归纳法证明不 等式

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 归纳法证明不等式 数学归纳法证明不等式的本质 数学归纳法证明不等式的典型类 型是与数列或数列求和有关的问题，凡 是与数列或数列求和有关的问题都可统 一表述成 f?g 的形式或近似于上述形式。 这种形式的关键步骤是由 n?k 时， 命题成立推导 n?k?1 时，命题也成立。 为了表示的方便，我们记?左 n?f?f，? 右 n?g?g 分别叫做左增量，右增量。那 么，上述证明的步骤可表述为 f?f?左 k?g?左 k?g?右 k?g 例 1已知 an?2n?1，求证： 本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n?n? 23a2a3an?12 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 2k?1?11?中 k?右 k 即证 k?2? 2?12 而此式显然成立，所以可以用数 学归纳法证明。 而要证前半节的关键是证 12k?1?1?左 k?中 k 即证?k?2 22?1 而此式显然不成立，所以不能用 数学归纳法证明。如果不进行判断就用 数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会 徒劳。 有时，f?g 中 f,g 是以乘积形式出 现， 且 f?0,g?0 是显然成立的。此时， 可记 ?左 k?fg，?右 k? fg 分别叫做左增倍，右增倍。那么， 用数学归结法证明由 n?k 时，成立推导 n?k?1 成立，可表述为 f?f?左 k?g?左 k?g?右 k?g 和前面所讲相似，上述四步中， 两个“=”和“ 归纳法证明不等式 由于 lnx0 则 x1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 设 f=x-lnxf=1-1/x0 则 f 为增函数 ff=1 则 xlnx 则可知道等式成立。 。 。 。 。 。 。 。 。,g0.且连续又 f=g.则在相同 积分区间上的积分也是=) 追问 请问这个“ 定理” 是什么定理 ? 我是学数学分析的，书上能找到 么? 回答 能你在书里认真找找，不是定理 就是推论埃。 。 。 。 叫做积分不等式性 数学归纳法不等式的做题思路： 1、n 等于最小的满足条件的值，说明一 下这时候成立，一般我们写显然成立， 无须证明 2、假设 n=k 的时候成立，证明 n=k+1 的时候也是成立的，难度在这一 步。 3、总结，结论成立，一般只要 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 写显然成立。这题大于号应该为小于号。 当 n=1,1 1+1/2+1/3+1/+1/k1 时,fn+2/2 符合原命题。 2、假设当 n=k 时 1/2 +1/3 +1/4 +1/k 则当 n=k+1 时有 1/2 +1/3 +1/4 +1/k +1/ 综上 可得 1/2 +1/3 +1/4 +1/n 人教版 选修 45 不等式选讲 课题：用数学归纳法证明不等式 教学目标： 1、牢固掌握数学归纳法的证明 步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。 2、通过事例，学生掌握运用数 学归纳法，证明不等式的思想方法。 3、培养学生的逻辑思维能力， 运算能力和分析问题，解决问题的能力。 重点、 难点： 1、巩固对数学归纳法意义和有 效性的理解，并能正确表达解题过程， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 以及掌握用数学归纳法证明不等式的基 本思路。 2、应用数学归纳法证明的不同 方法的选择和解题技巧。 教学过程： 一、复习导入： 1、上节课学习了数学归纳法及 运用数学归纳法解题的步骤，请同学们 回顾，说出数学归纳法的步骤？ 数学归纳法是用于证明某些与自 然数有关的命题的一种方法。 步骤：1）归纳奠基; 2）归纳递推。 2、作业讲评： 习题：用数学归纳法证明： 2+4+6+8+2n=n 如采用下面的证法，对吗？ 证明：当 n=1 时，左边=2=右 边，则等式成立。 假设 n=k 时，等式成立， 即 2+4+6+8+2k=k 当 n=k+1 时， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 2+4+6+8+2k+2 n=k+1 时，等式成立。 由可知，对于任意自然数 n，原等式都成立。 学生思考讨论。 师生总结： 1）不正确 2）因为在证明 n=k+1 时，未用 到归纳假设，直接用等差数列求和公式， 违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究 明确了数学归纳法本质，我们共 同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 例 1 观察下面两个数列，从第几 项起 an 始终小于 bn？证明你的结论。 an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81, bn=2:2,4,8,16,32,64,128,256,512, 学生观察思考 师生分析 解：从第 5 项起，an bn ， 即 n22,nn+ 证明：当 n=5 时，有 5225， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 命题成立。 假设当 n=k 时命题成立 即 k2 当 n=k+1 时，因为 2=k2+2k+1 k2+2k+k=k2+3kk2+k2=2 k2 由可知 n22n 学生思考、小组讨论：放缩技 巧： k2+2k+1k2+2k+k；k2+3kk2+k2 归纳假设：2k 例 2 证明不等式sin nnsin k n n2 2k 分析：这是一个涉及正整数 n 的 三角函数问题，又与绝对值有关，在证 明递推关系时，应注意利用三角函数的 性质及绝对值不等式。 证明：当 n=1 时，上式左边= sin=右边，不等式成立。 假设当 n=k 时命题成立， 即有sin kksin 当 n=k+1 时， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 sin =sin kcos+cos ksin sin kcos+cos ksin =sin kcos+cos ksin sin k+sin ksin+sin =sin 所以当 n=k+1 时，不等式也成立。 由可知，不等式对一切正整数 n 均成立。 学生思考、小组讨论：绝对值 不等式: a+b a+b 三角函数的有界性：sin1, cos1 三角函数的两角和公式。 例 3 证明贝努力不等式: 如果 x 是实数且 x-1，x0,n 为 大于 1 的自然数，那么有1+nx 分析： 贝努力不等式中涉几个字母？ 哪个字母与自然数有关？ 证：当 n=2 时，左边 =1+2x+x，右边 =1+2x，因 x0，则原 不等式成立 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 假设 n=k 时，不等式成立，即 1+kx 师：现在要证的目标是 1+x，请同学考虑 生：因为应用数学归纳法，在证 明 n=k+1 命题成立时，一定要运用归纳 假设，所以当 k+1k n=k+1 时应构造出归纳假设适 应的条件所以有：=，因为 x k -1 ，所以 1+x0 于是 师：现将命题转化成如何证明不 等式 1+x 显然，上式中 “=”不成 立 k+1 k2 n 故只需证：1+x 提问：证明 不等式的基本方法有哪些？ 生：证明不等式的基本方法有比 较法、综合法、分析法 生：证明不等式1+x，可采用 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 作差比较法 - =1+x+kx+kx-1-kx-x =kx0 所以，1+x 生： 也可采用综合法的放缩技巧 =1+kx+x+lx=1+x+kx 因为 kx0，所以 1+x+kx1+x，即1+x 成立 生： 师：这些方法，哪种更简便，更 适合数学归纳法的书写格式？学生用放 缩技巧证明显然更简便，利于书写 将例 3 的格式完整规范 证明：当 n=2 时，由 x0 得 =1+2x+x1+2x,不等式成立。 假设 n=k 时，不等式成立， 即 有1+kx 当 n=k+1 时， k+1= k k =1+x+kx+ kx1+x+kx=1+x 所以 当 n=k+1 时，不等式成立 由可知，贝努力不等式成立。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 三、课堂小结 1用数学归纳法证明，要完成 两个步骤，这两个步骤是缺一不可 的但从证题的难易来分析，证明第二 步是难点和关键，要充分利用归纳假设， 做好命题从 n=k 到 n=k+1 的转化，这个 转化要求在变化过程中结构不变 2用数学归纳法证明不等式是 较困难的课题，除运用证明不等式的几 种基本方法外，经常使用的方法就是放 缩法，针对目标，合理放缩，从而达到 目标 四、课后作业 1课本 p53：1，3，5 2证明 不等式： 2.3 用数学归纳法证明不等式 学习目标：1. 理解数学归纳法的 定义、数学归纳法证明基本步骤; 2.重、难点：应用数学归纳法证 明不等式. 一、知识情景： 关于正整数 n 的命题,我们可以采 用下面方法来证明其正确性： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 10.验证 n 取时命题 n1+nx. 1； 例 3 证明: 如果 n 个正数 a1,a2,?,an 的乘积 a1a2?an?1,那么它们的 和 a1?a2?ann. 三、当堂检测 1、不等式 2n?n4 对哪些正整数 n 成立？证明你的结论。 求满足不等式?n 的正整数 n 的范 围。 2、用数学归纳法证明 2n?2?n2 2.3 用数学归纳法证明不等式作 业纸班级姓名 1、用数学归纳法证明 3n 第一 步应验证 a.n=1b.n=2c.n=3d.n=4 2、观察下 面两个数列，从第几项起 an 始终小于 bn？证明你的结论。 an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81, bn=2: 2,4,8,16,32,64,128,256,512, k -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 2n 3、用数学归纳法证明：对于任 意大于 1 的正整数 n，不等式 122?132?1n?1n ?n 都成立。 4、若 a、b、c 三个正数成等差 数列，公差 d?0，自然数 n?2，求证： an?cn?2bn 。 2.3 用数学归纳法证明不等式 学习目标：1. 理解数学归纳法的 定义、数学归纳法证明基本步骤; 2.重、难点：应用数学归纳法证 明不等式. 一、知识情景： 1. 关于正整数 n 的命题,我们可 以采用下面方法来证明其正确性： 10.验证 n 取第一个值时命题成立 n1+nx. 证明：当 n=2 时，由 x0 得 2=1+2x+x2 1+2x,不等式成立。 假设 n=k 时，不等式成立，即有 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 k1+kx 当 n=k+1 时， k+1=k=1+x+kx+ kx21+x+kx=1+x 所以当 n=k+1 时， 不等式成立 由可知，贝努力不等式成立。 例 3 证明: 如果 n 个正数 a1,a2,?,an 的乘积 a1a2?an?1, 那么它们的和 a1?a2?ann. 三、当堂检测 1、不等式 2n?n4 对哪些正整数 n 成立？证明你的结论。 1 求满足不等式 n?n 的正整数 n 的范围。n n2*2?2?n 2、用数学归纳法证 明 证明： 当 n=1 时， 2?2?1，不 等式成立； 当 n=2 时， 2?2?2，不等 式成立；当 n=3 时， 2?2?3，不等式成 立 *n?k 时不等式成立，即 2k?2?k2 假设当 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 k?1k222 则当 n?k?1 时， 2?2?2?2?2k?2?k?2k?3， 122232 2kk?3 ，?2k?3?0， k?1222k?122?2?k?2k?3?2?2?从 而， 即当 n?k?1