayxa为 常 数 ) （1）求函数 ()fx的定义域； （2）若 3a，试根据单调性定义确定函数 ()fx的单调性； （3）若函数 ()yfx是增函数，求 a的取值范围。 【知识点】定义域；单调性.B1,B3 【答案解析】(1) (2)略(3) 21,a1, 解析：解：(1)由 22010,0xxxaaa得 又 的定义域是fx21,a (2)若 则 ，3a3 12log,99fxxx设11212123x 2 120,309xxxx ，所以函数为1123123loglogx 增函数. 1212121212(), 0xaxaxxaxa 设 则 ,所以 是增函数，12xf12ff ，联立可知12loglogaax,a 【思路点拨】根据解析式成立的条件求出定义域；利用概念证明单调性；最后根据条件求 出 a 的取值范围. 【题文】19、 （本小题满分 14 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，C 三种部件的 订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 2，2，1（单位：件） 已知每个工人每天可 生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C 部件 2 件该企业计划安排 200 名工人分成三组分 别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 k（ 为 正整数） （）设生产 A 部件的人数为 x，分别写出完成 A，B，C 三种部件生产需要的时间； （）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k的值，使完成订单任务的时间 最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案 【知识点】函数的应用.B10 【答案解析】 （）44，88，68. （）当 k=2 时完成订单任务的时间最短。 解析：解(1)设完成 A，B，C 三种部件生产任务需要的时间分别为 由题123,Txx 设有 其中1 232301050,62TxTxxkk 都取 1 到 200 之间的正整数.,kk 完成订单任务的时间为 ，其定义域为123ma,f T ，易知， 为减函数， 为增函数，应注意到*20|x,1Nk12,x3x ，于是(1)当 时， 此时2Tk12T 由函数 的单调性知，1205max,max,3fTx12,Tx 当 时 取得最小值，解得 ，由 ，而10523xxf 409x4059 ，故当 时完成1 304,45,1fTTffx 订单任务的时间最短，且最短时间为 25f （2）当 时， ，由于 k 为正整数，故 ，此时令k12x 3k 易知 为增函数，12375,ma,0TxTxT 由函数131 1075a, ,max,fx x 单调性可知，当 时 取得最小值解得 ，由于1,Tx0