2013高考数学百天仿真冲刺试卷（打包13套）
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13
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2013高考数学百天仿真冲刺试卷（打包13套）,高考,数学,仿真,冲刺,试卷,打包,13
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- 1 - 2013 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (文 ) 试 卷 （一） 第 卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 0,1A , 1, 0 , 3 ， 且 ，则 a 等于 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 3 i 是虚数单位，则复数 2z 1 2i+3i 所对应的点落在 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 ，则下列不等式正确的是 （ A） 11 B） 22 （ C） 22 （ D） 22 中，“ 0C”是“ 为直角三 角形”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分又不必要条件 5一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 （ A） 2 （ B） 1 （ C） 16（ D） s )y x x O 为坐标原点， P 是图象的最高点， B 是图象与 x 轴的交点，则 （ A） 10 （ B） 8 （ C） 87（ D） 47第 5 题图 第 6 题图 7 若 2a ，则 函数 3( ) 3 3f x x a x 在区间 (0,2) 上 零点的个数为 （ A） 0 个 （ B） 1 个 （ C） 2 个 （ D） 3 个 8已知点 ( 1, 0 ), (1, 0 )及抛物线 2 2，若抛物线上点 P 满足 PA m ，则 m 的最大值为 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 第 卷（非选择题 共 110 分） x B P y O 1 正 (主 )视图 俯视图 2 2 2 侧 (左 )视图 2 1 - 2 - 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 已知 341， 则 其前 6 项之和为 _. 10已 知向量 (1, 3)a ， (0, 3 )设 a 与 b 的夹角为 ，则 _. 中， 若 2， : 1: 3，则 A _. 12平面上满足约束条件 2, 0,60 的点 ( , )成的区域为 D ，则区域 _；设 区域 D 关于直线 21对称的区域为 E ，则区域 D 和区域 E 中距离最近的两点的距离为 _. ， 的运算原理如右图所示 ( 1) _； 设 ( ) ( 0 ) ( 2 )f x x x x 1)f _. a，1 1 ，其中 R ， 12n ， ， 给出下列命题： R ，对于任意 i *N ， 0 R ，对于任意 2( )*N ，1 0； R ， m *N ，当 （ i *N ）时总有 0 其中正确的命题是 _.（写出 所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 12 s i n ( )43()s i x . （）求函数 () （）若 ( ) 2，求 值 . 16.（本小题满分 13 分） 如图，菱形 边长为 6 ， 60, D O 对角线起，得到三棱锥 B ,点 M 是棱 中点， 32. （） 求证： /面 （） 求证：平面 平面 （） 求三棱锥 M 的体积 . 开始 输入 , 结束 输出 S 是 A B A B C C D M O D O - 3 - 17.（本小题满分 13 分） 由世界自然基金会发起 的 “ 地球 1 小时 ” 活动 ，已发展 成 为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高 分公众 对该活动的实际效果与负面影响 提出了疑问 某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示： 支持 保留 不支持 20 岁以下 800 450 200 20 岁以上（含 20 岁） 100 150 300 （）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了 45 人，求 n 的值； （）在持 “不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体，从这 5人中任意选取 2 人，求至少有 1 人 20 岁以下的概率； （）在接受调查的人中，有 8 人给这项活动打出的分数如下 : 个人打出的分数看作一个总体，从中任取 1 个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 概率 . 18.（本小题满分 14 分） 设函数 ( ) ，其中 e 为自然对数的底数 . （）求函数 ( ) ( ) eg x f x x的单调区间； （）记曲线 ()y f x 在点00( , ( )P x f x（其中0 0x ）处的切线为 l ， l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S ，求 S 的最大值 . 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 221（ 0 ）的焦距为 23，离心率为 32. （）求椭圆方程； （）设过椭圆顶点 (0, )率为 k 的直线交椭圆于另一点 D ，交 x 轴于点 E ，且,E 2k 的值 . - 4 - 20.（本小题满分 13 分） 若函数 )(任意的 xR ，均有 )(2)1()1( ，则称函数 )(有性质 P . （）判断下面两个函数是否具有性质 P ，并说明理由 . ( 1)xy a a； 3. （）若函数 )(有性质 P ，且 (0 ) ( ) 0f f n（ 2,n n *N ）， 求证：对任意 1, 2 , 3 , , 1有 ( ) 0； （）在（）的条件下，是否对任意 0, 均有 0)( 若成立给出证明，若不成立给出反例 . 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (文 )试卷（一）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . - 5 - 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D B B C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 3 10. 120 11. 30 12. 1 ； 25 13. 1 ； 1 14. 注： 12、 13 题第一问 2 分，第二问 3 分 . 14 题只选出一个正确的命题给 2 分，选出错误的 命题即得 0 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 确者可参照评分标准给分 . 15.（本小题满分 13 分） 解：解：（）由题意， x ， 2 分 所以， ()x k k Z . 3 分 函数 () , x x k k Z. 4 分 （）因为 ( ) 2，所以 12 s i n ( ) 2 s i ， 5 分 2 2 12 ( s i n c o s ) 2 s i 3x x x ， 7 分 1co s ， 9 分 将上 式平方，得 11 9x， 12 分 所以 89x . 13 分 16.（本小题满分 13 分） （）证明：因为点 O 是菱形 对角线的交点， 所以 O 是 中点 是棱 中点， 所以 的中位线， /B . 2 分 因为 平面 平面 所以 /面 4 分 （）证明：由题意， 3D, 因为 32,所以 90， M . 6 分 又因为菱形 所以 C . 7 分 因为 C O , 所以 平面 8 分 因 为 平面 所以平面 平面 9 分 （）解：三棱锥 M 的体积等于三棱锥 D 的体积 . 10 分 由（）知， 平面 所以 3为三棱锥 D 的高 . 11 分 的面积为 1 1 3 9 3s i n 1 2 0 6 32 2 2 2B A B M ， 12 分 所求体积等于 1 9 332 D . 13 分 A B C M O D - 6 - 17.（本小题满分 13 分） 360 题库网 一网 解：（）由题意得 8 0 0 1 0 0 8 0 0 4 5 0 2 0 0 1 0 0 1 5 0 3 0 045 n ， 2 分 所以 100n . 3 分 （）设所选取的人中，有 m 人 20 岁以下 ，则 2002 0 0 3 0 0 5m，解得 2m . 5 分 也就是 20 岁以下 抽取了 2 人， 另一部分抽取了 3 人， 分别记作 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (1)， ( ( ( ( ( ( ( ( 10 个 . 7 分 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个： ( ( ( ( ( ( 8 分 所以从中任意抽取 2 人，至少有 1 人 20 岁以下的概率为 710. 9 分 （）总体的平均数为 1 ( 9 . 4 8 . 6 9 . 2 9 . 6 8 . 7 9 . 3 9 . 0 8 . 2 ) 98x ， 10 分 那么与总体平均数之差的绝对值超过 数只有 12 分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 概率为81. 13 分 18.（本小题满分 14 分） 解： （）由已知 ( ) e x x， 所以 ( ) e ， 2 分 由 ( ) e e 0 ，得 1x ， 3 分 所以，在区间 ( ,1) 上， ( ) 0 ， 函数 ()区间 ( ,1) 上单调递减； 4 分 在区间 (1, ) 上， ( ) 0 ， 函数 ()区间 (1, ) 上单调递增； 5 分 即函数 ()单调递减区间为 ( ,1) ，单调递增区间为 (1, ) . （）因为 ( ) ， 所以曲线 ()y f x 在点 P 处切线为 l ： 000e e ( )x x . 7 分 切线 l 与 x 轴的交点为0( 1,0)x ，与 y 轴的交点为 000(0, e e ) 9 分 因为0 0x ，所以00 20 0 0 011( 1 ) ( 1 ) e ( 1 2 ) x x x x ， 10 分 0 201 e ( 1)2 ， 12 分 在区间 ( , 1) 上，函数0()区间 ( 1,0) 上，函数0() 13 分 所以，当0 1x 时， S 有最大值，此时 2 所以， S 的最大值为 2e. 14 分 19、 （本小题满分 14 分） - 7 - 解：（）由已知 2 2 3c ， 32 2 分 解得 2, 3， 4 分 所以 2 2 2 1b a c ， 椭圆的方程为 2 2 14x y. 5 分 （）由（）得过 B 点的直线为 1y ， 由 2 2 1,41,x yy 得 22( 4 1 ) 8 0k x k x ， 6 分 所以2814D kx k ，所以 221414k ， 8 分 依题意 0k ， 12k. 因为 ,E 以 2B E B D D E ， 9 分 所以 2 (1 )y y，即 (1 ) 1， 10 分 当 0时， 2 10 ，无解， 11 分 当 0时， 2 10 ，解得 152， 12 分 所以 221 4 1 51 4 2 ，解得 2 254k ， 所以，当 ,E 2 254k . 14 分 20.（本小题满分 13 分） （）证明：函数 )1()( x 具有性质 P . 1 分 11 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 )x x x xf x f x f x a a a a ， 因为 1a ， 1( 2 ) 0 ， 3 分 即 )(2)1()1( ， 此函数为具有性质 P . 函数 3)( 不具有性质 P . 4 分 例如，当 1x 时， ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 ) 8f x f x f f ， 2 ( ) 2 ， 5 分 所以， )1()0()2( 此函数不具有性质 P . （）假设 )( (1 ) , ( 2 ) , , ( 1 )f f f n 中第一个大于 0 的值， 6 分 则 0)1()( 因为函数 () ， 所以，对于任意 n *N ，均有 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )f n f n f n f n ， 所以 0)1()()2()1()1()( ， x y O D B E - 8 - 所以 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) 0f n f n f n f i f i f i ， 与 0)( 盾， 所以，对任意的 1, 2 , 3 , , 1有 ( ) 0. 9 分 （）不成立 . 例如2()() x x n 为 有 理 数 ，为 无 理 数 . 10 分 证明：当 x 为有理数时， 1, 1均为有理数， 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 1 2 ) 2f x f x f x x x x n x x x ， 当 x 为无理数时， 1, 1均为无理数， 22)1()1()(2)1()1( 222 所以，函数 )(任意的 xR ，均有 )(2)1()1( ， 即函数 )(有性质 P . 12 分 而当 ,0 （ 2n ）且当 x 为无理数时， 0)( 所以，在（）的条件下，“对任意 0, 均有 0)( 不成立 . 13 分 （其他反例仿此给分 . 如 ()0()1 为 有 理 数为 无 理 数， ()0()1 为 整 数为 非 整 数，2()0() x 为 整 数为 非 整 数，等 .） - 1 - 2013高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （一） 第 卷（选择题 共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分 选出符合题目要求的一项 . 1、已知集合 30 ， 42 ，则 A. 32 B. 32 C. 322 D. R 2已知数列 n 项和 1a ， 123 S，则 4S A 10 B 16 C 20 D 24 3. 在极坐标系下，已知圆 C 的方程为 2 ，则下列各点在圆 C 上的是 A 1,3B 1,6C 32,4D 52,44执行如图所示的程序框图，若输出 x 的值为 23，则输入的 x 值为 A 0 B 1 C 2 D 11 5已知平面 l ， m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中 错误 的是 A若 /m ，则 B若 ，则 /m C若 m ，则 D若 ，则 m 6. 已知非零向量 ,足 a b c ，向量 ,20 ，且| | 2| |向量 a 与 c 的夹角 为 A 60 B 90 C 120 D 150 和实数 使得函数 )(co s)( 2 ， 为常数）的图象如图所示（图象经过点（ 1,0），那么 的值为 A 1 B 2 C 3 D. 4 8已知抛物线 M ： 2 4，圆 N ： 222)1( （其中 r 为常数， 0r ） 1，0）的直线 l 交圆 N 于 C 、 抛物线 M 于 A 、 B 两点，且满足 的直线 l 只有三条的必要条件是 A (0,1r B (1,2r C 3( ,4)2rD 3 , )2r 21是否3n1开 始1n结 束112yO x - 2 - 第 卷（非选择题 共 110分） 二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每小题 5分 ,共 30分 9复数 3 . 、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查 图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s，2s，3s ，则它们的大小关系为 . （用“ ”连接） 11如图， A， B， C 是 O 上的三点， O 于点 B， D 是 O 的交点 70则 _；若 2 4则 . 11,11|),( 在区域 D 内任取一点，则取到的点位于直线 y （ ）下方的概率为 _ . l 被圆 22:2C x y所截的弦长不小于 2，则在下列曲线中： 22 22( 1) 1 2 2 12x y 221 与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 14如图，线段 8，点 C 在线段 ，且 2， P 为线段 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D x ， 面积为 () ； () . 三、解答题 : 本大题共 6小题 ,共 80分 演算步骤或证明过程 . 15. （本小题 共 13分） 在 中，内角 A、 B、 的 边分别为 ,已知 1， 1， 且 1c . ( )求 ( )求 的面积 . P 频 率组 元频 率组 组 3 - 16. （本小题 共 14分） 在如图的多面体中， 平面 B , /F ， /C ， 24D， 3， 2E， G 是 中点 ( ) 求证： /面 ( ) 求证： G ； ( ) 求二面角 C 的余弦值 . 17. （本小题 共 13分） 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为 0件产品，其中 6件是一等品， 4件是二等品 . ( ) 随机选取 1件产品，求能够通过检测的概率； ( ) 随机选取 3件产品，其中一等品的件数记为 X ，求 X 的分布列； ( ) 随机选取 3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率 . 18. （本小题 共 13分） 已知函数 ( ) x x a x ， 1( ) , ( R ) x （）若 1a ，求函数 () （）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x，求函数 ()单调区间； （） 若在 1,e （ e . ）上存在一点0x，使得0() 0() a 的取值范围 . A C - 4 - 19. （本小题 共 14分） 已知椭圆 22:1( 0) 经过点 3(1, ),22. （）求椭圆 C 的方程； ( )设直线 1: ( | | )2l y k x m k 与椭圆 C 相交于 A、 线段 ,邻边作平行四边形 中顶点 上， O 为坐标原点 P 的取值范围 . 20. （本小题 共 13分） 已知每项均是正整数的数列 A ：1 2 3, , , , na a a a，其中等于 i 的项有 1, 2, 3 )i ， 设jj 21( 1, 2,3 )j ，12() mg m b b b n m ( 1, 2, 3 )m .（）设数列 :1, 2,1, 4A ，求 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 )g g g g g； （）若数列 A 满足12 100na a a n ，求函数 )(最小值 . 2013高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试 卷（一）参考答案 一、 选择题（本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B B D - 5 - 二、填空题（本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 . 共 30分 一空 3 分，第二空 2分） 10. 11. 70 ； 3 12. 1213. 14. (2,4); 3 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80分 ) 15.（共 13分） 解：（ I） 因为 1 1, t a n t a nt a n ( )1 t a n t a C , 1分 代入得到，1123t a n ( ) 111123 . 3分 因为 180A B C , 4分 所以 t a n t a n ( 1 8 0 ( ) ) t a n ( ) 1A B C B C . 5分 （ 为 0 180A ，由 （ I） 结论可得： 135A . 7分 因为 11t a n t a n 023 ， 所以 0 9 0 . 8分 所以 55B 100C . 9分 由 5a ， 11 分 所以 的面积为： 11 . 13 分 16. （共 14 分） 解： ( )证明： / / , / /A D E F E F B C， /C . 又 2D ,G 是 中点， /G ， 四边形 平行四边形， /G . 2分 平面 平面 /面 4分 ( ) 解法 1 证明： 平面 平面 E ， 又 ,A E E B E B E F E， ,B 平面 平面 5分 过 D 作 /E 交 H ，则 平面 平面 G . 6分 / / , / /A D E F D H A E， 四边形 行四边形， 2D， 2G，又 / / ,E H B G E H B E， 四边形 正方形， G ， 7分 C - 6 - 又 ,B H D H H B H平面 平面 平面 8分 平面 G . 9分 解法 2 平面 平面 平面 E ， E ， 又 B , ,F 两垂直 . 5分 以点 ,F 别为 ,建立如图的空间直角坐标系 . 由已知得， A （ 0， 0， 2）， B （ 2， 0， 0）， C （ 2， 4， 0）， F （ 0， 3， 0）， D （ 0， 2， 2）， G （ 2， 2， 0） . 6分 (2, 2, 0)， ( 2, 2, 2 ) ， 7分 2 2 2 2 0B D E G , 8分 G . 9分 ( )由已知得 (2, 0, 0)是平面 法向量 . 10分 设平面 法向量为 ( , , )x y zn ， ( 0 , 1 , 2 ) , ( 2 , 1 , 0 )F D F C ， 00FD n ，即 2020 ，令 1z ,得 ( 1, 2,1)n . 12分 设二面角 C 的大小为 ， 则 26c o s c o s ,626 n ， 13分 二面角 C 的余弦值 为 14 分 17. （共 13 分） 解： ( )设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 A 1分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2分 151332104106)( 4分 ( ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. 30463101( 0 )30 , 21463103( 1 )10 , 12463101( 2 )2 , 03463101( 3 )6 . 8分 9分 ( )设随机选取 3件产品都不能通过检测的事件为 B 10 分 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” X 0 1 2 3 P 3011032161 C - 7 - 所以， 31 1 1( ) ( )3 0 3 8 1 0 . 13分 18. （共 13 分） 解：（） ()0, ) ， 1分 当 1a 时， ( ) x x x ， 11( ) 1 ， 2分 3分 所以 ()x 处取得极小值 1. 4分 （） 1( ) l x x a ， 22 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 a a x a x a x x x x x x 6分 当 10a 时，即 1a 时，在 (0,1 )a 上 ( ) 0 ，在 (1 , )a 上 ( ) 0 ， 所以 () (0,1 )a 上单调递减，在 (1 , )a 上单调递增； 7分 当 10a ，即 1a 时，在 (0, ) 上 ( ) 0 ， 所以，函数 () (0, ) 上单调递增 . 8分 （ 1,e 上存在一点0x，使得0() 0() 在 1,e 上存在一点0x，使得0( ) 0即 函数 1( ) l x x a 在 1,e 上的最小值小于零 . 9分 由（）可知 即 1，即 时， () 1,e 上单调递减， 所以 ()e)h ，由 1( e ) e 0e 可得 2 ， 因为 2，所以 2 ； 10分 当 11a，即 0a 时， () 1,e 上单调递增， 所以 ()1)h ，由 (1) 1 1 0 可得 2a ； 11分 当 1 1 ，即 0 e 1a 时， 可得 ()1 )， 因为 0 1 ) 1a ，所以， 0 1 )a a a 故 ( 1 ) 2 l n ( 1 ) 2h a a a a 此时， (1 ) 0不成立 . 12分 综上讨论可得所求 a 的范围是： 2 或 2a . 13 分 19. （共 14 分） 解：（）由已知可得 222214a，所以 2234 1分 又点 3(1, )2 上，所以221914 2分 x (0,1) 1 (1, ) () 0 + ()极小 - 8 - 由解之，得 224, 3. 故椭圆 C 的方程为 22143. 5分 ( ) 当 0k 时， (0,2 ) 上，解得 32m，所以 | | 3. 6分 当 0k 时，则由22,kx 消 y 化简整理得： 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m ， 2 2 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 4 8 ( 3 4 ) 0k m k m k m 8分 设 ,的坐标分别为1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、，则 0 1 2 0 1 2 1 22286, ( ) 23 4 3 4k m mx x x y y y k x x . 9分 由于点 P 在椭圆 C 上，所以 2200143. 10分 从而 2 2 22 2 2 21 6 1 2 1( 3 4 ) ( 3 4 )k m ，化简得 224 3 4 ，经检验满足式 . 11分 又 2 2 22200 2 2 2 26 4 3 6|( 3 4 ) ( 3 4 )k m x 2 2 22 2 24 ( 1 6 9 ) 1 6 9( 3 4 ) 4 3m k 12分 因为 102k，得 23 4 3 4k ，有23314 4 3k ， 故 1332. 13 分 综上，所求 取值范围是 13 3, 2. 14分 ( )另解：设 ,的坐标分别为1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、， 由 ,得 2211223 4 1 23 4 1 2 6分 整 理 得1 2 1 2 1 2 1 23 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0x x x x y y y y 7分 由已知可得 O P O A O B，所以 1 2 01 2 0x x xy y y 8分 由已知当1212 ,即 1 2 1 2()y y k x x 9分 把 代入 整理得0034x 10分 - 9 - 与 22003 4 1 2联立消00 2943y k 11 分 由 22003 4 1 2得 220044 3， 所以 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 24 1 3| | 4 4 43 3 4 3O P x y y y y k 12分 因为 12k，得 23 4 3 4k ，有23314 4 3k ， 故 1332. 13 分 所求 取值范围是 13 3, 2. 14 分 20. （共 13 分） 解：（ 1）根据题设中有关字母的定义， 1 2 3 42 , 1 , 0 , 1 , 0 ( 5 , 6 , 7 )jk k k k k j 1 2 3 42 , 2 1 3 , 2 1 0 3 , 4 , 4 ( 5 , 6 , 7 , )mb b b b b m 1121 2 31 2 3 41 2 3 4 5( 1 ) 4 1 2( 2 ) 4 2 3 ,( 3 ) 4 3 4 ,( 4 ) 4 4 4 ,( 5 ) 4 5 4 b bg b b bg b b b bg b b b b b （ 2）一方面，1( 1 ) ( ) mg m g m b n ，根据“ 数列 A 含有 n 项”及， 故 0)()1( 即 )1()( 7分 另一方面，设 整数 12m a x , , , nM a a a， 则 当 时必有 所以 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )g g g M g M g M 所以 ()最小值为 ( 1). 9 分 下面计算 ( 1)的值： 1 2 3 1( 1 ) ( 1 ) b b b b n M 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( )Mb n b n b n b n 2 3 3 4 4 5( ) ( ) ( ) ( )M M M Mk k k k k k k k k k 23 2 ( 1 ) Mk k M k 1 2 3 1 2( 2 3 ) ( )k k M k k k k 1 2 3()a a a b 1 2 3 na a a a n 12 分 1 2 3 100na a a a n ， ( 1) 1 0 0 , ()小值为 100 . 13 分 - 1 - 2013 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （七） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 0,1A ， 1, 0 , 3 ， 且 ，则 a 等于 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 3 i 是虚数单位，则复数 23z i+2i 3i所对应的点落在 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 中，“ 0C”是“ 为钝角三角形”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分又不必要条件 的底面是正六边形， 平面 则下列结论 不正确 的是 （ A） /面 （ B） 平面 （ C） /面 D） 平面 21的渐近线与圆 22( 2 ) 1 相切，则双曲线离心率为 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 3 s i n ( ) ( 0 ) 的部分图象如图所示，设 P 是图象的最高点， , （ A） 10 （ B） 8 （ C） 87（ D） 47第 4 题图 第 6 题图 7已知数列 3，那么满足1 1 9 102k k ka a a 的整数 k （ A） 有 3 个 （ B） 有 2 个 （ C）有 1 个 （ D）不存在 8设点 (1,0)A ， (2,1)B ，如果直线 1ax 与线段 一个公共点，那么 22 （ A）最小值为 15（ B）最小值为 55（ C）最大值为 15（ D）最大值为 55第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 在 中， 若 2， : 1: 3，则 A _. 21() 的展开式中， 2x 的系数是 _. 11如图， 圆 O 的直径， P 在 延长线上， O A B P D C x A B P y O - 2 - 切圆 O 于点 C 半径为 3 ， 2，则 _； 的大小为 _. (2, )2A 关于直线 : l 的对称点的一个极坐标为_. 13定义某种运算 ， 的运算原理如右图所示 . 设 ( ) ( 0 ) ( 2 )f x x x x . 则 (2)f _； () 2,2 上的最小值为 _. a，1 1 ，其中 R ， 12n ， ， 当 0 时，20a _； 若存在正整数 m ，当 时总有 0，则 的取值范围是 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 c o s 2()s )4. （）求函数 () （）若 4()3求 值 . 16.（本小题满分 13 分） 如图，已知菱形 边长为 6 ， 60, D O 对角线 起，使 32，得到三棱锥 B . （）若点 M 是棱 中点， 求证 : /面 （） 求二面角 A 的余弦值； 开始 输入 , 结束 输出 S 是 - 3 - （）设点 N 是线段 一个动点，试确定 N 点的位置，使得 42，并证明你的结论 . 17.（本小题满分 13 分） 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手，乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动 . （）求选出的 4 名选手均为男选手的概率 . （）记 X 为 选出的 4 名选手中女选手的人数，求 X 的分布列和期望 . 18.（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) (1 ) e ( 0 )x ，其中 e 为自然对数的底数 . （）当 2a 时，求曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线与坐标轴 围成的面积； （）若函数 ()极大值与极小值的积为 5e ，求a 的值 . M - 4 - 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22:1( 0)的离心率为 223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周 长为 246 （）求椭圆 M 的方程； （）设直线 l 与椭圆 M 交于 ,以 直径的圆过椭圆的右顶点 C ， 求 面积的最大值 20.（本小题满分 13 分） 若, 21 为集合 2(,2,1 且 )n *N 的子集，且满足两个条件： 12 A A； 对任意的 , ，至少存在一个 ,3,2,1 ，使 , 或 y . 则称集合组, 21 具有性质 P . 如图，作 n 行 m 列数表，定义数表中的第 k 行第 l 列的数为)(0)(1 （）当 4n 时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所 对应的表格，如果不是请说明理由； 集合组 1：1 2 3 1 , 3 , 2 , 3 , 4 A A A ； 集合组 2：1 2 3 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 1 , 4 A A A . 11a 12a 1 5 - （）当 7n 时，若集合组1 2 3,A A ，请先画出所对应的 7 行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合1 2 3,A A A； （）当 100n 时，集合组12, , , 且所含集合个数最小的集合组，求 t 的值及12| | | | | | A的最小值 .（其中 | 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试 卷（七）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C B B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 30 10. 5 75 - 6 - 12.(2 2, )4（或其它等价写法） 13. 2 ； 6 ( 2 1, 2 ),k k k*N. 注： 11、 13、 14 题第一问 2 分，第二问 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 确者可参照评分标准给分 . 15.（本小题满分 13 分） 解 ：（）由题意， ) 04x ， 2 分 所以 ()4x k k Z， 3 分 所以 ()4x k k Z， 4 分 函数 (),4 Z. 5 分 （） c o s 2 c o s 2()s i n ( ) s i n c o s c o s s i 4x x 7 分 2 8 分 222 ( c o s s i n ) 2 ( c o s s i n )s i n c o . 10 分 因为 4()3所以 22c o s s i . 11 分 所以， 2s i n 2 1 ( c o s s i n )x x x 12 分 811 99 . 13 分 16.（本小题满分 13 分） （） 证明：因为点 O 是菱形 对角线的交点， 所以 O 是 中点 是棱 中点， 所以 的中位线， /B . 1 分 因为 平面 平面 所以 /面 3 分 （）解：由题意， 3D， 因为 32， 所以 90， D . 4 分 又因为菱形 所以 C ， C . 建立空间直角坐标系 O ，如图所示 . ( 3 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) ,0,3)B . 所以 ( 3 3 , 0 , 3 ) , ( 3 3 , 3 , 0 ) ,A B A D 6 分 设平面 法向量为 n ( , , )x y z ， A B C O D x y z M - 7 - 则有 0,03 3 3 0 ,3 3 3 0 令 1x ，则 3 , 3，所以 n (1, 3, 3) . 7 分 因为 ,A C O B A C O D,所以 平面 平面 法向量与 行， 所以平面 法向量为0 (1, 0, 0)n. 8 分 00017c o s ,717 因为二面角 A 是锐角， 所以二面角 A 的余弦值为 77. 9 分 （）解：因为 N 是线段 一个动点，设1 1 1( , , )N x y z， D ， 则1 1 1( , , 3 ) ( 0 , 3 , 3 )x y z ， 所以1 1 10 , 3 , 3 3x y z ， 10 分 则 (0, 3 , 3 3 )N ， ( 3 3 , 3 , 3 3 )， 由 42得 222 7 9 ( 3 3 ) 4 2 ，即 29 9 2 0 ， 11 分 解得 13或 23， 12 分 所以 N 点的坐标为 (0,2,1) 或 (0,1,2) . 13 分 （也可以答是线段 三等分点， 2D 或 2D ） 17.（本小题满分 13 分） 解：（）事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手” 232254() 3 分 1 1 110 2 20 . 5 分 （） X 的可能取值为 0,1,2,3 . 6 分 23225431( 0 )1 0 6 2 0 ， 7 分 1 1 2 12 3 3 322542 3 3 3 7( 1 )1 0 6 2 0C C C ， 9 分 213322543 3 3( 3 )1 0 6 2 0 ， 10 分 ( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 3 )P X P X P X P X 920 . 11 分 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 120 720 920 320 12 分 - 8 - 1 7 9 3 1 7( ) 0 1 2 32 0 2 0 2 0 2 0 1 0 . 13 分 18、 （本小题满分 14 分） 解：（） 22( ) e xx a x x ， 3 分 当 2a 时， 2222( ) e x ， 121 2 2(1 ) e ， (1) ， 所以曲线 ()y f x 在 (1, (1)f 处的切线方程为 e 2， 5 分 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 (2,0) ， (0, 2e) ， 6 分 所以，所求面积为 1 2 2 e 2 . 7 分 （）因为函数 ()在一个极大值点和一个极小值点， 所以，方程 2 0x ax a 在 (0, ) 内存在两个不等实根， 8 分 则 2 4 0 , 9 分 所以 4a . 10 分 设12,)极大值点和极小值点， 则12x x a，12x x a， 11 分 因为， 512( ) ( ) ef x f x ， 所以，12 512e e a x ， 12 分 即122 51 2 1 212() x a x x ， 22 5 ， 5 ， 解得， 5a ，此时 () 所以 5a . 14 分 19.（本小题满分 14 分） 解：（）因为椭 圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 246 ， 所以 24622 1 分 又椭圆的离心率为 223，即 223，所以 223 2 分 所以 3a ， 22c . 4 分 所以 1b ，椭圆 M 的方程为 19 22 5 分 （）方法一：不妨设 方程 ( 3 ) , ( 0 )y n x n ，则 方程为 )3(1 由 22( 3),19y n xx y 得 0196)91( 2222 6 分 - 9 - 设 ),( 11 ),( 22 因为 22 281 93 91nx n ，所以 19 327222 7 分 同理可得221 9327 ， 8 分 所以19 61| 22 22961|
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