2013届高考数学总复习导学 第二篇 理 （打包9套）新人教A版
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2013届高考数学总复习导学 第二篇 理 （打包9套）新人教A版,高考,数学,复习,温习,第二,打包,新人
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- 1 - 第 1 讲 函数及其表示 【 2013 年高考会这样考】 1主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法 2考查分段函数的简单应用 3由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误本讲复习还应掌握： (1)求函数的定义域的方法； (2)求函数解析式的基本方法； (3)分段函数及其应用 基础梳理 1函数的基本概念 (1)函数 的定义：设 A、 B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意 一个数 x，在集合 B 中都有 唯一 确定的数 f(x)和它对应，那么称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： y f(x)， x A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y f(x)， x A 中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫做 定义域 ，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫值域值域是集合 B 的子集 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (4)相等函数：如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据 2函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、 图象法 3映射的概念 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A B 为从集合A 到集合 B 的一个映射 一个方法 求复合函数 y f(t)， t q(x)的定义域的方法： 若 y f(t)的定义域为 (a， b)，则解不等式得 a q(x) b 即可求出 y f(q(x)的定义域； 若 y f(g(x)的定义域为 (a， b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域 两个防范 - 2 - (1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域 (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性 三个要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等函数是特殊的映射，映射 f：A B 的三要素是两个集合 A、 B 和对应关系 f. 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )函数 f(x) x 1)的值域为 ( ) A (0， ) B 0， ) C (1， ) D 1， ) 解析 3x 1 1， f(x) x 1) 0. 答案 A 2 (2011 江西 )若 f(x) 1x，则 f(x)的定义域为 ( ) A. 12， 0 B. 12， 0 C. 12， D (0， ) 解析 由 x 1) 0，即 0 2x 1 1， 解得 12 x 0. 答案 A 3下列各对函数中，表示同一函数的是 ( ) A f(x) lg g(x) 2lg x B f(x) 1x 1， g(x) lg(x 1) lg(x 1) C f(u) 1 u， g(v) 1 v D f(x) ( x)2， g(x) 案 C 4 (2010 陕西 )某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x(x表示不大于 x 的最大整数 )可以表示为 ( ) - 3 - A y B y x 310 C y x 410 D y x 510 解析 根据规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，即余数分别为 7、 8、 9 时可增选一名代表因此利用取整函数可表示为 y x 310 . 答案 B 5函数 y f(x)的图象如图所示那么， f(x)的定义域是 _；值域是 _；其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是 _ 解析 任作直线 x a，当 a 不在函数 y f(x)定义域内时，直线 x a 与函数 y f(x)图象没有交点；当 a 在函数 y f(x)定义域内时，直线 x a 与函数 y f(x)的图象有且只有一个交点 任作直线 y b，当直线 y b 与函数 y f(x)的图象有交点，则 b 在函数 y f(x)的值域内；当直线 y b 与函数 y f(x)的图象没有交点，则 b 不在函数 y f(x)的值域内 答案 3,0 2,3 1,5 1,2) (4,5 考向一 求函数的定义域 【例 1】 求下列函数的定义域： (1)f(x) |x 2| 1x； (2)f(x) x 3x 4. 审题视点 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得 解 (1)要使函数 f(x)有意义，必须且只须 |x 2| 10 ，x 10，x 1x3 ，因此函数 f(x)的定义域为 3， ) - 4 - (2)要使函数有意义，必须且只须 x 10， 3x 40， 即 x 1，x x ， 解得： 1x1. 因此 f(x)的 定义域为 ( 1,1) 求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零； (2)偶次方根的被开方式其值非负； (3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于 1. 【训练 1】 (2012 天津耀华中学月考 )(1)已知 f(x)的定义域为 12， 12 ，求函数 yf x 12 的定义域； (2)已知函数 f(3 2x)的定义域为 1,2，求 f(x)的定义域 解 (1)令 x 12 t， 知 f(t)的定义域为t 12 t 12 ， 12 x 12 12， 整理得 x0 ，x 10 x0 或 x1 ，1 52 x1 52 ， 所求函数的定义域为 1 52 ， 0 1， 1 52 . (2)用换元思想，令 3 2x t， f(t)的定义域即为 f(x)的定义域， t 3 2x(x 1,2)， 1 t5 ， 故 f(x)的定义域为 1,5 考向二 求函数的解析式 【例 2】 (1)已知 f 2x 1 lg x，求 f(x)； (2)定义在 ( 1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x) f( x) lg(x 1)，求函数 f(x)的解析式 审题视点 (1)用代换法求解； (2)构造方程组求解 解 (1)令 t 2x 1，则 x 2t 1， - 5 - f(t) t 1，即 f(x) x 1. (2)x ( 1,1)时，有 2f(x) f( x) lg(x 1) 以 x 代 x 得， 2f( x) f(x) x 1) 由 消去 f( x)得 f(x) 23lg(x 1) 13 x)， x ( 1,1) 求函数解析式的方法主要有： (1)代入法； (2)换元法； (3)待定系数法； (4)解函数方程等 【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数，若 f(0) 0，且 f(x 1) f(x) x 1，试求 f(x)的表达式 (2)已知 f(x) 2f(1x) 2x 1，求 f(x) 解 (1)由题意可设 f(x) bx(a0) ，则 a(x 1)2 b(x 1) x 1 (2a b)x a b (b 1)x 1 2a b b 1，a b 1， 解得 a12， b12. 因此 f(x) 1212x. (2)由已知得 f x 2f 1x 2x 1，f 1x 2f x 2x 1，消去 f 1x ， 得 f(x) 4 x 2 考向三 分段函数 【例 3】 (2011 辽宁 )设函数 f(x) 21 x， x1 ，1 x 1， 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 ( ) A 1,2 B 0,2 C 1， ) D 0， ) 审题视点 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集 解析 f(x)2 x1 ，21 x2 或 x 1，1 0 x1 或 x 1，故选 D. 答案 D - 6 - 分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分 x1 和 x 1 时分别解得 x 的范围，再求其并集 【训练 3】 (2011 江苏 )已知实数 a0 ，函数 f(x) 2x a， x 1， x 2a， x1. 若 f(1 a) f(1 a)，则 a 的值为 _ 解析 分类讨论： (1)当 a 0 时， 1 a 1,1 a 1. 这时 f(1 a) 2(1 a) a 2 a； f(1 a) (1 a) 2a 1 3a. 由 f(1 a) f(1 a)，得 2 a 1 3a， 解得 a 32， 不符合题意，舍去 (2)当 a 0 时， 1 a 1,1 a 1， 这时 f(1 a) (1 a) 2a 1 a； f(1 a) 2(1 a) a 2 3a， 由 f(1 a) f(1 a)，得 1 a 2 3a， 解得 a 34. 综合 (1)， (2)知 a 的值为 34. 答案 34 阅卷报告 1 忽视函数的定义域 【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误 【防范措施】 研究函数的任何问题时， 把求函数的定义域放在首位，即遵循 “ 定义域优先 ”的原则 【示例】 求函数 y 3x)的单调区间 - 7 - 错因 忽视函数的定义域，把函数 y 定义域误认为 R 导致出错 实录 设 t 3x. 函数 t 的对称轴为直线 x 32， 故 t 在 ， 32 上单调递减，在 32， 上单调递增 函数 y 3x)的单调递增区间 是 ， 32 ，单调递减区间是 32， . 正解 设 t 3x，由 t 0，得 x 0 或 x 3，即函数的定义域为 ( ， 0) (3， ) 函数 t 的对称轴为直线 x 32， 故 t 在 ( ， 0)上单调递减，在 ( )3， 上单调递增 而函数 y 单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数 y 3x)的单调递增区间是 ( ， 0)，单调递减区间是 (3， ) 【试一试】 求函数 f(x) 2x 3)的单调区间 尝试解答 由 2x 3 0，得 x 1 或 x 3， 即函数的定义域为 ( ， 1) (3， ) 令 t 2x 3，则其对称轴为 x 1，故 t 在 ( ， 1)上是减函数，在 (3， ) 上是增函数 又 y 单调增函数 故函数 y 2x 3)的单调增区间为 (3， ) ，单调减区间为 ( ， 1) - 1 - 第 2 讲 函数的单调性与最值 【 2013 年高考会这样考】 1考查求函数单调性和最值的基本方法 2利用函数的单调性求单调区间 3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围 【复习指导】 本讲复习首先回扣课本，从 “ 数 ” 与 “ 形 ” 两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握： (1)函数单调性的判断及其应用； (2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握 基础梳理 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 有 f( f(那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 有 f(f(那么就说函数 f (x )在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间 2函数的最值 前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 对于 任意 x I，都有 对于任意 x I，都有 - 2 - . f(x) M； f(x) M； 存在 I，使得 f( M 存在 I，使得 f(M. 结论 M 为最大值 M 为最小值 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数 y 1 ， 0)，(0， ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( ， 0) (0， ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( ， 0)和 (0， ) ，不能用 “ ” 连接 两种形式 设任意 a， b且 么 f f 0f(x)在 a， b上是增函数； f f 0f(x)在 a， b上是减函数 (f( f( 0f(x)在 a， b上是增函数； (f( f( 0f(x)在 a， b上是减函数 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 (2)开区间上的 “ 单峰 ” 函数一定存在最大 (小 )值 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数 (3)导数法：利用导数研究函数的单调性 (4)图象法：利用图象研究函数的单调性 双基自测 1设 f(x)为奇函数，且在 ( ， 0)内是减函数， f( 2) 0，则 xf(x) 0 的解集为 ( ) A ( 2,0) (2， ) B ( ， 2) (0,2) C ( ， 2) (2， ) D ( 2,0) (0,2) 答案 C - 3 - 2 (2011 湖南 )已知函数 f(x) 1， g(x) 4x f(a) g(b)，则 b 的取值范围为 ( ) A 2 2， 2 2 B (2 2， 2 2) C 1,3 D (1,3) 解析 函数 f(x)的值域是 ( 1， ) ，要使得 f(a) g(b)，必须使得 4x 3 4x 2 0，解得 2 2 x 2 2. 答案 B 3 (2012 保定一中质检 )已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f 1x 1，不等式等价于 |x|0 时， f( f(0，即 f(f( 函数 f(x)在 ( 1,1)上递减； 当 (2， ) 上递增，求实数 a 的取值范围 审题视点 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性 解 法一 设 2a 恒成立又 ，则 0 5， 则 m 5. 法二 设 g(x) 4 当 32，即 m 3 时， g(x) g(2) 8 2m， - 8 - 当 32，即 m 3 时， g(x) g(1) 5 m 由已知条件可得： m 3，8 2m0 ， 或 m 3，5 m0. 解得 m 5 答案 ( ， 5 - 1 - 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 【 2013 年高考会这样考】 1判断函数的奇偶性 2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值 3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能重点解决综合利用函数的性质解决有关问题 基础梳理 1奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称 2奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是 偶函数 ； 两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 3周期性 (1)周期函数：对于函数 y f(x)，如果存在一个非 零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 两个性质 - 2 - (1)若奇函数 f(x)在 x 0 处有定义，则 f(0) 0. (2)设 f(x)， g(x)的定义 域分别是 么在它们的公共定义域上： 奇奇奇，奇 奇偶，偶偶偶，偶 偶偶，奇 偶奇 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)性质法 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a x) f(x)或 f( x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关于直线 x a 对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a x) f(x)，且 f(2b x) f(x)(其中 a b)，则： y f(x)是以 2(b a)为周期的周期函数 (3)若 f(x a) f(x)或 f(x a) 1f x 或 f(x a) 1f x ，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T 2a； (3)若 f(x a) f(x b)(a b)，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T 2|a b|. 双基自测 1 (2011 全国 )设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时， f(x) 2x(1 x)，则 f 52 ( ) A. 12 B. 14 析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f 52 f 52 f 12 . 答案 A 2 (2012 福州一中 月考 )f(x) 1x x 的图象关于 ( ) A y 轴对称 B直线 y x 对称 C坐标原点对称 D直线 y x 对称 解析 f(x)的定义域为 ( ， 0) (0， ) ，又 f( x) 1 x ( x) 1x x f(x)，则 f(x)为奇函数，图象关于原点对称 答案 C 3 (2011 广东 )设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A f(x) |g(x)|是偶函数 B f(x) |g(x)|是奇函数 C |f(x)| g(x)是偶函数 D |f(x)| g(x)是奇函数 - 3 - 解析 由题意知 f(x)与 |g(x)|均为偶函数， A 项：偶偶偶； B 项：偶偶偶， B 错； 项：分别为偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故选 A. 答案 A 4 (2011 福建 )对于函数 f(x) x c(其中， a， b R， c Z)，选取 a， b， c 的一组值计算 f(1)和 f( 1)，所得出的正确结果一定不可能是 ( ) A 4 和 6 B 3 和 1 C 2 和 4 D 1 和 2 解析 f(1) b c， f( 1) b c 且 c Z， f(1) f( 1) 2c 是偶数，只有 D 项中两数和为奇数，故不可能是 D. 答案 D 5 (2011 浙江 )若函数 f(x) |x a|为偶函数，则实数 a _. 解析 法一 f( x) f(x)对于 x R 恒成立， | x a| |x a|对于 x R 恒成立，两边平方整理得 0 对于 x R 恒成立，故 a 0. 法二 由 f( 1) f(1)， 得 |a 1| |a 1|，得 a 0. 答案 0 考向一 判断函数的奇偶性 【例 1】 下列函数： f(x) 1 1； f(x) x； f(x) ln(x 1)； f(x) 3x 3 f(x) ) A 2 B 3 C 4 D 5 审题视点 利 用函数奇偶性的定义判断 解析 f(x) 1 1的定义域为 1,1，又 f( x) f(x) 0， 则 f(x) 1 1是奇函数，也是偶函数； f(x) x 的定义域为 R， 又 f( x) ( x)3 ( x) (x) f(x)， 则 f(x) x 是奇函数； 由 x 1x |x|0 知 f(x) ln(x 1)的定义域为 R， - 4 - 又 f( x) x x 2 1) x 1 ln(x 1) f(x)， 则 f(x)为奇函数； f(x) 3x 3 定义域为 R， 又 f( x) 3 x 33x 3 f(x)， 则 f(x)为奇函数； 由 1 x0 得 1x1， f(x) 1,1)， 又 f( x) x 1 x 1 x f(x)， 则 f(x)为奇函数 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是： (1)求函数的定义域； (2)证明 f( x) f(x)或f( x) f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 4 x2|x 3| 3； (2)f(x) |x a| 2. 解 (1)解不等式组 4 ，|x 3| 30 ， 得 2 x0，或 0x2 ， 因此函数 f(x)的定义域是 2,0) (0,2， 则 f(x) 4 f( x) 4 x 4 f(x)， 所以 f(x)是奇函数 (2)f(x)的定义域是 ( ， ) 当 a 0 时， f(x) |x| 2， f( x) | x| 2 |x| 2 f(x) 因此 f(x)是偶函数； 当 a0 时， f(a) 2， - 5 - f( a) |2a| 2， f( a) f(a)，且 f( a) f(a) 因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数 考向二 函数奇偶性的应用 【例 2】 已知 f(x) x 12x 1 12 (x0) (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)证明： f(x) 0. 审题视点 (1)用定义判断或用特值法否定； (2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0. (1)解 法一 f(x)的定义域是 ( ， 0) (0， ) f(x) x 12x 1 12 2x 12x 1. f( x) 2 x 12 x 1x 12x 1 f(x) 故 f(x)是偶函数 法二 f(x)的定义域是 ( ， 0) (0， ) ， f(1) 32， f( 1) 32， f(x)不是奇函数 f(x) f( x) x 12x 1 12 x 12 x 1 12 x 12x 1 22x 1 x1 21 1 x( 1 1) 0， f( x) f(x)， f(x)是偶函数 (2)证明 当 x 0 时， 2x 1,2x 1 0， 所以 f(x) x 12x 1 12 0. 当 x 0 时， x 0，所以 f( x) 0，又 f(x)是偶函数， f( x) f(x)，所以 f(x) 0. 综上，均有 f(x) 0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可 【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为 2,2，且在区间 2,0内递减，求满足： f(1m) f(1 0 的实数 m 的取值范围 解 f(x)的定 义域为 2,2， - 6 - 有 21 m2 ， 21 ， 解得 1 m 3. 又 f(x)为奇函数，且在 2,0上递减， 在 2,2上递减， f(1 m) f(1 f(1)1 m 1， 即 2 m 1. 综合 可知， 1 m 1. 考向三 函数的奇偶性与周期性 【例 3】 已知函数 f(x)是 ( ， ) 上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x 1 对称，当 x 0,1时， f(x) 2x 1， (1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 1,2时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) f(1) f(2) f(2013)的值 审题视点 (1)只需证明 f(x T) f(x)，即可说明 f(x)为周期函数； (2)由 f(x)在 0,1上的解析式及 f(x)图象关于 x 1 对称求得 f(x)在 1,2上的解析式； (3)由周期性求和的值 (1)证明 函数 f(x)为奇函数，则 f( x) f(x)，函数 f(x)的图象关于 x 1 对称，则 f(2 x) f( x) f(x)， 所以 f(4 x) f(2 x) 2 f(2 x) f(x)，所以 f(x)是以 4为周期的周期函数 (2)解 当 x 1,2时， 2 x 0,1， 又 f(x)的图象关于 x 1 对称，则 f(x) f(2 x) 22 x 1， x 1,2 (3)解 f(0) 0， f(1) 1， f(2) 0， f(3) f( 1) f(1) 1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数 f(0) f(1) f(2) f(2013) f(2 012) f(2 013) f(0) f(1) 1. 判断函数的周期只需证明 f(x T) f(x)(T0) 便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x) f(x1)，则 f(2 013) f(2 015)的值为 ( ) A 1 B 1 C 0 D无法计算 解析 由题意，得 g( x) f( x 1)， 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数， g( x) g(x)， f( x) - 7 - f(x)， f(x 1) f(x 1)， f(x) f(x 2)， f(x) f(x 4)， f(x)的周期为 4， f(2 013) f(1)， f(2 015) f(3) f( 1)， 又 f(1) f( 1) g(0) 0， f(2 013) f(2 015) 0. 答案 C 规范解答 3 如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们 之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题 . 【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为 f x 与 f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为 f x T 与 f x 的关系，它们都与 f x 有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到 函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单 调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题 . 【示例】 (本题满分 12 分 )(2011 沈阳模拟 )设 f(x)是 ( ， ) 上的奇函数， f(x 2) f(x)，当 0 x1 时， f(x) x. (1)求 f() 的值； (2)当 4 x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积； (3)写出 ( ， ) 内函数 f(x)的单调增 (或减 )区间 第 (1)问先求函数 f(x)的周期，再求 f() ； 第 (2)问，推断函数 y f(x)的图象关于直线 x 1 对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积； 第 (3)问，由图象观察写出 解答示范 (1)由 f(x 2) f(x)得， f(x 4) f(x 2) 2 f(x 2) f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， (2 分 ) f() f( 14 ) f( 4) f(4 ) (4 ) 4.(4 分 ) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x 2) f(x)，得： f(x 1) 2 f(x 1) f (x 1)，即 - 8 - f(1 x) f(1 x) 故知函数 y f(x)的图象关于直线 x 1 对称 (6 分 ) 又 0 x1 时， f(x) x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 (8分 ) 当 4 x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S 4S 4 1221 4.(10 分 ) (3)函数 f(x)的单调递增区间为 4k 1,4k 1(k Z)，单调递减区间 4k 1,4k 3(kZ) (12 分 ) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 【试一试】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则 ( ) A f( 25) f(11) f(80) B f(80) f(11) f( 25) C f(11) f(80) f( 25) D f( 25) f(80) f(11) 尝试解答 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在 0,2上是增 函数可以推知， f(x)在 2,2上递增，又 f(x 4) f(x)f(x 8) f(x 4) f(x)，故函数 f(x)以 8 为周期， f( 25)f( 1)， f(11) f(3) f(3 4) f(1)， f(80) f(0)，故 f( 25) f(80) f(11)故选D. 答案 D - 1 - 第 4 讲 指数与指数函数 【 2013 年高考会这样考】 1考查指数函数的图象与性质及其应用 2以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用 3以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小 【复习指导】 1熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重 2本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质重点解决： (1)指数幂的运算； (2)指数函数的图象与性质 . 基础梳理 1根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n 1 且， n N*)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根也就是，若 a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1 且 n N*n 里 n 叫做根指数， (2)根式的性质 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 n 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 n 的 n 次方根用符号 n 负两个 n 次方根可以合写为 n a(a 0) n a n a. 当 n 为奇数时， n a； 当 n 为偶数时， n |a| a a a a . 负数没有偶次方根 2有理数指 数幂 (1)幂的有关概念 正整数指数幂： a a (n N*)； - 2 - 零指数幂： 1(a0) ； 负整数指数幂： a p 1ap(a0 ， p N*)； 正分数指数幂： n am(a 0， m、 n N*，且 n 1)； 负分数指数幂： a 11n am(a 0， m、 n N*且 n 1) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 s(a 0， r、 s Q) (ar)s a 0， r、 s Q) (ab)r a 0， b 0， r Q) 3指数函数的图象与性质 y ax a 1 0 a 1 图象 定义域 R 值域 (0， ) 性质 过定点 (0,1) x 0 时， 0 y 1 x 0 时， y 1. 在 ( ， ) 上是减函数 当 x 0 时， 0 y 1； 当 x 0 时， y 1； 在 ( ， ) 上是增函数 一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按： 0 a 1 和 a 1 进行分类讨论 (2)换元时注意换元后 “ 新元 ” 的范围 - 3 - 三个关键点 画指数函数 y ax(a 0，且 a1) 的图象，应 抓住三个关键点： (1， a)， (0,1)， 1， 1a . 双基自测 1 (2011 山东 )若点 (a,9)在函数 y 3 值为 ( ) A 0 B. 33 C 1 D. 3 解析 由题意有 3a 9，则 a 2， 3 3. 答案 D 2 (2012 郴州五校联考 )函数 f(x) 2|x 1|的图象是 ( ) 解析 f(x) 2x 1， x1 ，12x 1， x1， 故选 B. 答案 B 3若函数 f(x) 12x 1，则该函数在 ( ， ) 上是 ( ) A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值 解析 设 y f(x)， t 2x 1， 则 y 1t， t 2x 1， x ( ， ) t 2x 1 在 ( ， ) 上递增，值域为 (1， ) 因此 y 11， ) 上递减，值域为 (0,1) 答案 A 4 (2011 天津 )已知 a b c 15 ( ) A a b c B b a c C a c b D c a b - 4 - 解析 c 15 5 5 1， 1， 1， 又 03 ， 03 y 5 a c b. 答案 C 5 (2012 天津一中月考 )已知 a 12 3，则 a a 1 _； a 2 _. 解析 由已知条件 (a 12)2 a a 1 7 又 (a a 1)2 49，因此 a 2 47. 答案 7 47 考向一 指数幂的化简与求值 【例 1】 化 简下列各式 (其中各字母均为正数 ) (1)b 1 12 a 12 a (2)56b 2( 3a 12b 1)(4 b 3)12. 审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键 解 (1)原式a 13a 12a 13 12 16 13 56 1a. (2)原式 52a 16b 3(4 b 3)12 54a 16b 3 32 54a 12 b 32 54 1 5 化简结果要求 - 5 - (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数 幂，也不能既有分母又有负指数幂 【训练 1】 计算： (1)13 17 2 279 12 ( )2 1 0； (2) 14 12 41 2 3 12. 解 (1)原式 271 000 13 ( 1) 2 17 2 259 12 1 103 49 53 1 45. (2)原式4124 32100 a32 b32425425. 考向二 指数函数的性质 【例 2】 已知函数 f(x) 11 12 x3(a 0 且 a1) (1)求函数 f(x)的定义域； (2)讨论函数 f(x)的奇偶性； (3)求 a 的取值范围，使 f(x) 0 在定义域上恒成立 审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决 解 (1)由于 10 ，且 ，所以 x0. 函数 f(x)的定义域为 x|x R，且 x0 (2)对于定义域内任意 x，有 f( x) 1a x 1 12 ( x)3 2 ( x)3 1 1112 ( x)3 11 12 f(x)， f(x)是偶函数 (3)当 a 1 时，对 x 0，由指数函数的性质知 1， 1 0， 11 12 0. - 6 - 又 x 0 时， 0， 11 12 0， 即当 x 0 时， f(x) 0. 又由 (2)知 f(x)为偶函数，即 f( x) f(x)， 则当 x 0 时， x 0，有 f(
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