2014高考数学查缺补漏集中营（打包37套）
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2014高考数学查缺补漏集中营（打包37套）,高考,数学,补漏,集中营,打包,37
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- 1 - 2014 高考数学查缺补漏集中营： 三视图及空间几何体的计算问题 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为 ( ) 2如图，某几何体的正 (主 )视图与侧 (左 )视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12，则该几何体的俯视图可以是 ( ) 3一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 2 2 3 B 4 2 3 C 2 2 33 - 2 - D 4 2 33 4点 A、 B、 C、 D 均在同一球面上，其中 正三角形， 平面 26，则该球的体积为 ( ) A 32 3 B 48 C 64 3 D 16 3 5已知球的直径 4， A， B 是该球球面上的两点， 3， 30 ，则棱锥体积为 ( ) A 3 3 B 2 3 C. 3 D 1 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6一个三棱锥的正 (主 )视图和侧 (左 )视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为_ 7已知某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的体积为 _ 8在三棱锥 ， 6， 5，则该三棱锥的外接球的表面积为_ 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )已知一四棱锥 三视图 如右，求四棱锥 体积 10 (12 分 )半径为 R 的 球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面 半径为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？ 11 (12 分 )如图，已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 (1)它的外接球的体积； - 3 - (2)它的内切球的表面积 - 4 - 参考答案 1 C 如图，当俯视时， P 与 B， Q 与 C， R 与 D 重合，故选 C. 2 C 因为体积为 12，而高为 1，所以底面为一个直角三角形故选 C. 3 C 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底面边长为 2，侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成故该几何体的体积为 V 122 13( 2)2 3 2 2 33 ，故选 C. 4 A 如图所示， 三角形 外心，过 O 做 面 33 3， E 为 中点， 面 3， 2 3， R 2 3， V 43(2 3)3 32 3. 5 C 如图，由 设 中点为 M，则 面 故 13 在 ， 可求 2 3， 2， 3 52 . 由 得 32 522 3，可得 55 ， 故 1 55 ， - 5 - 13 13 3 124 3 52 55 3，故选 C. 6解析 该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为 1,2，其面积为 1212 1. 答案 1 7解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为直角梯形其面积为 12(2 1)2 3，高为 2，所以 V 1332 2. 答案 2 8解析 该三棱锥在一个长方体内，设长方体的长、宽、高分别为 a， b， c，则有 a c，25，36， 18，7. 外接球的半径为 12 12 43， S 4 12 432 43. 答案 43 9解 由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 底面是边长为 1 的正方形，侧棱 底面 2，所以 13S 四边形 C 23. 10解 取圆柱的一个轴截面 O 为球的一个大圆设圆柱的半径为 r，高为 h，侧面积为 S. 连接 H. 在 ，有 h 2 所以 S 2 2r2 4r 所以 1622 162( 162 因为这是一个关于 二次函数， 所以，当 162 162 即 r 22 R 时， S 有最大值， 最大值为 4 22 R 22 2 故当这个圆柱的底面半径为 22 R 时，它的侧面积最大，最大值是 2 11解 (1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 以 O 为 外心，即 外接圆半径就是球的半径 因为 a，所以 2a. 所以 正三角形 - 6 - 由正弦定理得， 2R 20 2 63 a， 因此 R 63 a，则 V 外接球 43 8 627 (2)设内切球的半径为 r. 作 底面于 E，作 F，连接 则有 2a 2 72 a， 所以 S 12F 12a 72 a 74 所以 S 棱锥全 4S S 底 ( 7 1)又 72 62 a， 所以 V 棱锥 13S 底 h 1362 a 66 所以 r 33 66 1 2 612 a， 所以 S 球 4 4 73 - 1 - 2014高考数学查缺补漏集中营：三角函数 一、知识整合 1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法 化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题 2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数)y A x的图象；理解图象平移变换 、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化 高 考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在 17 22分，主要以选择题和解答题的形式出现 。 主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复 杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 （ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=。 （ 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： +凑角： =（ +）， =等。 （ 3）降次与升次。（ 4）化弦（切）法。 （ 4）引入辅助角。 22 +)，这里辅助角所在象限由 a、 的值由 （ 1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （ 2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 （ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （ 2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （ 3）合理转化：选择恰当 的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 - 2 - 例 1已知2，求（ 1） ；（ 2） 22 的值 . 解：（ 1）2232121； (2) 222222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 例 2求函数21 si n c si n c y x x x x 的值域。 解：设si n c si n( ) 2 2 4t x x x ，则原函数可化为 22131 ( )24y t t t ，因为 2 2t ，所以 当2t时，2y ，当12t时，4y ， 所以，函数的值域为3 3 24y，。 例 3已知函数2( ) 4 si n 2 si n 2 2f x x x x R ，。 （ 1）求() （ 2）证明：函数 的图像关于直线8x对称。 解：22( ) 4 si n 2 si n 2 2 2 si n 2( 1 2 si n )f x x x x x 2 si n 2 2 c 2 2 si n( 2 )4x x x (1)所以()，因为 - 3 - 所以，当2242 ，即38时，() (2)证明：欲证明函数()对称，只要证明对任意有( ) ( )88 f x f x 成立， 因为( ) 2 2 si n 2( ) 2 2 si n( 2 ) 2 2 c 8 8 4 2 f x x x x ， ( ) 2 2 si n 2( ) 2 2 si n( 2 ) 2 2 c 8 8 4 2 f x x x x ， 所以( ) ( ) f x f x 成立，从而函数()对称。 例 4 已知函数 y=213 （ x R） , （ 1）当函数 自变量 （ 2）该函数的图像可由 y=x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（ 1） y=213=41(21)+ 41+43（ 2+1 =413=21(+45=21x+6)+45所以 只需 2x+6=2+2（ k Z）， 即 x=6+（ k Z） 。 所以当函数 变量 x|x=6+k Z （ 2）将函数 y= （ i）把函数 y=得到函数 y=x+6)的图像； （ 得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 y=x+6) - 4 - 的图像； （ 得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21x+6)的图像； （ 得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数 y=21x+6)+45的图像。 综上得到 y=213的图像。 说明：本题是 2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 齐次式，降幂后最终化成 y=22 x+)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（ 1）还可 以解法如下：当时， y=1；当 0时， y=+1=+1 化简得： 2(y 1)y 3=0 R， =3 8(y 1)(2y 3) 0,解之得：43 y7 7，此时对应自变量 x|x=6,k Z 例 5 2 （）将 f(x)写成) 求其图象对称中心的横坐标； （）如果 a、 b、 b2=边 x，试求 f(x)的值域 . 解：2 3)332 332322 332 ）由)332x=0 即 2 13)(32 得即对称中心的横坐标为 ，2 13 - 5 - （）由已知 b2=，231)3321)33295|23|953323301)(31,3( . 综上所述，3,0( x， )(31,3( . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 例 6在a、 b、 、 B、 a ， (1)求 (2)若42b，且 a=c，求 解： (1)由正弦定理及a c，有c si n si nc os si ， 即si n c si n c os si n c A B C B，所以si n( ) 3 si n c B， 又因为A B C ，si n( ) si A，所以 si n B，因为A，所以1B，又0 B ，所以2 22si n 1 c 。 (2)在余弦定理可得22 2 323a c ，又 所以有4 32 243 ， 即，所以211si n si n 8 222S a B 。 例 7已知向量2( 2 c os si n ) ( si n c ( 3 )a b x a t b ， 2， =， ， ， - 6 - y ka b ，且0， (1)求函数()k f (2)若 13t，求() 解： (1)2 4a，2 1b，00 所以2 2 2 2 2 ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) 0x y a t b k a b k a t b t k t a b ， 所以31344t t，即313() 44k f t t t ； (2)由 (1)可得，令()，解得1t，列表如下： t 1 ( 1， 1) 1 (1， 3) ()导数 0 0 + 递减 极小值 递增 而1 1 9( 1 ) (1 ) ( 3 )2 2 2f f f ， ， ，所以m a x m ) ( )22f t f t ，。 例 8已知向量25( c os si n ) ( c os si n ) | | 5a b ， ， =， ， 求) 的值； (2)若50 0 si n si 13 ， ， 且 ， 求的值。 解： (1)因为( c os si n ) ( c os si n )a b ， ， =， ，所以( c os c os si n si n ) ， ，又因为25|5，所以22 25( c os c ( si n si n ) 5 ， 即432 2 ) c )55 ，； - 7 - (2) 0 0 022 ， ， 又因为3) 5 ，所以 4)， 53，所以123，所以63si n si n ( ) 65 例 9平面直角坐标系有点4,4),1,( 余弦用表示的函数)( 求的最值 . 解：（ 1） 即 )44( x（ 2）xx ， 又 2 23,2 1,3 22 ， 0， 3 22x . 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。 - 1 - 2014 高考数学查缺补漏集中营：三角函数的图象和性质 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1已知 2 ， ， 34，则 ) 等于 ( ) B 35 D 45 2设函数 y 3x )(0 ， x R)的图象关于直线 x 3 对称， 则 等于 ( ) 3把函数 y x 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是 ( ) 4已知函数 f(x) (x xx)x ， x R，则 f(x)是 ( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最 小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 5已知函数 y x x， y 2 2x，则下列结论正确的是 ( ) A两个函数的图象均关于点 4 ， 0 成中心对称图形 B两个函数的图象均关于直线 x 4 成轴对称图形 C两个函数在区间 4 ， 4 上都是单调递增函数 D两个函数的最小正周期相同 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4， y)是角 终边上的一点，且 2 55 ，则 y _. - 2 - 7将函数 y 2x 的图象向右平移 6 个单位后，其图象的一条对称轴方程可以是_ 8函数 f(x) (0 2) 在区间 ( ， ) 上单调递增，则实数 的取值范围为 _ 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 ) 已知 f(x) 3x 2x R，求 f(x)的最小正周期和它的单调增区间 10 (12 分 )已知函数 f(x) 2x 3 2x 3 21， x R. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在区间 4 ， 4 上的最大值和最小值 11 (12 分 )函数 f(x) x )( x R， A 0， 0,0 2)的部分图象如图所示 (1)求 f(x)的解析式； (2)设 g (x) f x 12 2，求函数 g(x)在 x 6 ， 3 上的最大值，并确定此时 x 的值 - 3 - 参考答案 1 B 由题意可知， 35， ) . 2 D 由题意知， 2 3 2(k Z)，所以 6(k Z)，又 0 . 故当 k 1 时， 56 ，选 D. 3 A 变换后的三角函数为 y x 1)，结合四个选项可得 A 正确 4 A f(x) 12x 1 12x 12x 12x 12x， 故 f(x)的最小正周期为 ，又是奇函数 5 C 由于 y x x 2 x 4 ， y 2 2x 2、 x 4 时， y 2 x 4 0， y 2x 2，因此函数 y x x 的图象关于点 4 ， 0 成中心对称图形、不关于直线 x 4 成轴对称图形，函数 y 2 2x 的图象不关于点 4 ， 0 成中心对称图形、关于直线 x 4 成轴对称图形，故A、 B 选项均不正确；对于 C 选项，结合图象可知，这两个函数在区间 4 ， 4 上都是单调递增函数，因此 C 正确；对于 D 选项，函数 y 2 x 4 的最小正周期是 2 ， y 2x 的最小正周期是 ， D 不正确综上所述，选 C. 6解析 先计算 r 16 2 55 ，所以 2 55 ， 为第四象限角，则 y 8. 答案 8 7解析 依题意得，将函数 y 2x 的图象向右平移 6 个单位得到 y 2 x 6 2 2x 3 的图象令 2x 3 2(k Z)，得 x 512 k Z，即其图象的一条对称轴方程可以是 x 512 其中 k Z. 答案 x 512(符合 x 512 k Z 即可 ) 8解析 令 22k(k Z)， - 4 - 得 6 3 3x6 3 ， k Z. f(x)在 ( ， ) 上单调递增， 6 3 ，6 3 3 . 2 232 3(k Z) 又 0 2 ， 令 k 1，得 43 53 ，即实数 的取值范围为 43 ， 53 . 答案 43 ， 53 9解 由题知， f(x) 1 32 x 1 32 6 32 2x 6 . 所以 f(x)的最小正周期为 . 由 2 2 2x 6 2 2 ， k Z， 得 3 x 6 ， k Z. 所以 f(x)的单调增区间为 3 ， 6 ， k Z. 10解 (1)f(x) x 3 x 3 x 3 x 3 x x x 2 2x 4 . 所以 f(x)的最小正周期 T 22 . (2)因为 f(x)在区间 4 ， 8 上是增函数，在区间 8 ， 4 上是减函数又 f 4 1，f 8 2， f 4 1，故函数 f(x)在区间 4 ， 4 上的最大值为 2，最小值为 1. 11解 (1)由图知 A 2， 3 ，则2 43 ， 32. 又 f 6 2 32 6 2 4 0， 4 0， 0 2 ， 4 4 4 ， 4 0，即 4 ， f(x)的解析式为 f(x) 2 32x 4 . (2)由 (1)可得 f x 12 2 32 x 12 4 2 32x 8 ， g(x) f x 12 2 - 5 - 41 3x 42 2 23x 4 ， x 6 ， 3 ， 4 3x 4 54 ， 当 3x 4 ，即 x 4 时， g(x)4. - 1 - 2014 高考数学查缺补漏集中营：三角恒等变换与解三角形 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1已知 ， 都是锐角，若 55 ， 1010 ，则 ( ) 和 34 D 4 和 34 2已知 2， (0， ) ，则 ( ) A 1 B 22 C. 22 D 1 3在 ， a 4， b 52， 5 C) 3 0，则角 B 的大小为 ( ) 4 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 ，则 ( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 5若 内角 A， B， C 所对的边 a， b， c 满足 (a b)2 4，且 C 60 ，则 a b 的最小值为 ( ) . 33 3 3 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6在 ，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b 2 5， B 4 ， 55 ，则 c _； a _. 7在 ， 3 a 2 3b，则角 C _. 8在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 4 C 72，且 a b5， c 7，则 面积为 _ 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )已知函数 f(x) 2 13x 6 ， x R. (1)求 f 54 的值； - 2 - (2)设 ， 0， 2 ， f 3 2 1013， f(3 2) 65，求 ) 的值 10 (12 分 )在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 2 12A 74. (1)求角 A 的度数； (2)若 a 3， b c 3(b c)，求 b 和 c 的值 11 (12 分 )如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “ 弹射型 ” 气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点 A、 B 两地相距 100 米， 60 ，在 地晚 217秒 A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15 ， A 地测得最高点 H 的仰角为 30 ，求该仪器的垂直弹射高度 声音的传播速度为 340 米 /秒 ) - 3 - 参考答案 1 A 因为 、 都为锐角，所以 1 2 55 ， 1 3 1010 ) 22 ，所以 4 ，故选 A. 2 A 利用辅助角公式求出 ，再求其正切 值由 2 4 2， (0， ) ，解得 34 ，所以 1. 3 A 由 5 C) 3 0，得 35，则 45， 44552， 12.又 a b， B 必为锐角，所以 B6. 4 A 依题意，得 ， ，所以 B) ，即 0，所以 0.又 0，于是有 0， B 为钝角， 钝角三角形，选 A. 5 D 由余弦定理可得： 2 (a b)2 3(a b)2 4，所以有 43 a ，解得 a b 4 33 . 6解析 利用正弦定理可知： c 2 2， 2， 4a 12 0， a 6. 答案： 2 2 6 7解析 由正弦定理知， 3以 3 a 32 3b 332 ，所以 C6. 答案 6 8解析 因为 4 C 72， 所以 21 B) 21 72， 2 2 21 72， 14 0，解得 12. 根据余弦定理有 12 72 7， 327 (a b)2 7 25 7 18， 6. - 4 - 所以 S 12 126 32 3 32 . 答案 3 32 9解 (1)由题设知： f 54 2 512 6 2 2. (2)由题设知： 1013 f 3 2 2 ， 65 f(3 2) 2 2 2 ， 即 513， ， 0， 2 ， 1213， 45， ) 1213 35 45 513 1665. 10解 (1)由 2 12A 74及 A B C 180 ， 得 21 B C) 21 72， 4(1 ) 45. 44 1 0. 12. 0 A 180 ， A 60. (2)由余弦定理，得 12， 12. (b c)2 3将 a 3， b c 3 代入上式得 2. 由 b c 3，2， 及 b c，得 b 2，c 1. 11解 由题意，设 | x，则 | x 217340 x 40， 在 ，由余弦定理： | | | 2| 即 (x 40)2 10 000 100x，解得 x 420. 在 ， | 420， 30 15 45 ， 90 30 60 ， 由正弦定理： |CH|AC| 可得 | | 140 6. 答：该仪器的垂直弹射高度 140 6米 - 5 - - 1 - 2014高考数学查缺补漏集中营：不等式 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识 融会贯通 ，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设 与结论 的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明 不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程 (组 )的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密 切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 一、知识整合 1 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰 2 整式不等式 (主要是一次、二次不等式 )的解法 是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式 (组 )是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用 3 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰 4证明不等式的方法灵活 多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差 (商 )变形判断符号 (值 ) 5 证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法 通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证 的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的 6不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤： 7通过不等式的基本知识、基本方法在代数、 三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识 二、方法技巧 归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。 特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。 - 2 - 3不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特 殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 三、例题分析 b) M，且对 c， d)，总有 c a，则 a=_ 分析 ：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对 M 中的其它元素 (c， d)，总有 c a”？ 解 ： 依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3) |(y+3) (2)当 1 y 3时， 所以当 y=1时，4 简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其 数 学 实 质 即 求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关 系 式例 2已知非负实数，满足2 3 8 0 且3 2 7 0 ，则的最大值是（ ） A73B83C D 解：画出图象，由线性规划知识可得，选 D 例 3数列 21,011（ 1）证明：对于 总有,2, （ 2）证明：对于1, nn - 3 - 证明：（ 1）)()(21,0)(210 111 而知及成立时当 n 2（ 2）当2(21),(21,0 11 =成立时 12 , 例 4解关于的不等式： 092 2 例主要复习含绝对值不等式的解法， 分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当 029929 222 时，不等式可转化为73 02992)( 222 时不等式可化为当 23,(323故不等式的解集为或。 例 5若二次函数 y=f(x)的图象经过原点，且 1 f( 2， 3 f(1) 4，求 f(范围 分析 ：要求 f(取值范围，只需找到含人 f(不等式 (组 )由于 y=f(x)是二次函数，所以应先将 f(x)的表达形式写出来即可求得 f(表达式，然后依题设条件列出含有 f(不等式 (组 )，即可求解 解 ：因 为 y=f(x)的图象经过原点，所以可设 y=f(x)=是 解法一 (利用基本不等式的性质 ) 不等式组 ( )变形得 - 4 - ( ) 所以 f(取值范围是 6， 10 解法二 (数形结合 ) 建立直角坐标系 出不等式组 ( )所表示的区域，如图 6 中的阴影部分因为f(4以 42)=0 表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线 42)=0过点 A(2， 1)， B(3， 1)时，分别取得 f(最小值 6，最大值 10即 f(取值范围是：6 f( 10 解法三 (利用方程的思想 ) 又 f(4f(f(1)，而 1 f( 2， 3 f(1) 4， 所以 3 3f( 6 + 得 4 3f(f(1) 10，即 6 f( 10 简评： (1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解： 2b， 8 4a 12，以 5 f( 11 (2)对这类问题的求解关键一步是，找到 f( 数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高 例 6设函数 f(x)=bx+c 的图象与两直线 y=x， y=x，均不相交 有2 14ax bx c a . - 5 - 分析 ：因为 x R，故 |f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设 f(x)=a(+f( 证明 ：由题意知， a 0设 f(x)=a(+f(则 又二次方程 bx+c= 故 1=(b+1)2 0， 2=(b 0 所以 (b+1)2+(0，即 20，即 以 | 1 简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径 例 7某城市 2001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设 2001 年末的汽车保有量为1a，以后每年末的汽车保有量依次为., 32 年新增汽车万辆。由题意得 )1 1xannnxaxxannnnn - 1 - 2014 高考数学查缺补漏集中营：不等式及线性规划问题 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1若 a b，则下列不等式恒成立的是 ( ) A B lg a lg b C. 12 a 12 b 1b 2已知不等式 c 0 的解集为 x|2 x 4，则不等式 a 0 的 解集为 ( ) A.x x 12 B.x x 14 C.x 12 x 14 D.x x 12或 x 14 3已知 a 0， b 0， a b 2，则 y 1a 4( ) B 4 D 5 4设 a 0，则函数 f(x) 4x 2(x 0)成立的一个充分不必要条件是 ( ) A a2 B a 1 C a 4 D a3 5若实数 x， y 满足 2x y0 ，yx ，y x b，且 z 2x y 的最小值为 4，则实数 b 的值为 ( ) A 0 B 2 C 3 D 4 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6已知点 A(m， n)在直线 x 2y 1 0 上，则 2m 4n 的最小值为 _ 7已知 a (m,1)， b (1 n,1)(其中 m、 n 为正数 )，若 a b，则 1m 2_ 8设二元一次不等式组 x 2y 190 ，x y 80 ，2x y 140所表示的平面区域为 M，使函数 y ax(a 0，a1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 _ - 2 - 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 (1)现有可围 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多 少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 10 (12 分 )已知函数 f(x) 23x. (1)求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)当 x 12时，若关于 x 的不等式 f(x) 52 (a 3)x 1 恒成立，试求实数 a 的取值范围 11 (12 分 )已知函数 f(x) c(b， c R)，对任意的 x R，恒有 f(x)f(x) (1)证明：当 x0 时， f(x)(x c)2； (2)若对满足题设条件的任意 b， c，不等式 f(c) f(b)M( 成立，求 M 的最小值 参考答案 1 A 当 a 0， b 0 时， lg a， lg b 无意义，所以 B 不正确；当 a b 时， 12 a 12 b，所以 C 不正确；当 a 0， b 0 时， 1a 1b，所以 D 不正确 2 D 由
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