MBA数学冲刺复习资料

第一章 整数 有理数 实数 第 一节 整 数 一、 整数及其带 余除法 定义 1 设a ， b 是 任意 两个整 数， b 0 ， 如 果存 在一 个正数 q，使 得 a bq = ， 则称b 整除a ，记 | ba . 性质 |, | | c bb a c a | , | |( ) c b c a c ma nb + ， , mn 是任意 的 整数. 定理 1 设 a ， b 是任意两个整数， 0 b ，则存在 , qr使得 0 a bq r r b = + . 二、 质数、合数 及算术基 本定理 定义 2 一个大 于 1 的整 数 ， 如果 他的 正因素只 有 1 和 他的 本身 ， 则称 这个 数为 质数. 一 个大于 1 的 整数 ， 如果 除了 1 和他 的本 身， 还 有其 他正因 素， 则称 这 个数 为合数. 性质 如果 p 是 一个质 数 ，a 是 任意 一个 整数， 则 | pa 或者 p 与a 互质. 定理 2 对任意 一个 大于 1 的整 数a，则 12 n a pp p = ， 12 n pp p . 三、 最 大公因 数和 最小公 倍数 定义 3 设a ，b 是 两个整 数， 若 |, | d ad b ，则 称 d 是a ，b 的 一个公 因数， 整数a ， b 所有公因数 中最大的 那个数称为a ，b 的 最大公 因数，记做(,) ab ， 若(,) 1 ab = ，则称a 与b 互质. 定义 4 设a ，b 是 两个 整数 ，若 | ad 且 | bd ，则 称d 是a ，b 的公 倍数 ， a ，b 所 有 公倍数 中最 小的整 数叫 做a 与b 最 小公 倍数， 记做, ab. 定理 3 设a ，b 是 两个整数 ，若 | ad 且 | bd ，则 , | ab d 定理 4 设a ，b 是 两个整数 ，则, (,) ab ab ab = 例题 讲解 1 例 1 从 1 到 120 的 自然 数种 ，能被 3 整数 或者 能被 5 整除 的个数 (A) 64 (B) 48 (C) 56 (D) 46 (E) 72 例 2 当整 数n 被 6 整除时 ，其 余数是 3，则 下列 哪一 项不是 6 的倍 数 (A) 3 n (B) 3 n + (C) 2n (D) 3n (E) 4n 例 3 两个 正整数 的最大 公约 数是 6 ， 最小公倍 数是 90 。 满足 条件的 两个 正 整 数组 成的大 数在 前数对 共有 (A)1 对 (B) 2 对 (C) 3 对 (D) 4 对 (E) 5 对 例 4 三个 质数 之积签好 等于 他们之 和的 5 倍， 则这 三个质 数之 和是 (A)11 (B)12 (C) 13 (D) 14 (E)15 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1) 和 条件(2) 单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2) 联 合起来 充分 D 条件(1) 充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2) 单独 都不 充分， 条件(1) 和条 件(2) 联合 起来也 不充分 例 5 ( 条 件充分 性判 断) ( , ) 30 ab = ， , 18900 ab = (1) 210, 270 ab = = (2) 140, 810 ab = = (A) 例 6 ( 条 件充分 性判 断) 自然 数n 的 各位 数之 积是 6 (1) n 除以 5 余 3，且 除以 7 余 2 的最小 自然 数 (2) n 是 形如 4 2 m 的 最小 自然数. (D) 第二节 有理数 正数、分数统称为有理 数，任何一个有理数都 可 表示为 m n ，两个有理数的 和 、差 、积、 商均 为有理 数. 例题 讲解 例 2.1 111 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 234 9 0.1 0.2 0.3 0.9 + 的 值是 (A) 2 81 (B) 2 9 (C) 9 2 (D) 81 2 (E) 13 9 2 例 2.2 2 4 8 32 2 3 4 10 1 (1 3)( )( )( ) ( ) 2 33 3 3 3 + 1+3 1+3 1+3 1+3 + = (A) 19 19 1 33 2 + (B) 19 1 3 2 + (C) 19 1 3 2 (D) 9 1 3 2 (E) 以 上结 论均 不正确 例 2.3 11 1 13 15 15 17 37 39 + + = (A) 1 37 (B) 1 39 (C) 1 40 (D) 2 41 (E) 2 39 例 2.4 有 一个 整的既约 分数， 如果分 子加 24 ，分 母加 54 ， 其分数值 不变， 那 么此 既约分 数的 分子与 分母 的乘积 是 (A)24 (B) 30 (C) 32 (D) 36 (E) 38 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1) 和 条件(2) 单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2) 联 合起来 充分 D 条件(1) 充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2) 单独 都不 充分， 条件(1) 和条 件(2) 联合 起来也 不充分 例 2.5 ( 条 件充 分性 判断) 11 x = (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x + + = + (2) 1 2 3 4 5 6 2005 2006 2007 (2008 2006 4 2) (2007 2005 3 1) x + + + = + + + + (A) 例 2.6 ( 条 件充分 性判 断) 新 分 数比原 分数 减少的 百分 率是 30%. (1) 分子减少 25% ，分母 增加 25% (2) 分子增加 25% ，分母 减少 25% (E) 第三节 实 数 无限不循环小数被称为 无理数，有理数与无理 数统称为实数. x 表示 x 的 整 数部 分， x 表示 x 的 小数部 分. 3 例 3.1 已知 3 22 , 3 22 ab = += ，则 22 a b ab 的 值是 (A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 32 (E) 1 例 3.2 设 51 51 + 的 整 数部分是a ，小数 部 分是b ，则 5 ab= (A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 2 (E) 0 解 题说 明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1) 和 条件(2) 单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2) 联 合起来 充分 D 条件(1) 充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2) 单独 都不 充分， 条件(1) 和条 件(2) 联合 起来也 不充分 例 3.3 ( 条 件充 分性 判断) 31 x = (1) 8 23 x = + (2) 4 12 x = (B) 例 3.3 ( 条 件 充分性判 断) 0 ab = = (1) 0 ab , 1 () 1 2 ab + = (2) , ab 是 有理数 ， 是 无理数 ，且 0 ab += (D) 第二章 整式、分式 第一节 整 式 一、基 本概念 定义 1 形如 1 1 10 () nn nn f x ax a x ax a = + + 被 称为 一元n 次多 项式. 两 个 多项 式的和 、差 、积 仍然是 多项 式. 定义 1 对 任意两个 多项 式 1 1 10 () nn nn f x ax a x ax a = + + 1 1 10 () mm mm g x b x b x bx b = + + 如 果存 在多项 式 1 1 10 () kk kk h x cx c x cx c = + + 使得 () ()() f x gxhx = ， 则称 () gx 整除 () fx ， 记做 () | () gx f x. 4 性质 () | () , () | () () | () hx gx gx f x hx f x () | () ,() | () () |()() () () hx gx hx f x hx uxgx vx f x + 定理 1 对 于任 意两个多 项式 () , () f x gx ，存 在多 项式 () ,() qx rx ，使 得 () ()() () f x qxgx rx = + 其中 () rx 的 次数小 于 () gx 的 次数. 定理 2 对 任意一个 多项 式 () fx ，则 () () ( ) () f x qx x a f a = + 定理 3 a 是 () 0 fx = 的 根的充 分必 要条件 是( )| ( ) x a fx . 二、乘 法公式与因式分解 22 2 )2 a b a ab b =+ （ 2 222 ) 222 a b c a b c ab ac bc + = + + + （ 22 ( )( ) a b a ba b = + 3 3 2 23 ) 33 a b a a b ab b =+ （ 33 2 2 ( )( ) a b a b a ab b = + 例题 讲解 例 1.1 如果 1 x + 整除 3 22 1 x a x ax + + ，则a = (A)0 (B) 2 或 1 (C) 1 (D) 2 (E) 2 或 1 例 1.2 将多项 式 43 2 2 62 xx xx + 因 式分解 为(2 1) ( ) x qx ，则 () qx 等于 (A) 2 ( 2)(2 1) xx + (B) 2 ( 2)( 1) xx + (C) 2 (2 1)( 2) xx + (D) 2 (2 1)( 2) xx + (E) 2 (2 1) ( 2) xx + 例 1.3 若 43 2 1 x x ax bx + 除以 2 1 xx + ， 余式为25 x ，则 ab += (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 22 (E) 36 例 1.4 无论 , xy 取何 值， 22 2 12 40 xy x y + 的值 都是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 非负数 (E) 非 整数 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1) 和 条件(2) 单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2) 联 合起来 充分 D 条件(1) 充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2) 单独 都不 充分， 条件(1) 和条 件(2) 联合 起来也 不充分 例 1.5 ( 条 件充分 性判 断) abcd = = = 成立 5 (1) 222 2 0 a b c d ab bc cd da += (2) 444 4 40 a b c d abcd + = (A) 例 1.6 ( 条 件充分 性判 断) 2 x 是多 项式 32 () 2 f x x x ax b =+ 的 因式 (1) 1, 2 ab = = (2) 2, 3 ab = = (E) 例 1.6 ( 条 件充分 性判 断) 22 8 10 3 x xy y + 是 49 的的倍 数 (1) , xy 都 是整数 (2) 4xy 是 7 的倍 数. (B) 第 二节 分 式 定义 1 形如 A B 的表 达式 成为 分式. A 是 分子， B 是分母. 性质 分 子分 母同乘 以一 个不 为零的 数， 值不变 分 式的 运算： 加减 法，乘 除法 例 2.1 已知 234 abc = = ，则 22 22 23 2 a bc b a ab c + = (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 5 (D) 19 24 (E) 7 22 例 2.2 已知 0 abc += ，则 11 11 11 ( )( )( ) abc bc ca ab + 的 值等于 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 2 (E) 3 例 2.3 化简 222 2 11 1 1 3 2 5 6 7 12 201 10100 xx xx xx x x + + + + + + + + 的结 果为 (A) 100 ( 1)( 101) xx (B) 100 ( 1)( 101) xx + (C) 100 ( 1)( 101) xx + (D) 100 ( 1)( 101) xx + (E)以上结果 均 不对 6 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1)和 条件(2)单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2)联 合起来 充分 D 条件(1)充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2)单独 都不 充分， 条件(1)和条 件(2)联合 起来也 不充分 例 2.4 ( 条 件充分 性判 断) 2 22 1 xyz = 成立 (1) , xyz 为 两两不 等的 实数 (2) 1 11 x yz yzx +=+=+ (D) 例 2.5 ( 条 件充 分性 判断) 已知 0 abc ，则 1 1 ab b + = (1) 1 1 b c += (2) 1 1 c a += (C) 例 2.6 ( 条 件充 分性 判断) 42 2 33 40 244 5 8 15 xxx xx + = + 成立 (1) 19 8 3 x = (2) 19 8 3 x = + (D) 第三章 平均 值、绝 对值 第 一节 平 均值 定义 1 ( 算术平 均值) 称 123 n xxx x n + 2 为n 个数 1, 2 3 , n xx x x 2 的算 术平 均值 ，记为 1 1 n i i xx n = = 定义 2( 几何平 均值) 称 123 n n xxx x 2 为n 个正数 1, 2 3 , n xx x x 2 的几 何平 均值， 记为 1 n n i i Gx = = 7 极值 定理 已知 y x, 都 是正数 ，则 有 (1) 若积 xy 是 定值 p ， 则当 y x = 时和 y x + 有 最小值 p 2 ； (2) 若和 y x + 是 定值 s ， 则当 y x = 时积 xy 有 最大值 2 4 1 s . 例 1.1 设 变量 1 2 10 xx x ， ， ， 的 算术平均 值为 x ，若 x 是 固定 值，则 i x (i =1， 2，,10) 中 可以任 意取值 的变 量有 (A)10 个 (B)9 个 (C)2 个 (D)1 个 (E)0 个 例 1.2 如果 123 , xxx 三 个 数的算术 平均 值为 5 ，则 123 2, 3, 6 xxx + 与 8 的 算术 平均值 为 (A) 1 3 4 (B) 1 6 2 (C) 7 (D) 1 9 5 (E) 以 上 答案 都不对 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1)和 条件(2)单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2)联 合起来 充分 D 条件(1)充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2)单独 都不 充分， 条件(1)和条 件(2)联合 起来也 不充分 例 1.3 ( 条 件充分 性判 断) , abc 的 算术 平均 值是 14 3 ,而 几何 平均 值是 4 ， (1) , abc 是满 足 1 abc 的 三个整 数， 4 b = (2) , abc 是满 足 1 abc 的 三个整 数， 2 b = (E) 例 1.4( 条 件充分 性判 断) 三个 实数 123 xxx ， ， 的算 术平 均值为 4 (1) 123 625 xxx + ， ， 的算 术平 均值为 4 (2) 212 xxx 为 和 的等 差中 项，且 2 4 x = (B) 第 二节 绝对值 1.绝 对值 的定义 , ,0 aa o a aa = ， 2 . aa = 2.几何 意义 实 数a 的 绝对值 就是 数轴上 与a 对 应的点 到原 点的距 离。 8 3.绝 对值 的主要 性质 ： (1) 0; a (2) ; aa = (3) ab a b + ；等 号成 立的条 件为 0; ab (4) ab a b + ；等 号成 立的条 件为 0. ab 4非 负数 (1) 0; a (2) 2 0; a (3) 若 a 有 意义 ，则 0 a 且 0. a 例 2.1 设 22 yx x =+ ， 则下 列结论正确 的是( ) (A) x 没 有最小 值 (B)只有一 个 x 使 y 取 到最小 值 (C)有无穷 多个 x 使 y 取 到最 大值 (D)有无穷 多个 x 使 y 取 到最 小值 (E) 以 上 结论均 不正确 例 2.2 实数 , abc 在数 轴上的位 置如 图 所 示， 则代数 式| | | | ab ba ac c + + + += (A) 2 ab (B) 2 ac (C) 3a (D) 32 ac + (E) 22 bc + 例 2.3 已知 1 | | | abc abc += ，则 2007 | ( )( ) | | | | bc ac ab abc ab bc ca abc = (A)1 (B) 1 (C) 2 (D) 2 (E) 1 2 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1) 和 条件(2) 单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2) 联 合起来 充分 D 条件(1) 充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2) 单独 都不 充分， 条件(1) 和条 件(2) 联合 起来也 不充分 例 2.4 ( 条 件充 分性 判断) 1 bc ca ab abc + += (1) 实数 , abc 满足 0 abc += (2) 实数 , abc 满足 0 abc (C) 9 例 2.5 ( 条 件充分 性判 断)方程 12 xx += 无根 (1) ( ) 1 x ， (2) ( ) 10 x ， (B) 例 2.6 ( 条 件充分 性判 断) 2 ab ab = (1) 0 a (C) 第四章 方 程与 不等式 第 一节 一元 二次 方程 定义 1 形如 2 0( 0) ax bx c a += 的 方程 称为 一元 二次方 程. 解法 因 式分 解法 ： 把方 程化为 形如 12 ( )( ) 0 a xxxx = 的形 式， 则解 为 12 , xx xx = = 配 方法 ：如 22 4 20 ( 2 ) 60 2 6 2 6 xx x x x = = = 公式 法： 2 1,2 4 2 b b ac x a = 一 元二 次方程 的判 别式 ： 22 0( 0), 4 a bx c a b ac + + = = 当 0 时 ， 方程有 两个 不相等 的实 数根。 当 0 = 时 ， 方程有 两个 相等的 实数 根。 当 0 时 ， 方程无 实数 根。 一 元二 次方程 根与 系数的 关系 ： 设 2 0 ax bx c + += 的两 根为 1 2, , xx ， 则有 1 2 12 ,. bc x x xx aa += = 当 一元 二次方 程为 2 0 x px q + += 时， 则有 1 2 12 ,. x x px x q += = 例 1.1 方程 2 37 0 x px += 恰 有 两个正整 数解 12 12 ( 1)( 1) , xx xx p + 则 的 值是 (A) 2 (B) 1 (C)0 (D)1 (E)2 例 1.2 知方 程 2 3 5 10 xx + += 的 两个根为 , ，则 += 53 () 3 A (B) 53 3 3 () 5 C 3 () 5 D (E) 以 上答 案都 不对 10 例 1.3 已知 32 2 5 60 xxx + = 的根为 1 23 1, , , x xx = 则 23 11 xx += (A)1/6 (B) 1/5 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 以 上 答案 度不对 例 1.4 方程 2 0 x px q + += 的 一 个根是另 一个 根的 2 倍，则 p 和 q 应满足 (A) 2 4 pq = (B) 2 29 pq = (C) 2 49 pp = (D) 2 23 pq = (E) 以 上结 论均不 对 例 1.5 方程 2 10 x bx + += 的 两 个根为 1 x 和 2 x ，且 12 11 5 xx += ，则 b 的 值是 (A) 10 (B) 5 (C)3 (D)5 (E)10 例 1.6 方程 2 67 0 x xa += 的 两 个实根， 若 12 11 , xx 的 几何 平均值 是 3，则 a 的 值是 (A)2 (B)3 (C)4 (D) 2 (E) 3 例 1.7 已知 0 k ，方程 2 3 12 1 kx x k + += 有两个 相等 的实根 ， 则 k = (A) 23 (B) 23 (C)3 或 4 (D) 4 (E)3 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1)和 条件(2)单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2)联 合起来 充分 D 条件(1)充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2)单独 都不 充分， 条件(1)和条 件(2)联合 起来也 不充分 例 1.8 方程 2 20 x ax += 与 2 20 x xa = 有 一公共实 数解 (1) 3 a = (2) 2 a = (A) 例 1.9（充 分性 判断）方 程 ( ) ( ) 2 4 2 50 x a xa += 有 两个不 等的 负实根 (1) 6 a (C) 例 1.10（充 分性 判断）方 程 22 2( 1) 2 0 x k xk + += 的 两个实 根 (1) 1 2 k (2) 1 2 k = (D) 例 4.11（ 充分 性判断 ）方程 2 2 (1 )(3 ) 0 x a xa += 两 根之差 为 1 。 (1) 9 a = (2) 3 a = (D) 11 例 1.12 （充分 性判 断 ） 一 元二 次方程 2 0 x bx c += 的 两 根之差 的绝 对值为 4 ， (1) 4, 0 bc = = (2) 2 4 16 bc = (D) 第 二节 一元二 次不 等式 求解一元二次不等式时借助二次函数图象最为简便，做法是先确定二次项 系 数正 负号 ， 其次 再研究 判别 式 。 二次函 数 ， 一 元二 次不等 式及 一元二 次方 程 三者之间 的关系表：二次项系数 是负数( 即 0 a ，如果 a 与 2 ax bx c + 同 号， 则其解 集在 两根之 外； 如果 a 与 2 ax bx c + 异 号， 则其 解集 在 两根 之间.简 言之 ：同号 两根 之外， 异号 两根之 间. 1 2 1 2 12 ( )( ) 0( ) x xx xxxx x x 的所 有实 数 x 的 集合是 ) ( ) 4, A + ( ) ( ) 4, B + (C) ( ,2 ( ) ( ) ,1 D (E) ( ) , + 例 2.4 一元 二次 不等式 ( ) 22 34 0 0 x ax a a + 的解集 是 11 , 32 ，则 a = (A) 12 (B)6 (C)0 (D)12 (E)以上结论 均 不对 12 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1)和 条件(2)单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2)联 合起来 充分 D 条件(1)充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2)单独 都不 充分， 条件(1)和条 件(2)联合 起来也 不充分 例 2.6( 条 件充分 性判 断) 不 等式 2 ( 3) 2( 3) 1 0 kx kx k + + + ，对 x 的任意 数 值 都成 立。 (1) 0 k = (2) 3 k = (B) 例 2.7( 条 件充分 性判 断) 2 4 43 xx (1) 11 ( ,) 42 x (2) ( 1, 0) x (A) 第五章 数 列 第 一节 基本 概念 与 等差 数列 定义 1 按照一 定顺 序排 成的 一列数 成为 数列， 数 列中 的每一 个数 称为 数列 的项 ，第n 数记 做 n a . 定义 2 如 果数列 n a 满 足： 1 ( 1, 2, ) nn a a dn = ，则称 n a 为等 差 数 列，d 称为 公差. 等 差数 列常用 性质 和公式 有如 下几项 ： 通项 公式 ： 1 ( 1) n aan d =+ 1 () n a dn a d d =+ n a 是n 的 一 次函数 ，一 次项系 数为 公差， 系数 之和为 首项 ，如 35 n an = ， 可 知该 数列为 等差 数列， 公差 为 3 ，首 项为2。 等 差中 项：若 , abc 成 等 差数列 ，则2bac = + 求 和公 式： 1 () 2 n n na a S + = ， 2 11 ( 1) () 22 2 n nn d d d S na n a n =+ = + 。 从 求和 公式可 以看 出，等 差数 列前 n 项 之和的 解析 表达式 是不 含常数 项的 二 次函 数，且 而次项 的系 数是 半公差 ，系数 之和 就是 首项， 如 2 35 n Snn = ，则 此 数列 一定是 等差 数列， 且公 差是 6 ，首 项是2 性质 13 (1) () mn a a m nd = ； (2) 当 mn pq +=+ 时， 11 2 2 ,2 ; mn pqk k k k k a aaaaa a a a + +=+ =+= + = (3) 2 32 , , nn nn n SS SS S 仍成 等差 数列， 公差为 2 nd ； (4)等差数 列 n a 和 n b 的前 n 项 和分 别用 n S 和 n T 表示 ，则 21 21 kk kk aS bT = 例 1.1 数列 n a 的前 n 项 的和为 2 42 n S nn = + ，则它 的 通项 n a 是 ( )3 2 An ( )4 1 Bn + ( )8 2 Cn ( )8 1 Dn (E)以上结论 均不 正 确 例 1. 2 若 6， , ac 成等 差数列 ，且 36， 22 , ac 也成 等差数 列， 则c = (A) 6 (B)2 (C)3 或 2 (D) 6 或 2 (E) 以 上 答案均 不正确 例 1.2 已知 等差 数列 n a 中， 2 3 10 11 64 aaa a += ，则 12 s = (A)64 (B)81 (C)128 (D)192 (E)188 例 1.3 一 等差数 列中， 1 46 2, 4 a aa = += ， 该等 差数列 的公 差是 (A) 2 (B) 1 (C)1 (D)2 (E)3 例 1.4 在 等差数 列 n a 中 ，前 4 项之 和 4 1, S = 前 8 项之 和 8 4, S = 则 12 S 的值 为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)14 (E)16 例 1.5 在 等差数 列 n a 中 ，已 知 1 2 10 9 8 , nn n a a a pa a a q += + += 则 该数 列前n 项和 n S = (A) () 12 n pq + (B) () 18 n pq + (C) () 20 n pq + (D) () 24 n pq + (E) 3 () 20 n pq + 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条件(1)和 条件(2)单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2)联 合起来 充分 D 条件(1)充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2)单独 都不 充分， 条件(1)和条 件(2)联合 起来也 不充分 例 1.6( 条 件充分 性判 断) 等差 数列 n a 的前 13 项和 13 52 s = . (1) 4 10 8 aa += (2) 2 10 4 28 a aa + = (D) 14 例 1.7( 条 件充分 性判 断) 等差 数列 n a 的前 11 项和 11 52 s = . (1) 6 2 a = (2) 48 4 aa += (D) 例 1.8 ( 条 件充分 性判 断) 在 等差 数列 n a 和 n b 中， 11 11 4 3 a b = . (1) n a 和 n b 前 n 项的 和之 比为(7 1) : (4 27) nn + (2) n a 和 n b 前 21 的 和之比 为5:3 (A) 例 1.9 ( 条件充分性判断)数列 n a 的前k 项和 12 k aa a + 与随后 k 项和 12 2 kk k aa a + + + 之 比与k 无 关。 (1) 21 n an = ( 1, 2, n = ) (2) 2 n an = ( 1, 2, n = ) (A) 第 二节 等比 数列 定义 如果 数列 n a 恒有 1 n n a q a + = (常数)，则 称 n a 为 等比 数列， 称 q 为 该数 列 的公 比。 通 项公 式： 1 1 n n a aq = 。 前n 项 求 和公式 设等比数列 n a 的首项为 1 a ，公比为 q ，则前n 项之和 1 11 1 n n S a aq aq =+ 当 q = 1 时， 1 n S na = ； 当 1 q 时， 1 (1 ) 1 n n aq S q = ； 当 , n + 且 1 q 时， 11 (1 ) lim 11 n x aq a S qq = = 性 质： (1) 距 首 末等 远两项 积都相 等， 1 2 13 2 ; nn n aa aa aa = = (2) 当 1 k 时 ，距 k a 前 后等 远两项 之积 相等， 2 11 2 2 ; k kk k k a aa aa + = (3) mn m n a q a = (4) 若 n S 是等比数列 n a 前 n 项的和，则 2 32 , , nn nn n SS SS S 仍是等比数 15 列 ，公 比为 n q 例 2.1 方程 22 2 22 ( ) 2( ) 0 a c x ca bx b c + += 有实 根，则 (A) , abc 成 等比数 列 (B) , acb 成 等比 数列 (C) , bac 成 等差 数列 (D) , abc 成 等差数 列 (E) 以 上答 案均不 对 例 2.2 若 2 ,2 1 ,2 3 xx + 成 等比 数列，则 x = ( ) (A) 2 log 5 2 ( ) log 6 B (C) 2 log 7 (D) 2 log 8 (E) 2 log 9 例 2.3 如果 数列 n a 的前 n 项的和 3 3 2 nn Sa = ， 那么这个数列的通项公 式 是 ( ) 2 () 2 1 n Aa n n = + () 32 n n Ba = (C) 31 n an = + (D) 23 n n a = (E) 以 上 结果 均不对 例 2.4 已 知等差 数列 n a 的公 差不 为 0，但 第 3 ，4 ，7 项 构成 等比数 列， 则 26 37 aa aa + = + (A)3/5 (B)2/3 (C)3/4 (D)4/5 (E) 4 5 例 2.5 在等差数列 n a 中， 3 11 2, 6 aa = = ；数列 n b 是等比数列若 2 33 2 1 , b ab a = = ， 则满 足 26 1 n b a 的最 大的 n 是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 例 2.6 三 个不同 的非零数 , abc 成等差 数 列， 又 , abc 成等 比数 列， 则 a b = (A) 2 (B) 4 (C) 4 (D) 2 (E) 3 解题 说明 A 条件(1)充分， 但条 件(2) 不 充分 B 条件(2) 充分 ，但 条件(1) 不 充分 C 条 件(1)和 条件(2)单独 都不 充分， 但条 件(1) 和 条件(2)联 合起来 充分 D 条件(1)充 分， 条件(2)也充分 E 条件(1) 和条 件(2)单独 都不 充分， 条件(1)和条 件(2)联合 起来也 不充分 例 2.7 ( 条 件充分 性判 断)实数 , abc 成 等比 数列 (1)关于 x 的 一 元二次 方程 2 20 ax bx c += 有 两相 等实根 (2) lg ,lg ,lg abc 成等 差数 列 (D) 16 例 2.8 ( 条 件充分 性判 断) 22 1 3 ab ab + = + (1) 22 ,1, ab 成等 差数 列 (2) 11 ,1, ab 成等 比数 列 (E) 例 2.9 ( 条 件充分 性判 断) , nn ST 为等 差数 列前n 项和,能确 定 11 11 a b 的 值为 58 49 (1) 12 3, 2 ab = = (2) 35 27 n n S n Tn = + (B) 例 2.10 ( 条 件充分 性判断) 6 126 S = (1) 数列 n a 的通 项公 式是 ( ) 10 3 4 n an = + ( ) nN (2) 数列 n a 的通 项公 式 是 2 n n a = ( ) nN (B) 例 2.11 ( 条 件充 分性 判断) 25 8 2 SS S += (1)等比数 列前 n 项的 和为 n S ，且 公比 3 4 2 q = (2)等比数 列前 n 项的 和为 n S ，且 公比 3 1 2 q = (A) 例 2.12(条件充分性判 断) 已知数列 n a 中， 13 10 aa += ，则 4 a 的值一定 是 1. (1) 数列 n a 是等 差数 列，且 46 2 aa += (2) 数列 n a 是等 比数 列，且 46 5 4 aa += (B) 例 2.13 ( 条件 充分性 判断) 各项 均为 正数的 等比 数列 n a 的前n 项 和为 n S ， 则 4 30 n S = (1) 2 n S = (2) 3 14 n S = (C) 第 六章 应 用题 这一部分问题主要是综合了初等数学的基础知识，并结合一些具体的问题 背 景， 因此 ， 具 有一定的 难度 ， 成 为 MBA 考试 的一 个热点 问题 ， 希望 考生 充分 注意。以下我们从历年的真题中来感受命题的基本思路和解题的基本方法和思 路。 例 1.1 一种 货币 贬值 15% ， 一年 后又增 值百 分之 几， 才能保 持原 币值？ (A) 15% (B)15.25% (C) 16.78% (D) 17.17% (E) 17.65% 17 例 1.2 甲， 乙， 丙三 名工人 加工 完成一 批零 件， 甲 工人 完成了 总件 数的 34%， 乙 ，丙 两工人 完成 的件数 之比 是 6:5，已 知丙工 人完 成了 45 件 ，则甲 工人 完成 了 (A)48 件 (B)51 件 (C)60 件 (D)63 件 (E)132 件 例 1.3 一商 店把 某商品按 标价 的九折 出售 ，仍 可 获利 20% ，若该 商品 的进 价为 每件 21 元 ，则该商 品每 件的标 价为 (A)26 元 (B)28 元 (C)30 元 (D)32 元 (E) 48 元 例 1.4 一公 司向 银行借款 34 万元 ，欲 按 111 : 239 的比例 分配 给下属 甲， 乙， 丙 三车 间进行 技术 改造， 则甲 车间应 得 (A)4 万元 (B)万元 (C)12 万元 (D)18 万元 (E) 28 万元 例 1.5 装一 台机 器需要甲 ， 乙， 丙三 种部件 各一 件， 现 库中 存有这 三种 部件 共 270 件， 分别用 甲， 乙 ， 丙库 存件 数的 3/5, 3/4, 2/3 装 配若干 机器， 那么原 来 库 存有 甲种部 件的 件数是 (A)80 (B)90 (C)100 (D)110 (E)以上均不对 例 1.6 某 工厂生产某种新型 产品，一月份 每件产品 销售的利润是 出厂价 的 25%( 利润=出厂价成本) ，二 月份 每件产 品出 厂价 降低了 10% ，成 本不 变，销 售 件数 比一月 份增 加 80% ， 则利 润增长 (A)6% (B)8% (C) 15.5% (D)25.5% (E)以上均不 对 例 1.7 某公 司二 月份产值 为 36 万 元 ， 比一 月份 产值 增加了 11 万 元， 比 三月 份 产值 减少了 7.2 万元，第二 季度 产值为 第一季 度的 1.4 倍，该公 司上 半年 产值 的 月平 均值为 (A)40.51 万元 (B)41.68 万元 (C)48.25 万元 (D)50.16 万元 (E)52.16 万元 例 1.8 某 电子产 品一 月份 按原 定价 的 80% 出售 ，能 获利 20% ，二月 份由 于 进 价降 低， 按 同样 原定价 的 75% 出 售， 却 能获利 25%, 那么 二月 份进价 是一 月份 进 价的 百分之( ) (A)92 (B)90 (C) 85 (D)80 (E)75 例 1.9 一项 工程 由甲 ， 乙 两队 一起做 30 天可以 完成 ， 甲 单独做 24 天 后 ，乙 队 加入 ，两队 一起 做 10 天 后， 甲队 调走， 乙队 继续 做了 17 天才 完成 ，若 这项 工 程由 甲队单 独做 需 (A)60 天 (B)70 天 (C) 80 天 (D)90 天 (E)100 天 18 例 1.10 甲， 乙两 项工程 分别 由一， 二工 程队负 责完 成，晴 天时 ，一队 完成 甲 工程 需要 12 天， 二队 完成 乙工程 需要 15 天 ，雨 天时， 一队 的效率 是晴 天时 的 60%，二队 的效率是 晴天 时的 80% ， 结果 两队 同时开 工并 同时完 成各 自的工 程 ，那 么，在 这段 工期内 ，雨 天的天 数为 (A)8 天 (B)10 天 (C) 12 天 (D)15 天 (E)以上均不 对 例 1.12 甲， 乙两汽 车从 相距 695 公里的 两地出 发， 相向而 行， 乙车比 甲车 迟 2 个小 时出 发，甲车每 小时 行驶 55 公里 ， 若 乙车 出发后 5 小时 与甲 相遇 ， 则 乙 车每 小时行 驶 (A)55 公里 (B)58 公里 (C) 60 公里 (D)62 公里 (E)65 公里 例 1.13 甲 ，乙两 人同时 从同 一地点 出发 相背而 行，1 小时 后分别 到达 各自 的 终点 A 和 B ， 若从原 地出 发，互 换彼 此的目 的地 ，则甲 在乙 到达 A 之后 35 分钟 到达 B ，则 甲的速度 和乙 的速度 之比 是 (A)3/5 (B)54/3 (C) 4/5 (D)3/4 (E)以上均不 对 例 1.14 一支 部队 排成长 度为 800 米的 队列行军 ， 速 度为 80 米/ 分 钟， 在队 首 的通 讯员以 3 倍于行 军的 速度跑 步到 队尾， 花 1 分 钟传 达首长命 令后 ，立即 以 同样 的速度 跑回 到队首 ，在 其往返 全过 程中通 讯员 所花费 的时 间为( )分钟 (A)6.5 (B)7.5 (C) 8 (D)8.5 (E)10 例 1.15 一 辆大巴 车从甲 城以 均速v 行 驶， 可按预 定时 间到达 乙城 ，但在 距 乙城 还有 150 公 里处 ， 因 故停 留半小 时，因此需 要平 均每小 时增 加 10 公里 才能 按 预定 时间到 达乙 城，则 大巴 车原来 的速 度v (A)45 公里/ 小时 (B)50 公里/ 小时 (C)55 公里/ 小时 (D)60 公里/ 小时 (E)以上答案 均 不对 例 1.16 王女 士以 一笔资 金分 别投入 股市 和基金 ， 但因 故需 抽回一 部分 资金， 若 从股 市中抽 回 10% ，从 基金 中抽回 55,则其 总投 资额减 少 8% ，若 从股 市和基 金 的投 资额中 各抽 回 15% 和 10% ，则其 总投资 额减 少 130 万 元，其总 投资 额为 ( )万元