2014届高考数学一轮复习考点及自测 理（打包18套）新人教A版
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2014届高考数学一轮复习考点及自测 理（打包18套）新人教A版,高考,数学,一轮,复习,温习,考点,自测,打包,18,新人
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- 1 - 第 3 讲 随机事件的概率 【 2014 年高考会这样考】 1考查互斥事件、对立事件的概率求法 2考查条件概率的求法 对应学生168 考点梳理 1频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 出现的频数，称事件 A 出现的比例 ) 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 )稳 定在某个 常数 上，把这个 常数 记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含 事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等关系 若 BA 且 AB A B 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 并事件 (或和事件 ) A B(或 A B) 交事件 (积事件 ) 若某事件发生当且仅当 事件 A 发生 且 事件 B 发生 ，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) A B(或 互斥事件 若 A B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A B 对立事件 若 A B 为不可能事件， A B 为必然事件，那么称事件A 与事件 B 互为对立事件 A B P(A B) P(A)P(B) 1 对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 条件概率 ，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A) P . - 2 - (1)在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A) n . (2) 如果 B 和 C 是两互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A) 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0 P(A)1 . (2)必然事件的概率 P(E) 1. (3)不可能事件的概率 P(F) 0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A) 1 P(B) 【助学 微博】 一个关系 两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条 件 两种方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P( A )，即运用逆向思维(正难则反 )，特别是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型题目，用间接法就显得比较简便 考点自测 1 (人教 A 版习题改编 )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于 A 中的两个事件不互斥，对于 B 中两个事件互斥且对立，对于 C 中两个事件不互斥，对于 D 中的两个互斥而不对立 答案 D 2 (2013 广州月考 )某射手在一次射击中，射中 10 环， 9 环， 8 环的概率分别是 此射手在一次射击中不够 8 环的概率为 ( ) A B C D 析 一次射击不够 8 环的概率为： 1 - 3 - 答案 A 3 (2011 陕西 )甲乙两人一起去游 “2011 西安世园会 ” ，他们约定，各自独立地从 1 到6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) 析 若用 1,2,3,4,5,6代表 6 处景点，显然甲、乙两人选择结果为 1,1、 1,2、1,3、 、 6,6，共 36 种；其中满足题意的 “ 同一景点相遇 ” 包括 1,1、 2,2、 3,3、 、6,6，共 6 个基本事件，所以所求的概率值为 16. 答案 D 4 (2011 辽宁 )从 1,2,3,4,5中任取 2个不同的数，事件 A “ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件 B “ 取到的 2 个数均为偶数 ” ，则 P(B|A)等于 ( ) 析 P(A) 41025， P(A B)10. 由条件概率计算公式，得 P(B|A) P A 110410 14. 答案 B 5 (2011 湖北 )在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 _(结果用最简分数表示 ) 解析 所取的 2 瓶中都是不过期的饮料的概率为 P 17145，则至少有 1 瓶为已过保质期饮料的概率 P 1 P 28145. 答案 28145 对应学生169 考向一 随机事件的频率与概率 【例 1】 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品现用两种新配方 (分别称为 A 配方和 B 配方 )做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： - 4 - A 配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率； (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单 位：元 )与其质量指标值 t 的关系式为 y 2， a b c a， b， c 的方差 出 a， b， c 的值 (结论不要求证明 )，并求此时 (注： 1n(x )2 (x )2 (x )2，其中 x 为数据 ， 平均数 ) 教你审题 第 1 步 用厨余垃圾箱中的 400 除以厨余垃圾总数 第 2 步 先求其对立事件 的概率 第 3 步 运用方差公式 解法 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “ 厨余垃圾 ” 箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量 400400 100 10023. (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投放正确 事件 A 的概率约为 “ 厨余垃圾 ” 箱里厨余垃圾量、 “ 可回收物 ” 箱里可回收物量与 “ 其他 - 9 - 垃圾 ” 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P(A )约为 400 240 601 000 所以 P(A)约为 1 (3)当 a 600， b c 0 时， 因为 x 13(a b c) 200， 所以 13(600 200)2 (0 200)2 (0 200)2 80 000. 即 0 000. 反思 概率统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布 规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算 【试一试】 某小型超市发现每天营业额 Y(单位：万元 )与当天进超市顾客人数 X 有关据统计，当 X 700 时， Y X 每增加 10， Y 增加 0 天 X 的值为： 1 400，1 100， 1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600， 1 900， 1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600， 1 900， 700. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 天每 天进超市顾客人数频率分布表 人数 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 频率 120 420 (2)假定今天进超市顾客人数与近 20 天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于 元高于 元的概率 解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为 1 100 的有 3 个，为 1 600 的有 7 个，为 1 900的有 3 个，为 2 200 的有 2 个故近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表为 人数 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 频率 120 320 420 720 320 220 (2)由已知可得 Y X 70010 1200X 700X1 900. P( P(700X1 900) P(X 1 100) P(X 1 400) P(X 1 600) 320 420 - 10 - 720 1420 710. 即 今 天 营 业 额 低 于 元 高 于 元 的 概 率 为 710 . 对应学生333 A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、 乙、丙、丁四个人，每人分得 1 张，事件 “ 甲分得红牌 ” 与事件 “ 乙分得红牌 ” 是 ( ) A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上答案都不对 解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件 答案 C 2 (2013 日照模拟 )从一箱产品中随机抽取一件，设事件 A 抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C 抽到三等品 ，且已知 P(A) P(B) P(C) 事件“ 抽到的不 是一等品 ” 的概率为 ( ) A B C D 析 由对立事件可得 P 1 P(A) 答案 C 3 (2013 海口模拟 )盒中装有 10 个乒乓球，其中 6 个新球， 4 个旧球不放回地依次取出 2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( ) 析 第一次 结果一定，盒中仅有 9 个乒乓球， 5 个新球 4 个旧球，所以第二次也取到新球的概率为 59. 答案 C 4 (2013 揭阳二模 )把一枚硬币连续抛两次，记 “ 第一次出现正面 ” 为事件 A， “ 第二次出现正面 ” 为事件 B，则 P(B|A)等于 ( ) - 11 - 解析 法一 P(B|A) P 1412 12. 法二 A 包括的基本事件为 正，正 ， 正，反 ， 括的基本事件为 正，正 ，因此 P(B|A) 12. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A 两次都击中飞机 ， B 两次都没击中飞机 ， C 恰有一次击中飞机 ， D 至少有一次击中飞机 ，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是 _ 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A B ， A C ， B C ，B D 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D 为彼此互斥事件，而 B D ， B D I，故 互为对立事件 答案 A 与 B、 A 与 C、 B 与 C、 B 与 D B 与 D 6 (2013 成都模拟 )某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为 级品的概率为 对成品抽查一件抽得正品的概率为 _ 解析 记 “ 生产中出现甲级品、乙级品、丙级品 ” 分别为事件 A， B， ， B， C 彼此互斥，由题意可得 P(B) P(C) 以 P(A) 1 P(B C) 1 P(B) P(C) 1 答案 、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某战士甲射击一次，问： (1)若事件 A(中靶 )的概率为 件 A (不中靶 )的概率为多少？ (2)若事件 B(中靶环数大于 6)的概率为 么事件 C(中靶环数不大于 6)的概率为多少？ 解 (1) 事件 A(中靶 )的概率为 根据对立事件的概率公式得到 A 的概率为 1 (2)由题意知中靶环数 大于 6 与中靶环数不大于 6 是对立事件， 事件 B(中靶环数大于 6)的概率为 事件 C(中靶环数不大于 6)的概率为 1 8 (13 分 )某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 只乘一种交通工具去开会 - 12 - (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率； (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为 问他有可能是乘何种交通工具去开会的？ 解 (1)记 “ 他乘火车去开会 ” 为事件 “ 他乘轮船去开会 ” 为事件 “ 他乘汽车 去开会 ” 为事件 “ 他乘飞机去开会 ” 为事件 四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的故 P( P( P( (2)设他不乘轮船去开会的概率为 P， 则 P 1 P( 1 (3)由于 ( ( 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会 B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1甲： ： 么 ( ) A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 答案 B 2从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 ( ) 析 从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球通过列举知共有 10 个基本事件；所取的 3 个球中至少有 1 个白球的反面为 “3 个球均为红色 ” ，有 1 个基本事件，所以所取的3 个球中至少有 1 个白球的概率是 1 110 910. 答案 D 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩 (成绩都为整数，试题满分 120 分 )，并且绘制了条形统计图 (如下 图所示 )，则该中学 - 13 - 参加本次数学竞赛的人数为 _，如果 90 分以上 (含 90 分 )获奖，那么获奖的概率大约是 _ 解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为 4 6 8 7 5 2 32； 90 分以上的人数为 7 5 2 14，所以获奖的频率为 1432 ，即本次竞赛获奖的概率大约是 . 答案 32 4 (2013 浙江五校联考 )在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件不合格品现从中不 放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为_ 解析 设 A 第一次取到不合格品 ， B 第二次取到不合格品 ，则 P( 以P(B|A) P 54100995100 499 答案 499. 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )(2013 长春模拟 )黄种人群中 各种血型的人所占的比如下表所示： 血型 A B 该血型的人所占比 /% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 他不同血型的人不能互相输血小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 解 (1)对任一人，其血型为 A， B， O 型血的事件分别记为 A ， B ， C ， D ，它们是彼此互斥的由已知，有 P(A) P(B) P(C) P(D) 因为 B， O 型血可以输给 B 型血的人，故 “ 可以输给 B 型血的人 ” 为事件 B D. 根据互 - 14 - 斥事件的概率加法公式，有 P(B D) P(B) P(D)
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