山西省2018年高三一模数学理试题教师版

1 2018年山西省高考考前适应性测试 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1已知单元素集合 2 | 2 1 0A x x a x ，则a（ ） A0 B 4 C 4 或1 D 4 或0 1答案：D 解析：因为集合A中只有一个元素，所以 2 ( 2) 4 0a ，解得： 4a 或0 2 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地， 则不同的分工共有（ ） A6种 B12种 C18种 D24种 2答案：B 解析：分三步完成分工：第一步，选择1人清理讲台，第二步，选择1人扫地，第三步，选择2人拖地， 由分步计数原理可知，分工种数为 1 1 2 4 3 2 4 3 1 12CCC 3已知函数 ( ) sinf x x x ，若 2 (3), (2), (log 6)a f b f c f ，则 , ,a b c的大小关系是（ ） Aa b c Bc b a Cb a c Db c a 3答案：D 解析：因为 ( ) 1 cos 0, ( )f x x f x 单调递增，又 2 2 log 6 3, b c a 4在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设 ,AB a AD b ，则向量BF （ ） A 1 2 3 3 a b B 1 2 3 3 a b C 1 2 3 3 a b D 1 2 3 3 a b 4答案：C 解析： 1 1 1 2 3 3 3 3 BF BC CF BC AC AD AB AD a b A B C D E F 2 5已知抛物线 2 :C y x ，过点 ( ,0)P a 的直线与C相交于 ,A B两点，O为坐标原点，若 0OA OB ，则 a的取值范围是 （ ） A( ,0) B(0,1) C(1, ) D1 5答案：B 解析：设 :AB x my a ，代入抛物线方程 2 y x ，得 2 0y my a 设 1 1 2 2 ( , ), ( , )A x y B x y ， 则 1 2 yy a ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + 0, 0 1OA OB xx yy y y yy a a a 6九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将 一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥） 和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 1 1 1 ABC ABC 中， 1 5, 3, 4AA AC AB BC ，则阳马 1 1 1 C ABBA 的外接球的表面积是 （ ） A B C 1 A 1 B 1 C A25 B50 C100 D200 6答案：B 解析：四棱锥 1 1 1 C ABBA 的外接球即为三棱柱 1 1 1 ABC ABC 的外接球又三棱柱 1 1 1 ABC ABC 的外接球 的直径 1 5 2AC ，其表面积 50S 7若 ,x y满足约束条件 4 4 0 3 0 y x x y x y ，则 1x y 的取值范围是（ ） A 5 ,11 3 B 1 3 , 11 5 C 3 ,11 5 D 1 5 , 11 3 7答案：A 解析：如图，作出不等式对应的平面区域，由图可知 1 0x 设 1 y k x ，则 1 1x y k ，k的几何意义 是区域内的点与点 ( 1,0)A 连线的斜率，由图知，AB的斜率最大，AC的斜率最小 3 由 3 0 y x x y ，得 3 3 , 2 2 B 由 3 0 4 4 0 x y x y ，得 8 1 , 3 3 C 故直线AB的斜率 1 3 5 k ，AC的斜率 2 1 11 k ，则 1 3 5 1 , 11 11 5 3 k k ，即 5 1 11 3 x y ， 故 1x y 的取值范围是 5 ,11 3 8执行如图所示的程序框图，如果输入的n是10，则与输出结果S的值最接近的是（ ） A 28 e B 36 e C 45 e D 55 e 8答案：B 4 解析： 1 1 2 1, 0, 1; 1, 2, 1; 1 , 3, 2; 1 , 4, 3i k S S i k S e i k S e e i k ， 1 2 8 1 , 10, 9S e e e i k 此时i n 不成立，输出 1 2 8 36 S e e 9在 ABC 中，点D为边AB上一点，若 3 , 3 2, 3,sin 3 BC CD AC AD ABC ，则 ABC 的面积是（ ） A 9 2 2 B 15 2 2 C6 2 D12 2 9答案：C 解析： 3 cos cos sin 2 3 ADC CBA CBA ，且 3 2, 3AC AD 在 ACD 中，由余弦定理，有 2 2 3 (3 2) 3 2 3 3 CD CD ，解得 3CD 在Rt BCD 中，可得 3 3, 3 2BD BC 所以 4 3AB AD BD 则 1 1 3 sin 4 3 3 2 6 2 2 2 3 ABC S AB BC ABC 10某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二 人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班，甲在6：356：55内随机到达A站候车，乙在6：507：05 内随机到达A站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ） A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 5 12 10答案：A 解析：建立如图所示的直角坐标系，x，y分别表示甲、乙二人到达A站的时刻则坐标系中的每个点 （x，y）可对应甲、乙二人到达A站的时刻的可能性根据题意，甲、乙二人到达A站时间的所有可能组 成的可行域为图中粗线围成的矩形，而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域根据几何概型概 率计算公式可知，所求概率为 5 10 1 = 20 15 6 5 方法二：根据题意，甲乙二人若搭乘同一班车，则该班车只能是7点出发的（乙在6：50坐车的概率为0）， 记事件A表示“甲在7点坐车”，事件B表示“乙在7点坐车”，则 1 2 1 2 1 ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) 4 3 4 3 6 P A P B P AB P A P B 11如图，Rt ABC 中， , 6, 2AB BC AB BC ，若其顶点A在x轴上运动，顶点B在y轴的 非负半轴上运动.设顶点C的横坐标非负，纵坐标为y，且直线AB的倾斜角为，则函数 y f 的图 象大致是 （ ） 11答案：A 解析：如图，过点C作CD y 轴于D，则 BAO CBD ， sin( ) 6sinOB AB ， 6 cos( ) 2cosBD BC ，所以 6sin 2cos 2 2sin 6 y OB BD ， 0, ) 则图象应该是A O A B C D x y 12定义在R上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x ，且当 0x 时， 2 1,0 1 ( ) 2 2 , 1 x x x f x x ，若对任意 的 , 1x m m ，不等式 (1 ) ( )f x f x m 恒成立，则实数m的最大值是（ ） A 1 B 1 2 C 1 3 D 1 3 12答案：C 解析：由题可知，函数 ( )f x 为偶函数，且当 0x 时， ( )f x 为减函数，当 0x 时， ( )f x 为增函数若 对任意的 , 1x m m ，不等式 (1 ) ( )f x f x m 恒成立，则有1 x x m ， 2(1 ) (1 )(1 )m x m m 当 1 0m 即 1m 时， 1 1 , 1 2 2 m m x m ，解得 1 1 , 1 3 3 m m 当 1 0m ，即 1m 时，不等式成立 当 1 0m ，即 1m 时， 1 1 , 2 2 m m x m ，解得 1 3 m ，无解 综上可得， 1 1 3 m 故m的最大值为 1 3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13在复平面内，复数 2 2 8z m m m i 对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围是 13答案：( 2,0) 7 解析：由题意知，m满足 2 0 2 8 0 m m m ，解得 2 0m 14已知tan 2 4 ，则 1 sin2 cos2 14答案： 1 2 解析：由tan 2 4 ，可得 1 tan 2 1 tan 所以 2 1 sin2 (cos sin ) cos sin 1 tan 1 cos2 (cos sin )(cos sin ) cos sin 1 tan 2 15过双曲线 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y E a b a b 的右焦点，且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的公共点， 则双曲线离心率的取值范围是 15答案：(1, 5) 解析：由双曲线及其渐近线可知，当且仅当0 2 b a 时，直线与双曲线的右支有两个不同的公共点， 2 2 0 4 b a ，即 2 2 2 2 2 0 4, 1 5 c a c a a ，故1 5e 16一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是 16答案： 3 6 4 解析：由题意可知，该正方体的一条对角线即为俯视方向（如图1），距最高点最近的三个顶点构成的平面 与俯视方向垂直（如图2），由俯视图中正六边形边长为1，可知图3中 1OA ，故图2中 1OA ，容易算 8 得正方体面对角线长（阴影正三角形边长）为 3，进而可得棱长为 6 2 ，故体积为 3 6 4 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17已知等比数列 n a 中， * 1 1 2 1 1 1 2 0, , , 64 n n n n a a n N a a a （1）求 n a 的通项公式； （2）设 2 2 1 log n n n b a ，求数列 n b 的前2n项和 2n T 17解：（1）设等比数列 n a 的公比为q，则 0q 因为 1 2 1 1 2 n n n a a a ，所以 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n aq aq aq ，2分 因为 0q ，解得 2q 所以 1 7 1 2 2 , 64 n n n a n N 6分 （2） 2 2 7 2 2 2 1 log 1 log 2 ( 1) ( 7) n n n n n n b a n 8分 设 7 n c n ，则 2 ( 1) ( ) n n n b c 2 1 2 3 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1 2 2 1 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n n n n n n n T b b b b b b c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 2 2 6 (2 7) (2 13) 2 13 2 n n n n n n 12分 18某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收 费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100 9 件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表： 包裹件数范围 0100 101200 201300 301 400 401500 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400之间的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； 公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人 员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁 员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 19如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形， / ,AF DE AF AD ，且平面BED平面 ABCD. （1）求证：AF CD ； （2）若 1 60 , 2 BAD AF AD ED ，求二面角A FB E 的余弦值. A B C D E F 1 20已知椭圆 2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b 过点 2 1, 2 ，且两个焦点的坐标分别为( 1,0),(1,0) . （1）求E的方程； （2）若 , ,A B P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且OP OA OB ，求证：四边形OAPB的面积 为定值. 21已知函数 2 ( ) (2 1) ln ( )f x x m x x m R . （1）当 1 2 m 时，若函数 ( ) ( ) ( 1)lng x f x a x 恰有一个零点，求a的取值范围； （2）当 1x 时， 2 ( ) (1 )f x m x 恒成立，求m的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分. 22【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为： cos sin x y （为参数， 0, ），将曲线 1 C经过伸 缩变换： 3 x x y y 得到曲线 2 C . （1）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 2 C 的极坐标方程； （2）若直线 cos : sin x t l y t （t为参数）与 1 2 ,C C 相交于 ,A B两点，且 2 1AB ，求的值. 23【选修4-5：不等式选讲】 已知函数 ( ) 1f x x a a R . （1）若 ( )f x 的最小值不小于3，求a的最大值； （2）若 ( ) ( ) 2g x f x x a a 的最小值为3，求a的值. 1 试卷答案 一、选择题 1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题 13. 2,0 14. 1 2 15. 1, 5 16. 3 6 4 三、解答题 17.解：（1）设等比数列 n a 的公比为q，则 0q ， 因为 1 2 1 1 2 n n n a a a ，所以 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n aq aq aq ， 因为 0q ，解得 2q ， 所以 1 7 * 1 2 2 , 64 n n n a n N ； 1 （2） 2 2 2 7 2 2 1 log 1 log 2 1 7 n n n n n n b a n ， 设 7 n c n ，则 2 1 n n n b c ， 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 3 4 2 1 2n n n n n T b b b b b b c c c c c c 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1 2 2 1 2n n n n c c c c c c c c c c c c 2 1 2 3 4 2 1 2 2 6 2 7 2 13 2 13 2 n n n n c c c c c c n n n n . 18.解：（1）样本中包裹件数在101 400 之间的天数为48，频率 48 4 60 5 f ， 故可估计概率为 4 5 ， 显然未来3天中，包裹件数在101 400 之间的天数X服从二项分布， 即 4 3, 5 X B ，故所求概率为 2 2 3 4 1 48 5 5 125 C ；3分 （2）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5 快递费（单位：元） 10 15 20 25 30 包裹件数 43 30 15 8 4 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 10 43 15 30 20 15 25 8 30 4 15 100 （元），6分 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元. 根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加 1 15 5 3 （元）， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 8分 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 1 实际揽件数Y 50 150 250 350 450 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 EY 50 0.1 150 0.1 250 0.5 350 0.2 450 0.1 260 故公司平均每日利润的期望值为260 5 3 100 1000 （元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数Z 50 150 250 300 300 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 EY 50 0.1 150 0.1 250 0.5 300 0.2 300 0.1 235 故公司平均每日利润的期望值为235 5 2 100 975 （元） 因975 1000 ，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD ， 平面BED平面ABCD，且交线为BD， AC 平面BED，AC ED ， 又 /AF DE，AF AC ，4分 ,AF AD AC AD A ，AF 平面ABCD， CD平面ABCD，AF CD ； （2）解：设AC BD O ，过点O作DE的平行线OG， 由（1）可知 , ,OAOB OG两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 设 1 2 0 2 AF AD ED a a ，则 ( 3 ,0,0), (0, ,0), ( 3 ,0,2 ), (0, ,4 )A a B a F a a E a a ， 所以 ( 3 , ,0), (0,0,2 ), (0, 2 ,4 ), ( 3 , ,2 )AB a a AF a BE a a BF a a a ，6分 设平面ABF的法向量为 , ,m x y z ，则 0 0 m AB m AF ，即 3 0 2 0 x y z ， 取 3y ，则 1, 3,0m 为平面ABF的一个法向量， 同理可得 0,2,1n 为平面FBE的一个法向量.10分 1 则 2 3 15 cos , 5 2 5 m n ， 又二面角A FB E 的平面角为钝角，则其余弦值为 15 5 .12分 A B C D E F O x y z 20.解：（1）由已知得 1 1 1,2 4 2 2 2 2 c a ， 2, 1a b ，则E的方程为 2 2 1 2 x y ；4分 （2）当直线AB的斜率不为零时，可设 :AB x my t 代入 2 2 1 2 x y 得： 2 2 2 ( 2) 2 2 0m y mty t ， 设 1 1 2 2 ( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 2 2 mt t y y yy m m ， 2 2 8( 2 )m t ，6分 设 ( , )P x y ，由OP OA OB ，得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 , 2 2 2 mt t y y y x x x my t my t m y y t m m ， 点P在椭圆E上， 2 2 2 2 2 2 2 16 4 1 2 2 2 t mt m m ，即 2 2 2 2 4 2 1 2 t m m ， 2 2 4 2t m ，8分 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 4 1 4 6 2 2 2 mt t m AB m y y yy m t m m m ， 1 原点到直线x my t 的距离为 2 1 t d m .10分 四边形OAPB的面积： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 6 6 2 2 6 2 2 4 2 1 OAB t m t S S AB d t m t m . 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积 1 1 6 2 6 2 2 2 S ， 四边形OAPB的面积为定值 6 2 .12分 21.解：（1）函数 ( )g x 的定义域为 0, ， 当 1 2 m 时， 2 ( ) lng x a x x ，所以 2 2 ( ) 2 a x a g x x x x ， 当 0a 时， 2 ( ) , 0g x x x 时无零点， 当 0a 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在(0, ) 上单调递增， 取 1 0 a x e ，则 2 1 1 1 0 a a g e e ， 因为 (1) 1g ，所以 0 ( ) (1) 0g x g ，此时函数 ( )g x 恰有一个零点，3分 当 0a 时，令 ( ) 0g x ，解得 2 a x ， 当0 2 a x 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 , 2 a 上单调递增. 要使函数 ( )g x 有一个零点，则 ln 0 2 2 2 a a a g a 即 2a e ， 综上所述，若函数 ( )g x 恰有一个零点，则 2a e 或 0a ；6分 （2）令 2 2 ( ) ( ) (1 ) (2 1) lnh x f x m x mx m x x ，根据题意，当 (1, )x 时， ( ) 0h x 恒成立， 又 1 ( 1)(2 1) ( ) 2 (2