高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦 高中数学中 有许多题目 ，求解的思 路不难，但 解题时，对 某些特殊情 形的讨论， 却很 容 易被忽略。 也就是在转 化过程中， 没有注意转 化的等价性 ，会经常出 现错误。本 文通过几个 例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等 价性变形 ，导致错 误。 x0 y0 x + y0 xy0 ，但 x1 y2 与 x + y3 xy2 不等价。 【 例1】 已知f(x) = ax + x b ，若 , 6 ) 2 ( 3 , 0 ) 1 ( 3 f f 求 ) 3 ( f 的范围。 错误解法 由条件得 + + 6 2 2 3 0 3 b a b a 2 15 6 a 2得 3 2 3 3 8 b + 得 . 3 43 ) 3 ( 3 10 , 3 43 3 3 3 10 + f b a 即 错误分析 采用这种解 法，忽视了 这样一个事 实：作为满 足条件的函 数 b x ax x f + = ) ( ，其值 是同时受 b a和 制约的。当 a 取最大（小） 值时，b 不一 定取最大（ 小）值，因 而整个解题 思 路是错误的。 正确解法 由题意有 + = + = 2 2 ) 2 ( ) 1 ( b a f b a f , 解得： ), 2 ( ) 1 ( 2 3 2 ), 1 ( ) 2 ( 2 3 1 f f b f f a = = ). 1 ( 9 5 ) 2 ( 9 16 3 3 ) 3 ( f f b a f = + = 把 ) 1 ( f 和 ) 2 ( f 的范围代入得 . 3 37 ) 3 ( 3 16 f 在本题中能 够检查出解 题思路错误 ，并给出正 确解法，就 体现了思维 具有反思性 。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 忽视隐 含条件， 导致结果 错误。 【 例2】解 下列各题 (1) 设 、 是方程 0 6 2 2 = + + k kx x 的两个实根，则 2 2 ) 1 ( ) 1 ( + 的最小值是 不存在 ) D ( 18 ) C ( 8 ) B ( 4 49 ) A ( 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3 个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： , 6 , 2 + = = + k k . 4 49 ) 4 3 ( 4 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 = + + + = + + + = + k 有的学生一看到 4 49 ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体 现。如果能 以反思性的 态度考察各 个选择答案 的来源和它 们之间的区 别，就能从 中选出正确 答案。 原方程有两个实根 、 0 ) 6 k ( 4 k 4 2 + = . 3 k 2 k 或 当 3 k 时， 2 2 ) 1 ( ) 1 ( + 的最小值是8； 当 2 k 时， 2 2 ) 1 ( ) 1 ( + 的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2) 已知(x+2) 2 + y 2 4 =1, 求x 2 +y 2 的取值范围。 错解 由已知得 y 2 =4x 2 16x12，因此 x 2 +y 2 =3x 2 16x12=3(x+ 3 8 ) 2 + 3 28 当x= 8 3 时，x 2 +y 2 有最大值 28 3 ，即x 2 +y 2 的取值范围是(, 28 3 。 分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2) 2 + y 2 4 =1 (x+2) 2 =1 y 2 4 1 3x1， 从而当x=1 时x 2 +y 2 有最小值1 x 2 +y 2 的取值范围是1, 28 3 。 注意有界性 ：偶次方x 2 0 ，三角 函数1 sinx1 ，指数 函 数 a x 0 ，圆锥曲线 有界性等。 忽视不 等式中等 号成立的 条件，导 致结果错 误。 【 例3】 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ 1 a ) 2 +(b+ 1 b ) 2 的最小值。 错解 (a+ a 1 ) 2 +(b+ b 1 ) 2 =a 2 +b 2 + 2 1 a + 2 1 b +42ab+ ab 2 +44 ab ab 1 +4=8, (a+ a 1 ) 2 +(b+ b 1 ) 2 的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a 2 +b 2 2ab，第一次等号成立的条件是 a=b= 2 1 , 第二次等号成立的条件是 ab= ab 1 ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小 值。 原式= a 2 +b 2 + 2 1 a + 2 1 b +4=( a 2 +b 2 )+( 2 1 a + 2 1 b )+4=(a+b) 2 2ab+( a 1 + b 1 ) 2 ab 2 +4 = (12ab)(1+ 2 2 1 b a )+4， 由ab( 2 b a + ) 2 = 4 1 得：12ab1 2 1 = 2 1 , 且 2 2 1 b a 16，1+ 2 2 1 b a 17， 原式 2 1 17+4= 2 25 (当且仅当a=b= 2 1 时，等号成立)， (a + a 1 ) 2 + (b + b 1 ) 2 的最小值是 25 2 。 不进行 分类讨论 ，导致错 误 【 例4】 已知数列 n a 的前 n 项和 1 2 + = n n S ，求 . n a 错误解法 . 2 2 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1 1 1 1 = = + + = = n n n n n n n n S S a 错误分析 显然，当 1 = n 时， 1 2 3 1 1 1 1 = = = S a 。 错误原因：没有注意公式 1 = n n n S S a 成立的条件是。 因此在运用 1 = n n n S S a 时，必须检验 1 = n 时的情形。即： = = ) , 2 ( ) 1 ( 1 N n n S n S a n n 。 以偏概 全，导致 错误 以偏概全是 指思考不全 面，遗漏特 殊情况，致 使解答不完 全，不能给 出问题的全 部答案，从 而表现出思维的不严密性。 【 例5】(1)设等比数列 n a 的全 n 项和为 n S .若 9 6 3 2S S S = + ，求数列的公比 q. 错误解法 , 2 9 6 3 S S S = + q q a q q a q q a = + 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 9 1 6 1 3 1 ， . 0 1 2 ( 3 6 3 ） 整理得 q q q 1 q 2 4 q , 0 ) 1 q )( 1 q 2 ( . 0 1 q q 2 0 q 3 3 3 3 6 = = = + = 或 得方程 由 。 错误分析 在错解中，由 q q a q q a q q a = + 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 9 1 6 1 3 1 ， 0 1 q q 2 ( q 3 6 3 ） 整理得 时，应有 1 q 0 a 1 和 。 在等比数列中， 0 1 a 是显然的， 但公比 q 完全可能为1， 因此， 在解题时应先讨论公 比 1 = q 的情况，再在 1 q 的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法 若 1 = q ，则 有 . 9 , 6 , 3 1 9 1 6 1 3 a S a S a S = = = 但 0 1 a ，即 得 , 2 9 6 3 S S S + 与题设矛盾， 故 1 q . 又依题意 9 6 3 S 2 S S = + q q a q q a q q a = + 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 9 1 6 1 3 1 0 1 q q 2 ( q 3 6 3 ） , 即 , 0 ) 1 )( 1 2 ( 3 3 = + q q 因为 1 q ，所以 , 0 1 3 q 所以 . 0 1 2 3 = + q 解得 . 2 4 3 = q 说明 此题为1996 年全国高考文史类数学试题第 （21） 题， 不少考 生的解法同错误解法， 根 据评分标准而痛失2 分。 (2)求过点 ) 1 , 0 ( 的直线，使它与抛物线 x y 2 2 = 仅有一个交点。 错误解法 设所求的过点 ) 1 , 0 ( 的直线为 1 + = kx y ，则它与抛物线的交点为 = + = x y kx y 2 1 2 ，消去 y 得 . 0 2 ) 1 ( 2 = + x kx 整理得 . 0 1 ) 2 2 ( 2 2 = + + x k x k 直线与抛物线仅有一个交点， , 0 = 解得 = . 2 1 k 所求直线为 . 1 2 1 + = x y 错误分析 此处解法共有三处错误： 第一， 设所求直线为 1 + = kx y 时， 没有考虑 0 = k 与斜率不存在的情形， 实际上就是承认了该 直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。 第二，题中 要求直线与 抛物线只有 一个交点， 它包含相交 和相切两种 情况，而上 述解法没有 考虑相切的情况， 只考虑相交的情况。 原因是对于直线与抛物线“相切” 和“只 有一个交点” 的关系理解不透。 第三，将直 线方程与抛 物线方程联 立后得一个 一元二次方 程，要考虑 它的判别式 ，所以它的 二次项系数不能为零，即 , 0 k 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x 轴，因为过点 ) 1 , 0 ( ，所以 , 0 = x 即 y 轴，它正好与抛物线 x y 2 2 = 相切。 当所求直线斜率为零时，直线为y = 1 平行 x 轴，它正好与抛物线 x y 2 2 = 只有一个交点。 一般地，设所求的过点 ) 1 , 0 ( 的直线为 1 + = kx y ) 0 ( k ,则 = + = x y kx y 2 1 2 ， . 0 1 ) 2 2 ( 2 2 = + + x k x k 令 , 0 = 解得k = 1 2 , 所求直线为 . 1 2 1 + = x y 综上，满足条件的直线为： . 1 2 1 , 0 , 1 + = = = x y x y 章节易 错训练题 1、已知集合M = 直线 ，N = 圆 ，则MN 中元素个数是 A(集 合元 素的确定性) (A) 0 (B) 0 或1 (C) 0 或2 (D) 0 或1 或2 2、已知A = x | x 2 + tx + 1 = 0 ，若AR * = ，则 实数t集合T = _。 2 t t ( 空 集) 3、如果kx 2 +2kx(k+2)0 恒成立，则实数k 的取值范围是C(等号) (A) 1k0 (B) 1k0 (C) 1k0 (D) 1k0 4、命 题 :1 Ax 3，命 题 : ( 2)( ) Bx xa + 0，若 A 是B 的充分不必要条件， 则 a 的取值范 围 是C(等号) （A） (4, ) + （B） ) 4, + （C） ( , 4) （D） ( ,4 5、若不等式x 2 log a x 0 在(0, 1 2 )内恒成立，则实数 a 的取值范围是A(等号) (A) 1 16 ,1) (B) (1, + ) (C) ( 1 16 ,1) (D) ( 1 2 ,1)(1,2) 6 、若不等式( 1) n a 2 + n (1) n + 1 对于任意正整数n 恒成立，则实数 a 的取值范围是A( 等 号) (A) 2， 3 2 ) (B) (2， 3 2 ) (C) 3， 3 2 ) (D) (3， 3 2 ) 7、已知定义在实数集 R 上的函数 () fx 满足： (1) 1 f = ；当 0 x 时， () 0 fx ；对于任意 的实数 x 、 y 都有 ( ) () () fx y fx fy += + 。证明： () fx 为奇函数。( 特殊与一 般关系) 8、已知函数f(x) = 12x x + 1 ，则函数 () fx 的单调区间是_。递减区间( ，1)和( 1， +) （单调 性、单调区 间） 9、函数y = log 0. 5 (x 2 1) 的单调递增区间是_。 2 ，1 ） （定义域） 10、已知函数f (x)= EA 2 x 2 x1 A x x 1 A 0 x0 x x 1 x0 ， f (x)的反函数f 1 (x)= 。 6 3 4 2 2 + + + x x x x 的值域是_。( , 5 2 ) ( 5 2 ,1)(1,+ ) （定 义域 ） 14、函数y = sin x (1 + tan x tan A x 2 E A)的最小正周期是C （定义域） (A) A 2 E A (B) (C) 2 (D) 3 15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x 0,1) 时，f (x) = 2 x ，则 f (log A1 2 E A23) = D(对数运 算) (A) A 23 16 E A (B) A 16 23 E A (C) A 16 23 E A (D) A 23 16 E 16、已知函数 x bx ax x f 3 ) ( 2 3 + = 在 1 = x 处取得极值。 （1）讨论 ) 1 ( f 和 ) 1 ( f 是函数 ) (x f 的极大值还是极小值； （2）过点 ) 16 , 0 ( A 作曲线 ) (x f y = 的切线，求此切线方程。(2004 天津) （求极值或 最值推理判 断不充分(建议列表)；求过点切 线方程，不 判断点是否 在曲线上。 ） 17、已知tan ( A 3 E A)= EA A 3 A E5 E A则tan = ；A sin cos 3cos 2 2sin 2 E A= 。EA A 3 A E2 E A、 EA A 3 A E3 E A（化 齐次式） 18 、若 3 sin 2 + 2 sin 2 2 sin = 0 ，则cos 2 + cos 2 的最小 值是 _ 。 A 14 9 E A( 隐 含条件) 19、已知sin + cos = A 1 5 E A， (0，)，则cot = _。 A 3 4 E A( 隐 含条件) 20、在ABC 中，用a、b、c 和A、B、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、 2 = b 、 4 = A ，则B = B(隐含 条件) （A） 12 （B） 6 （C） 6 5 6 或 （D） 12 11 12 或 21、已知a0 , b0 , a+b=1，则(a + A 1 a E A) 2 + (b + A 1 b E A) 2 的最小值是_。A 25 2 E A( 三相等) 22、已知x k (k Z)，函数y = sin 2 x + A 4 sin 2 x E A的最小值是_。5 （三相 等） 23、求 x x y 2 2 cos 8 sin 2 + = 的最小值。 错解1 | cos sin | 8 cos 8 sin 2 2 cos 8 sin 2 2 2 2 2 x x x x x x y = + = . 16 ,. 16 | 2 sin | 16 min = = y x 错解2 . 2 6 1 1 8 2 2 2 1 ) cos cos 8 ( ) sin sin 2 ( 2 2 2 2 + = + + + + = x x x x y 错误分析 在解法1 中， 16 = y 的充要条件是 . 1 | 2 sin | cos 8 sin 2 2 2 = = x x x 且 即 . 1 | x sin | 2 1 | x tan | = = 且 这是自相矛盾的。 . 16 min y 在解法2 中， 2 6 1 + = y 的充要条件是 , 2 2 cos 2 sin cos cos 8 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 = = = = x x x x x x ， ，即 且 这是不可能的。 正确解法1 x x y 2 2 sec 8 csc 2 + = . 18 x tan 4 x cot 2 2 10 ) x tan 4 x (cot 2 10 ) x tan 1 ( 8 ) x cot 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 = + + + = + + + = 其中，当 . 18 y 2 x cot x tan 4 x cot 2 2 2 = = = 时， ，即 . 18 min = y 正 确 解 法 2 取正常数 k ，易得 k x k x x k x y + + + = ) cos cos 8 ( ) sin sin 2 ( 2 2 2 2 . 2 6 8 2 2 2 k k k k k = + 其中“ ”取“”的充要条件是 . 18 k 2 1 x tan x cos k x cos 8 x sin k x sin 2 2 2 2 2 2 = = = = 且 ，即 且 因此，当 , 18 k k 2 6 y 2 1 x tan 2 = = = 时， . 18 min = y 24、已知a 1 = 1，a n = a n1 + 2 n1 (n2)，则a n = _。2 n 1(认清项 数) 25、已 知 9、a 1 、a 2 、1 四个实数成等差数列， 9、b 1 、b 2 、b 3 、1 五个实数成等比数 列， 则 b 2 (a 2 a 1 ) = A( 符号) (A) 8 (B) 8 (C) A 9 8 E A (D) A 9 8 E 26、已知 a n 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k S k ，S 3k S 2k 成等比数列吗？ 当 q = 1，k 为偶数 时，S k = 0 ，则S k ，S 2k S k ，S 3k S 2k 不成等 比数列； 当 q 1 或 q = 1 且 k 为奇数 时，则S k ，S 2k S k ，S 3k S 2k 成等 比数列。 （忽视公 比q = 1） 27、已知定义在R 上的函数 ) (x f 和数列 n a 满足下列条件： 1 2 1 1 ), . , 4 , 3 , 2 )( ( , a a n a f a a a n n = = = ，f(a n )f(a n1 ) = k(a n a n1 )(n = 2,3,)， 其中 a 为 常数，k 为非零常数。（1）令 n n n a a b = +1 *) ( N n ，证明数列 n b 是等比数列； （2）求数列 n a 的通项公式；（3）当 1 | | k 时，求 n n a lim 。(2004 天津) （等比数列 中的0 和 1，正确分类 讨论） 28、不等式m 2 (m 2 3m)i (m 2 4m + 3)i + 10 成立的实数m 的取值集合是_。3(隐 含条件) 29、i是虚数单位，A (1+i)(2+i) Ei 3 E A的虚部为（ ）C(概念 不清) (A) 1 (B) i (C) 3 (D) 3 i 30、实数 m ，使方程 0 2 1 ) 4 ( 2 = + + + + mi x i m x 至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根， 0 20 m ) mi 2 1 ( 4 ) i 4 m ( 2 2 = + + = , 5 2 m 或 . 5 2 m 错误分析 实数集合是 复数集合的 真子集，所 以在实数范 围内成立的 公式、定理 ，在复数 范 围内不一定 成立，必须 经过严格推 广后方可使 用。一元二 次方程根的 判别式是对 实系数一元 二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设 a 是方程的实数根，则 . 0 i ) m 2 a 4 ( 1 ma a , 0 mi 2 1 a ) i 4 m ( a 2 2 = + + + + = + + + + 由于 m a 、 都是实数， = + = + + 0 2 4 0 1 2 m a ma a ,解得 . 2 = m 31、和 a = (3,4)平行的单位向量是_；和 a = (3,4)垂直的单位向量是_。 ( A 3 5 E A， A 4 5 E A) 或( A 3 5 E A， A 4 5 E A) ；(A 4 5 E A， A 3 5 E A) 或( A 4 5 E A， A 3 5 E A)(漏解) 32、 将函数 y= 4x8 的图象L 按向量a 平移到L / ， L / 的函数表达式为 y= 4x， 则向量a=_。 a = (h，4h+8) (其中 h R)(漏 解) 33、已知 | a | 1，|b | 2 ，若 a /b ，求 a b 。 若 a ，b 共向，则 a b | a |b | 2 ， 若 a ， b 异向， 则 a b | a |b | 2 。( 漏解) 34 、在正三 棱锥A BCD中，E 、F 是AB 、BC 的中 点，EF DE，若BC = a，则正三棱 锥A BCD 的 体积为_。 EA A 2 A E24 E Aa 3 (隐含条 件) 35 、在 直二 面角 AB 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别 在 、 两个 平 面内作 与棱 成 45 的斜线 PC、PD，那么CPD 的大小为D(漏解) (A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 60 或 120 36、如 图 ， 在四棱锥PABCD 中， 底面ABCD 是正方形， 侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E 是PC 的中点，作EFPB 交PB 于点F。 （1）证明PA/平面EDB； （2）证明PB平面EFD； （3）求二面角CPBD 的大小。(2004 天津) ( 条件不充 分( 漏 PA 平面 EDB， DE 平面 PDC ，DE EF = E 等) ；运 算错误，锐 角钝角不 分。) 37、若方程 A x 2 m E A+ y 2 = 1 表示椭圆，则m 的范围是_。(0，1)(1，+ )(漏解) 38、已知椭圆 A x 2 m E A+ y 2 = 1 的离心率为 A 3 E2 E A，则 m 的值为 _ 。4 或 A 1 4 E A( 漏解) 39 、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F 1 、F 2 组成的 三角形的周长为 4 + 2 A 3E A且F 1 BF 2 = A 2 3E A，则椭圆的方程是 。A x 2 4 E A+ y 2 = 1 或x 2 + A y 2 4 E A = 1(漏解) 40、 椭圆的中心是原点O， 它的短轴长为 2 2 ， 相应于焦点F （c，0）（ 0 c ） 的准线l 与x 轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 0 = OQ OP ，求直线PQ 的方程； （3 ）设 AQ AP = （ 1 ），过点 P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证明 FQ FM = 。(2004 天津) ( 设方程时 漏条件aA 2E A，误认短轴是b = 2 A 2E A；要 分析直线PQ 斜率是否存 在( 有时也 可以设 为x = ky + b) 先； 对 一元二次方 程要先看二 次项系数 为0 否，再 考虑0， 后韦达定理 。) 41、 已知双曲线的右准线为 4 = x ，右焦点 ) 0 , 10 ( F ,离心率 2 = e ,求双曲线方程。 错解1 . 60 , 40 , 10 , 4 2 2 2 2 2 = = = = = = a c b a c c a x 故所求的双曲线方程为 . 1 60 40 2 2 = y x 错解2 由焦点 ) 0 , 10 ( F 知 , 10 = c . 75 , 5 , 2 2 2 2 = = = = = a c b a a c e 故所求的双曲线方程为 . 1 75 25 2 2 = y x 错解分析 这两个解法 都是误认为 双曲线的中 心在原点， 而题中并没 有告诉中心 在原点这 个 条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解 1 设 ) , ( y x P 为双曲 线上 任意一 点， 因为双 曲线 的右准 线为 4 = x ，右焦 点 ) 0 , 10 ( F ，离 心率 2 = e ，由双曲线的定义知 . 2 | 4 | ) 10 ( 2 2 = + x y x 整理得 . 1 48 16 ) 2 ( 2 2 = y x 正解2 依题意，设双曲线的中心为 ) 0 , (m , 则 = = + = + . 2 10 4 2 a c m c m c a 解得 = = = . 2 8 4 m c a ,所以 , 48 16 64 2 2 2 = = = a c b 故所求双曲线方程为 . 1 48 16 ) 2 ( 2 2 = y x 42、求与 y 轴相切于右侧，并与 0 6 : 2 2 = + x y x C 也相切的圆的圆心 的轨迹方程。 错误解法 如图321 所示，已知C 的方程为 . 9 ) 3 ( 2 2 = + y x 设点 ) 0 )( , ( x y x P 为所求轨迹上任意一点，并且P 与 y 轴相切于M 点， 与C 相切于N 点。根据已知条件得 3 | | | | + = PM CP ，即 3 x y ) 3 x ( 2 2 + = + ，化简得 ). 0 ( 12 2 = x x y 错误分析 本题只考虑 了所求轨迹 的纯粹性（ 即所求的轨 迹上的点都 满足条件） ，而没有 考 虑所求轨迹 的