量子力学试卷

西南科技大学2013-2014-2学期 原子物理与量子力学本科期末考试 参考答案及评分细则 (A 卷)一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（），错的打（）（每题 2 分，共 20分） 1、经典黑体辐射理论的困难是在短波波段理论与实验事实相悖。( ) 答案 应该是”紫外 灾难” 。 2、玻尔的氢原子理论指出，原子结构不发生坍塌的原因是规定体系处在一些不连续的定态， 不向外辐射能量。（ ） 3、电子只有粒子性没有波动性。（ ） 物质具有波粒二象性。 4、杨氏双缝干涉实验屏上出现条纹的原因是因为粒子入射过程中粒子间的干涉.( ) 量子力学的干涉衍射是波内部的干涉衍射而非粒子间的干涉衍射，即使每次只有一个粒 子入射也会出现明暗条纹。 5、粒子在全空间出现的机率是发散的. ( ) 是归一化的 6、线性算符之和仍然是线性算符,满足加法的交换律和结合律. ( ) 7. 有共同的本征函数. 其共同本征函数是球谐函数. 8、自旋是电子的一种内禀属性,与坐标动量无关. 9、一个轨道里最多只能容纳2个电子，它们的自旋方向相同。( ) 自旋方向相同 10、能量最低原理认为，基态原子核外电子的排布力求使整个原子的能量处于最低状态。 ( ) 课程代码 2 4 3 9 9 0 8 2 0 命题单位 国防学院：核工程与技术教研室 ),( 2 zll (B 卷)一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（），错的打（）（每题 2 分，共 20分） 1、经典黑体辐射理论存在困难的原因是平均能量与频率相关。( ) 答案 存在困难的原 因是与温度相关。 2、波函数 和 描述的是同一粒子的相对概率密度相等。 （ ） 3、因为物质具有波粒二象性，所以电子既具有波的特点，又具有粒子性。 4、杨氏双缝干涉实验过程中如果控制粒子入射,保证一次只有一个粒子入射,则屏上不会出现 明暗条纹. ( ) 量子力学的干涉衍射是波内部的干涉衍射而非粒子间的干涉衍射，即使 每次只有一个粒子入射也会出现明暗条纹。 .5、量子力学中的算符运算适合于所有坐标系。( ) 适用于直角坐标系,对于球坐标等微 商不协变. 6、算符运算顺序可以随便互换.( ) 不是所有的算符都可以相互对易,所以不能随便调换运 算顺序. 7、把原子放入磁场中,其光谱线发生分裂,光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能 级简并被解除或部分解除。 7、把原子放入磁场中,其光谱线发生分裂,谱线分裂成三种成分的叫做反常塞曼效应.正常塞 曼效应. 8、核外电子填充过程中, 5S能级比4d低。( ) E=n+0.7l =5 9、 :2(2 1)l l亚壳层最多能容纳电子数 07.05 7.0n 27.04 7.0n 4.5 ),( tr ),( tC r 10、如果 A是厄米算符则： ( , ) ( , )A A 。 (A卷) 二、填空题（每空题2分，共18分） 1、普朗克量子论指出黑体辐射辐射能量取分立能量，能量值取 的整数倍。 答 案h 2、玻尔氢原子理论三步曲是： ， ， 。轨道的定态假设， 角动量量子化假设，量子跃迁选择定则。 3、写出定态薛定谔方程: 。 2 2 2i Ut m hh 4泡利矩阵x分量 。 0 11 0x 5、力学量的平均值的积分形式为： 。 * A d 6、 表示粒子在时刻 t 、位置 r 出现的概率密度。 7、平均值公式的矩阵表式为: 11 12 1 * * 1 2 21 22 2 . ( , , ) . . . . L L a L a a L L a 。 (B卷) 二、填空题（每空题2分，共18分） 1、爱因斯坦的光量子假说指出：能量E= ，动量P= 。（每空1分） E h ， p kh 2、两体问题质心系运动可以分解为 ， 。 质心的平动,原子中电子的 相对运动. 3、写与量子力学波函数的指数表式现式: 。 ( ) i p r Et Ae ur r h 4、泡利矩阵y分量 。 0 ii 0y 2),( tr 5、多电子角动量耦合的方式有: : 耦合和 耦合。 L-S耦合和j-j耦合 6、 。 ( , ) （A卷）三、简答题（每题7分，共21分） 1. 简述量子力学波与经典平面波的区别. 答：1.量子的干涉是波内部的干涉, 经典平面波是波与波之间的干涉, 2.传播方式不一样,经典 是粒子间的相互作用,而量子力学中波是概率波,与粒子间相互作用无关,没有确定的轨道.3. 波峰波谷:经典平面波的振同与能量有关,量子力学中表示概率大小.4.可否归一(束缚态),量子 力学平面波可以归一,经典平面波是发散的.5.量子力学：给出波函数可以得到物理量物理量 的周期性(粒子的分布)看成波的振幅,6.量子力学中机率波(去掉干涉，衍射，保留叠加性),7. 量子力学波是线叠加,满足态叠加原理. 2、写出一维情形下坐标算符与动量算符的不确定度关系，并由这一关系简述经 典轨道理论的适用范围。 答：这一不确定度关系是指 2 px 即微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。（分） 这一关系否定了经典轨道的概念， （分） 3、简述概率流守恒定律 在空间某体积V内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过V的 边界面S流入体积V的概率。概率守恒的涵义实际上是相当广泛的，不仅表示了粒子数守 恒，而且可以由此得出质量守恒和电荷守恒。其表达式为： 0Jt *( , ) B卷三、简答题（每题7分，共21分） 1、简述态叠加原理及其物理意义. 答：若1与2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态 =c11+c22， 表示粒子既可能处于1态又可能处于2态，处于这两个态的概率分别为 2、简述量子力学中守恒量和定态的概念,说明他们的区别。 答：守恒量是物理系统一种特殊的物理量（力学量）， （分） 守恒量在系统一切可能的状态下， (分) 其平均值 （分） 和取各本征值的概率不随时间改变。（分） 3、简述题:微扰理论的基本思想是: 哈密顿拆分为: 然后逐级近似:以 的本征态和本征值为基础，逐级近似考虑微扰项 的影响，求出 的 本征值和本征函数的逐级近似解，得到微扰修正的结果，直至达到需要的精度为止。 （A卷）证明计算题（共每小题6分，共12分） 1、（15分）证明算符对易式 。 证： （分） （分） （分） 1证明： BCACBACBA , （要求写出完整的证明过程） （1） , AB C ABC CAB HHH 0 H0H H , , ( ) ( ) A B C A C B A BC CB AC CA B ABC CAB 所以 , , , AB C A B C A C B 2、证明：厄米算符的平均值为实数。 （要求写出完整的证明过程） 证明：（1）由厄米算符的定义，在任意状态 下，厄米算符A的平均值为 *),(),(),( AAAAA ， 即厄米算符的平均值必为实数，得证。 2、（10分）已知 ，利用基本对易式 等证明： 。 2、如果体系有两个彼此不对易的守恒量，则体系的能级一般是简并的。（16分） 证明：因为 0, HF ,F和H 可有共同的本征态 。这样 EH FF . 考虑到 0, HG ，从而有 HGGH GE , 即 也是G 也是H 的属于同一本征值 的E 的本征态。 （8分） 但由于 0, GF ， 与 也是G 一般不是同一本征态，这是因为，对于F的本征态 ，即 FGGF FG GF 即 也是G 不是F的本征态。但 是F的本征态，故 与 G 是不同的量子态。但它们是H 的同一能级的态，故能级简并。 （8分） 3、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，4a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在 阱外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。 解：在阱内： 22 1 12 ( )2 d E a x a m dx h 在阱外： 22 2 2 22 ( , )2 d E x a x a m dx h 阱内： 21 1 0k 其中 2 22mEk h 方程的通解为： 1( ) cos sinx A kx B kx 波函数连续性的边界条件为： 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 0, (2 ) (2 ) 0a a a a 代入求解得： 2 2 2 2 ( 1,2,3,)8n nE n ma h 1 sin ( ) ( ) 2n n x a x a aa 0 ( )n x a 3、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在阱 外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。 解：在阱内： 22 1 12 ( 0)2 d E a x m dx h 在阱外： 22 2 2 22 ( , 0)2 d E x a x m dx h 阱内： 21 1 0k 其中 2 22mEk h 方程的通解为： 1( ) cos sinx A kx B kx 波函数连续性的边界条件为： 1 2 1 2( ) ( ) 0, (0) (0) 0a a 代入求解得： 2 2 2 2 ( 1,2,3,)2n nE n ma h 1 sin ( /2) ( 0) /2n n x a a x aa 0 ( , 0)n x a x 4、（分）求自旋算符 及 的本征值和所对应的本征 函数。 解：设 xS 的本征值是 xs ，本征函数是 xy ，则满足 0 1 1 02 x x xs y y h （1分） 求解上式，可得 2 2x y ， （1分） 利用波函数的归一化条件，可得 xS 的本征函数是 2 2 2 2 ， 2 2 2 2 ， （1分） 利用本征函数可得本征值 2h。 （1分） 同理求得 yS 的本征值是 2h，对应的本征函数是 2 2 2 2 i ， 2 2 2 2 i （1分）。 4、（分）设角动量算符（ ， ）的共同本征态为 ，计算 的平均值。 解：本征态 lm 满足本征方程 2 2( 1)L lm l l lm r h zL lm m lm h （1分） 利用基本对易式 L L i L r r rh （1分） 可得算符关系 2 2( ) ( ) x y z z y x y x z y z y z y y x z z y xi l l l l l l l l l i l l l l i l l l l l l l h h h （1分） 将上式在 lm 态下求平均，可得 2 2 x yl l （1分） 由于 2 2 2 2 2 2 ( 1) x y zl l l l l l m h 所以 2 2 2 21 ( 1) 2x yl l l l m h （1分） , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C B C A C A B A B C B C A B C A C A B C A B A B C A BC CB BC CB A B CA AC CA AC B C AB BA AB BA C ABC ACB B 0 CA CBA BCA BAC CAB ACB CAB CBA ABC BAC 三、证明：（1） BCACBACBA , （2）、 0, BACACBCBA （14 分） （1） , AB C ABC CAB , , ( ) ( ) A B C A C B A BC CB AC CA B ABC CAB 所以 , , , AB C A B C A C B （7分） （2） （7分） 一、 简述黑体辐射问题中经典物理无法解释的现象，Planck的光量子假设对紫外灾难问题 的解决。（12分） 答：在黑体辐射问题中，低频段，实验与理论能量密度的曲线符合很好，但在高频段，理论 上能量密度迅速增大，而实验存在极大值，随后减小，即实验与理论不一致的紫外灾难。（6 分） Planck的光量子假设为，对于一定的频率为的辐射，物体吸收或发射的能量只能以h为 单位来进行，因此R-J公式中的平均动能项由原来的与温度有关变为与频率有关，在高频段， 由于随频率的增加能量密度速度减小而出现拐折。（6分） 二、守恒量具有什么重要的性质？守恒量是否处于本征态由什么决定？守恒量与定态的区别 是什么？（12分） （每小问4分） 答：守恒量有两个重要性质： (1)在任何态(t)下，平均值不随时间变化。 (2)在任何态(t)下，测量值的概率分布不随时间变化。 守恒量是否处于某本征态由初始条件确定： (1) 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态；本征态对应的量 子数称为好量子数。 (2) 若初始时刻没有处于守恒量A的本征态，则以后任意时刻也不会处于本征态，但是A 的平均值和测值概率分布不随时间变化。 守恒量与定态的区别 a. 概念不一样 (1) 定态是能量取确定值的状态能量本征态。 (2) 守恒量是特殊的力学量，要满足一定条件。 在量子力学中研究对象分为力学量和态函数，守恒量是针对力学量而言，而定态是针对 态函数而言，是完全不同的两个概念。 b. 性质不一样 (1) 在定态下，一切不含t的力学量，不管是否守恒量，其平均值、测值概率分布都不 随t改变。 (2 )守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、测值概率分布都不随t改变。可见， 不管是定态问题还是力学量问题，都存在力学量的平均值和取值的几率分布不随时间变化问 题。所以，只有当体系处于非定态，而所研究的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量的平 均值和取值概率分布随时间的变化问题。这在后面含时微扰论的辐射跃迁中有重要研究价 值。 三、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，2a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在 阱外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。 解：在阱内： 22 1 12 ( )2 d E a x a m dx h （3分） 在阱外： 22 2 2 22 ( , )2 d E x a x a m dx h （3分） 阱内： 21 1 0k 其中 2 22mEk h （2分） 方程的通解为： 1( ) cos sinx A kx B kx （2分） 波函数连续性的边界条件为： 1 2 1 2( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0a a a a （2分） 代入求解得： 2 2 2 2 ( 1,2,3,)8n nE n ma h （2分） 1 sin ( ) ( ) 2n n x a x a aa （2分） 0 ( )n x a （1分） 四、证明：（1） BCACBACBA , （2）、 BCACBACBA , （14分） （1） , , , A BC ABC BCA A B C B A C ABC BAC BAC BCA ABC BCA （7分） （2） , AB C ABC CAB , , ( ) ( ) A B C A C B A BC CB AC CA B ABC CAB （7分） 所以 , , , AB C A B C A C B 五、证明：（1）厄米算符的平均值必为实数，（2）平均值为实数的算符必为厄米算符 （17 分） 证明：（1）由厄米算符的定义，在任意状态 下，厄米算符A的平均值为 *),(),(),( AAAAA ， 则厄米算符的平均值必为实数。 （7分） （2）在任意态 下，算符A的平均值为实数，即 *AA ，或表示为 ),(),(),( * AAA 现在考虑 21 c ，其中 1 与 2 为任意的波函数，c也是任意常数。代入上式， ),(),(),(),( ),(),(),(),( 22 2 2112 * 11 22 2 2112 * 11 AcAcAcA AcAcAcA 又按题设，在任意态下A都是实数，则 ),(),( 1111 AA , ),(),( 2222 AA 。于是，上 式简化为 ),(),(),(),( 21211212* AAcAAc 分别令 1c 和 ic ，得 ),(),(),(),( 12122121 AAAA ， ),(),(),(),( 12122121 AAAA ， 以上两式分别相加、减，得 ),(),( 2121 AA ， ),(),( 1212 AA 两式中的算符 A 都符合厄米算符的定义。则平均值为实数的算符必为厄米算符 （10分） 六证明：如果A与B是厄米算符，则 2/)( ABBA 及 )i2/()( BAAB 也是厄米算符； （16 分） 证明：（1）因为A、B分别是厄米算符，则 ( )/2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )/2 AB BA AB BA B A A B AB BA ， 满足厄米算符的定义，所以是厄米算符。 （8分） 同理可证 )i2/()( BAAB 也是厄米算符。 ( )/2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )/2 AB BA i AB BA i B A A B i AB BA i （8分） 七、对非简并态的微扰，写出能级与波函数的一级近似值与能级的二级近似值。（12分） 答：对非简并态的微扰，能级与波函数的一级近似值分别为： （4分） 其中 （4分） 能级的二级近似值为： （4分） 一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（），错的打（）（每题2分，共20分） 1、（）光电效应中光子产生的条件与频率有关，与光强无关。 2、（）3、（）4、（）5、（） , x p i h，6、（）体系的任何状态下，其厄米算 符 的 平 均 值 必 为 实 数 。 7 、 （ ） ， 8 、 （ ） ， 9 、 （ ） 10、（） 二、填空题（每题3分，共24分） 1、单色平面波，2、 3、 4、 5、 本征函数系 6、 面军 7、 0,1,nj n njH E j LL 8、 (1) (0)(0) (0)mnn m m n n m H E E 三、简答题（每题8分，共16分） 1、简述原子核式结构行星模型遇到的困难。 1）、原子的稳定性：经典电动力学，加速的核外电子在原子核电场中运动会不断产生 电磁辐射，其能量会减少，最终很快使电子掉到原子核中。到事实上，原子十分稳定，并没 有坍缩。（3分） 2）、原子的同一性：任何哪种原子，只要核电荷数相同，无论它处在哪里或来自何方， 它们就完全一样。但宇宙中未发现两颗完全相同的星体。行星模型不能解释原子的同一性。 （3分） 3）、原子的再生性：原子与外来粒子发生作用，其作用一旦去除，原子将恢复其原貌。 而行星受到外来星体的撞击，那将是灾难性的，不可能恢复。（2分） 2、简述态叠加原理 答：若1与2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态 =c11+c22， 表示粒子既可能处于 1 态又可能处于 2 态，处于这两个态的概率分别为 （8分） 四、证明题（共20分，第一小题8分，第二小题12分） * * 1 1 2 2 1 1 2 2( , ,) ( , ) ( , )c c c c 2 h h p mE 2),( tr * n mA A dr , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C B C A C A B A B C B C A B C A C A B C A B A B C A BC CB BC CB A B CA AC CA AC B C AB BA AB BA C ABC ACB B 0 CA