杭州市中考数学总复习·知识点梳理

! ! ! 初中数学常用的概念、公式和定理 1. 整数（包括：正整数、0 、负整数）和分数（包括：有限小数和无限循环小数，即可以 表示成两个整数相除形式的数） 都是有理数， 如-3 ， 31 21 ， 0.231,0.737373 ， 9 ， 3 8 ； 无限不循环小数叫做无理数， 如： ， 5 ， 0.1010010001 （两个 1 之间依次多 1 个 0）。 有理数和无理数统称实数。 2. 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。数轴上的点与实数一一对应。 3. 绝对值： 。 0 ; 0 a a a a a a 4. 一个近似数， 从左边第一个不是 0 的数字起， 到最后一个数字止， 所有的数字， 都叫做 这个近似数的有效数字，如： （1 ）0.05972 精确到 0.001 得 0.060，结果有两个有效数字 6 ，0。（ 2 ）1.20 万，精确到百位，有三个有效数字 1 ，2 ，0 。 5. 把一个数写成 n a 10 的形式（其中 10 1 a ,n 是整数） ，这种记数法叫做科学 记数法，如： 407000= 5 10 07 . 4 ，0.000043= 5 10 3 . 4 6. a 的平方根记做 a ，一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零个平方根 是零；负数没有平方根。正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。a 的算术平 方根记作 a 。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根 为零。 7. 含有字母的数学表达式称为代数式。一个代数式由数、表示数的字母和运算符号组成。 单独一个数或者一个字母也称为代数式。这里的运算指加、减、乘、除、乘方和开方。 一般的，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值 注意： （1）数 与 字 母 相 乘 ，或 字 母 与 字 母 相 乘 时 ，乘 号 可 以 省 略 不 写 ，或 用“ ” 来替 代。 （2 ）数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母前面。 ! ! ! （3 ）1 与字母相乘，或者-1 与字母相乘，1 通常省略不写。 （4）数 和 字 母 或 字 母 与 字 母 相 除 时 ，要 写 成 分 数 的 形 式 ，而 且 有 时 要 约 分 化 为 最 简 。 （5）后接单位的最后的运算为加减的式子要用括号括起来，如（10x-3y）元。 （6 ）如果带分数和表示数的字母相乘，带分数应写成假分数的形式。 8. 数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或字母也是单项 式，如：0 ，-1 ，a。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：-3x 的系数是 -3 ，ab 的系数是 1,。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如： -3x 的次数是 1 ，ab 的次数是 2 。由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项 式中， 每个单项式叫做多项式的项， 不含字母的项叫做常数项。 次数最高的项的次数就 是这个多项式的次数。 1 2 4 3 2 2 3 2 3 + + + y xy y x x 的项有 3 2 x ， y x 2 3 ， 3 4xy ， 2 2 y ，1，常 数 项 是 1 ，次数最高的项是 3 4xy 是 4 ，所以 1 2 4 3 2 2 3 2 3 + + + y xy y x x 是四次五项式。 9. 多项式中， 所含有字母相同， 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 所有的常熟 也可以看作同类项。 把多项式的同类项合并成一项， 叫做合并同类项， 合并同类项的法 则是：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 10. 去括号法则：括号前是“+ ”号，把括号和它前面的“+ ”号去掉，括号里各项都不变 号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。 添括号法则： 括号前是 “+”号 ，括 到 括 号 里 的 各 项 都 不 变 号 ；括 号 前 是“-”号 ，括 到 括号里的各项都改变符号。 11. 整式的乘除法： （1）几 个 单 项 式 相 乘 除 ，系 数 与 系 数 相 乘 除 ，同 底 数 的 幂 结 合 起来相乘除。 （2 ）单项式乘多项式，用单项式乘以多项式的每一项。 ! ! ! （3 ）多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项。 （4 ）多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式 12. 幂的运算性质： （1 ） n m n m a a a + = （2 ） n m n m a a a = （3 ）( ) mn n m a a = （4 ）( ) n n n b a ab = （5 ） n n n a b a b = （6 ） . 。特 别 ) 0 a 是正 整数， ( , 1 n n n n b a a b n a a = = （7 ） 1 0 = a 如： 5 2 3 a a a = ， 4 2 6 a a a = ， ( ) ( ) 3 1 3 , 27 3 1 9 3 3 = = a a ， , 25 1 5 1 5 2 2 = = 4 9 2 3 3 2 2 2 = = ，( ) 1 14 . 3 0 = ，( ) 1 3 2 0 = 13. 乘法公式（反过来就是因式分解的公式） （1 ）( )( ) 2 2 b a b a b a = + （2 ）( ) 2 2 2 2 b ab a b a + = 14. 一般地， 把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做因式分解， 有时我们也把这一过 程叫做分解因式。 选择因式分解方法的原则是： 先看能否提取公因式， 在没有公因式的 情况下： 二项式用平方差公式或立方和差公式， 三项式用十字相乘法 （特殊的用完全平 方公式） ，三项以上用分组分解法。注意：因式分解要进行到每一个多项式因式都不能 再分解为止。 （特别注意有没有“在实数范围内”这个要求） 15. 表示两个整式相除， 且除式中含有字母， 想这样的代数式就叫做分式。 分式中字母的取! ! ! 值不能使分母为 0。当 分 母 的 值 为 0 时， 分式就没有意义。 当分子为 0 且分母不为 0 时 分式的值为 0 。 16. 只含有分式， 或分式和整式， 并且字母里含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程中， 使分母为零的根叫做增根，解分式方程不要忘记检验。 17. 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以 （或除以） 同一个不等于零的整式， 分式的 值不变。把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 18. 分式的运算： 乘除法要先把分子、 分母都分解因式， 并颠倒除式， 约分后相乘； 加减法 应先把分母分解因式，在通分（同乘以最简公分母） ，注意：结果要化为最简分式。 19. 二次根式：像 s b a 2 , 3 , 3 2 + 这样表示的算术平方根且括号内含有字母的代 数式叫做二次根式。 做二次根式，为了方便起见，我们把一个数的算术平方根（如 ， ）也叫做二次根式。 ， ， ， . 如： ， ，a0 时， ， 的平方根=4 的平方 根= 2 。 20. 方程的两边都是整式， 只含有一个未知数， 并且未知数的指数是一次， 这样的方程叫做 一元一次方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 一般地， 把方程中的项改变符号后， 从方程的一边移到另一边， 这种变形叫做移项。 移项时， 通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。 21. 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。 ! ! ! 22. 一元二次方程：对于方程： 求根公式是 ，其中 = 叫做根的判别式。 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根。注意：当 时，方程有个两个实数根。 23. 不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。 24. 确定位置的方法： （1）有序实数对（2）方向距离法 25. 平面直角坐标系： 平面直角坐标系又称作为笛卡儿直角坐标系。 各象限内点的坐标如图所示。 横轴（x 轴）上的点，纵坐标是 0 ；纵轴（y 轴）上的点，横坐标是 0 。 注 意：坐标轴上的点不属于任何象限。 直角坐标系中，点 A （a ，b ）关于 x 轴的对称点坐标为（a ，-b）， 关于 y 轴的对称点的坐标为（-a ，b）， 关 于 原 点 对 称 的 坐 标 为 （ -a ，-b ） 26. 在一个过程中，固定不变的量称为常量 。 在一个过程中，可以取不同数值的量称为 变 量 。 27. 函数：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量 x 、y ，如果对于 x 的每一个确定的 值， y 都有唯一确定的值，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量。解析法、图像法和列表 法是函数的三种常用的表示方法。求函数中自变量的取值范围时注意分母不为 0 ，0 次方， 负整数次方时底数不为 0 ，开偶次方时被开方数不为 0 。例如：函数! ! ! 中， 的取值范围是 28. 一次函数 的图像是一条直线（b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标） 。 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（直线从左向右上升） ； 当 k0 ，b0 k0 ，b0 ，b=0 k0 k0 时，双曲线在一、三象限（从左向右下降） ；在每一个象限内，函数值 y 随 x 的增 大而减小。 当 k0 时，双曲线在二、四象限（从左向右上升） ；在每一个象限内，函数值 y 随 x 的增 大而增大。 反比例函数 的图像关于直角坐标系的原点成中心对称。 关于直线 y=x 或 y=-x 成轴对称。 ! ! ! 30. 二次函数 的图像叫做抛物线（c 是抛物线与 y 轴的交点的纵坐 标） 。 a0 时， 开口向上； a0 时， 开口向下。 顶点坐标是 ，对 称 轴 是 直 线 。 若抛物线上有一对对称点（m ，p）（ n ，p ）则对称轴是直线 x= 抛物线 的顶点坐标是（h ，k）， 对 称 轴 是 直 线 x=h 。 31. 统计初步： （1 ）数据经整理后进一步使之表格化，便形成统计表。统计表主要由标题、标目和数据 三部分组成。 统计表中一般应注明数据的单位和制表日期。 用圆和扇形分别表示关于总体和 各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图的特点是能直观地、生动地反映 各部分在总体中所占的比例。 （2 ）在数学中，我们把在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件。在一定条件下必 然不会发生的事件叫做不可能事件。在一定条件下可能会发生，也可能不会发生的事件叫 做不确定事件（随机事件） 。必然事件：P(A)=1 随机事件：0P(A)1 不可能事件： P(A)=0 （3 ）在数学中，我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率。 在所有可能的结果发生的可能性相同下（等可能事件） ： P(A)=事件 A 发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 （4 ）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体。从总体 中抽取的 一部份个体的集体叫做总体的一个样本， 样本中个体的数目叫做样本容量。 样本容量没有单 位。 在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个） ，叫做这组数据的众数。当每个数出! ! ! 现次数相同时，这组数据没有众数。 将一组数据按大小顺序排列， 把处在最中间的一个数 （或两个数的平均数） 叫做这组数据 的中位数。平均数、中位数、众数从不同侧面反映了数据的集中程度。 公式：设有 n 个数 , ，那么： 算术平均数 = . 加权平均数： = , 其中 表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大。 方差 .标准差 S 即方差的算术平均数。 .注： 各数据的数位较少或平均数是分数时， 用此公式。 简化计算公式： 若将 n 个数 , ，得 到 一 组 新 数 , ，那 么 原 来 那 组数的方差 这组新数的方差， 平均数 当方差越大， 这组数据的波动就越大， 通常用样本方差去估计总体方差，用样本平均数去估计总体平均数。 一组数据的最大值与最小值的差叫做极差。 频率： 把一组数分成若干个小组， 组距= （最大值-最小值） 组数 （求组数时， 极差， 组距取整+1）， 这 时 ， 落 在 某 小 组 内 的 数 据 的 个 数 叫 做 这 组 的 频 数 ， 每 一 小 组 的 频 数 与 数 据 总个数的比值叫做这一小组的频率。因此，各组的频率的和等于 1. 32.锐角三角函数：设：A 是 Rt ABC 的任一锐角，则A 的正弦： 斜边 的对 边 A A = sin ， A 余弦 斜边 的邻 边 A A = cos ， A 正切 的邻 边 的对 边 A tan = A A ， A 的正弦、 余弦和正切统称为! ! ! A 的三角函数。 特殊角的三角函数值： ， ， = ， . 斜坡的坡度 i= ，设坡角为 a，则 i= 。 33.线段、射线与直线 （1）直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线, （2）线段的性质：在所有连结两点的线段中，线段最短。简单地说。两点之间线段最短。 （3）连结两点的线段的长度叫做这两点之间的距离。 （4）同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。 （5）对顶角的性质：对顶角相等。 （6）一般地，在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线。 （7 ）一般地，直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。从直线外一点到 这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 （8）一般地，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。 （9）在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交。 （10）在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。 （11）判 定 两 直线平行的方法： 同位角相等， 两直线平行。 内错角相等， 两直线平行。 同旁 内角互补，两直线平行。倒过来就是平行线的性质。 （12）两 条 平 行 线 中 ，一 条 直 线 上 的 点 到 另 一 条 直 线 的 距 离 处 处 相 等 。这 个 距 离 就 叫 做 这 两 条平行线之间的距离。 （13）线段中垂线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ! ! ! （14）线 段 垂 直 平 分 线 性 质 定 理 的 逆 定 理 ：到 一 条 线 段 的 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 在 这 条 线 段 的垂直平分线上。 （15）角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 （16）角 平 分 线 的 性 质 定 理 的 逆 定 理 ：角 的 内 部 ，到 角 两 边 距 离 相等的点在这个角的角平分 线上。 （17）在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 34.三角形： （1）由两点之间线段最短，可得如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。 （2）三角形的三个内角的和等于 180 度。 （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （5）证明两个三角形全等的方法有：SAS.AAS.ASA.SSS.HL 。 （6）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一般。 （7）证明一个三角形是直角三角形的方法有： 证明有一个角等于 90 度。 两锐角互余。 证明最长边的平方等于另两边的平方和。 一边上的中线等于这一边的一半。 有时也利用相似证直角。 （8）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （9）等腰三角形中，顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合。 （等腰三角形三线合一） 等腰三角形是轴对称图形， 顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 在同一三角形中， 等边对 等角。倒过来也成立。 （10）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三! ! ! 角形。 35.四边形 （1 ）n 边形的内角和等于 180 （n-2）， 外 角 和 等 于 360。n 边形共有 (3 ) 2 nn 条对角线 （2）各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 （3）平行四边形的性质：对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分 （4）证明一个四边形是平行四边形的方法： 证两组对边平行 证两组对边相等 证一组对边平行且相等 证两条对角线互相平分 （5）矩形的四个角是直角；对角线相等 （6）证明一个四边形是矩形的方法： 证明它有三个角是直角 先证它是平行四边形，再证对角线相等或一个角为直角 （7）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；四条边相等。 证明一个四边形是菱形的方法有： 证明它的四条边相等 先证它是平行四边形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直 （8）正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 （9）轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，正多边形，圆。 （10）平移变换不改变图形的形状、大小和方向。连结对应点的线段平行而且相等。 （11）旋 转 变 换 不 改 变 图 形 的 形 状 和 大 小 。对 应 点 到 旋 转 中 心 的 距 离 相 等 。对 应 点 与 旋 转 中 心 连 线! ! ! 所成的角度等于旋转的角度 如果一个图形绕着一个点旋转 180后 ， 所 得 到 的 图 形 能 够 和 原 来 的 图 形 互 相 重 合 ， 那 么 这 个 图 形 叫做中心对称图形。 如： 线段， 平行四边形， 矩形， 菱形， 正方形， 边数是偶数的正多边形， 圆等。 对称中心平分连结两个对称点的线段。 （12）图 形 的 相 似 变 换 不 改 变 图 形 的 每 一 个 角 的 大 小 ；图 形 中 的 每 条 线 段 都 扩 大（ 或 缩 小 ）相 同 的 倍数。相似多边形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。 36、相似三角形 （1）比例的基本性质： ac ad bc bd = = （a ，b ，c ，d 都不为零） （2 ） 2 ab ba c bc = = 则 b 为 a 、c 的比例中项。 （3）黄金分割： 51 0.618 2 PB PA PA AB = ，即 2 AP PB AB = , 51 2 AP AB = (APPB) （4 ）相似三角形的性质：相似三角形的对角线相等，对应边成比例。周长的比，都等于相似比。 面积的比等于相似比的平方。相似三角形对应角平分线、对应高线、对应中线之比等于相似比。 （5）证明两个三角形相似的方法有： 如图， DE! BC ADE ABC 证两组对应角相等。 证两边对应成比例并且夹角相等。 证三边对应成比例。 37、点与圆的位置关系： （1 ） 一般地，如果用 r 表示圆的半径，d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有 dr 点在圆外，dr = 点在圆上，dr 点在圆内。 ! ! ! （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （3 ）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角 形叫做圆的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 38.圆的有关性质： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆具有旋转不变形。 （1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质： 经过圆心；垂直弦；平分弦（非直径） ；平分弦所对的劣弧； 平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质。 注：具备，时，弦不能是直径。 （2 ）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它 所对的其余三组量都分别相等。 （3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 （4）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一般。 （5）