2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破 理（打包22套）
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2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破 理（打包22套）,高三,数学,二轮,复习,温习,必考,问题,专项,突破,打包,22
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1 题 13 空间线面位置关系的推理与证明 (2012 江苏 )如图，在直三棱柱 D， E 分别是棱 点 D 不同于点 C)，且 F 为 求证： (1)平面 平面 (2)直线 平面 证明 (1)因为 所以 平面 又 平面 以 又因为 面 E， 所以 平面 D 平面 所以平面 平面 (2)因为 F 为 所以 因为 平面 面 所以 又因为 平面 所以 平面 由 (1)知 平面 以 又 平面 面 以 平面 本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问 首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定 2 定理和性质定理，把空间中 的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述 必备知识 平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图 解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1)经过平面外 一点有且只有一个平面与已知平面平行 (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面 (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交 (4)平行于同一条直线的两条直线平行 (5)平行于同一个平面的两个平面平行 (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行 垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图 在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平 面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化 必备方法 1证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑 2证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直 3使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题 3 4正向思维受阻时，可考虑使用反证法 5计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨通常计算题是经过 “ 作图、证明、说明、计算 ” 等步骤来完成的，应不缺不 漏，清晰、严谨 空间点、线、平面之间的位置关系 此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档 【例 1】 如图所示，平面 平面 边形 是直角梯形， 90 ， 12 12G、 H 分别为 中点 (1)证明：四边形 平行四边形； (2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？ 审题视点 听课记录 审题视点 要证明四边形 平行四边形，只要证明 可；要证明 C， D， E， F 共面，可通过证明四边形 至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可 (1)证明 由题意知， 以 12又 12 平行四边形 (2)解 C、 D、 F、 E 四点共面理由如下： 由 12G 是 中点知， 以 由 (1)知 以 面又点 D 在直线 ，所以 C、 D、 F、E 四点共面 4 法二 由题设知 两互相垂直，如图，以 A 为坐标原点，以射线 射线 y 轴正方向，以射线 z 轴正方向，建立直角坐标系 (1)证明 设 a， b， c，则由题设得 A(0,0,0)， B(a,0,0)， C(a， b,0)， D(0,2b,0)， E(a,0， c)， G(0,0， c)， H(0， b， c) 所以 (0， b,0)， (0， b,0)，于是 . 又点 G 不在直线 ，所以四边形 平行四边形 (2)解 C， D， F， E 四点共面 理由如下： 由题设知 F(0,0,2c)，所以 ( a,0， c)， ( a,0， c)， ，又 CH C， D， E， F 四点共面 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法： (1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择 【突破训练 1】 给出下列关于互不相同的直线 m， l， n 和平面 ， 的四个命题： 若 m ， l A，点 Am，则 l 与 m 不共面； 若 m、 l 是异面直线， l ， m ，且 n l， n m，则 n ； 若 l ， m ， ，则 l m； 若 l ， m ， l m A， l ， m ，则 . 其中为真命题的是 _(填序号 ) 解析 中 l m 或 l， m 异面，所以 错误，其他 正确 答案 线线、线面位置关系 此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平 5 行与垂直的相互转化能力 【例 2】 如图所示，正三棱柱 ，点 D 是 中点， 2 (1)平面 (2)平面 审题视点 听课记录 审题视点 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第 (1)问可利用 “ 线线平行 ” 或 “ 面面平行 ” ，第 (2)问可利用 “ 线线垂直 ” 来证 “ 线面垂直 ” 证明 (1)连接 ，连接 点 D 是 点，点 E 是 点， 面 平面 平面 (2) 正三角形，点 D 是 中点， 平面 平面 平面 平面 面 平面 平面 点 D 是 中点， 2 22 22 ， 90. 1D D， 6 平面 将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提 【突破训练 2】 (2011 山东 )如 图，在四棱台 平面 面 平行四边形， 2 60. 证明： (1) (2)平面 证明 (1)因为 平面 平面 以 取 中点 G，连接 在 ，由 2， 又 60 ，所以 等边三角形 因此 又 60 ，所以 30 ， 故 60 30 90 所以 D D， 所以 平面 面 故 (2)连接 E，连接 因为四边形 平行四边形， 7 所以 12 由棱台定义及 22 所以四边形 因此 又因为 平面 面 所以 平面 8 面面位置关系 此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力 【例 3】 如图所示， 在四棱锥 ， 正三角形，且面 面 边形 直角梯形，且 4 ， 1， 2， E 为棱 中点 (1)求证： 平面 (2)求证：平 面 平面 审题视点 听课记录 审题视点 (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行； (2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线 (1)证明 如图所示，取线段 中点 F，连接 在 ， E、 F 分别为 中点， 在直角梯形 ， F 为 中点， 121. 又 1， 四边形 平行四边形， 又 F， B， 平面 平面 又 平面 平面 (2)证明 在直角梯形中， 9 又 平面 平面 平面 平面 平面 面 平面 平面 解决空间两个平面位置关系的思维方法是 “ 以退为进 ” ，即面面问题退证为线面问题，再退证为线 线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系 【突破训练 3】 (2011 江苏 )如图， 在四棱锥 ，平面 平面 60 ， E， F 分别是 证： (1)直线 平面 (2)平面 平面 证明 (1)如图，在 ，因为 E， F 分别为 中点，所以 又因为 面 平面 所以直线 平面 (2)连接 B 60 ， 所以 正三角形 因为 F 是 中点，所以 因为平面 平面 面 平面 平面 以 平面 又因为 平面 以平面 平面 平面图形的折叠问题 此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面位置关系及有关计算考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大 10 【例 4】 (2012 临沂二模 )如图，在直角梯形 ， 12D 是 中点， E、 F 分别为 中点，将 起得到四棱锥 (1)G 为线段 任一点，求证：平面 平面 (2)当 G 为 中点时，求证： 平面 审题视点 听课记录 审题视点 (1)转化为证 平面 (2)转化为证平面 平面 证明 (1)在直角梯形 ， 12D 为 中点， 四边形 正方形 在四棱锥 ， E， F 分别为 中点， 又 D、 面 面 又 面 面 面 (2)法一 G、 F 分别为 点， 面 面 由 (1)知， 面 面 F， 面 面 面 面 法二 取 点 H，连接 由 (1)知四边形 平行四边形， 又 G、 H 分别为 中点， 由 (1)知， 11 四点 E、 F、 G、 H 共面 E、 H 分别为 中点 ， 面 面 面 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 【突破训练 4】 如图，平行四边形 ， 60 ， 2， 起到 位置，使平面 平面 (1)求证： (2)求三棱锥 侧面积 (1) 证明 在 ， 2 ， 4 ， 60 ， 22 3. 又 平面 平面 平面 平面 平面 平面 面 (2)解 由 (1)知 而 在 ， 2 3， 2， S 122 3. 又 平面 面 4， S 124. 面 平面 平面 而 平面 S 124. 综上，三棱锥 侧面积 S 8 2 3. 12 证明线面关系，严禁跳步作答 证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的 【示例】 (2012 北京东城一模 )在棱长为 2 的正方体 E、 F 分别 为 B 的中点 (1)求证： 平面 (2)求证： 满分解答 (1)连接 图所示，在 ， E、 F 分别为 中点， 则 平面 面 平面 6 分 ) (2) 平面 又 平面 面 B B， 平面 又 面 又 12 分 ) 老师叮咛：本题失分原因主要有两点：一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由 直接得出 平面 是线面位置关系的证明思路出错，如本题第 (2)问的证明，缺乏转化的思想意
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