2014届高考数学一轮复习考点及自测 理（打包18套）新人教A版
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2014届高考数学一轮复习考点及自测 理（打包18套）新人教A版,高考,数学,一轮,复习,温习,考点,自测,打包,18,新人
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- 1 - 第 1 讲 抽样方法与总体分布的估计 【 2014 年高考会这样考】 1考查三种抽样方法及其应用 2考查频率分布直方图中的相关计算 (求解频率、频数等 ) 3考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征 (平均数、方差、标准差等 ) 对应学生162 考点梳理 1 三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，均属于不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较 少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 在 起 始 部分 抽 样 时采 用 简 单随机抽样 总体中的个体数较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽样 各 层 抽 样时 采 用 简单 随 机 抽样 或 系 统抽样 总体由差异明显的几部分组成 (1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表绘制频率分布表的步骤为： 求极差 ； 决定组距和组数 ； 将数据分组 ； 列频率分布表 (2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的 直方图称为频率分布直方图画频率分布直方图的一般步骤是： 绘制频率分布表； 作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距； 在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它 - 2 - 的高等于该组的 频率组距 个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之和为 1. 3样本的数字特征 (1)众数 在样本数据中，出现次数最多的那个数据 (2)中位数 样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数 (3)平均 数 样本数据的算术平均数，即 x 1n( (4)方差与标准差 方差： 1n(x )2 (x )2 (x )2 标准差： s 1n x 2 x 2 x 2. 【助学 微博】 一条规律 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过 程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性若样本容量为 n，总体的个体数为 N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是 两个特性 (1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于 1； (2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率 /组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为 1. 考点自测 1 (2012 山东 )采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随 机编号为 1,2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 2人中，编号落入区间 1,450的人做问卷 A，编号落入区间 451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 问卷 B 的人数为 ( ) A 7 B 9 C 10 D 15 - 3 - 解析 从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则每 30 人抽取一人，因为第一组抽到的号码为 9，则第二组抽到的号码为 39，第 n 组抽到的号码为 9 30(n 1) 30n 21，由45130 n 21750 ，得 23615 n 25710 ，所以 n 16,17， ， 25，共有 25 16 1 10 人，选 C. 答案 C 2 (2013 临沂模拟 )甲校有 3 600 名学生，乙校有 5 400 名学生，丙校有 1 800 名学生为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 90 的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是 ( ) A 30,30,30 B 30,45,15 C 20,30,10 D 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600 5 400 1 800 1120，故三校分别抽取的学生人数为 3 600 1120 30,5 400 1120 45,1 800 1120 15. 答案 B 3 10 名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是 15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天 10 名工人生产的零件的中位数是 ( ) A 14 B 16 C 15 D 17 解析 将这组数据从小到大排列得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,5 152 15. 答案 C 4 (2013 西北工大附中测试 )如图是容量为 150 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在 6,10)内的频数为 ( ) A 12 B 48 C 60 D 80 解析 落在 6,10)内的频率为 频数为 50 48. 答案 B 5 (2013 长沙模拟 ) - 4 - 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数 的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 _ (注：方差 1n(x )2 (x )2 (x )2，其中 x 为 ， 解析 x 15(8 9 10 13 15) 11， 15(9 4 1 4 16) 答案 考向一 抽样方法 【例 1】 从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 80 辆测试某项性能请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程 审题视点 因为 802 不能整除 80，为了保证 “ 等距 ” 分段，应先剔除 2 个个体 解 由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下： 第一步：先从 802 辆轿车中剔除 2 辆轿车 (剔除方法可用随机数法 )； 第二步：将余下的 800 辆轿车编号为 1,2， ， 800，并均匀分成 80 段，每段含 k 80080 10 个个体； 第 三步：从第 1 段即 1,2， ， 10 这 10 个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号 (如5)作为起始编号； 第四步：从 5 开始，再将编号为 15,25， ， 795 的个体抽出，得到一个容量为 80 的样本 解决系统抽样问题的两个关键步骤为： (1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本 (2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了 【训练 1】 (2012 天津 )某地区有小学 150 所，中学 75 所，大 学 25 所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 _所学校，中学中抽取 _所学校 解析 根据分层抽样的特点求解从小学中抽取 30 150150 75 25 18 所学校；从中学中抽取 30 75150 75 25 9 所学校 - 5 - 答案 18 9 考向二 频率分布直方图的绘制及应用 【例 2】 某班同学利用国庆节进行社会实践，对 25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活 习惯符合低碳观念，称为 “ 低碳族 ” ，否则称为 “ 非低碳族 ” ，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25,30) 120 二组 30,35) 195 p 第三组 35,40) 100 四组 40,45) a 五组 45,50) 30 六组 50,55 15 表 (1)补全频率分布直方图； (2)求 n， a， p 的值 审题视点 (1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率； (2)灵活运用关系式： 频率组距 组距频率， 频数样本容量 频率求解 解 (1)第二组的频率为 1 (5 以小长方形的高为 - 6 - (2)第一组的人数为 200，频率为 所以 n 1 000. 由 (1)知，第二组的频率为 以第二组的人数为 1 000 300，所以 p 195300 以第四组的人数为 1 000 150，所以 a150 60. (1)绘制频率分布直方图时需注意： 制作好频率分布表后可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确； 频率分布直方图的纵坐标是 频率组距 ，而不是频率 (2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： 频率组距 组距频率 【训练 2】 (2013 烟台四校联考 )据悉 2012 年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 m(精确到 0.1 m)以上的为合格把所得数据进行整理后，分成 6 组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示已知从左到右前 5 第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由 解 (1)由题易知，第 6 小组的频率为 1 (1 此次测试的总人数为 50. 这次铅球测试成绩合格的人数为 ( )50 36. (2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和 相等，前三组的频率和为 四组的频率和为 中位数位于第 4 组内 考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例 3】 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图 - 7 - (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价 审题视点 (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩； (2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价 解 (1)由图象可得甲、乙两人五次 测试的成绩分别为 甲： 10 分， 13 分， 12 分， 14 分， 16 分； 乙： 13 分， 14 分， 12 分， 12 分， 14 分 . x 甲 10 13 12 14 165 13， x 乙 13 14 12 12 145 13， 15(10 13)2 (13 13)2 (12 13)2 (14 13)2 (16 13)2 4， 15(13 13)2 (14 13)2 (12 13)2 (12 13)2 (14 13)2 (2)由 知乙的成绩较稳定 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高 (1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差 (方差 )分析稳定情况 (2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差 (标准差 )；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差 (标准差 )的大小 【训练 3】 (2012 陕西 )从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统 - 8 - 计数据用茎叶图表示 (如图所示 )设甲乙两组数据的平均数分别为 x 甲 ， x 乙 ，中位数分别为 m 甲 ， m 乙 ，则 ( ) A. x 甲 m 乙 B. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 D. x 甲 x 乙 ， m 甲 m C n m D不能确定 解析 依题意得 n x ， m y ， (m n) z (m n) x (m n)(1 ) y ， n x m y (m n) x (m n)(1 ) y ， n m n ，m m n ， 于是有 n m (m n) (1 ) (m n)(2 1)， 0n. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3 (2013 沈阳质 检 )沈阳市某高中有高一学生 600 人，高二学生 500 人，高三学生 550 人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为 n 的样本，其中高三学生有 11 人，则 n 的值等于 _ - 14 - 解析 由 500 550 11550，得 n 33(人 ) 答案 33 4 (2013 北京西城一模 )某年级 120 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间将测试结果分成 5 组： 13,14)， 14,15)， 15,16)， 16,17)， 17,18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 1 3 7 6 3，那么成绩在 16,18 的 学 生 人 数 是_ 解析 成绩在 16,18的学生的人数所占比例为 6 31 3 7 6 3 920，所以成绩在 16,18的学生人数为 120 920 54. 答案 54 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从 2012 年开始，对 30 g/ 新车进行惩罚 (视为排放量超标 )，某检测单位对甲、乙两类 品牌的新车各抽取了 5 辆进行 录如下 (单位： g/ 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x y 160 经测算发现，乙类品牌车 x 乙 120 g/(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均 值及方差； (2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 x 的取值范围 解 (1)甲类品牌汽车的 x 甲 80 110 120 140 1505 120(g/ 甲类品牌汽车的 2 2 2 2 25 600. - 15 - (2)由题意知乙类品牌汽车的 放量的平均值 x 乙 100 120 x y 1605 120(g/得 x y 220，故 y 220 x，所以乙类品牌汽车的 2 2 x 2 x 2 25 ， 因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 以 解得 90x130. 6 (13 分 )已知某单位 有 50 名职工，现要从中抽取 10 名 职工，将全体职工随机按 1 50 编号，并按编号顺序 平均分成 10 组，按各组内抽取的编号依次增加 5 进行 系统抽样 (1) 若第 5 组抽出的号码为 22，写出所有被抽出职工 (2) 的号码； (2)分别统计这 10 名职工的体重 (单位：公斤 )，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差； (3)在 (2)的条件下，从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤 (73 公斤 )的职工，求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率 解 (1)由题意，第 5 组抽出的号码为 22. 因为 k 5(5 1) 22，所以第 1 组抽出的号码应该为 2，抽出的 10 名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 x 110(81 70 73 76 78 79 62 65 67 59) 71， 所以样本方差为： 110(102 12 22 52 72 82 92 62 42 122) 52. (3)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工，共有 10 种不同的取法：(73,76)， (73,78)， (73,79)， (73,81)， (76,78)， (76,79)， (76,81)， (78,79)， (78,81)，(79,81) 记 “ 体重为 76 公斤的职工被抽取 ” 为事件 A，它包括的事件有 (73,76)， (76,78)，(76,79)， (76,81)共 4 个 故所求概率为 P(A) 410 25. - 16 - - 1 - 第 2 讲 变量间的相关关系与统计案例 【 2014 年高考会这样考】 1考查利用散点图判断变量之间的关系 2考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应用问题 3考查独立性检验的基本思想及应用 对应学生165 考点梳理 1相关关系的判断 (1)散点图直观反映了两变量的成对观测值之间存在的某种关系，利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量 x 和 y 具有 线性相关关系 (2)相关系数 ri 1x yi 1x 2 i 1y 2，当 r0 时，两变量正相关，当 所以有 99% 的 把 握 认 为 其 亲 属 的 饮 食 习 惯 与 年 龄 有关 对应学生167 方法优化 16 求回归直线方程的方法与技巧 - 9 - 【 命题研究】 通过近三年的高考试题分析，独立性检验和回归分析的考查主要是这两种知识的简单应用，以计算和判断为主有的省市以选择题、填空题形式考查，有的省市以解答题形式考查，难度中等 【真题探究】 (2011 安徽 )某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量 /万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y bx a； (2)利用 (1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量 教你审题 分别计算 x ， y ， b， a，把 2 012 代入所求回归直线方程中 优美解法 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下： 年份 2006 4 2 0 2 4 需求量 257 21 11 0 19 29 对处理的数据，容易算得 x 0， y b 219 429 502 2 22 42 50 2 26040 a y b x 所求回归直 线方程为 y 257 6.5(x 2 006)即 y 6.5(x 2 006) (2)利用所求得的直线方程，可预测 2012 年的粮食需求量为 2 012 2 006) 吨 ) 反思 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力若本题用一般法去解，计算更繁琐 (如年份、需求量不做如上处理 )，所以平时训练时遇到数据较大的要考虑有没有更简便的方法解决 【试一试】 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，根据试验数据得到如下图所示的散点图，其中 x 表示零件的个数， y 表示加工时间，则 y 关于 x 的线性回归方程是 _ - 10 - 解析 x 2 3 4 54 y 3 4 所以 bi 144 x yi 144 x 2 2 33 44 5 432 42 52 4 a y b x 所以线性回归方程为 y 答案 y 对应学生331 A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1 (2012 新课标全国 )在一组样本数据 ( ( ， (n2 ， ，的散点图中，若所有样本点 (i 1,2， ， n)都在直线 y 12x 1 上，则这组 样本数据的样本相关系数为 ( ) A 1 B 0 D 1 解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即 yi，代入相关系 - 11 - 数公式 r 1i 1yi 2i 1y 2 1. 答案 D 2 (2013 长春调研 )已知 x， y 取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 所得的散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且 y a，则 a ( ) A B C D 析 依题意得， x 16(0 1 4 5 6 8) 4， y 16( y a 必过样本中心点 ( x ， y )，即点 (4,于是有 a，由此解得 a B. 答案 B 3.(2011 陕西 )设 ( ( ， (变量 x 和y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到 的 线 性 回 归 直 线 ( 如图 ) ， 以 下 结 论 正 确 的 是 ( ) A直线 l 过点 ( x ， y ) B x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 解析 由样本的中心 ( x ， y )落在回归直线上可知 A 正确； x 和 y 的相关系数表示为 x 与y 之间的线性相关程度，不表示直线 l 的斜率，故 B 错； x 和 y 的相关系数应在 1 到 1 之间，故 C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故 D 错 答案 A 4 (2011 山东 )某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据 如下表： 广告费用 x(万元 ) 4 2 3 5 销售额 y(万元 ) 49 26 39 54 - 12 - 根据上表可得回归方程 y bx a中的 b为 此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A 元 B 元 C 元 D 元 解析 x 4 2 3 54 元 )， y 49 26 39 544 42(万元 )， a y b x 42 回归方程为 y 当 x 6(万元 )时， y 元 ) 答案 B 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5已知施化肥量 x 与水稻产量 y 的试验数据如下表，则变量 x 与变量 y 是 _相关 (填“ 正 ” 或 “ 负 ”). 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 解析 因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示： 通过观察图象可知变量 x 与变量 y 是正相关 答案 正 6 (2013 唐山统一考试 )考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度 x(肱骨长度y(线性回归方程为 y 此估计，当股骨长度为 50 ，肱骨长度的估计值为 _ 解析 根据线性回归方程 y x 50 代入得 y 肱骨长度的估 - 13 - 计值为 答案 、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查数据如下 表： 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏 8 15 合计 (1)请完善上表中所缺的有关数据； (2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？ 附： P(2 n b c d a c b d 解 (1) 认为作业多 认为作业不 多 合计 喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏 8 15 23 合计 26 24 50 (2)将表中的数据代入公式 n b c d a c b d 得到 观测值 k 226242723 查表知 P( 说明在犯错误的概率不超过 前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系 8 (13 分 )下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过 程中记录的产量 x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据 . x 3 4 5 6 y 4 1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a； (3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据 (2)求出的线性 - 14 - 回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考 数值： 3 43 54 6 解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示 (2)由对照数据，计算得： i 1486， x 3 4 5 64 )， y 3 4 ) 已知 i 14 所以，由最小 二乘法确定的回归方程的系数为： bi 144 x yi 144 x 2 44 a y b x 因此，所求的线性回归方 程为 y (3)由 (2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90 (00 标准煤 ) B 级 能力突破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x/74 176 176 176 178 儿子身高 y/75 175 176 177 177 则 y 对 x 的线性回 归方程为 ( ) - 15 - A y x 1 B y x 1 C y 88 12x D y 176 解析 由题意得 x 174 176 176 176 1785 176( y 175 175 176 177 1775 176(由于 ( x ， y )一定满足线性回归方程，经 验证知选 C. 答案 C 2 (2013 福州模拟 )下列说法： 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； 设有一个回归方程 y 3 5x，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 5 个单位； 线性回归方程 y bx a必过 ( x ， y )； 在一个 22 列联表中，由计算得 k 在 犯错误的概率不超过 其中错误的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 本题可以参考独立性检验临界值表 P(析 只有 错误，应 该是 y 平均减少 5 个单位 答案 B 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 3为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50名学生，得到如下 22列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P( P( 根据表中数据，得到 223272030 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 _ 解析 这表明小概率事件 发生根据假设检验的基本原理，应该断定 “ 是否选修文科与性别之间有关系 ” 成立，并且这种判断出错的可能性约为 5%. - 16 - 答案 5% 4 (2011 广东 )某数学老师身高 176 爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 170 82 老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 _ 解析 由题意父亲身高 x 儿子身高 y 应关系如下表： x 173 170 176 y 170 176 182 则 x 173 170 1763 173， y 170 176 1823 176， i 13(x )(y ) (173 173)(170 176) (170 173)(176 176) (176173)(182 176) 18， i 13(x )2 (173 173)2 (170 173)2 (176 173)2 18. b 1818 1. a y b x 176 173 3. 线性回归直线方程 y bx a x 3. 可估计孙子身高为 182 3 185( 答案 185 三、解答题 (共 25 分 ) 5 (12 分 )(2013 南通模拟 )某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12 月 1 日 12 月 2日 12 月 3日 12 月 4日 12 月 5日 温差 x/ 10 11 13 12 8 发芽数 y/颗 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概 率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据， - 17 - 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a. 解 (1)设抽到不相邻两组数据为事件 A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种， 所以 P(A) 1 410 35. (2)由数据，求得 x 12， y 27. 1125 1330 1226 977,112 132 122 434， 由公式，求得 b 52， a y b x 3. 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 52x 3. 6 (13 分 )有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀， 85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表 . 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 27. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为 “ 成绩与班级有关系 ” ； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到 6号或 10 号的概率 附 n b c d a c b d ， P(k) k (1) 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 (2)根据列联表中的数据，得到 - 18 - k 255503075 因此有 95%的把握认为 “ 成绩与班级有关系 ” (3)设 “ 抽到 6 号或 10 号 ” 为事件 A，先后两次抛掷一枚均 匀的骰子，出现的点数为 (x，y)，则所有的基本事件有 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 、 (6,6)，共 36 个 事件 A 包含的基本事件有 (1,5)， (2,4)， (3,3)， (4,2)， (5,1)， (4,6)， (5,5)， (6,4)，共 8 个， P(A) 836 29. - 1 - 第 3 讲 随机事件的概率 【 2014 年高考会这样考】 1考查互斥事件、对立事件的概率求法 2考查条件概率的求法 对应学生168 考点梳理 1频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 出现的频数，称事件 A 出现的比例 ) 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 )稳 定在某个 常数 上，把这个 常数 记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含 事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等关系 若 BA 且 AB A B 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 并事件 (或和事件 ) A B(或 A B) 交事件 (积事件 ) 若某事件发生当且仅当 事件 A 发生 且 事件 B 发生 ，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) A B(或 互斥事件 若 A B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A B 对立事件 若 A B 为不可能事件， A B 为必然事件，那么称事件A 与事件 B 互为对立事件 A B P(A B) P(A)P(B) 1 对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 条件概率 ，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A) P . - 2 - (1)在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A) n . (2) 如果 B 和 C 是两互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A) 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0 P(A)1 . (2)必然事件的概率 P(E) 1. (3)不可能事件的概率 P(F) 0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A) 1 P(B) 【助学 微博】 一个关系 两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条 件 两种方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P( A )，即运用逆向思维(正难则反 )，特别是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型题目，用间接法就显得比较简便 考点自测 1 (人教 A 版习题改编 )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于 A 中的两个事件不互斥，对于 B 中两个事件互斥且对立，对于 C 中两个事件不互斥，对于 D 中的两个互斥而不对立 答案 D 2 (2013 广州月考 )某射手在一次射击中，射中 10 环， 9 环， 8 环的概率分别是 此射手在一次射击中不够 8 环的概率为 ( ) A B C D 析 一次射击不够 8 环的概率为： 1 - 3 - 答案 A 3 (2011 陕西 )甲乙两人一起去游 “2011 西安世园会 ” ，他们约定，各自独立地从 1 到6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) 析 若用 1,2,3,4,5,6代表 6 处景点，显然甲、乙两人选择结果为 1,1、 1,2、1,3、 、 6,6，共 36 种；其中满足题意的 “ 同一景点相遇 ” 包括 1,1、 2,2、 3,3、 、6,6，共 6 个基本事件，所以所求的概率值为 16. 答案 D 4 (2011 辽宁 )从 1,2,3,4,5中任取 2个不同的数，事件 A “ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件 B “ 取到的 2 个数均为偶数 ” ，则 P(B|A)等于 ( ) 析 P(A) 41025， P(A B)10. 由条件概率计算公式，得 P(B|A) P A 110410 14. 答案 B 5 (2011 湖北 )在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 _(结果用最简分数表示 ) 解析 所取的 2 瓶中都是不过期的饮料的概率为 P 17145，则至少有 1 瓶为已过保质期饮料的概率 P 1 P 28145. 答案 28145 对应学生169 考向一 随机事件的频率与概率 【例 1】 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品现用两种新配方 (分别称为 A 配方和 B 配方 )做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： - 4 - A 配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率； (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单 位：元 )与其质量指标值 t 的关系式为 y 2， a b c a， b， c 的方差 出 a， b， c 的值 (结论不要求证明 )，并求此时 (注： 1n(x )2 (x )2 (x )2，其中 x 为数据 ， 平均数 ) 教你审题 第 1 步 用厨余垃圾箱中的 400 除以厨余垃圾总数 第 2 步 先求其对立事件 的概率 第 3 步 运用方差公式 解法 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “ 厨余垃圾 ” 箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量 400400 100 10023. (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投放正确 事件 A 的概率约为 “ 厨余垃圾 ” 箱里厨余垃圾量、 “ 可回收物 ” 箱里可回收物量与 “ 其他 - 9 - 垃圾 ” 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P(A )约为 400 240 601 000 所以 P(A)约为 1 (3)当 a 600， b c 0 时， 因为 x 13(a b c) 200， 所以 13(600 200)2 (0 200)2 (0 200)2 80 000. 即 0 000. 反思 概率统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布 规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算 【试一试】 某小型超市发现每天营业额 Y(单位：万元 )与当天进超市顾客人数 X 有关据统计，当 X 700 时， Y X 每增加 10， Y 增加 0 天 X 的值为： 1 400，1 100， 1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600， 1 900， 1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600， 1 900， 700. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 天每 天进超市顾客人数频率分布表 人数 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 频率 120 420 (2)假定今天进超市顾客人数与近 20 天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于 元高于 元的概率 解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为 1 100 的有 3 个，为 1 600 的有 7 个，为 1 900的有 3 个，为 2 200 的有 2 个故近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表为 人数 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 频率 120 320 420 720 320 220 (2)由已知可得 Y X 70010 1200X 700X1 900. P( P(700X1 900) P(X 1 100) P(X 1 400) P(X 1 600) 320 420 - 10 - 720 1420 710. 即 今 天 营 业 额 低 于 元 高 于 元 的 概 率 为 710 . 对应学生333 A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、 乙、丙、丁四个人，每人分得 1 张，事件 “ 甲分得红牌 ” 与事件 “ 乙分得红牌 ” 是 ( ) A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上答案都不对 解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件 答案 C 2 (2013 日照模拟 )从一箱产品中随机抽取一件，设事件 A 抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C 抽到三等品 ，且已知 P(A) P(B) P(C) 事件“ 抽到的不 是一等品 ” 的概率为 ( ) A B C D 析 由对立事件可得 P 1 P(A) 答案 C 3 (2013 海口模拟 )盒中装有 10 个乒乓球，其中 6 个新球， 4 个旧球不放回地依次取出 2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( ) 析 第一次 结果一定，盒中仅有 9 个乒乓球， 5 个新球 4 个旧球，所以第二次也取到新球的概率为 59. 答案 C 4 (2013 揭阳二模 )把一枚硬币连续抛两次，记 “ 第一次出现正面 ” 为事件 A， “ 第二次出现正面 ” 为事件 B，则 P(B|A)等于 ( ) - 11 - 解析 法一 P(B|A) P 1412 12. 法二 A 包括的基本事件为 正，正 ， 正，反 ， 括的基本事件为 正，正 ，因此 P(B|A) 12. 答案 A 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A 两次都击中飞机 ， B 两次都没击中飞机 ， C 恰有一次击中飞机 ， D 至少有一次击中飞机 ，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是 _ 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A B ， A C ， B C ，B D 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D 为彼此互斥事件，而 B D ， B D I，故 互为对立事件 答案 A 与 B、 A 与 C、 B 与 C、 B 与 D B 与 D 6 (2013 成都模拟 )某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为 级品的概率为 对成品抽查一件抽得正品的概率为 _ 解析 记 “ 生产中出现甲级品、乙级品、丙级品 ” 分别为事件 A， B， ， B， C 彼此互斥，由题意可得 P(B) P(C) 以 P(A) 1 P(B C) 1 P(B) P(C) 1 答案 、解答题 (共 25 分 ) 7 (12 分 )某战士甲射击一次，问： (1)若事件 A(中靶 )的概率为 件 A (不中靶 )的概率为多少？ (2)若事件 B(中靶环数大于 6)的概率为 么事件 C(中靶环数不大于 6)的概率为多少？ 解 (1) 事件 A(中靶 )的概率为 根据对立事件的概率公式得到 A 的概率为 1 (2)由题意知中靶环数 大于 6 与中靶环数不大于 6 是对立事件， 事件 B(中靶环数大于 6)的概率为 事件 C(中靶环数不大于 6)的概率为 1 8 (13 分 )某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 只乘一种交通工具去开会 - 12 - (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率； (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为 问他有可能是乘何种交通工具去开会的？ 解 (1)记 “ 他乘火车去开会 ” 为事件 “ 他乘轮船去开会 ” 为事件 “ 他乘汽车 去开会 ” 为事件 “ 他乘飞机去开会 ” 为事件 四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的故 P( P( P( (2)设他不乘轮船去开会的概率为 P， 则 P 1 P( 1 (3)由于 ( ( 故他有可能乘
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