2013年全国高考数学 试题分类汇编（打包19套）
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2013年全国高考数学 试题分类汇编（打包19套）,全国,高考,数学,试题,分类,汇编,打包,19
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- 1 - 2013年全国高考理科数学试题分类汇编 4：数列 一、选择题 1 （ 2013 年高考上海卷（理） 在数列21,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 j 列的元素,i j i j i ja a a a a ,(1, 2 , , 7 ; 1, 2 , ,12)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 ( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 【答案】 A. 2 （ 2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理） 校对） 已知数列3 0, 3a a ,则0 项和等于 (A) 106 1 3(B) 101 139 (C) 31(D) 1031+3【答案】 C 3 （ 2013 年高考新课标 1（理）设n n 三边长分别为,b c,面积 为,2,3,若1 1 1 1 1,2b b c a ,1 1 1,22n n n nn n n nc a b aa a b c ,则 ( ) A.递减数列 B.递增数列 C.递增数列 ,递减数列 D.递减数列 ,递增数列 【答案】 B 4 （ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 函数=()yf 在区间 ,2)不同的数12, ., ,nx x ( ) ( )= = ,x f xx x x则 (A) 3,4(B) 2,3,4(C) ,5(D)2,3【答案】 B 5 （ 2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 已知等比数列 2 - 的公比为 q,记( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ). ,n m n m n m n mb a a a *( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ). ( , ) ,n m n m n m n mc a a a m n N 则以下结论一定正确的是 ( ) 公比为 【答案】 C 6 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学（理）（纯 含答案）等比数列和为知123 10,95a,则 1 (A)31(B)31(C)9(D)91【答案】 C 7 （ 2013年高考新课标 1（理）设等差数列和为11, 2 , 0 , 3n m m S S ,则m( ) 答案】 C 8 （ 2013年普通高等 学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ 下面是关于公差0d的等差数列 1 : 是 递 增 数 列 ； 2 : np 是 递 增 数 列 ；3 : n数 列 是 递 增 数 列 ； 4 :3na 列 是 递 增 数 列 ；其中的真命题为 (A)12,)34,(C)23,)14,【答案】 D 9 （ 2013年高考江西卷（理）等比数列 x,3x+3,6x+6,. 答案】 A 二、填空题 10（ 2013年高考四川卷（理）在等差数列218,且4求数列差及前 项和 . 【答案】解 :设该数列公差为d,可得 - 3 - 21 1 1 12 2 8 , 3 8a d a d a d a d . 所以 114 , 3 0a d d d a , 解得1 4, 0,或1 1 3,即数列,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前232n 11（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学（理）（纯 含答案）等差数列和为 知10 150, 25,则_. 【答案】4912（ 2013年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 ,3,6,10, 第 角 形 数 为 21 112 2 2nn . 记第 数 为 ,3k,以下列出了部分数的表达式 : 三角形数 211,3 22N n n n正方形数 2,4N n n五边形数 231,5n n n六边形数 2,6 2N n n ,由此计算 10,24N _. 选考题 【答案】 1000 13（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 在正项等比数列215a,376 满足nn 2121 的最大正整数_. 【答案】 12 14（ 2013年高考湖南卷（理） 设1( 1) , ,2a n N 则 (1)3a_; (2)1 2 100S S _. 【答案】116;10011( 1)3215（ 2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 当,1x R x时 , - 4 - 有如下表达式 :2 11 . . x x x 两边同时积分得 :1 1 1 1 122 2 2 2 20 0 0 0 011 . . x dx x dx x dx 从而得到如下等式 :2 3 11 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) . ( ) . l n 2 3 2 1 2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法 ,计算 : 0 1 22 3 11 1 1 1 1 1( ) ( ) . ( ) _2 2 3 2 1 2n nn n n C C 【答案】113( ) 112 16（ 2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）已知1 1a,公差0d,和 ,若1 2 5,a a 则8 _S 【答案】6417（ 2013年上海市春季高考数学试卷 (含答案 )）若等差数列的前 6项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前_. 【答案】257668（ 2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 在等差数列已知3810,则3 _. 【答案】2019（ 2013年高考陕西卷（理） 观察下列等式 : 21 1222 3 2 2 22 632 2 2 21 2 43 10 照此规律 , 第 _)1(2)121 （_. 【答案】)1(2)121 （20（ 2013年高考新课标 1（理） 若数列 前 n=2133 数列 通项公式是_. - 5 - 【答案】( 2)n. 21（ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 如图 ,互不 , , B 的两条边上 ,所有且所有梯形11n n n 的面积均相等 a若1, 2,则数列【答案】*,23 n 22（ 2013年高考北京卷（理）若等比数列 足 a2+0,a3+0,则公比 q=_;前n 项和 _. 【答案】 2,1n 23（ 2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ 已知等比数列和 ,若13方程2 5 4 0 的两个根 ,则6S_. 【答案】 63 三、解答题 24（ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 设函数222 2 2( ) 1 ( , )23n x xf x x x R n ,证明 : () 对每个存在唯一的2 ,13,满足( ) 0 ( )对任意 () 中n n n . 【答案】 解 : () 22423222 4321)(0 是单调递增的时，当是 也是 011)1(,01)0( nn - 6 - 010)(,1,0( 321 ，且满足存在唯一 1 14111412221)(,)( 2122242322 时当 1,320)23)(2(1141)(02 对每个存在唯一的2 ,13,满足( ) 0(证毕 ) () 由题知04321)(,01 22 42 32 2 0)()1(4321)( 2212242322 上式相减 :22122423222242322)()1(432432 ）（）（ 2212244233222)()1( . 法二 : - 7 - 25（ 2013 年高考上海卷（理） (3 分 +6 分 +9 分 )给定常数0c,定义函数( ) 2 | 4 | | |f x x c x c ,数列1 2 3, ,a a ( ),f a n N . (1)若1 2 ,求22)求证 :对任意* 1, a a c ,; (3)是否存在1,使得12, , ,na 若存在 ,求出所有这样的1a,若不存在 ,说明理由 . 【答案】 :(1)因为0c,1 ( 2) ,故2 1 1 1( ) 2 | 4 | | | 2a f a a c a c , 3 1 2 2( ) 2 | 4 | | | 10a f a c a c c (2)要证明原命题 ,只需证明()f x x c对任意成立 , - 8 - ( ) 2 | 4 | | |f x x c x c x c x c 即只需证明2 | 4 | | | +x c x x c 若0,显然有2 | 4 | | | + =0x c x c x c 成立 ; 若,则| 4 | | | + 4x c x c x c x c x c 显然成立 综上 ,()f x x c恒成立 ,即对任意的*1a c (3)由 (2)知 ,若则公差0,故 总有0时 ,1 ( ) 2( 4) ( ) 8n n n n nf a a c a c a c 即8故2 1 1 1 1( ) 2 | 4 | | | 8a f a a c a c a c , 即1 1 12 | 4 | | | 8a c a c a c , 当1 0时 ,等式成立 ,且2n时 ,0此时满足题意 ; 若1,则11| 4 | 4 8c a c , 此时 ,230 , 8 , , ( 2) ( 8 )na a c a n c 也满足题意 ; 综上 ,满足题意的1的取值范围是 , ) 8 . 26（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 本小题满分 10分 . 设数列 1 2 2 , 3 , 3 , 3 4 4 4 4 ， - ， - ， - ， - ， - ， - ， ，1） ， ， （ ）, 即当 22k k k （ ） （ ） 时 ,11 （ -）,记12S a a a ,对于,定义集合 a n N n l 是 的 整 数 倍 ， ， 且(1)求集合 11 (2)求集合2000 【答案】本题主要考察集合 计数原理等基础知识 ,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力 . (1) 解 : 由数列 义得 :11a,22 a,3a,34a,5,36a,47 ,8a,49 a, - 9 - 410 a,511a11S,12S,33S,04S,35S,66S,27S,28 S,69 S, 1010 ,511 111 , 440 ,55 1S,66 2 , 11111 集合 11 (2)证明 :用数学归纳法先证)12()12( 当13)12(13)12( SS 假设 当等式 成立 ,即)12()12( 则 :1i,时 , 2222)12(32)(1(1)1(2)1( )22()12()12()22()12( 2)(1()352(2 得 :)12()12( )1)(12()12()12()12( 2212(12)1( 12( (的倍数 而)12,2,1(1212)(1( ,所以)12()12()12( )12,1(12)(1( 的倍数 又)12)(1(12)1( 而)22,2,1)(22(12)(1( 所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1( 2,2,1(12)(1( 的倍数 故当)12( 集合 ）（于是当）（ 12( 集合 10 - 又471312312000 ）（故集合27（ 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理） 试题（纯 在公差为已知101,且321 5,22, 成等比数列 . (1)求 (2)若0d,求.| 321 【答案】解 :() 由已知得到 : 2 2 22 1 3 1 1( 2 2) 5 4( 1 ) 50( 2 ) ( 11 ) 25 ( 5 )a a a a d a d d d 22 41121 22 125 25 3 4 04 6 11d d d da n a n 或; () 由 (1)知 ,当0d时 ,11, 当1时 , 1 2 3 1 2 3 ( 10 11 ) ( 21 )0 | | | | | | | | 22n n n n n n na a a a a a a a a 当12n时 , 1 2 3 1 2 3 11 12 1321 2 3 11 1 2 30 | | | | | | | | ( )11 ( 21 11 ) ( 21 ) 21 2202( ) ( ) 22 2 2n n a a a a a a a a a a an n n na a a a a a a a 所以 ,综上所述 :1 2 3 2( 21 ), ( 1 11 )2| | | | | | |21 220, ( 12)2a a ; 28（ 2013年高考湖北卷（理）已知等比数列2310,1 2 3 125aa a . (I)求数列 (否存在正整数m,使得121 1 1 1ma a a ?若存在 ,求若不存在 ,说明理由 . - 11 - 【答案】解 :(I)由已知条件得 :2 5a,又2 1 10,13q 或, 所以数列(1q,121 1 1 1 05ma a a 或,不存在这样的正整数m; 若3q,1 1 9 1 9110 3 10a ,不存在这样的正整数 . 29（ 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设等差数列4242 21. () 求数列 () 设数列n 项和为 12(为常数 )*()求数列【答案】解 :() 设等差数列差为d, 由4,2得 11114 6 8 4( 2 1 ) 2 2( 1 ) 1a d a da n a n d , 解得 ,1 1a,221*() 由题意知 :12n 所以2n时 ,1 12122n n n T 故 ,12 212 2 1( 1 )( )24 b n *以0 1 2 3 11 1 1 1 10 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( 1 ) ( )4 4 4 4 4 , - 12 - 则1 2 3 11 1 1 1 1 10 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( )4 4 4 4 4 4n n 两式相减得1 2 3 13 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )4 4 4 4 4 4 11()144 ( 1)( )1 414 整理得11 3 1(4 )94所以数列数列 1( )30（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 本小题满分 16 分 公差为( d,和 .记 n2,*其中 (1)若0c,且 421，成等比数列 ,证明 :(*, ); (2)若证明 :0c. 【答案】证明 :公差为( d,和 n 2 )1( (1)0c 1 421，成等比数列 4122 )23()21 2 04121 2 )21(2 d1n 222 )1(2 )1( 左边 =22)( 右边 =k 22 左边 =右边 原式成立 (2) 设公差为 1d,11 )1( 带入 2得 : - 13 - 11 )1( 2)()21()21( 11121131 对 0)(0021021111111 式得 :11 0d 01 式得 :0证 :(1)若 ,则1( ,2 2)1( n ,2 2)1( . 当 421，成等比数列 , 4122 , 即 : 232 2 :2 ,又0d,故. 由此 :,22)( ,k 222. 故 :n(*). (2) 22222)1(, 2222)1(22)1(22)1( 2 22)1(221(. () 若则型 . 观察 () 式后一项 ,分子幂低于分母幂 , 故有 :022)1(2 02 2)1( 2 2)1( 0, 故0c. 经检验 ,当 时 - 14 - 31（ 2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理） 校对）等差数列和为知232=1 2 4,S S 求 【答案】 32（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知首项为32的等比数列 其前 n 项和为( *)nS nN, 且 () 求数列 ( ) 设*( )1 N, 求数列 【答案】 - 15 - 33 （ 2013 年 高 考 江 西 卷 （ 理 ） 正 项 数 列 的 前 项 和 满足 :2 2 2( 1 ) ( ) 0n n s n n (1)求数列 通项公式 (2)令221( 2) ,数列 前 对于任意的*都有564答案】 (1)解 :由2 2 2( 1 ) ( ) 0S n n S n n ,得2( ) ( 1) 0S n n S . 由于所以20, S n n . 于是112, 2a S n 时 ,221 ( 1 ) ( 1 ) 2n n S n n n n n . 综上 ,数列 (2)证明 :由于2212, ( 2)b . 则2 2 2 21 1 1 14 ( 2) 16 ( 2)nb n n n n . 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1116 3 2 4 3 5 ( 1 ) ( 1 ) ( 2)nT n n n n - 16 - 2 2 2 21 1 1 1 1 1 51 (1 )16 2 ( 1 ) ( 2) 16 2 64 . 34（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 ）设数列a,212 1233n nS a n ,*nN. () 求2 () 求数列 () 证明 :对一切正整数 ,有121 1 1 74na a a . 【答案】 .(1) 解 : 212 n nS a n ,. 当1n时 ,1 1 2 2122 2 1 233a S a a 又1a,2 4a(2)解 : 21n nS a n ,. 3211121223 3 3n n nn n nS na n n n 当2n时 , 1 1121 3nn n n nS n a 由 , 得 112 1 1n n n na n a n n 12 2 2n n S 12 1 1n n na na n a n n 1 11 数列是以首项为1 11a,公差为 1的等差数列 . 21 1 1 , 2n na n a n 当1n时 ,上式显然成立 . 2*,na n n N (3)证明 :由 (2)知 ,2*,na n N 当1n时 ,171 4,原不等式成立 . - 17 - 当2n时 , 121 1 1 71 44 ,原不等式亦成立 . 当3n时 , 2 2111 1 , 11n n n n n n 2 2 2121 1 1 1 1 1 1 1 1 111 2 1 3 2 4 2 1 1na a a n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 2 2 1 1n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 3 2 4 3 5 2 1 1n n n n 1 1 1 1 1 7 1 1 1 71 2 1 2 1 4 2 1 4n n n n 当3n时 , 原不等式亦成立 . 综上 ,对一切正整数n,有121 1 1 74na a a . 35（ 2013年高考北京卷（理）已知 由非负整数组成的无穷数列 ,该数列前 n,第 2,的最小值记为 Bn, (I)若 2
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