《概率论与数理统计》第三版课后习题答案

- 1 - 习 题 一 ：1 .1 写 出 下 列 随 机 试 验 的 样 本 空 间 ：(1 ) 某 篮 球 运 动 员 投 篮 时 , 连 续 5 次 都 命 中 , 观 察 其 投 篮 次 数 ;解 ： 连 续 5 次 都 命 中 ， 至 少 要 投 5 次 以 上 ， 故 ,7,6,51 ；(2 ) 掷 一 颗 匀 称 的 骰 子 两 次 , 观 察 前 后 两 次 出 现 的 点 数 之 和 ;解 ： 12,11,4,3,22 ；(3 ) 观 察 某 医 院 一 天 内 前 来 就 诊 的 人 数 ; 解 ： 医 院 一 天 内 前 来 就 诊 的 人 数 理 论 上 可 以 从 0 到 无 穷 ， 所 以 ,2,1,03 ；(4 ) 从 编 号 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 5 件 产 品 中 任 意 取 出 两 件 , 观 察 取 出 哪 两 件 产 品 ;解 ： 属 于 不 放 回 抽 样 ， 故 两 件 产 品 不 会 相 同 ， 编 号 必 是 一 大 一 小 ， 故 ： ;51,4 jiji(5 ) 检 查 两 件 产 品 是 否 合 格 ;解 ： 用 0 表 示 合 格 , 1 表 示 不 合 格 ， 则 1,1,0,1,1,0,0,05 ；(6 ) 观 察 某 地 一 天 内 的 最 高 气 温 和 最 低 气 温 (假 设 最 低 气 温 不 低 于 T1 , 最 高 气 温 不 高 于 T2 ); 解 ： 用 x表 示 最 低 气 温 , y 表 示 最 高 气 温 ;考 虑 到 这 是 一 个 二 维 的 样 本 空 间 ， 故 ： 216 , TyxTyx ；(7 ) 在 单 位 圆 内 任 取 两 点 , 观 察 这 两 点 的 距 离 ;解 ： 207 xx ；(8 ) 在 长 为 l的 线 段 上 任 取 一 点 , 该 点 将 线 段 分 成 两 段 , 观 察 两 线 段 的 长 度 .解 ： lyxyxyx ,0,0,8 ；1 .2 (1 ) A 与 B 都 发 生 , 但 C 不 发 生 ; CAB ；(2 ) A 发 生 , 且 B 与 C 至 少 有 一 个 发 生 ; )( CBA ；(3 ) A,B,C 中 至 少 有 一 个 发 生 ; CBA ； - 2 - (4 ) A,B,C 中 恰 有 一 个 发 生 ; CBACBACBA ；(5 ) A,B,C 中 至 少 有 两 个 发 生 ; BCACAB ；(6 ) A,B,C 中 至 多 有 一 个 发 生 ; CBCABA ；(7 ) A;B;C 中 至 多 有 两 个 发 生 ; ABC(8 ) A,B,C 中 恰 有 两 个 发 生 . CABCBABCA ；注 意 ： 此 类 题 目 答 案 一 般 不 唯 一 ， 有 不 同 的 表 示 方 式 。 1 .3 设 样 本 空 间 20 xx , 事 件 A= 15.0 xx , 6.18.0 xxB具 体 写 出 下 列 各 事 件 ：(1 ) AB ; (2 ) BA ; (3 ) BA ; (4 ) BA（ 1 ） AB 18.0 xx ；(2 ) BA = 8.05.0 xx ；(3 ) BA = 28.05.00 xxx ; (4 ) BA = 26.15.00 xxx1 .6 按 从 小 到 大 次 序 排 列 )()(),(),(),( BPAPABPBAPAP , 并 说 明 理 由 .解 ： 由 于 ),(, BAAAAB 故 )()()( BAPAPABP ， 而 由 加 法 公 式 ， 有 ：)()()( BPAPBAP 1 .7解 ： (1 ) 昆 虫 出 现 残 翅 或 退 化 性 眼 睛 对 应 事 件 概 率 为 ：175.0)()()()( WEPEPWPEWP - 3 - (2 ) 由 于 事 件 W 可 以 分 解 为 互 斥 事 件 EWWE, ， 昆 虫 出 现 残 翅 , 但 没 有 退 化 性 眼 睛 对 应 事 件概 率 为 ： 1.0)()()( WEPWPEWP(3 ) 昆 虫 未 出 现 残 翅 , 也 无 退 化 性 眼 睛 的 概 率 为 ： 825.0)(1)( EWPEWP .1 .8解 ： (1 ) 由 于 BABAAB , ， 故 ),()(),()( BPABPAPABP 显 然 当 BA 时 P(AB)取 到 最 大 值 。 最 大 值 是 0 .6 .(2 ) 由 于 )()()()( BAPBPAPABP 。 显 然 当 1)( BAP 时 P(AB) 取 到 最 小 值 ， 最 小 值 是 0 .4 .1 .9解 ： 因 为 P(AB) = 0 ， 故 P(ABC) = 0 . CBA , 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 为 ： 7.0)()()()()()()()( ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP1 .1 0 解（ 1 ） 通 过 作 图 ， 可 以 知 道 ， 3.0)()()( BPBAPBAP（ 2 ） 6.0)()(1)(1)( BAPAPABPABP 7.0)(1)( )()()(1 )()()(1)(1)()()3( APBP ABPBPAP ABPBPAPBAPBAPABP由 于 1 .1 1解 ： 用 iA 表 示 事 件 “ 杯 中 球 的 最 大 个 数 为 i个 ” i =1 ,2 ,3 。 三 只 球 放 入 四 只 杯 中 ， 放 法 有4 4 4 64 种 ， 每 种 放 法 等 可 能 。 - 4 - 对 事 件 1A ： 必 须 三 球 放 入 三 杯 中 ， 每 杯 只 放 一 球 。 放 法 4 3 2 种 ， 故 83)( 1 AP(选 排 列 ： 好 比 3 个 球 在 4 个 位 置 做 排 列 )。对 事 件 3A ： 必 须 三 球 都 放 入 一 杯 中 。 放 法 有 4 种 。 (只 需 从 4 个 杯 中 选 1 个 杯 子 ， 放 入 此 3个 球 ， 选 法 有 4 种 )， 故 161)( 3 AP 。 169161831)( 2 AP 1 .1 2解 ： 此 题 为 典 型 的 古 典 概 型 ， 掷 一 颗 匀 称 的 骰 子 两 次 基 本 事 件 总 数 为 3 6 。 .出 现 点 数 和 为“ 3 ” 对 应 两 个 基 本 事 件 （ 1 ， 2 ） ， （ 2 ， 1 ） 。 故 前 后 两 次 出 现 的 点 数 之 和 为 3 的 概 率 为 181 。同 理 可 以 求 得 前 后 两 次 出 现 的 点 数 之 和 为 4 ， 5 的 概 率 各 是 91,121 。(1 ) 1 .1 3解 ： 从 1 0 个 数 中 任 取 三 个 数 ， 共 有 120310 C 种 取 法 ， 亦 即 基 本 事 件 总 数 为 1 2 0 。(1 ) 若 要 三 个 数 中 最 小 的 一 个 是 5 ， 先 要 保 证 取 得 5 ， 再 从 大 于 5 的 四 个 数 里 取 两 个 ， 取 法 有 624 C 种 ， 故 所 求 概 率 为 201 。(2 ) 若 要 三 个 数 中 最 大 的 一 个 是 5 ， 先 要 保 证 取 得 5 ， 再 从 小 于 5 的 五 个 数 里 取 两 个 ， 取 法有 1025 C 种 ， 故 所 求 概 率 为 121 。1 .1 4解 ： 分 别 用 321 , AAA 表 示 事 件 ：(1 ) 取 到 两 只 黄 球 ; (2 ) 取 到 两 只 白 球 ; (3 ) 取 到 一 只 白 球 , 一 只 黄 球 .则,111666)(,33146628)( 212242212281 CCAPCCAP 3316)()(1)( 213 APAPAP 。1 .1 5 - 5 - 解 ： )( )()()( )()( BP BBABPBP BBAPBBAP 由 于 0)( BBP ， 故 5.0)( )()()( )()( BP BAPAPBPABPBBAP1 .1 6(1 ) );( BAP （ 2 ） );( BAP 解 ： （ 1 ） ;8.05.04.01)()(1)()()()( BAPBPABPBPAPBAP（ 2 ） ;6.05.04.01)()(1)()()()( BAPBPBAPBPAPBAP注 意 ： 因 为 5.0)( BAP ， 所 以 5.0)(1)( BAPBAP 。1 .1 7解 ： 用 iA 表 示 事 件 “ 第 i次 取 到 的 是 正 品 ” （ 3,2,1i ） ， 则 iA 表 示 事 件 “ 第 i次 取 到 的 是次 品 ” （ 3,2,1i ） 。 1 1 2 1 2 115 3 3 14 21( ) , ( ) ( ) ( )20 4 4 19 38P A P A A P A P A A (1 ) 事 件 “ 在 第 一 、 第 二 次 取 到 正 品 的 条 件 下 , 第 三 次 取 到 次 品 ” 的 概 率 为 ：3 1 2 5( ) 18P A A A 。(2 ) 事 件 “ 第 三 次 才 取 到 次 品 ” 的 概 率 为 ：1 2 3 1 2 1 3 1 2 15 14 5 35( ) ( ) ( ) ( ) 20 19 18 228P A A A P A P A A P A A A （ 3 ） 事 件 “ 第 三 次 取 到 次 品 ” 的 概 率 为 ： 41此 题 要 注 意 区 分 事 件 （ 1 ） 、 (2 ） 的 区 别 ， 一 个 是 求 条 件 概 率 ， 一 个 是 一 般 的 概 率 。 再 例 如 ，设 有 两 个 产 品 ， 一 个 为 正 品 ， 一 个 为 次 品 。 用 iA 表 示 事 件 “ 第 i次 取 到 的 是 正 品 ” （ 2,1i ） ， - 6 - 则 事 件 “ 在 第 一 次 取 到 正 品 的 条 件 下 , 第 二 次 取 到 次 品 ” 的 概 率 为 ： 1)( 12 AAP ； 而 事 件“ 第 二 次 才 取 到 次 品 ” 的 概 率 为 ： 21)()()( 12121 AAPAPAAP 。 区 别 是 显 然 的 。1 .1 8 。解 ： 用 )2,1,0( iAi 表 示 事 件 “ 在 第 一 箱 中 取 出 两 件 产 品 的 次 品 数 i” 。 用 B表 示 事 件 “ 从第 二 箱 中 取 到 的 是 次 品 ” 。 则 2 1 1 212 12 2 20 1 22 2 214 14 1466 24 1( ) , ( ) , ( ) ,91 91 91C C C CP A P A P AC C C 0 1( ) 12P B A ， 1 2( ) 12P B A ， 2 3( ) 12P B A ，根 据 全 概 率 公 式 ， 有 ： 283)()()()()()()( 221100 ABPAPABPAPABPAPBP1 .1 9解 ： 设 )3,2,1( iAi 表 示 事 件 “ 所 用 小 麦 种 子 为 i等 种 子 ” ，B 表 示 事 件 “ 种 子 所 结 的 穗 有 5 0 颗 以 上 麦 粒 ” 。则 1 2 3( ) 0.92, ( ) 0.05, ( ) 0.03,P A P A P A 1( ) 0.5P B A ， 2( ) 0.15P B A ，3( ) 0.1P B A ， 根 据 全 概 率 公 式 ， 有 ： 4705.0)()()()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP1 .2 0 解 ： 用 B表 示 色 盲 ， A表 示 男 性 ， 则 A 表 示 女 性 ， 由 已 知 条 件 ， 显 然 有 ：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)( ABPABPAPAP 因 此 ： - 7 - 根 据 贝 叶 斯 公 式 ， 所 求 概 率 为 ： 151102)()()()( )()()()( )()( )()( ABPAPABPAP ABPAPBAPABP ABPBPABPBAP1 .2 1解 ： 用 B表 示 对 试 验 呈 阳 性 反 应 ， A表 示 癌 症 患 者 ， 则 A 表 示 非 癌 症 患 者 ， 显 然 有 ：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)( ABPABPAPAP 因 此 根 据 贝 叶 斯 公 式 ， 所 求 概 率 为 ： 29495)()()()( )()()()( )()( )()( ABPAPABPAP ABPAPBAPABP ABPBPABPBAP1 .2 2(1 ) 求 该 批 产 品 的 合 格 率 ;(2 ) 从 该 1 0 箱 中 任 取 一 箱 , 再 从 这 箱 中 任 取 一 件 , 若 此 件 产 品 为 合 格 品 , 问 此 件 产 品 由 甲 、 乙 、 丙 三 厂 生 产 的 概 率 各 是 多 少 ?解 ： 设 ， , 321 产 品 为 丙 厂 生 产产 品 为 乙 厂 生 产产 品 为 甲 厂 生 产 BBB 产 品 为 合 格 品A ， 则（ 1 ） 根 据 全 概 率 公 式 ， 94.0)()()()()()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP ， 该 批产 品 的 合 格 率 为 0 .9 4 .（ 2 ） 根 据 贝 叶 斯 公 式 ， 9419)()()()()()( )()()( 332211 111 BAPBPBAPBPBAPBP BAPBPABP 同 理 可 以 求 得 4724)(,9427)( 32 ABPABP ， 因 此 ， 从 该 1 0 箱 中 任 取 一 箱 , 再 从 这 箱 中 任 取一 件 , 若 此 件 产 品 为 合 格 品 , 此 件 产 品 由 甲 、 乙 、 丙 三 厂 生 产 的 概 率 分 别 为 ： 4724,9427,9419 。1 .2 3 - 8 - 解 ： 记 A=目 标 被 击 中 ， 则 994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)( APAP1 .2 4解 ： 记 4A =四 次 独 立 试 验 ， 事 件 A 至 少 发 生 一 次 ， 4A =四 次 独 立 试 验 ， 事 件 A 一 次 也 不发 生 。 而 5904.0)( 4 AP ， 因 此 4096.0)()()(1)( 444 APAAAAPAPAP 。 所 以2.08.01)(,8.0)( 1 APAP三 次 独 立 试 验 中 , 事 件 A 发 生 一 次 的 概 率 为 ： 384.064.02.03)(1)( 213 APAPC 。 二 、 第 一 章 定 义 、 定 理 、 公 式 、 公 理 小 结 及 补 充 ：（ 10） 加 法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时 ， P(A+B)=P(A)+P(B)（ 11） 减 法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时 ， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时 ， P(B)=1- P(B) （ 12） 条 件 概率 定 义 设 A、 B 是 两 个 事 件 ， 且 P(A)0， 则 称 )( )( APABP 为 事 件 A发 生 条 件 下 ， 事件 B 发 生 的 条 件 概 率 ， 记 为 )/( ABP )( )( APABP 。（ 16） 贝 叶 斯公 式 nj jj iii BAPBP BAPBPABP 1 )/()( )/()()/( ， i=1， 2， n。此 公 式 即 为 贝 叶 斯 公 式 。 - 9 - 第 二 章 随 机 变 量2 .1X 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2P 1 /3 6 1 /1 8 1 /1 2 1 /9 5 /3 6 1 /6 5 /3 6 1 /9 1 /1 2 1 /1 8 1 /3 62 .2 解 ： 根 据 1)(0 k kXP ， 得 10 k kae ， 即 11 11 eae 。故 1 ea 2 .3 解 ： 用 X 表 示 甲 在 两 次 投 篮 中 所 投 中 的 次 数 ， XB(2 ,0 .7 )用 Y 表 示 乙 在 两 次 投 篮 中 所 投 中 的 次 数 , YB(2 ,0 .4 )(1 ) 两 人 投 中 的 次 数 相 同PX=Y= PX=0 ,Y=0 + PX=1 ,Y=1 +PX=2 ,Y=2 =0 0 1 1 2 20 2 0 2 1 1 1 1 2 0 2 02 2 2 2 2 20.7 0.3 0.4 0.6 0.70.3 0.40.6 0.7 0.3 0.4 0.6 0.3124C C C C C C (2 )甲 比 乙 投 中 的 次 数 多PXY= PX=1 ,Y=0 + PX=2 ,Y=0 +PX=2 ,Y=1 =1 0 2 0 2 1 1 1 0 2 2 0 0 2 2 0 1 12 2 2 2 2 20.70.3 0.4 0.6 0.7 0.3 0.4 0.6 0.7 0.3 0.40.6 0.5628C C C C C C 2 .4 解 :（ 1 ） P1 X 3= PX=1 + PX=2 + PX=3 = 1 2 3 215 15 15 5 (2 ) P0 .5 0y 0（ 3 ） 设 FY(y)， ( )Yf y 分 别 为 随 机 变 量 Y 的 分 布 函 数 和 概 率 密 度 函 数 ， 则当 y 0 时 ， 2( ) 0YF y P Y y P X y P 当 y0时 ， 22 21( ) 2 xyY yF y P Y y P X y P y X y e dx 对 ( )YF y 求 关 于 y 的 导 数 ， 得2 2 2( ) ( ) (ln )2 2 21 1 1( ) ( )( ) 2 2 20 y y yY e y e y ef y y y0y 0 2 .2 3 X U(0, ) 1( ) 0Xf x 0 x 其 它（ 1 ）2ln y 当 时 2( ) 2ln ln 0YF y P Y y P X y P X y P - 1 6 - 2lny 当 时 22 2 0 1( ) 2ln ln yey yYF y P Y y P X y P X y P X e P X e dx 对 ( )YF y 求 关 于 y 的 导 数 ， 得 到 2 21 1( )( ) 20 y yY e ef y 2ln2ln y y （ 2 ） 当 y 1或 y -1时 ， ( ) cos 0YF y P Y y P X y P 1 1y 当 时 , arccos 1( ) cos arccos Y yF y P Y y P X y P X y dx 对 ( )YF y 求 关 于 y 的 导 数 ， 得 到 21 1(arccos )( ) 10Y yf y y 1 1y 其 它（ 3 ） 当 y 1或 y 0时 ( ) sin 0YF y P Y y P X y P 0 1y 当 时 ，arcsin0 arcsin( ) sin 0 arcsin arcsin 1 1Y y yF y P Y y P X y P X y P y Xdx dx 对 ( )YF y 求 关 于 y 的 导 数 ， 得 到 21 1 2arcsin ( arcsin )( ) 10Y y yf y y 0 1y 其 它 - 1 7 - 第 三 章 随 机 向 量3 .1 P1 X2 ,3 Y5 =F(2 ,5 )+F(1 ,3 )-F(1 ,5 )F(2 ,3 )= 31283 .2 YX 1 2 2 0 2 23 245c cc =353 3 13 245c cc = 25 03 .4 （ 1 ） a=19（ 2 ） 512 （ 3 ） 1 1 1 12 00 0 01 1 1( , ) (6 ) (6 ) 9 9 2 |y yP X Y D dy x y dx y x x dy 1 12 3 2 001 1 1 1 1 1 1 8 8( 6 5 ) ( 3 5 )9 2 2 9 6 2 9 3 27|y y dy y y y 3 .5 解 ： （ 1 ） (2 ) 2 2 20 00 0 0 0( , ) 2 2 ( | )( | ) (1 )(1 )y x y xu v v u v y u x y xF x y e dudv e dv e du e e e e （ 2 ） - 1 8 - (2 ) 2 2 00 0 0 0 02 2 3 2 30 00 0( ) 2 2 2 ( | )2 2 12 (1 ) (2 2 ) ( | ) | 13 3 3x xx y x v x y xx x x x x xP Y X e dxdy e dx e dy e e dxe e dx e e dx e e 3 .6 解 ： 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 20 01( ) (1 ) (1 )ax y a rP x y a d drx y r 22 22 2 2 2 200 0 1 1 1 1 1(1 ) 2 1(1 ) 2(1 ) 1 1|a a ad d rr r a a 3 .7 参 见 课 本 后 面 P2 2 7 的 答 案3 .8 31 1 12 00 0 3 3( ) ( , ) 2 2 3 2|X y xf x f x y dy xy dy x 2 2 22 2 2 200 0 3 3 1( ) ( , ) 32 2 2 |yf y f x y dx xy dx y x y ,( ) 20,X xf x 0 2x 其 它 23( ) 0Y yf y 0 1y 其 它 3 .9 解 ： X 的 边 缘 概 率 密 度 函 数 ( )Xf x 为 ： 当 1 0x x 或 时 ， ( , ) 0f x y ，( ) 0Xf x 1 12 22 200 1 1 1( ) 4.8 (2 ) 4.8 2 4.8 1 2 2 2 21 00 1( ) 4.8 (2 ) 2.4 (2 ) 2.4 (2 )|Y yyx xXf y y x dx y x x y y yy yyf x y x dy y x x x 或 当 0 1x 时 ， 2 200( ) 4.8 (2 ) 2.4 (2 ) 2.4 (2 )|x xXf x y x dy y x x x - 1 9 - Y 的 边 缘 概 率 密 度 函 数 ( )Yf y 为 ：1 当 1 0y y 或 时 ， ( , ) 0f x y ， ( ) 0Yf y 2 当 0 1y 时 ， 1 12 21 1 1( ) 4.8 (2 ) 4.8 2 4.8 1 2 2 2 2|Y yyf y y x dx y x x y y y 22.4 (3 4 )y y y 3 .1 0 （ 1 ） 参 见 课 本 后 面 P2 2 7 的 答 案 （ 2 ） 26( ) 0xxX dyf x 0 1x 其 它 6= 0x x （ 1- ） 0 1x 其 它6( ) 0 yyY dxf y 0 1y 其 它 6= 0 y y （ - ） 0 1y 其 它3 .1 1 参 见 课 本 后 面 P2 2 8 的 答 案3 .1 2 参 见 课 本 后 面 P2 2 8 的 答 案3 .1 3 （ 1 ） 2 20 ( )( ) 30X xyx dyf x 0 1x 其 它 2 22 30x x 0 1x 其 它1 20( )( ) 30Y xyx dxf y 0 2y 其 它 1= 3 60 y 0 2y 其 它对 于 0 2y 时 ， ( ) 0Yf y ， 所 以 2| 3( , ) 1( | ) ( ) 3 60X Y Y xyxf x y yf x y f y 0 1x 其 它 26 +220x xyy 0 1x 其 它 - 2 0 - 对 于 0 1x 时 ， ( ) 0Xf x 所 以 22| 3( , ) 2( | ) 2( ) 30Y X X xyxf x y xf y x xf x 0 2y 其 它 36 20x yx 0 2y 其 它1 1 12 2 2|0 0 01 13 31 1 1 72 2 | ( | ) 12 2 2 5 406 22Y X y yP Y X f y dy dy dy 3 .1 4X Y 0 2 5 X 的 边 缘 分 布1 0 .1 5 0 .2 5 0 .3 5 0 .7 53 0 .0 5 0 .1 8 0 .0 2 0 .2 5Y 的 边 缘 分 布 0 .2 0 .4 3 0 .3 7 1由 表 格 可 知 PX=1 ;Y=2 =0 .2 5 PX=1 PY=2 =0 .3 2 2 5故 P;P yYxXyYxX iiii P 所 以 X 与 Y 不 独 立3 .1 5X Y 1 2 3 X 的 边 缘 分 布1 61 91 181 312 31 a b 31 +a+bY 的 边 缘 分 布 21 a+91 b+181 1 由 独 立 的 条 件 P;P yYxXyYxX iiii P 则 - 2 1 - 22PX2;2PX YPY 32PX3;2PX YPY 1PX i可 以 列 出 方 程 aaba )91)(31( bbab )31)(181( 13131 ba 0,0 ba 解 得 91,92 ba3 .1 6 解 （ 1 ） 在 3 .8 中 ( ) 20X xf x 0 2x 其 它 23( ) 0Y yf y 0 1y 其 它当 0 2x ， 0 1y 时 ， ( ) ( )X Yf x f y 23 ( , )2 xy f x y 当 2x 或 0x 时 ， 当 1y 或 0y 时 ， ( ) ( )X Yf x f y 0 ( , )f x y 所 以 ， X 与 Y 之 间 相 互 独 立 。 （ 2 ） 在 3 .9 中 ， 22.4 (2 )( ) 0X x xf x 0 1x 其 它22.4 (3 4 )( ) 0Y y y yf y 0 1y 其 它当 0 1x ， 0 1y 时 ， - 2 2 - ( ) ( )X Yf x f y 2 2 2 22.4 (2 )2.4 (3 4 ) 5.76 (2 ) (3 4 )x x y y y x x y y y =( , )f x y ， 所 以 X 与 Y 之 间 不 相 互 独 立 。3 .1 7 解 ： xeyxef xxx dydyyxfx 0 2)1( 1),()( )1()1( 20 2 11),()( yyxef dxdyyxfy xy ),(1)()( )1( 2 yxfyx yxeff xyx 故 X 与 Y 相 互 独 立3 .1 8 参 见 课 本 后 面 P2 2 8 的 答 案 第 四 章 数 字 特 征4 .1 解 ： ( ) 1i iiE X x p ( ) 0.9i iiE Y y p 甲 机 床 生 产 的 零 件 次 品 数 多 于 乙 机 床 生 产 的 零 件 次 品 数 ， 又 两 台 机 床 的 总 的 产 量 相 同 乙 机 床 生 产 的 零 件 的 质 量 较 好 。4 .2 解 ： X 的 所 有 可 能 取 值 为 ： 3 ， 4 ， 5351 3 0.1P X C 2335 4 0.3P X CC - 2 3 - 2435 5 0.6P X CC ( ) 3 0.1 4 0.3 5 0.6 4.5i iiE X x p 4 .3 参 见 课 本 2 3 0 页 参 考 答 案4 .4 解 ： 1 (1 ) , 1,2,3nP X n p p n 1 21 1( ) (1 ) 1 (1 )ni ii n pE X x p np p p p 4 .6 参 考 课 本 2 3 0 页 参 考 答 案4 .7 解 ： 设 途 中 遇 到 红 灯 次 数 为 X， 则 (3,0.4)X B( ) 4 0.3 1.2E X np 4 .8 解 xdxxfXE )()( xdxxdxx )3000(130001500 215000 22 15001500 5 0 0 +1 0 0 01 5 0 04 .9 参 见 课 本 后 面 2 3 0 页 参 考 答 案4 .1 0 参 见 课 本 后 面 2 3 1 页 参 考 答 案 4 .1 1 解 :设 均 值 为 ,方 差 为 2 ,则 XN( ,2 )根 据 题 意 有 :)96(1)96( XPXP - 2 4 - )7296(1 XP )(1 t %3.2997.0)( t ,解 得 t=2 即 =1 2所 以 成 绩 在 6 0 到 8 4 的 概 率 为 )1272-84-X1272-60P(84)XP(60 (-1)-(1) 1-(1)2 1-0.841320.6826 4 .1 2 2 2 2 2( ) 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 2E X 2 2 2 2(5 4) 4 0.4 (5 1 4) 0.3 (5 2 4) 0.2 (5 3 4) 0.1 14E X 4 .1 3 解 ： 00 0 00( ) (2 ) 2 2 ( ) 2 2( ) 2 | x x x xxE Y E X xe dx xd e xe e dxe 2 2 3 3 00 0 1 1( ) ( ) 3 3|X x x x xE Y E e e e dx e dx e 4 .1 4 解 ： 34 3RV 设 球 的 直 径 为 X,则 ： 1( ) 0f x b a a x b 其 它 - 2 5 - 3 3 3 4 2 24 ( ) 1 1 12( ) ( ) ( )= ( )( )3 6 6 6 4 24|b baaXE V E E X x dx x b a b ab a b a 4 .1 5 参 看 课 本 后 面 2 3 1 页 答 案4 .1 6 解 : xyf dydyyxfx xx 412 30 2),()( yyyf dxdyyxfy yy 121212 321 2),()( 54)()( 10 44 dxxdxxXE xf x 53)()( 10 43 1212 dyydyxYE yyf y 10 0 310 310 211212),()( xxyxy dydxxdxdyxxydxdyyxfXYE yy32)()( 10 522 4 dxdxxfE xxX 52)()( 10 5422 1212 dydyyfE yyyY 1516)()()( 2222 YXYX EEE 4 .1 7 解 X 与 Y 相 互 独 立 ， 1 15 3 500 5 52( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )3 |y yE XY E X E Y x xdx ye dy x yd e 5 5 55 552 2 2( ) 5 ( ) (5 1) 43 3 3| |y y yye e dy e 4 .1 8 ， 4 .1 9 ， 4 .2 0 参 看 课 本 后 面 2 3 1 ， 2 3 2 页 答 案 - 2 6 - 4 .2 1 设 X 表 示 1 0 颗 骰 子 出 现 的 点 数 之 和 ， iX ( 1,2, 10)i 表 示 第 i颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，则 101 iiX X ， 且 1 2 10, ,X X X 是独 立 同 分 布 的 ， 又 1 1 1 21( ) 1 2 66 6 6 6iE X 所 以 10 101 1 21( ) ( ) ( ) 10 356i ii iE X E X E X 4 .2 2 参 看 课 本 后 面 2 3 2 页 答 案 4 .2 3 2 2 2 2( ) 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 2E X 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 1 1D X E X E X 2 2 2 2( ) 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 1.3E Y 2 2 2( ) ( ) ( ) 1.3 0.9 0.49D Y E Y E Y 4 .2 4 2 4 2 42 2 2 4 4 30 20 21 1 1 1 1 11 14( ) ( 1) 14 4 16 16 3 3 3| |E X x xdx x x dx x x x 2 2 14 2( ) ( ) ( ) 43 3D X E X E X 4 .2 5 111( ) 40X xydyf x 1 1x 其 它 1= 20 1 1x 其 它1 12 2 2 21 11 1( ) ( ) ( ) 2 2Var X E X E X x dx xdx 1 13 21 11 1 1 1 12 3 2 2 3| |x x 1 11( ) 40Y xydxf y 1 1y 其 它 1= 20 1 1y 其 它 - 2 7 - 1 12 2 2 21 11 1( ) ( ) ( ) 2 2Var Y E Y E Y y dy ydy 1 13 21 11 1 1 1 12 3 2 2 3| |y y 4 .2 6 因 为 XN(0 ,4 ),YU(0 ,4 )所 以 有 Var(X)=4 Var(Y)= 34故 ： Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4 +34 = 316Var(2 X-3 Y)=4 Var(X)+9 Var(Y)= 2834944 4 .2 7 参 看 课 本 后 面 2 3 2 页 答 案4 .2 8 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nX X X XX XE Z E E E En n n n 1 21 1 1 1( ) ( ) ( )nE X E X E X nn n n n 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nX X X XX XD Z D D D Dn n n n 221 22 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( )nE X E X E X nn n n n n 后 面 4 题 不 作 详 解 第 五 章 极 限 理5 .3解 ： 用 iX 表 示 每 包 大 米 的 重 量 ， ， 则 ( ) 10iE X , 2( ) 0.1iD X 100 21 ( , ) (100 10,100 0.1)ii X N n n N 100 100 1001 1 12 100 10 1000 (0,1)100 0.1 10i i ii i iX n X XZ Nn - 2 8 - 100100 11 1000990 1000 1010 1000(990 1010) ( )10 10 10iiii XP X P 1010 1000 1010 1000( ) ( ) ( 10) ( 10)10 10 2 ( 10) 1 0.9986 5 .4 解 ： 因 为 iV 服 从 区 间 0 ,1 0 上 的 均 匀 分 布 ，0 10( ) 52iE V 210 100( ) 12 12iD V 20 20 201 1 1 100 ( ), ( ) (20 5,20 )12i i ii i iV N E V D V N 20 20 20 201 1 1 1201 ( ) 20 5 100 (0,1)100 10 1520( ) 12 3i i i ii i i iiiV E V V VZ ND V 2020 11 100 105 100( 105) 1 ( 105) 1 ( 105) 1 ( )10 15 10 153 3iiii VP V P V P V P 105 1001 ( ) 1 (0.387) 0.34810 153 5 .5 解 ： 方 法 1 ： 用 iX 表 示 每 个 部 件 的 情 况 ， 则 1,0,iX 正 常 工 作损 坏 (1,0.9)iX B ，( ) 0.9iE X p , ( ) (1 ) 0.9 0.1iD X p p 1001 , (1 ) (100 0.9,100 0.9 0.1)ii X N np np p N - 2 9 - 100 100 1001 1 1100 0.9 90 (0,1)3(1 ) 100 0.9 0.1i i ii i iX np X XZ Nnp p 100100 100 11 1 90 85 90( 85) 1 ( 85)