第二章热传导方程习题解答

热传导方程 HeatEquations 齐海涛 山东大学（威海）数学与统计学院 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 1 / 51 目录 1 热传导方程及其定解问题的导出 2 初边值问题的分离变量法 3 柯西问题 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5 解的渐近性态 6 补充练习 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 2 / 51 1 热传导方程及其定解问题的导出 2 初边值问题的分离变量法 3 柯西问题 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5 解的渐近性态 6 补充练习 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 3 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.1 一均匀细杆直径为 l, 假设它在同一截面上的温度是相同的, 杆的表面和周围 介质发生热交换, 并服从规律 d Q = k1(u u 1)d S d t: 假设杆的密度为 ， 比热为 c, 热传导系数为 k, 试导出此时温度 u 满足的 方程. 解: 取杆轴为 x 轴, 考察杆位于 x;x + x的微段的热量平衡. 单位时间从 侧面流入的热量为 d Q1 = k1(u u 1) lx; 单位时间从 x 处, x + x 处流入的热量为 d Q2 = k(x)ux(x;t) l 2 4 ; d Q3 = k(x + x) u x(x + x;t) l2 4 ; 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 3 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.1 一均匀细杆直径为 l, 假设它在同一截面上的温度是相同的, 杆的表面和周围 介质发生热交换, 并服从规律 d Q = k1(u u 1)d S d t: 假设杆的密度为 ， 比热为 c, 热传导系数为 k, 试导出此时温度 u 满足的 方程. 解: 取杆轴为 x 轴, 考察杆位于 x;x + x的微段的热量平衡. 单位时间从 侧面流入的热量为 d Q1 = k1(u u 1) lx; 单位时间从 x 处, x + x 处流入的热量为 d Q2 = k(x)ux(x;t) l 2 4 ; d Q3 = k(x + x) u x(x + x;t) l2 4 ; 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 3 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 故单位时间流入 (x;x + x) 的热量为 d Q = d Q1 + d Q2 + d Q3 = x ( k(x)ux ) x l 2 4 x k1(u u 1) lx: 综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 x1;x2 杆段的热量为 t2 t1 x2 x1 x ( k(x)ux ) l2 4 k1(u u 1) l d xd t: 而在这段时间内 x1;x2 杆段内各点温度从 u (x;t1) 变到 u (x;t2), 其吸收热量 为 x 2 x1 c (u (x;t2) u (x;t1) l 2 4 d x = t2 t1 x2 x1 l2 4 c u t d xd t: 根据热量守恒, 并注意到 x1, x2, t1, t2 的任意性, 得所求方程为 u t = 1 c x ( k(x)ux ) 4k1c l(u u 1): 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 4 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解: 设 N(x;y;z;t) 表示在时刻 t, (x;y;z) 点处扩散物质的浓度, D(x;y;z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 d t 内, 通过无穷小曲面块 d S 的质量为 d m = D(x;y;z)Nn d S d t: 因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 ( 为 的表面) 的质量为 t2 t1 “ D(x;y;z)Nn d S d t = t2 t1 $ div (Dgrad N)d xd yd zd t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 5 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解: 设 N(x;y;z;t) 表示在时刻 t, (x;y;z) 点处扩散物质的浓度, D(x;y;z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 d t 内, 通过无穷小曲面块 d S 的质量为 d m = D(x;y;z)Nn d S d t: 因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 ( 为 的表面) 的质量为 t2 t1 “ D(x;y;z)Nn d S d t = t2 t1 $ div (Dgrad N)d xd yd zd t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 5 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 另外, 从时刻 t1 到 t2, 中该物质的增加为 $ N(x;y;z;t2) N(x;y;z;t1)d xd yd z = $ t2 t1 N t d td xd yd z: 根据质量守恒, 并注意到 , t1, t2 的任意性, 得所求方程为 N t = x ( DNx ) + y ( DNy ) + z ( DNz ) : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 6 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.3 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为 初始时刻所储的热量, 则 d Qd t = Q, 其中 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 , 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. 解: 设砼内点 (x;y;z) 在时刻 t 的温度为 u (x;y;z;t), 显然 8 : d Q d t = Q;Q(0) = Q 0; ) Q(t) = Q0e t: 易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 中的热量的增加等于从 外部流入 的热量及砼中的水化热之和, 即 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 7 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.3 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为 初始时刻所储的热量, 则 d Qd t = Q, 其中 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 , 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. 解: 设砼内点 (x;y;z) 在时刻 t 的温度为 u (x;y;z;t), 显然 8 : d Q d t = Q;Q(0) = Q 0; ) Q(t) = Q0e t: 易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 中的热量的增加等于从 外部流入 的热量及砼中的水化热之和, 即 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 7 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 $ t2 t1 c ut d td xd yd z = $ (Q(t1) Q(t2)d xd yd z+ t2 t1 $ x ( kux ) + y ( kuy ) + z ( kuz ) d xd yd zd t = $ t2 t1 d Q d t d td xd yd z+ t2 t1 $ x ( kux ) + y ( kuy ) + z ( kuz ) d xd yd zd t: 注意到 t1, t2 及 的任意性, 有 u t = 1 c x ( kux ) + y ( kuy ) + z ( kuz ) + c Q0e t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 8 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.4 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中, 试证: 在常电流作用下导 线的温度满足微分方程 u t = k c 2u x2 k1P c !(u u 0) + 0:24i2r c ! ; 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, ! 表示横截 面的面积, 而 k1 表示导线对于介质的热交换系数. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 9 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 解: 与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1 到 t2 介于 x1;x2 的导线段 的热量增加为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通 过 x1;x2 这段产生的热量之和, 即 t2 t1 x2 x1 x ( kux ) !d xd t t2 t1 x2 x1 k1P(u u 0)d xd t + x2 x1 t2 t1 0:24i 2r ! d xd t: 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 u t = k c 2u x2 k1P c !(u u 0) + 0:24i2r c ! : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 10 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.5 设物体表面的绝对温度为 u , 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u 4, 即 d Q = u 4d S d t: 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝 对温度为已知函数 f(x;y;z;t), 求此时该物体热传导问题的边界条件. 解: 考察边界上的面积微元 d S . 在 d t 时间内, 经边界微元流出的热量为 ( k 为热传导系数) kun d S d t: 由该微元辐射到外部介质的热量为 u 4d S d t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 11 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 Example 1.5 设物体表面的绝对温度为 u , 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u 4, 即 d Q = u 4d S d t: 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝 对温度为已知函数 f(x;y;z;t), 求此时该物体热传导问题的边界条件. 解: 考察边界上的面积微元 d S . 在 d t 时间内, 经边界微元流出的热量为 ( k 为热传导系数) kun d S d t: 由该微元辐射到外部介质的热量为 u 4d S d t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 11 / 51 热传导方程及其定解问题的导出 外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量为 f4d S d t: 根据热量平衡有 kun d S d t = u 4d S d t f4d S d t: 故所求边界条件为 kun = (u 4 f4): 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 12 / 51 1 热传导方程及其定解问题的导出 2 初边值问题的分离变量法 3 柯西问题 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5 解的渐近性态 6 补充练习 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 13 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.1 用分离变量法求下列定解问题的解: 8 : u t = a 2u xx (t 0;0 0); u (x;0) = f(x) (0 : u t = a 2u xx (t 0;0 0); u (x;0) = f(x) (0 : u t = u xx (t 0;0 0): 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 15 / 51 初边值问题的分离变量法 解: u (x;t) = 1 k=1 Cke k2 2t sin k x: Ck = 2 26 6666 4 1 2 0 sin k d + 1 1 2 (1 )sin k d 37 7777 5 = 4k2 2 sin k 2 = 8 : 0; k = 2n ; 4( 1)n (2n + 1)2 2; k = 2n + 1; n = 0;1;2;: )u (x;t) = 1 n =0 4( 1)n (2n + 1)2 2e (2n +1)2 2t sin (2n + 1) x: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 16 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0;x = l 均为绝热, 初始 温度分别为 u (x;0) = f(x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f(x) 等于 常数 u 0 时, 恒有 u (x;t) = u 0. 解: 8 : u t = a 2u xx; u xjx=0 = u xjx=l = 0; u jt=0 = f(x): )u (x;t) = 1 k=0 Ck exp ( k 2 2 l2 a 2t ) cos k l x C0 = 1l l 0 f( )d ; Ck = 2l l 0 f( )cos k l d (k , 0) f(x) u 0 ) C0 = u 0;Ck = 0 (k , 0) ) u (x;t) u 0: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 17 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0;x = l 均为绝热, 初始 温度分别为 u (x;0) = f(x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f(x) 等于 常数 u 0 时, 恒有 u (x;t) = u 0. 解: 8 : u t = a 2u xx; u xjx=0 = u xjx=l = 0; u jt=0 = f(x): )u (x;t) = 1 k=0 Ck exp ( k 2 2 l2 a 2t ) cos k l x C0 = 1l l 0 f( )d ; Ck = 2l l 0 f( )cos k l d (k , 0) f(x) u 0 ) C0 = u 0;Ck = 0 (k , 0) ) u (x;t) u 0: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 17 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.4 在区域 t 0, 0 : u t = a 2u xx (u u 0); u (0;t) = u (l;t) = u 0; u (x;0) = f(x); 其中 , , u 0 均为常数, f(x) 为已知函数. 解: 令 u = u 0 + v(x;t)e t, 则得关于 v 的如下定解问题: vt = a 2vxx; v(0;t) = v(l;t) = 0; v(x;0) = f(x) u 0: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 18 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.4 在区域 t 0, 0 : u t = a 2u xx (u u 0); u (0;t) = u (l;t) = u 0; u (x;0) = f(x); 其中 , , u 0 均为常数, f(x) 为已知函数. 解: 令 u = u 0 + v(x;t)e t, 则得关于 v 的如下定解问题: vt = a 2vxx; v(0;t) = v(l;t) = 0; v(x;0) = f(x) u 0: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 18 / 51 初边值问题的分离变量法 解得 v(x;t) = 1 k=1 Ck exp ( k 2 2a 2 l2 t ) sin k l x; 其中 Ck = 2l l 0 (f( ) u 0)sin k l d = fk + 2u 0k ( 1)k 1); fk = 2l l 0 f( )sin k l d : 故有 u (x;t) = u 0 + 1 k=1 fk exp ( k 2 2a 2 l2 t t ) sin k l x 1 k=0 4u 0 (2k + 1) exp ( (2k + 1) 2 2a 2 l2 t t ) sin (2k + 1) l x: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 19 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0C, 端点 x = 0 保持常温 u 0, 而在 x = l 和侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0C, 此时 杆上的温度分布函数 u (x;t) 满足下述定解问题: 8 : u t = a 2u xx b 2u ; u (0;t) = u 0; (u x + Hu )jx=l = 0; u (x;0) = 0: 试求出 u (x;t). 解: 令 u (x;t) = e b 2tv(x;t) + (x), 则当 (x) 满足 b 2 a 2 = 0; (0) = u 0; ( + H )jx=l = 0 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 20 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0C, 端点 x = 0 保持常温 u 0, 而在 x = l 和侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0C, 此时 杆上的温度分布函数 u (x;t) 满足下述定解问题: 8 : u t = a 2u xx b 2u ; u (0;t) = u 0; (u x + Hu )jx=l = 0; u (x;0) = 0: 试求出 u (x;t). 解: 令 u (x;t) = e b 2tv(x;t) + (x), 则当 (x) 满足 b 2 a 2 = 0; (0) = u 0; ( + H )jx=l = 0 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 20 / 51 初边值问题的分离变量法 时, v(x;t) 满足 8 : vt = a 2vxx; vjx=0 = (vx + Hv)jx=l = 0; v(x;0) = (x): 易知 (x) = b ch (b (l x) a ) + aH sh (b (l x) a ) b ch (bl a ) + aH sh (bl a ) u 0: 而关于 v(x;t) 的定解问题可参照教材P51用分离变量法求解. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 21 / 51 初边值问题的分离变量法 Example 2.6 半径为 a 的半圆型平板, 其表面绝热, 在板的圆周边界上保持常温 u 0, 而在 直径边界上保持常温 u 1, 求圆板稳恒状态(即与时间 t 无关的状态)的温度分 布. 解: 此定解问题为 2u r2 + 1 r u r + 1 r2 2u 2 = 0; u (a ; ) = u 0; 0 0); (2) e a jxj (a 0); (3) x(a 2 + x2)k; 1(a 2 + x2)k (a 0;k为自然数 ): 解: (1) Fe x2 = 1 1 e x2e i xd x = e 2 4 1 1 e (x+ i 2 )2d x = e 24 : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 25 / 51 柯西问题 Example 3.1 求下述函数的傅里叶变换: (1) e x2 ( 0); (2) e a jxj (a 0); (3) x(a 2 + x2)k; 1(a 2 + x2)k (a 0;k为自然数 ): 解: (1) Fe x2 = 1 1 e x2e i xd x = e 2 4 1 1 e (x+ i 2 )2d x = e 24 : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 25 / 51 柯西问题 (2) Fe a jxj = 1 1 e a jxj cos xd x i 1 1 e a jxj sin xd x = 2 1 0 e ax cos xd x = 2a 2 + a 2: (3) 利用留数定理和如下 Fourier 变换的性质计算, F ixf(x) = dd Ff: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 26 / 51 柯西问题 Example 3.2 证明: 当 f(x) 在 ( 1;1) 上绝对可积时, Ff 为连续函数. 解: 记 ef( ) =Ff(x), 则 jef( + h ) ef( )j = 1 1 (e ihx 1)e i xf(x)d x 1 1 je ihx 1j jf(x)jd x 2 1 1 jf(x)jd x: 由于对任意的 x 2R, 有 lim h !0 je ihx 1j = 0: 故 lim h !0 jef( + h ) ef( )j lim h !0 1 1 je ihx 1j jf(x)jd x = 0: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 27 / 51 柯西问题 Example 3.2 证明: 当 f(x) 在 ( 1;1) 上绝对可积时, Ff 为连续函数. 解: 记 ef( ) =Ff(x), 则 jef( + h ) ef( )j = 1 1 (e ihx 1)e i xf(x)d x 1 1 je ihx 1j jf(x)jd x 2 1 1 jf(x)jd x: 由于对任意的 x 2R, 有 lim h !0 je ihx 1j = 0: 故 lim h !0 jef( + h ) ef( )j lim h !0 1 1 je ihx 1j jf(x)jd x = 0: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 27 / 51 柯西问题 Example 3.3 用傅里叶变换法求解三维热传导方程的柯西问题 u t = a 2(u xx + u yy + u zz); u jt=0 = (x;y;z): 解: 对方程和初始条件进行 Fourier 变换 (见教材P56), 记 eu ( 1; 2; 3;t) =Fu (x;y;z;t); e( 1; 2; 3) =F(x;y;z); 得 d eu d t = a 2( 2 1 + 2 2 + 2 3)eu ; eu jt=0 = e: 解上述 ODE 得 eu = e( 1; 2; 3)e a 2( 21+ 22+ 23)t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 28 / 51 柯西问题 Example 3.3 用傅里叶变换法求解三维热传导方程的柯西问题 u t = a 2(u xx + u yy + u zz); u jt=0 = (x;y;z): 解: 对方程和初始条件进行 Fourier 变换 (见教材P56), 记 eu ( 1; 2; 3;t) =Fu (x;y;z;t); e( 1; 2; 3) =F(x;y;z); 得 d eu d t = a 2( 2 1 + 2 2 + 2 3)eu ; eu jt=0 = e: 解上述 ODE 得 eu = e( 1; 2; 3)e a 2( 21+ 22+ 23)t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 28 / 51 柯西问题 取 Fourier 逆变换得 u (x;y;z;t) = (x;y;z) F 1e a 2( 21+ 22+ 23)t; 而 F 1e a 2( 21+ 22+ 23)t = 1(2 )3 $ R3 e a 2( 21+ 22+ 23)tei( 1x+ 2y+ 3z)d 1d 2d 3 = 1(2a p t)3 exp ( x 2 + y2 + z2 4a 2t ) : 故 u (x;y;z;t) = 1(2a p t)3 $ R3 ( ; ; )e (x ) 2+(y )2+(z )2 4a 2t d d d : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 29 / 51 柯西问题 Example 3.4 证明 (3.29) 所表示的函数满足非齐次方程 (3.15) 以及初始条件 (3.16). 解: 类似教材证明积分的一致收敛性. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 30 / 51 柯西问题 Example 3.4 证明 (3.29) 所表示的函数满足非齐次方程 (3.15) 以及初始条件 (3.16). 解: 类似教材证明积分的一致收敛性. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 30 / 51 柯西问题 Example 3.5 求解热传导方程 (3.17) 的柯西问题, 已知 (1) u jt=0 = sin x, (2) 用延拓法求 解半有界直线上的热传导方程 (3.17), 假设 u (x;0) = (x) (0 0) u (x;t) = 12a p t 1 1 ( )e (x ) 2 4a 2t d = 12a p t 1 0 ( )e (x ) 2 4a 2t d + 0 1 ( )e (x ) 2 4a 2t d = 1a p t 1 0 ( )e x 2+ 2 4a 2t sh x 2a 2td : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 32 / 51 柯西问题 Example 3.6 证明函数 v(x;y;t; ; ; ) = 14 a 2(t )e (x )2+(y )2 4a 2(t ) 对于变量 (x;y;t) 满足方程 vt = a 2(vxx + vyy); 而对于变量 ( ; ; ) 满足方程 v + a 2(v + v ) = 0: 解: 直接对表达式求偏导即可验证. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 33 / 51 柯西问题 Example 3.6 证明函数 v(x;y;t; ; ; ) = 14 a 2(t )e (x )2+(y )2 4a 2(t ) 对于变量 (x;y;t) 满足方程 vt = a 2(vxx + vyy); 而对于变量 ( ; ; ) 满足方程 v + a 2(v + v ) = 0: 解: 直接对表达式求偏导即可验证. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 33 / 51 柯西问题 Example 3.7 证明: 如果 u 1(x;t), u 2(y;t) 分别是下述两个定解问题的解: u 1 t = a 22u 1 x2 ;u 1jt=0 = 1(x); 8: u 2 t = a 22u 2 y2 ; u 2jt=0 = 2(y); 则 u (x;y;t) = u 1(x;t)u 2(y;t) 是定解问题 u t = a 2 (2u x2 + 2u y2 ) ; u jt=0 = 1(x)2(y) 的解. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 34 / 51 柯西问题 解: u t = u 1 t u 2 + u 1 u 2 t = a 2 ( u 2 2u 1 x2 + u 1 2u 2 y2 ) = a 2 (2(u 1u 2) x2 + 2(u 1u 2) y2 ) = a 2 (2u x2 + 2u y2 ) ; u jt=0 = (u 1u 2)jt=0 = 1(x)2(y): 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 35 / 51 柯西问题 Example 3.8 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式: 8 : u t = a 2 (2u x2 + 2u y2 ) ; u jt=0 = n i=1 i(x) i(y): 解: 由叠加原理与上题结果或直接应用 Fourier 变换可得解为 u (x;y;t) = 14a 2 t n i=1 1 1 1 1 i( ) i( )exp ( (x ) 2 + (y )2 4a 2t ) d d : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 36 / 51 柯西问题 Example 3.8 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式: 8 : u t = a 2 (2u x2 + 2u y2 ) ; u jt=0 = n i=1 i(x) i(y): 解: 由叠加原理与上题结果或直接应用 Fourier 变换可得解为 u (x;y;t) = 14a 2 t n i=1 1 1 1 1 i( ) i( )exp ( (x ) 2 + (y )2 4a 2t ) d d : 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 36 / 51 柯西问题 Example 3.9 验证二维热传导方程柯西问题 u t = a 2 (2u x2 + 2u y2 ) ; u jt=0 = (x;y) 解的表达式为 u (x;y;t) = 14 a 2t 1 1 1 1 ( ; )e (x ) 2+(y )2 4a 2t d d : 解: 仿照教材P58-59的证明方法进行验证. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 37 / 51 柯西问题 Example 3.9 验证二维热传导方程柯西问题 u t = a 2 (2u x2 + 2u y2 ) ; u jt=0 = (x;y) 解的表达式为 u (x;y;t) = 14 a 2t 1 1 1 1 ( ; )e (x ) 2+(y )2 4a 2t d d : 解: 仿照教材P58-59的证明方法进行验证. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 37 / 51 1 热传导方程及其定解问题的导出 2 初边值问题的分离变量法 3 柯西问题 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5 解的渐近性态 6 补充练习 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 38 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 Example 4.1 证明方程 u t = a 2u xx + cu (c 0) 具狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一 性和稳定性. 解: 作变换 v(x;t) = u (x;t)e ct, 则 v(x;t) 满足方程 vt = a 2vxx, 且有 jvjx= j = ju e ctjx= j B; jvjx= j = ju e ctjx= j B; jvjt=0j = ju jt=0j M: 根据热传导方程的极值原理有 jv(x;t)j max fM;Bg; 而对任何 t 0 ju (x;t)j = jv(x;t)ectj max fMect;Bectg: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 38 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 Example 4.1 证明方程 u t = a 2u xx + cu (c 0) 具狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一 性和稳定性. 解: 作变换 v(x;t) = u (x;t)e ct, 则 v(x;t) 满足方程 vt = a 2vxx, 且有 jvjx= j = ju e ctjx= j B; jvjx= j = ju e ctjx= j B; jvjt=0j = ju jt=0j M: 根据热传导方程的极值原理有 jv(x;t)j max fM;Bg; 而对任何 t 0 ju (x;t)j = jv(x;t)ectj max fMect;Bectg: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 38 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 为证唯一性只要证明问题 8 : u t = a 2u xx + cu ; u jx= = u jx= = 0; u jt=0 = 0 只有零解. 事实上, 此时 M = B = 0, 因此 ju (x;t)j 0, 即 u (x;t) 0. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 39 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 为证稳定性, 只要证明问题 8 : u t = a 2u xx + cu ; u jx= = 1(t); u jx= = 2(t); u jt=0 = “(x) 当 1(t), 2(t) 和 “(x) 微小时, 解亦微小. 设当 t T 时, j 1(t)j m: 作辅助函数 v(x;y) = u (x;y) + M m4R2 (x x0)2 + (y y0)2; 其中 R 是以原点为中心、包含区域 的一个圆的半径. 此时有 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 41 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 Example 4.2 利用证明热传导方程极值原理的方法, 证明满足方程 u xx + u yy = 0 的函数在有 界闭区域上的最大值不会超过它在边界上的最大值. 解: 设 u (x;y) 在以 为边界的区域 上调和. 考虑到 u 在闭区域 上 的连续性, 知 u 一定可以取到最大值 M. 又因 是闭集, u 在 上也有最 大值 m. 下证 M = m. 用反证法. 设 u (x;y) 在 内某点 (x0;y0) 达到最大值 u (x0;y0) = M m: 作辅助函数 v(x;y) = u (x;y) + M m4R2 (x x0)2 + (y y0)2; 其中 R 是以原点为中心、包含区域 的一个圆的半径. 此时有 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 41 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 v(x0;y0) = u (x0;y0) = M; 而 vj = u j + M m4R2 (x x0)2 + (y y0)2j 0 导致矛盾. 因此应有 M = m. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 42 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 Example 4.3 证明初边值问题 8 : u t a 2u xx = f(x;t); u jx=0 = 1(t); (u x + hu )jx=l = 2(t) (h 0); u jt=0 = (x) 的解 u (x;t) 在 RT : f0 t T;0 x lg 中满足 u (x;t) e T max ( 0;max 0 x l (x);max 0 t T ( e t 1(t); e t 2(t) h ) ; 1 max RT (e tf) ) ; 其中 为任意正常数. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 43 / 51 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 解: 作变换 v(x;t) = e tu , 其中 为任意正常数. 由 u 的初边值问题易知 v 满足 8 : vt a 2vxx + v = e tf(x;t); vjx=0 = e t 1(t); (v n + hv ) x=l = e t 2(t); vjt=0 = (x): 考虑 v 在 RT 上的最大值, 如果 v(x;t) 在 RT 上有正的最大值, 则在最大值 点有 vt 0, vxx 0 且 v 0, 进而 v = 1 e tf(x;t) (vt a 2vxx) 1 e tf(x;t): 所以 ju (x;t)j e T 1 max RT (e tf(x;t): 再仿照本节授课课件讨论第三类边界条件初边值问题的证明说明其它估计式, 即得结论. 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 44 / 51 1 热传导方程及其定解问题的导出 2 初边值问题的分离变量法 3 柯西问题 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5 解的渐近性态 6 补充练习 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 45 / 51 解的渐近性态 Example 5.1 证明下列热传导方程初边值问题 8 : u t a 2u xx = 0; u jx=0 = u jx=l = 0; u jt=0 = (x) 的解当 t ! +1 时指数地衰减于零, 其中 为连续函数, 且 (0) = (l) = 0. 解: 此定解问题的解为 u (x;t) = 1 k=1 Ake k 2 2a 2 l2 t sin k l x; 其中 Ak = 2l l 0 (x)sin k l xd x: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 45 / 51 解的渐近性态 Example 5.1 证明下列热传导方程初边值问题 8 : u t a 2u xx = 0; u jx=0 = u jx=l = 0; u jt=0 = (x) 的解当 t ! +1 时指数地衰减于零, 其中 为连续函数, 且 (0) = (l) = 0. 解: 此定解问题的解为 u (x;t) = 1 k=1 Ake k 2 2a 2 l2 t sin k l x; 其中 Ak = 2l l 0 (x)sin k l xd x: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 45 / 51 解的渐近性态 由 (x) 2 C0;l 知, 对一切 k, jAkj C1; 其中 C1 为仅与 的最大模有关的常数. ju (x;t)j C1 0B BBBB 1 + 1 k=2 e a 2 2(k2 1) l2 t 1C CCCC Ae a 2 2 l2 t Ce a 2 2 l2 t: 齐海涛 (SDU) 数学物理方程 2015-11-27 46 / 51 解的渐近性态 Example 5.2 证明: 当 (x;y)