最小的一位数是谁

6222 6001 1000 6555 903 周震清 226 最小的一位数 江苏盐城市迎宾路小学（224001）卞恩鸿 最小的一位数，目前争论较多，有人认为是 1，有人认为是 0，还有人认为是-9。在网上搜 索“最小的一位数” ，发现讨论非常激烈。笔者也有意加入讨论者的行列。现将大家的观 点与拙见提出来，与各位商榷。敬请批评指正！ 观点一 “最小的一位数是 1” “最小的一位数是 1”这个观点占主要潮流，因为这是一种规定，一种约定俗成，一种思 维定势。 网友 A 认为，要回答“最小的一位数几 ”这个问题，必须弄明白“位数”的含义。简单地 说， “位数”指的是一个数所占数位的个数。例如：9 是一位数；20 是两位数；572 是三位 数。由于我们是在自然数范围内研究位数的，因此可以说：一个自然数含有几个数位就是 几位数。现在，你知道最小的一位数是几了吗?当然是“1” ，而不是“0” ，因为 0=000(m 个)有“任意位” 。 但是，网友 B 认为应当这样说：最小的个位数是 1。 网友 C 说，从历史上看，国内外数学界对于 0 是不是自然数历来有两种观点：一种认为 0 是自然数，另一种认为 0 不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包 括 0。目前，国外的数学界大部分都规定 0 是自然数。为了国际交流的方便，1993 年颁布 的中华人民共和国国家标准 （GB31003102-93） 量和单位 （11-2.9）第 311 页，规定 自然数包括 0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，我们的教材研究编写人员根 据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。但是，在小 学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数 0，因而在约数、倍数等概念中都不包括 0。另 外，一般情况下我们不说数 0 是几位数，所以最小的一位数是 1。 网友 D 认为应该是 1 而不是 0：数论对“几位数”的定义：“只用一有效数字表示的数， 叫做一位数；只用两个数字，其中左边第一个数字为有效数字表示的数，叫做两位 数”可见 0 不能称为一位数。如果 0 是一位数，那么就有最小的两位数是 00，最小的 三位数是 000，显然 0 不能称为一位数。0 在多位数中也只占数位。 网友 E 认为，1 是最小的一位数，因为在说几位数的时候，一般不考虑 0（见六年制第八 册教参） 。0 是一个特殊的数，经常要对它进行单独讨论，即使在高等数学中也是如此。 网友 F 最小的一位数我认为是 1。这样就不会有最小的两位是 00 的说法。我觉得编辑们最 好能把各册的知识内容相联系，并联系中学内容以及更远下定义。随着学龄的加长，数学 的概念内含会加大。 网友 G 认为，最小的自然数是 0，最小的一位数是 1。 网友 H 虽然赞同最小的一位数是 1，但觉得用上面的论证方法不是很好。他是这样想的： 在最小的一位数是 1 的规定下，一位数有 9=9100(1-1)个；两位数有 90=9101(2-1)个； 三位数有 900=9102 (3-1)个；这样很有美感。如果一位数有 10 个，就不和谐了。 笔者认为， “最小的一位数可以是 1”。 但应该这样说：“在正整数范围内，最小的一位数 是 1”。因为整数分为正整数、0、负整数，以前小学数学只研究正整数，而现在小学数学 学习负整数了。 观点二“最小的一位数是 0” “最小的一位数是 0”这个观点是一种新潮流、新思想，因为这是源于 “0 归入自然数队 伍” ，源于“0 是最小的自然数” 。它是一种创新，一种改革。 网友 I 不同意网友 A 的观点。他反问：因为 0=000(m 个) ，有“任意位” 。这个结论成立 吗?他认为：0，是数，但 000 是数吗? 他认为很多老师都把 0 的占位作用与 0 本身混淆了， 当 0 用来表示占位时可以有 0000，但作为一个数 0 时，只能写 0，就一位。他认为：0 就 是一位数。 网友 G 不同意网友 D 的观点。他说：如果最小的一位数是 0，就得出最小的两位数是 00。 最小的一位数是 1，为什么最小的两位数不是 11？ 网友 K 认为“最小的一位数是 0”。他说，人教版五年制第七册 63 页明确说：最小的一位 数是 0。 网友 L 认为 0 是最小的自然数，因此觉得“最小的一位数是 0”。 网友 M 反问：0 是数吗？0 是自然数吗？0 是最小的自然数吗？答案都是肯定的。0 如果不 是一位数，那时几位数？ 网友 N 认为 0 既是整数又是自然数也是偶数，它也是最小的一位数。 网友 O 说，要回答“最小的一位数是几 ”这个问题，先请大家回答：在小学的范围里面， 你们先数 1 还是先数 0？大家肯定回答：1。他认为，其实大家忘记了一个数字：0。0 距离 0 点是最近的。而任何一个不是 0 的数字（包括小学将接触的负数）都和 0 保持一定的距 离。通过距离 0 点的远近（在初中 0 叫做原点，它是正负数的分界点）来判定一个数字的 大小，所以他个人认为：0 是最小的数字。 笔者认为， “最小的一位数可以是 0”。但应该这样说：“在自然数范围内，最小的一位数 是 0”。 问题是，这样规定需要修改以前关于 0 的叙述。其实，没有必要规定“最小的一 位数是 0”，只要在学习自然数时告诉学生“0 是最小的自然数”就可以了。 观点三“最小的一位数是-9” “最小的一位数是-9”这个观点是一种新趋势，目前不占主要潮流。这个观点只是源于 “0 归入自然数队伍” 、 “0 是最小的自然数” ；源于小学数学学习“负数” 。它不是一种创新， 充其量一种改革。它打破了一种规定，打破了一种约定俗成，打破了一种思维定势。 网友 P 说：0 的意义有两个，一是表示开始，二是表示没有；0 的作用也有两个，一是占 位，二是分界。我们能不能从 0 的意义与作用入手研究最小的一位数呢？其实，网友 P 这 样说，是不同意“最小的一位数是 1” 和“最小的一位数是 0”这两种观点，而是认为 “最小的一位数是-9” 。 网友 Q 说：20 年前，小学数学教科书告诉学生 “0 是最小的整数” 。后来，为了知识的准 确性，小学数学教科书告诉学生“整数的个数是无限的，没有最大的整数，也没有最小的 整数” 。现在，为了知识的准确性，小学数学教科书应该告诉学生“最小的一位数是-9” 。 笔者认为， “最小的一位数是-9” 。问题是，这样规定需要修改以前小学里关于 0 的叙述。 其实完全有必要修改，因为新课程标准实验教材在小学就已安排“负数”的内容。为了教 材体系的完整性，为了教学内容的连续性，应该规定：0 是一位数，0 有占位作用，但不可 以占数的第一位。 其实，根据现在的小学数学教科书里“数位”与“位数”的定义， “0 是一位数” 。 1 是一 位数，0 比 1 小，0 就不可能是两位数，因为两位数比一位数大。0 占有数位，一个 0 占有 一个数位，几个 0 占有几个数位，不过规定“0 不占左起第一个数位（最高位） ”。0 是一个 数，一个 0 占有一个数位，又不是两位数，0 只能是一位数。 “最小的一位数是-9” 。我们就可以这样说：最大的一位数是 9，最小的一位数是-9 ；最大 的两位数是 99，最小的两位数是-99；最大的三位数是 9，最小的三位数是-999 ；最大的四 位数是 9，最小的四位数是-9999；这样是不是很有美感？让学生体会数学中的美感， 激发学生学习数学的兴趣。 怎样处理好“最小的一位数是 1”与“最小的一位数是-9”？在教学正整数时（没有学习 负整数） ，告诉学生最大的一位数、两位数、不提最小的几位数，只是告诉学生待以后 学习到再说。或者，告诉学生：“大于 0 的整数中，最大的一位数是 9、最大的两位数是 99、最小的一位数是 1、最小的两位数是 10、”在学习负整数时，告诉学生： “整数中，最大的一位数是 9、最大的两位数是 99、最小的一位数是-9、最小的两位 数是-99、” 数学辞典关于位数的解释：【位数】在一个自然数中数字的个数是几（其最左端的数字不 是 0） ，这个数就叫做几位数。例如：用一个数字记出的数（不是 0） ，叫做一位数 （1，4，9） ；用二个数字、三个数字、记出的数（其最左端的数字不是 0） ，就分别叫 做二位数（如 10，86） 、三位数（如 100，523）等等。笔者认为，数学辞典关于位数的解 释，应这样修改：【位数】在一个整数中数字的个数是几（多位数其最左端的数字不是 0） ， 这个数就叫做几位数。例如：用一个数字记出的数，叫做一位数（0；1，-1；4，- 4；） ；用二个数字、三个数字、记出的数（其最左端的数字不是 0） ，就分别叫做 二位数（如 10，-10；86，-86；） 、三位数（如 100， -100；523，-523；）等等。 【作者简介】卞恩鸿（1973- ） ，男，江苏盐城人，盐城市迎宾路小学副校长，中国教育 学会会员，主要研究小学数学教育教学与学校管理。 最小的一位数到底是“0”还是“1”？ 本人有幸于 6 月 4 日参加了南平市 2007 年课程改革（数学科）骨干教师培 训，聆听了北京教育科学研究院陶文中教授关于“促进学生有效学习的教学策 略”的精彩讲座。并于 5 日下午与专家陶教授零距离互动时，一位老师提出： 最小的一位数是几？专家的回答是：“0”（本人的朦胧印象是“1”），笔者 深感疑惑，为此回认真查阅了相关资料，现整理如下，与各位同仁一同探讨、 交流： 观点 1： 从定义上理解。（1）位数：一个整数含有数位的数目叫做位数。含有一个 数位的数叫做一位数。（曹世光、刘国才等编小学教师数学实用手册P19）。 （2）位数：指一个自然所含有数位的个数。用一个非零数字所表示的数叫做一 位数（梁宗元主编小学数学易混概念辨析 100 例）。（3）关于“0”的认 识：基本意义是表示没有，同时也表示数位上一个单位也没有。还可以表示起 点、界线等（邱学华主编小学数学研究P360）。从定义（2）中显而易见， 0 不是一位数，最小的一位数是 1。定义（1）和定义（2）并不矛盾，他们都着 重强调了“数位”，而数位最小的计数单位是“1”，那么含有一个数位的最小 的数也是“1”，不是“0”。从定义（3）也可知“0”虽然是最小的自然数， 但它的基本意义是表示没有，倘若最小的一位数是 0，岂不是没有数位，又哪 来“一位数”呢？由此看来，最小的一位数是“1”而不是“0” 观点 2： 从学生认知特点分析。学生认识数，建立数感是从实物抽象到数，在物、 数一一对应的基础上才认识“1、2、3”。“0”作为一个特殊的数，是在 学习计算时才出现的，学生头脑中的一位数，自然是非零的一个数字，两位数 就是两个数字（十位上不是 0）。数学应来源于生活，要用数学解决生活问题， 应尊重学生直观认识事物的规律，充分利用儿童生活经验。最小的一位数应是