高三数学第一轮复习章节测试

第2章 第1 0节一、选择题 1(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( ) Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2 答案 D解析 yxxsin6 0 x2 . 2(2 0 1 1长春模拟)某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离 为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0 .1 m)( ) A6 .9 m B7 .0 mC7 .1 m D6 .8 m 答案 A解析 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ax2 (aan得：2 (2 51 0 n)1 0 0 (15 %)n利用已知条件解得 n3，所以在2 0 1 2年时满足题意 7某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行 奖励的奖励公式为f(n)k(n)(n1 0 )，n1 0 (其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差， f(n)的单位为元)，而k(n)现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平 均分1 8分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分2 1分则乙所得奖励比甲所得奖励多( ) A6 0 0元 B9 0 0元C1 6 0 0元 D1 7 0 0 答案 D解析 k(1 8 )2 0 0 (元)， f(1 8 )2 0 0 (1 81 0 )1 6 0 0 (元)又k(2 1 )3 0 0 (元)， f(2 1 )3 0 0 (2 11 0 )3 3 0 0 (元)，f(2 1 )f(1 8 )3 3 0 01 6 0 01 7 0 0 (元) 8(2 0 1 1 长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个假定 挂号的速度是每个窗口每分钟K个人当开放1个窗口时，4 0分钟后恰好不会出现排队现象当同时开放2个窗口时，1 5分钟后恰好不会出现排 队现象根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( ) A4个 B5个C6个 D7个 答案 A解析 当开放一个窗口时，N4 0 M4 0 K； 当开放两个窗口时，N1 5 M3 0 K.由、得N6 0 M，KM. 设8分钟后不出现排队现象需同时开放x个窗口，则N8 M8 xK， 6 0 M8 0 M8 xM，即6 8 M2 0 Mx.x3 .8，又xN*， 至少需同时开放4个窗口二、填空题 9如图，书的一页的面积为6 0 0 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这 页书的长、宽应分别为_ 答案 3 0 cm,2 0 cm解析 设书的长为a，宽为b，则ab6 0 0，则中间文字部分的面积S (a21 )(b2 )6 0 6(2 a3 b)6 0 624 8 6，当且仅当2 a3 b，即a3 0，b2 0时，Smax4 8 6 . 1 0由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计 算机的价格降低，则现在价格为8 1 0 0元的计算机经过1 5年的价格应降为_元 答案 2 4 0 0解析 设经过3个5年，产品价格为y，则y8 1 0 0 38 1 0 0 2 4 0 0 (元)1 1(2 0 1 1 南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 0 0 0万元，并且每 生产一单位产品，成本增加1 0万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)4 0 QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元 答案 2 5 0 0解析 总利润L(Q)4 0 QQ21 0 Q2 0 0 0 (Q3 0 0 )22 5 0 0 .故当Q3 0 0时，总利润最大，为2 5 0 0万元 三、解答题 1 2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一 点T(t,0 )作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km) (1 )当t4时，求s的值；(2 )将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3 )若N城位于M地正南方向，且距M地6 5 0 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如 果不会，请说明理由分析 认真审题，准确理解题意，建立函数关系 解析 (1 )由图像可知，当t4时，v3 41 2，s4 1 22 4 . (2 )当0 t1 0时，st3 tt2，当1 0 0，即x5时，只能售出5百台，故利 润函数为L(x)R(x)C(x) 即L(x)(2 )当0 x5时，L(x)4 .7 5 x0 .5， 当x4 .7 5时，L(x)max1 0 .7 8 1 2 5万元当x5时，L(x)0，24 a(14 a)0， 即2 0，a，c14 a. f(x)x2x.(3 )由分析条件知道，只要f(x)图像(在y轴右侧)总在直线yx上方即 可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置于是 利用相切时0，解得m1，m. 另解：g(x)x2x在x0，)上恒成立，即x24 (1m)x2 0在x0，)上恒成立， m(x21 )对满足|m|2的一切实数m的取值都成 立求x的取值范围分析 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论 然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x21 )m(2 x1 )1时，要使函数f(x)在2 ,4 上是增函数， 则g(x)在2 ,4 上也是增函数则有2且g(2 )4 a2 0，解得a，a1 . (2 )当0 0，无解 故a1时，函数f(x)loga(ax2x)在区间2 ,4 上是增函数五、转化与化归思想 转化与化归思想是中学重要的数学思想，如把对数式与指数式进行必需的转化，把指数或对数问题通过换元转化为二次函数或二次方程的问题 等，其作用就是能将复杂的问题进行分解、化归为简单易求的问题例5 当x1 ,1 时，若2 2 x1 0 )恒成立，试求实数a的取值 范围分析 如果直接求解，则需要讨论a与2的大小关系，而这里x又是区间 1 ,1 上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解 解析 2 2 x1 . 故实数a的取值范围是(，)六、抽象函数问题 若题目中给出了抽象函数满足的关系式，在处理这类抽象函数的问题时，一般地，应将所给的关系式看作给定的运算法则，对某些变量进行 适当的赋值，并且变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联对某些变量进行适当的赋值是 一般向特殊转化的必要手段例6 函数f(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)1，并且x0时， f(x)1 .(1 )求证：f(x)在R上是增函数； (2 )若不等式f(a2a5 )0，f(x2x1 )1 .f(x2 )f(x2x1 )x1 f(x1 )f(x2x1 )1 f(x1 )函数f(x)在R上是增函数 (2 )f(a2a5 )0恒成立，则f(1 1 9 )的值等于_ 解析 由f(x2 )f(x)1可知f(x4 )f(x)， 函数f(x)的周期为4，f(1 1 9 )f(4 3 01 )f(1 )，函数f(x)是R上的偶函数且f(x)0， 则f(1 )f(1 )，在f(x2 )f(x)1中，令x1得f(1 )f(1 )f 2 (1 )1，f(1 1 9 )1 . 答案 1四、分式递推型，即函数f(x)满足f(xa)(ab) 由f(xa)(ab)，则f(xaa)(*)，f(xab)f(xb)a)，代入(*)式得f(x2 a)，即f(x2 a)f(x2 b)1，由上面的类型三，求出周 期T4 (ba)