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高考 数学 平面 向量 模块 跟踪 训练 打包

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- 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 平面向量 一、选择题 (85 40 分 ) 1下列命题是假命题的是 ( ) A对于两个非零向量 a、 b，若存在一个实数 k 满足 a a、 b 共线 B若 a b，则 |a| |b| C若 a、 b 为两个非零向量，则 |a b| |a b| D若 a、 b 为两个方向相同的向量，则 |a b| |a| |b| 答案： C 解析：由共线向量和相等向量的定义知 A、 B 正确；由加减法的几何意义知 D 正确， C 错误 2若 O、 E、 F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) 命题意图：本题考查向量加减法的基础运算能力 答案： B 解析：由向量的运算法则得 . 3已知 O、 A、 B 是平面上的三个点，直线 有一点 C，满足 2 0，则 ( ) A 2 B 2 13 D 13 23 答案： A 解析： 2 2( )， 2 . 4在平行四边形 ， 于点 O， E 是线段 中点， 延长线与 C a， b，则 ( ) 12b 23b 14b 13b 答案： D 解析： a 23 a 13(b a) 23a . 5若 足 | | |，则 形状必定为 ( ) A等腰 直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 答案： B 解析： 足 | | |， 由矩形的对角线相等且互相平分可知： 形状必定为直角三角形 故选 B. 6设 P 是 在平面内的一点， 2，则 ( ) 0 0 - 2 - 0 0 答案： C 解析：解法一：由向量加法的平行四边形法则易知， 与 的和向量过 中点，长度是 中线长的二倍，结合已知条件可知 P 为 中点，故 0，故选 C. 解法二： 2， 0，即 . 7 已知 D 为 上一点，若 2， 13 ，则 ( ) 13 D 23 答案： A 解析：在 ， ， ， 13 13( ) 13 23. 又 13 ， 23. 8 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ()， (0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 ( ) A外心 B垂心 C内心 D重心 答案： D 解析：由 ( ) ( )， (0 ， ) ， () P 在 中线上故点 P 的轨迹通过 重心故选 D. 二、填空题 (45 20 分 ) 9化简： (1) _； (2) _； (3)( ) ( ) _. 答案： ， ， 0. 解析：考查向量的加减法运算运用三角形法则时，注意：求和向量时，应 “ 始终相接，始指向终 ” ；求差向量时，应 “ 同始连终，指向被减 ” (1) . (2) . (3)解法一： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 解法二： ( ) ( ) ( ) ( ) 0. 解法三：设 O 为平面内任意一点，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - 3 - 0. 总结评述： (1)用三角形法则化简有向线段表达式时，要注意观察哪些有向线段是 “ 始终相接 ” ，哪些有向线段是 “ 同始点 ” ，始终相接时用加法，和向量是 “ 始终向量 ” 10如图，在 ，点 O 是 中点过点 O 的直线分别交直线 不同的两点 M、 N，若 ， ，则 m n 的值为 _ 答案： 2 命题意图：考查平面向量基本定理 解析： 12( ) ， M、 O、 N 三点共线， 1， m n . 11 (2009 西安地区八校联考 )在 ，已知 P 是 上一点， 2， 13 ，则 _. 答案： 23 解析： ， ， 2， 2 2( )3 2，于是 13 23. 12 (2009 江苏扬州一模 )已知在平面上不共线的四点 O、 A、 B、 C，若 3 2 0，则 | _. 答案： 2 解析：由题意得， 3 2， 13 23， 所以 13 23. 所以 23( ) 23， 所以 与 共线， 所以 | 21 2. 三、解答题 (410 40 分 ) 13如图，已知 ，点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点， D 在 ，且 2， 于 E，设 a， b. - 4 - (1)用 a 和 b 表示向量 、 ； (2)若 ，求实数 的值 解析： (1)由条件可得， 2， 2 2a 23 23b (2a b) 2a 53b， 2a 53b. (2)设 ， 2a b m( 2a 53b) (2 2m)a (53m 1)E a， 2 2m 53m 1 0，解得 m 35 45，故 45. 14如图所示，在 ，点 M 是 中点，点 N 在 ，且 2 交于点 P，求 M 的值 解析：方法一：设 ， ， 则 3 2因为 A、 P、 M 和 B、 P、 N 分别共线，所以 存在实数 、 ， 使 3 2 ( 2 )(3 ) 另外 23 2 23 3 ， 45 35， 45， 35， M 方法二：设 ， 12( ) 12 34， 2 34 . - 5 - B、 P、 N 三点共线， t( )， (1 t) 2 1 t， 2 34 1， 45， M 15设 a、 b 是不共线的两个非零向量， (1)若 2a b， 3a b， a 3b，求证： A、 B、 C 三点共线； (2)若 8a 2b 共线，求实数 k 的值 解析： (1) (3a b) (2a b) a C (a 3b) (3a b) 2a 4b2， 与 共线，且有公共端点 B， A、 B、 C 三点共线 (2)8 a 2b 共线， 存在实数 使得 (8a (2b)(8 k )a (k 2 )b 0， a 与 b 不共线， 8 k 0k 2 0 ， 8 22 2 ， k 2 4. 16如图，在 ， B ， C ， 于 P 点，且 a， b.用 a， b 表示 . 解析：由题意知： 13 13a， 14 14b， 14b a， 13aN ， ，则 4b a， 3a b， 14b ( 4b a) a 1 4 b， 13a ( 3 a b) 1 3 a b 而 ， a 1 4 b 1 3 a b 而 a， b 不共线 1 3 且 1 4 . P 311a 211b. - 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 平面向量 一、选择题 (85 40 分 ) 1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A (0,0)， (1， 2) B ( 1,2)， (5,7) C (3,5)， (6,10) D (2， 3)， (12， 34) 答案： B 解析： A 中 0，所以 B 中， 25 7( 1) 170 ，故 C 中， 2 D 中， 4 2设平面向量 a (3,5)， b ( 2,1)，则 a 2b ( ) A (7,3) B (7,7) C (1,7) D (1,3) 答案： A 解析： a 2b (3,5) 2( 2,1) (3,5) ( 4,2) (7,3)故选 A. 3已知向量 a (8 12x， x)， b (x 1,2)，其中 x0，若 a b，则 x 的值为 ( ) A 8 B 4 C 2 D 0 答案： B 解析： a b， (8 12x)2 x(x 1) 0，即 16. x0， x . 4向量 a (1， 2)，向量 b 与 a 共线，且 | |b 4| |a ，则 b 等于 ( ) A ( 4,8) B ( 4,8)或 (4， 8) C (4， 8) D (8,4)或 (4,8) 答案： B 解析： b 与 a 共线 b a ( ， 2 ) 又 | |b 4| |a 2 ( 2 )2 161 ( 2)2， 即 2 16， 4. b (4， 8)或 ( 4,8) 5在平行四边形 ， 一条对角线，若 (2,4)， (1,3)，则 ( ) A ( 2， 4) B ( 3， 5) C (3,5) D (2,4) 答案： B 解析：在 ， (1,3) (2,4) ( 1， 1)，而 ( 1， 1) (2,4) ( 3， 5)，故选 B. 6 (2008 广东四校联考 )向量 a (1,2)， b ( 2,3)，若 a 2b 共线 (其中 m，n R 且 n0) ，则 - 2 - ( ) A 12 2 D 2 答案： A 解析： (m 2n,2m 3n)， a 2b ( 3,8)， a 2b 共线， 8( m 2n) 3(2m 3n) 0，即 14m 7n. 12. 7 (2009 广东， 3)已知平面向量 a (x,1)， b ( x， 则向量 a b ( ) A平行于 x 轴 B平行于第一、第三象限的角平分线 C平行于 y 轴 D平行于第二、四象限的角平分线 答案： C 解析： a b (0,1 a b 平行于 y 轴，故选 C. 8已知向量集合 M a|a (1,2) (3,4)， R， N a|a ( 2， 2) (4,5)， R，则 M N ( ) A (1,1) B (1,1)， ( 2， 2) C ( 2， 2) D 答案： C 解析： M a|a (1 3 ， 2 4 )， R (x， y)|4x 3y 2 0 N a|a ( 2 4 ， 2 5 )， R (x， y)|5x 4y 2 0 M N(x， y)|4x 3y 2 05x 4y 2 0 ( 2， 2) . 二、填空题 (45 20 分 ) 9已知点 A(1， 3)和向量 a (3,4)，若 2a，则点 B 的坐标为 _ 答案： (7,5) 解析： 2a (6,8)； (1， 3) (6,8) 7， 5， 点 B 的坐标为 (7,5) 10 (2009 江西， 13)已知向量 a (3,1)， b (1,3)， c (k,7)，若 (a c) b，则 k_. 答案： 5 解析： a c (3 k， 6)， b (1,3) ( a c) b， 3(3 k) ( 6)1 0k 5. 11 (教材改编题 )已知点 A(2,3)， B(5,4)， C(7,10)，若 ( R)，则当点P 在第三象限时， 的取值范围是 _ 答案： ( ， 1) 解析：设点 P(x， y)，则 (x 2， y 3)， 又 (3,1) (5,7) (3 5 ， 1 7 )， ( x 2， y 3) (3 5 ， 1 7 )，即 x 2 3 5 ，y 3 1 7 ， 又 点 P 在第三象限， - 3 - x 5 5 0y 4 7 0 解得 1. 12 (2009 菏泽模拟 )已知向量 m (a 2， 2)， n ( 2， b 2)， m n(a 0， b 0)，则 最小值是 _ 答案： 16 解析：由已知 m n 可得 (a 2)(b 2) 4 0， 即 2(a b) 0， 4 ，解得 或 ( 舍去 )， 6. 所以 最小值为 16. 三、解答题 (410 40 分 ) 13已知点 A( 1,2)， B(2,8)以及 13， 13，求点 C、 D 的坐标和 的坐标 思路点拨：根据题意可设出点 C、 D 的坐标，然后利用已知的两个关系式，得到方程组，求出坐标 解析：设点 C、 D 的坐标分别为 ( ( 由题意得 (1， 2)， (3,6)， ( 1 ( 3， 6) 因为 13， 13， 所以有 1 1，2 2 和 1 1，2 2. 解得 0，4， 和 2，0. 所以点 C、 D 的坐标分别是 (0,4)、 ( 2,0)， 从而 ( 2， 4) 方法技巧：利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程 (组 )进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的始点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标 本题亦可先对向量进行坐标运算，可得 (1,2)，由此求得点 C、 D 的坐标和 的坐标 14已知 a (3,2)， b ( 1,2)， c (4,1) (1)求满足 a 实数 x， y 的值； (2)若 (a (2 b a)，求实数 k 的值 思路点拨：向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，使向量的运算代数化平面向量 与点 A(x， y)之间建立了一一对应关系对 (x， y)， (x， y)是一个整体，向量的许多运算都可以用这个 “ 整体 ” 来解决 解析： (1) a (3,2) x( 1,2) y(4,1) ( x 4y,2x y) x 4y 3，2x y 2， 解得 x 59，y 89. (2)( a ( 2b a)， 且 a (3,2) k(4,1) (3 4k,2 k)， 2b a 2( 1,2) (3,2) ( 5,2)， 2(3 4k) ( 5)(2 k) 0，解得 k 1613. - 4 - 方法技巧：本题主要考查向量的坐标运算以及向量相等、向量平行的充要条件两向量相等与平行的充要条件分别是：设 a ( b (则 a ba b(b0)0. 15 (2007 日本东京工科大学 )平面内给定三个向量 a (3,2)， b ( 1,2)， c (4,1)，回答下列问题： (1)求 3a b 2c； (2)求满足 a 实数 m、 n； (3)若 (a (2 b a)，求实数 k； (4)设 d (x， y)满足 (d c)( a b)且 |d c| 1，求 d. 分析：熟悉向量的线性运算，直接用坐标运算求解 解析： (1)3a b 2c 3(3,2) ( 1,2) 2(4,1) (9,6) ( 1,2) (8,2) (9 1 8,6 2 2) (0,6) (2) a (3,2) m( 1,2) n(4,1) ( m 4n,2m n) m 4n 3，2m n 2. 解之得 m 59，n 89.(3)( a (2 b a)， 又 a (3 4k,2 k),2b a ( 5,2) 2(3 4k) ( 5)(2 k) 0， k 1613. (4) d c (x 4， y 1)， a b (2,4)， 又 (d c)( a b)且 |d c| 1， 4(x 4) 2(y 1) 0，(x 4)2 (y 1)2 1. 解之得 x 4 55 ，y 1 2 55 ；或 x 4 55 ，y 1 2 55 . d 20 55 ， 5 2 55 ， 或 d 20 55 ， 5 2 55 . 16已知 O(0,0)、 A(1,2)、 B(4,5)及 ，求 (1)t 为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？ (2)四边形 否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值； 若不能，请说明理由 解析： (1) (1 3t,2 3t)当 P 在 x 轴上，则 2 3t 0， t 23；若 P在 y 轴上，只需 1 3t 0， t 13；若 P 在第二象限，则 1 3 23t13. (2)因为 (1,2)， (3 3t,3 3t)若 平行四边形，则 . 3 3t 1，3 3t 2. 无解所以，四边形 能成为平行四边形 - 5 - - 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 平面向量 一、选择题 (85 40 分 ) 1 (2009 东北三校第一次联合模考 )设 a， b， c 是非零向量，下列命题正确的是 ( ) A (ab ) c a( bc ) B |a b|2 |a|2 2|a|b| |b|2 C若 |a| |b| |a b|，则 a 与 b 的角为 60 D若 |a| |b| |a b|，则 a 与 b 的角为 60 命题意图：考查平面向量的数量积的基本概念及运算律 答案： D 解析：对于选项 A、 B 可用数量积定义判断，对于选项 C、 D 可选用向量加、减法的几何意义，对于 选项 A 显然错误因向量的数量积不符合结合律 (a b)c |a| b| c，a( b c) a |b| c|其中 、 分别为 a 与 b， b 与 c 的夹角 )(ab )c 是与 c 共线的向量 a (bc )是与 a 共线的向量 对于选项 B.|a b|2 (a b)2 2a b | 2|a| b| |b|2，故 B 错 对于选项 C、 D 可用向量加、减法的几何意义如图显然 C 不正确， D 正确对于选项 设 是 a 和 b 的夹角， | a| |b|， | a b|2 (a b)2 2a b 2|a|2 2ab |a|2 12， 60 ，故选 D. 2设 a (1， 2)， b ( 3,4)， c (3,2)，则 (a 2b) c ( ) A ( 15,12) B 0 C 3 D 11 答案： C 解析： a 2b (1 6， 2 8) ( 5,6)， (a 2b) c 53 62 . 3 (2009 湖北省部分重点中学高三第二次联考 )已知向量 a (1,2)， b ( 2， 4)，|c| 5，若 (a b) c 52，则 a 与 c 的夹角为 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 答案： C 解析： a (1,2)， b ( 2， 4)， a b ( 1， 2)， a 与 a b 共线且方向相反 (a b) c|a b| c| 52( 1)2 ( 2)2 512， 60 ， 180 120 ，故选 C. 4在 ，若 a， b， c 且 a b b c c a，则 形状是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 答案： D 解析：由 a b b c 得 由正弦定理得 A - 2 - C) 0， A C，同理 B C，则 形状是等边三角 形，故选 D. 5 (2009 全国 ， 6)已知向量 a (2,1)， a b 10， |a b| 5 2，则 |b| ( ) A. 5 B. 10 C 5 D 25 答案： C 解析： | a b|2 2a b |a|2 2a b |b|2 50，即 5 210 |b|2 50， | b| 5. 6 (2009 浙江， 5)已知向量 a (1,2)， b (2， 3)若向量 c 满足 (c a) b， c( a b)，则 c ( ) A (79， 73) B ( 73， 79) C (73， 79) D ( 79， 73) 答案： D 解析：设 c (x， y)，则 c a (x 1， y 2)， a b (3， 1) ( c a) b， c( a b)， 2( y 2) 3(x 1),3x y 0. x 79， y 73，故选 D. 7设 a (4,3)， a 在 b 上的投影为 5 22 ， b 在 x 轴上的投影为 2，且 |b|14 ，则 b 为 ( ) A (2,14) B (2， 27) C ( 2， 27) D (2,8) 答案： B 命题意图：本题考查运用向量投影公式解决问题的能力 解析：设 b (m， n)，则 a b|b| 5 22 ，m 2， m 2，n 27， 或 m 2，n 14. | b|14 ， b (2， 27)，故选 B. 8 (2009 宁夏、湖南， 9)已知点 O、 N、 P 在 在平面内，且 | | |， 0， ，则点 O、 N、 P 依次是 ( ) A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 答案： C 解析：由 | | | ，即点 O 到三点 A、 B、 C 的距离相等， 点 O 为 外心如图，设 D 为 上的中点，则 2. - 3 - 0， 2 0， 2， A、 D、 N 三点共线， 点 N 在 的中线上，同理点 N 也在 的中线上， 点 N 是重心 ， 0， ( ) 0， 0， ， ， 点 P 是 垂心 二、填空题 (45 20 分 ) 9 (2009 江西， 13)已知向量 a (3,1)， b (1,3)， c (k,2)，若 (a c) b，则 k_. 答案： 0 解析： a c (3 k， 1)， b (1,3) ( a c) b. 1(3 k) ( 1)3 0k 0. 10如图所示，在平行四边形 ， (1,2)， ( 3,2)，则 _. 答案： 3 解析：如图所示，设 交于点 O， 则 12 12 (12， 1) ( 32， 1) ( 1,2) 又 (1,2)， ( 1,2)(1,2) 1 4 3. 11已知 a， b，且 | |a | |b 2， 60 ，则 | |a b _； a b与 b 的夹角为 _ 答案： 2 3 6 解析： | |a b (a b)2 2ab 2 3； (a b) b ab 6，则 (a b)b| |a b | |b 62 32 32 ， 6 ，故填 2 3， 6. 12已知平面上三点 A、 B、 C 满足 | 3， | 4， | 5，则 值等于 _ 答案： 25 - 4 - 分析：本题考查平面向量数量积的计算方法，突出运算技能的考查，为了便于比较，下面给出 5 种思路 解析：思路 1： (向量数量积的定义 ) 因为 B 90 ，所以 | | C) | | A) 25. 思路 2： (向量数量积的坐标表示 )由已知三角形 边长为 3、 4、 5. 所以 B 90. 如图，以 B 为原点，建立直角坐标系，则 A， B， C 三点的坐标分别为 (3,0)， (0,0)， (0,4)，所以 (0,4)(3 ， 4) (3， 4)( 3,0) 03 4( 4) 3( 3) ( 4)0 25. 思路 3： (向量数量积的运算律 ) 因为 B 90 ，所以 0， 从而 ( ) |2 25. 思路 4： (整体配凑法 ) 受思路 3 启发，由广义对称思想出发可得如下更为一般的解法： 12( ) ( ) ( ) 12( ) 12( 32 42 52) 25. 思路 5： 因为 0， 所以 ( )2 0， 即 12(|2 |2 |2) 25. 总结 评述：思路 1,2,3 都利用了 B 90 这一条件，对向量数量积的不同理解产生了不同的思路，而思路 4 和思路 5 不仅未用到 B 90 这一条件，还揭示出了更一般的结论： 已知平面上三点 A、 B、 C 满足 | a， | b， | c，则 12( - 5 - 由于向量具有 “ 数 ” 与 “ 形 ” 的双重身份，因此其运算形式丰富多彩，独具魅力，特别是思路 4,5 不仅简化了运算，还揭示了问题的本质 若将三点改为四点，如何？研究会继续下去 以上各问题，我们都给出了若干解法，有的题目的不同解法的繁简程度大相径庭，对于数学问题，只有抓住本质，才能发现简捷、灵活的解题方法，这里有直觉和灵感，更是知识与思想方法融会贯通，是数学学习追求的 理想境界，但是，又必须指出，高考复习阶段特别是基础知识复习阶段，我们不提倡刻意追求客观题的特殊解法，只有平时的 “ 小题大做 ” ，才能取得考场上的 “ 小题巧做 ” 三、解答题 (410 40 分 ) 13设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60 ，求向量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角 解析：由 |m| 1， |n| 1，夹角为 60 ，得 m n 12. 则有 |a| |2m n| (2m n)2 44m n 7. |b| (2n 3m)2 412m n 97. 而 a b (2m n)(2 n 3m) m n 62 72， 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 a b|a| b| 727 12.故 a， b 的夹角为 120. 14已知向量 a ( 1)， b (1， ， 2 2. (1)若 a b，求 ； (2)求 |a b|的最大值 解析： (1)若 a b，则 0， 由此得 1( 2 2)， 4 ， (2)由 a ( 1)， b (1， 得 a b ( 1,1 ， |a b| ( 1)2 (1 2 3 2( 3 2 2 4 )， 当 4) 1 时， |a b|取得最大值， 即当 4 时， |a b|的最大值为 2 1. 15已知向量 (3， 4)， (6， 3)， (5 m， (3 m) (1)若点 A、 B、 C 不能构成三角形，求实数 m 应满足的条件； (2)若 直角三角形，求实数 m 的值 解析： (1)已知向量 (3， 4)， (6， 3)， (5 m， (3 m)，若点 A、 B、C 不能构成三角形，则这三点共线 (3,1)， (2 m,1 m)，故知 3(1 m) 2 m， 实数 m 12时，满足条件 (2)若 直角三角形，且 A 为直角，则 ， 3(2 m) (1 m) 0，解得 m - 6 - 74. B 为直角， ( 1 m， m)，则 ， 3( 1 m) ( m) 0，解得 m 34. C 为直角，则 ， (2 m)( 1 m) (1 m)( m) 0，解得 m 1 52 . 综上所述， m 74或 m 34或 m 1 52 . 16 (2009 湖北， 17)已知向量 a ( ， b ( ， c ( 1,0) (1)求向量 b c 的长度的最大值； (2)设 4 ，且 a( b c)，求 值 思路点拨：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力 解析： (1)解法一： b c ( 1， ， 则 |b c|2 ( 1)2 2(1 1 1 ， 0| b c|24 ，即 0| b c|2. 当 1 时，有 |b c| 2， 向量 b c 的长度的最大值为 2. 解法二： | b| 1， |c| 1， |b c| b| |c| 2. 当 1 时，有 b c ( 2,0)， 即 |b c| 2， 向量 b c 的长度的最大值为 2. (2)解法一：由已知可得 b c ( 1， ， a( b c) ) a( b c)， a( b c) 0，即 ) 由 4 ，得 4 ) ， 即 4 2 4(kZ) ， 2 2 或 2 kZ ，于是 0 或 1. 解法二：若 4 ，则 a ( 22 ， 22 )又由 b ( ， c ( 1,0)得 a( b c) ( 22 ， 22 )( 1， 22 22 22 . a( b c)， a( b c) 0，即 1， 1 平方后化简得 1) 0， 解得 0 或 1. 经检验， 0 或 1 即为所求 - 1 - 2014高考数学模块跟踪训练 平面向量 基础自测 点的仰角是 60 ,0，则 . 处望 ，从 处的俯角为，则 、的大小关系为 . (a+b+c)(a+3 三角形 . 、 B 两地的距离为 10 、 C 两地的距离为 20 测得 20，则 A、 C 两地的距离为 ， 0 ,00 车以 80 km/向 时摩托车以 50 km/向 运动开始 车的距离最小 . 例题精讲 例 1 要测量对岸 A、 取相距3、 并测得 5， 45， 0， 5，求 A、 例 2沿一条小路前进，从 ，方位角（从正北方向顺时针转到 向所成的角）是 50，距离是 3 方位角是 110，距离是 3 ,方位角是 140，距离是（ 9+33）计算出从 的方位角和距离（结果保 留根号） . 例 3 如图所示，已知半圆的直径 ，点 B 的延长线上， ，点 点 分别在 两侧，求四边形 - 2 - 巩固练习 在 0的方向 城出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 1千米，问这人还要走多少千米才能到达 量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得 ， ， CD=s，并在点 的仰角为，求塔高制造三角形支架 所示，要求 0， 长度大于 1米，且 为了使广告牌稳固，要求 长度越短越 好，求 当 短时， 少米？ - 1 - 2014高考数学模块跟踪训练 平面向量 基础自测 点的仰角是 60 ,0，则 . 答案 130 处望 ，从 处的俯角为，则 、的大小关系为 . 答案 = (a+b+c)(a+3 三角形 . 答案 等边 、 B 两地的距离为 10 、 C 两地的距离为 20 测得 20，则 A、 C 两地的距离为 答案 ， 0 ,00 车以 80 km/向 时摩托车以 50 km/向 运动开始 车的距离最小 . 答案 4370例题精讲 例 1 要测量对岸 A、 取相距3、 测得 5， 45， 0， 5，求 A、 解 如图所示，在 20， 0， D=， 5， 5， 0 . 60 26. ，由余弦定理， 得 3)2+(2 26)2 =3+2+3- =5， ( A、 例 2沿一条小路前进，从 ，方位角（从正北方向顺时针转到 向所成的角）是 50，距离是 3 方位角是 110，距离是 3 ,方位角是 140，距离是（ 9+33）并计算出从 的方位角和距离（结果保 留根号） . 解 示意图如图所示，连接 0 +(180 )=120 ,又 C=3， 0 120)21(33299 =27=33(在 60 -(70 +30 )=120 , 3+9. - 2 - 由余弦定理得 120222 )21()933(332)933(27 2 =2 629 )( ( 由正弦定理得 =2692923)933(=22. 5 ,于是 0 +30 +45 =125 所以，从 的方位角是 125， 距离为2 )62(9 例 3 如图所示，已知半圆的直径 ，点 B 的延长线上， ，点 点 分别在 两侧，求四边形 解 设 ，四边形面积为 y，则在 ，由余弦定理 得 5 y=S 1 243（ 5 =2+435. 当2，即=65时， +435. 所以四边形 + . 巩固练习 在 0的方向 城出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 的距离为 21 千米 ，问这人还要走多少千米才能到达 解 设 ， 余弦定理得 2222=21202 312120222 = 734, 而 )= =73421+21=1435, 在 正弦定理得60 6023143521=15(千米 ). 答 这个人再走 15 千米就可到达 量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得 ， ， CD=s，并在点 的仰角为，求塔高 解 在 ， - -，由正弦定理得 - 3 - 所以 在 s. 制造三角形支架 所示，要求 0， 长度大于 1米，且 为了使广告牌稳固，要求 长度越短越 好，求 当 短时， 少米？ 解 设 BC=a（ a 1） ,AB=c， AC=b， a2+将 c=a2+ 化简得 b( a 1,知 0. b=1412 4322)1( 2)1(4 3a+23+2, 当且仅当 1(4 3时，取“ =”号， 即 a=1+23时， +3. 答 2+3)米，此时， 为 (1+23)米 . 回顾总结 知识 方法 思想 课后作业 一、填空题 、 0 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和A 岛成 75视角，则 B、 海里 . 答案 B 的高度，在一幢与塔 0 的仰角为 30，测得塔基 5，那么塔 高度是 m. 答案 20(1+33) 知两座灯塔 与海洋观察站 a 灯塔 的北偏东 20，灯塔 的南偏东 40， 则灯塔 的距离为 答案 3a 向东匀速航