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2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案+学案+素材+训练（打包7套）新人教A版必修5,年高,数学,正弦,定理,教案,素材,训练,打包,新人,必修

内容简介：

1 1 1 1 正弦定理 学习目标 1 掌握正弦定理的推导过程； 2 理解 正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用； 3 能应用 正弦定理 解斜三角形 奎屯王新敞 新疆 要点精讲 1 正弦定理 ：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 2R（ R 为 接圆半径） （ 1） 直角三角形中： 即 c= c= c= 2）斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜 中 S s i i i 两边同除以 外接圆法） 如图所示， s 同理 R，2R 证明三：（向量法） 过 A 作单位向量 j 垂直于 由 两边同乘以单位向量 j 得 j (=j 则 j j j |j |j |0C)=|j |0A) 同理，若过 C 作 j 垂直于 ： 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （ 1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （ 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎屯王新敞 新疆 3 中，已知 , ，则 a 、 b 、 足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？ （见图示） : 若 A 为锐角时 : )( ,( s )( b s as a , b 和 b s 1； C 不存在 10解：（ 1） 00 30,45,10 ， 00 105)(180 由得 21030s 5s 0 C 由得 0 00s i n 1 0 s i n 1 0 5 2 0 s i n 7 5 5 6 2s i n s i n 3 0 （ 2）21360s i i ns i n,s i ns i 000 90,30,60, 锐角， ， 222 （ 3）2 32 45s i i ns i n,s i ns i a 0 1 2 060,s 1360s i n 75s i i ns i n,7560 0 000 C ，当 ， 1360s i n 15s i i ns i n,151 2 0 0 000 C ，当 或00 60,75,13 0 120,15,13 7 11 解： (1) 如图 1， ( 2 ) 222 ， s i n s i n ( 2 ) c o s 22 ，即 s i n c o s 2 0 （ 2）在 中 ，由正弦定理得 3, . s i n 3 s i ns i n s i n ( ) s i n s i A C D C D C 由 (1)得 s in c o s 2 ， 2s i n 3 c o s 2 3 (1 2 s i n ) , 即 2 332 3 s i n s i n 3 0 . s i n s i 解 得 或 30 , s i n , 3 B D C A 图 1 1 第一章 解三角形 教材分析 与导入 三维目标 一、知识与技能 握正弦定理的内容及其证明方法； 二、过程与方法 共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系； 导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 三、情感态度与价值观 角形问题的运算能 力； 生探索数学规律的思维能力，通过 三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点 发现 正弦定理 、用几何法和向量法证明 正弦定理 。 正弦定理是三角形边角关系中最常见 、最重要的两个定理 之一 ， 它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系， 对于它的形式 、内容、证明方 法和应用必须引起足够的重视 。正弦定理 要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际 应用 问题，这些知识的掌握 ，有助于 培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重 视。 教学难点 用 向量法证明正弦定理。虽然学生刚学过必修 4中的平面向量的知识，但是要 利用向量推导正弦定理，有一定的困难 。突破此难点的 关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边 长和 内角的 三角函数联系起来 。 用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例 。 教学 建议 正弦定理是 刻画 三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦 定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定 量解释，即对 “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角 ”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中 “体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学 ”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。同时正弦定理为后续第二节的应用举例作以铺垫，正弦定理的知识和方法可解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，这样也体 现了课标中注重 “数学的三大价值（科学价值、应用价值、文化价值）之一的应用价值。 ” 本节课 宜 采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题 观察特例提出猜想 数学实验深入探究 证明猜想得出定理 运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况 及时地调整教学方案 。 导入一 2 师如右图，固定 B，使边 转动 师思考： 生显然，边 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系如右图，在 A,B,C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 = 则 s 从 而 在 直 角 三 角 形 ， s 导入 二 师：关于三角形中的边与角的关系我们知道哪些？ 生：直角三角形的勾股定理 .，还有 aA c ， bB c 。 生：有。大边对大角，小边对小角。 师：两位同学回答了一个特殊三角形 直角三角形中的边角关系。对于一般三角形的边角关系我们有结论吗？ 师：对这一结论同学们能提供一些想法吗？ 生：有点像正 比例关系。 师：在 A 与 a ， B 与 b ， C 与 c ，他们有怎样的正比例关系？ (1)a ， b ， c ； (2) k A ， k B ， k C ； (3) k A ， k B ， k C ； (4 ) k A ， k B ， k C 。请同学们验证这些猜想的正确性，然后选出正确的。 正确答案为 (2) 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等， 即 s i n s i n s i na b C. 这就是我们今天要研究的 正弦定理 1 弦定理 讲授新课 合作探究 师 那么对 于任意的三角形，关系式s 是否成立？（由学生讨论、分析）生 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如右图，当 锐角三角形时，设边 D，根据任意角三角函数的定义，有 则，同理，可得 从而s i ns i ns i n . （当 钝角三角形时 ，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 s . 师 是否可以用其他方法证明这一等式？ 生 可以作 外接圆，在 ,令 ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明s 这一关系 师 很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法 . 在 ,已知 ,作 外接圆 ,O 为圆心 ,连结 延长交圆于 B,设 90， C = B， s . . 同理 ,可得 s s . s . 这就是说 ,对于任意的三角形 ,上述关系式均成立 ,因此 ,我们得到等式 2 s . 点评 :上述证法采用了初中所学的平面几何知识 ,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证 ,此证法在巩固平面几何知识的同时 ,易于被学生理解和接受 ,并且消除了学生所持的 “向量方法证明正弦定理是唯一途径 ”这一误解 又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫 . 知识拓展 师 接下来 ,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理 定理反映的是三角形的边角关系 ,而在向量知识中 ,哪一知识点体现边角关系呢 ? 生 向量的数量 积的定义式 AB=|A|B|中 为两向量的夹角 . 师 回答得很好 ,但是向量数量积 涉及的是余弦关系而非正弦关系 ,这两者之间能否转化呢 ? 生 可以通过三角函数的诱导公式 0行转化 . 师 这一转化产生 了新角 90就为辅助向量 j 的添加提供了线索 ,为方便进一步的运算 ,辅助向量选取了单位向量 j,而 且与一边夹角出现了 90这是作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因 . 师 在向量方法证明过程中 ,构造向量是基础 ,并由向量的加法原则可得 而添加垂直于 单位向量 j 是关键 ,为了产生 j 与 数量积 ,而在上面向量等式的两边同取 与向量 j 的数量积运算 ,也就在情理之中了 . 师 下面 ,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程 ,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点 . 点评 : (1)在给予学生适当自学时间后 ,应强 调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提 ,以及两向量垂直的充要条件的运用 . (2)要求学生在巩固向量知识的同时 ,进一步体会向量知识的工具性作用 . 向量法证明过程 : (1) 锐角三角形 ,过点 A 作单位向量 j 垂直于 则 j 与 夹角为 90 -A,j 与夹角为 90 由向量的加法原则可得 , 为了与图中有关角的 三角 函数建立联系 ,我们在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算 ,得到 )( 由分配律可得 . |j| |j| 0|j| 0 = 3 . 另外 ,过点 B 垂直的单位向量 j,则 C 的夹角为 90+C,B 的夹角为 90+B,可得. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提 ,防止误解为 j 与 夹角为 90-C,B 的夹角为 90 s . (2) 钝角三角形 ,不妨设 A 90,过点 A 作与 直的单位向量 j,则 j 与 j 与 夹角为 90 由 ,得 jjj 即 A0C, 另外 ,过点 C 作与 直的单位向量 j,则 j 与 夹角为 90+C,j 与 角为90+B. 同理 ,可得. s （形式 1） . 综上所述 ,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形均成立 . 师 在证明了正弦定理之后 ,我们来进一步学习正弦定理的应用 . 教师精讲 （ 1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 A=B=C= （ 2）s 等价于s in,s in,s (形式 2). 我们通过观察正弦定理的形式 2不难得到 ,利用正弦定理 ,可以解决以下两类有关三角形问题 . 已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如这类问题由于两角已知 ,故第三角确定 ,三角形唯一 ,解唯一 ,相对容易 ,课本 就属于此类问题 . 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 此 4 类问题变化较多 ,我们在解题时要分清题目所给的条件 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形 师 接下来 ,我们通过例题评析来进一步体会与总结 . 例题剖析 【例 1】 在 ，已知 A=B=A=42.9 三角形 . 分析 :此题属于已知两角和其中一角所对边的问题 ,直接应用正弦定理可求出边 B,若求边 C,再利用正弦定理即可 . 解： 根据三角形内角和定理， C=180-(A+B)=180-(= 根据正弦定理， b=80.1( c=os 2 6s in 74.1( 方法引导 (1)此类问题结果为唯一解 ,学生较易掌握 ,如果已知两角和两角所夹的边 ,也是先利用内角和180求出第三角 ,再利用正弦定理 . (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 . 【例 2】 在 ，已知 A=20B=28A=40，解三角形（角度精确到 1，边长精确到 1 分析 :此例题属于 a b 的情形 ,故有两解 ,这样在求解之后呢 ,无需作进一步的检验 ,使学生在运用正弦定理求边、角时 ,感到目的很明确 ,同时体会分析问题的重要性 . 解： 根据正弦定理， 20 40s b . 因为 0 B 180，所以 B64或 B116. （ 1）当 B64时， C =180-（ A+B） =180-（ 40+64） =76， C =0s 6s 30( （ 2）当 B116时， C=180-（ A+B） =180-（ 40+116） =24， C=0s 4s 13( 方法引导 通过此例题可使学生明确 ,利用正弦定理求角有两种可能 ,但是都不符合题意 ,可以通过分析获得 ,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形 的各种情形 也可通过三角形的有关性质来判断 ,对于这一点 ,我们通过下面的例题来体会 . 变式一： 在 ,已知 A 60,B 50,A 38,求 B(精确到 1)和 C(保留两个有效数字 ). 5 分析 :此题属于 AB 这一类情形 ,有一解 ,也可根据三角形内大角对大边 ,小角对小边这一性质来排除 B 为钝角的情形 . 解： 已知 情形 ,有一解 ,可应用正弦定理求解角 B 后 ,利用三角形内角和为 180排除角 B 为钝角的情形 . 解： 8 120s b , B38或 B142(舍去 ). C =180-（ A+B） =22. C = 1 2 0s 2s 2. 方法引导 (1)此题要求学生注意考虑问题的全面性 ,对于角 (2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围 ,已知两角一边或 两边与其中一边的对角解三角形 . (3)对于已知两边夹角解三角形这一类型 ,将通过下一节所学习的余弦定理来解 . 师 为巩固本节我们所学内容 ,接下来进行课堂练习： (结果保留两个有效数字 )， (1)已知 C = 3 ,A =45,B=60，求 B; (2)已知 B 12,A 30,B 120,求 A. 解： (1) C=180-(A+B)=180-(45+60)=75， ， B = 75s 0s (2)， 6 A = 12 0s 0s 点评 :此题为正弦定理的直接应用 ,意在使学生熟悉正弦定理的内容 ,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答 ,以增强其自信心 . 角度精确到 1,边长精确到 1): (1)B=11,A=20,B=30;(2)A=28,B=20,A=45; (3)C =54,B=39,C=115;(4)A=20,B=28,A=120. 解： (1) . 11 30s b . 5， 15. 当 5时， 80-(B+180-(30+65)=85， 30s 5s 2. 当 15时， 80-(B+180-(30+115)=35, 30s 5s 3. (2) 8 45s a , 0， 50. 由于 A+5+150 180,故 50应舍去 (或者由 B A 知 B A,故 B 应为锐角 ). C=180-(45+30)=105. C= 45s 05s 8. (3), 4 11 5s c . 1,39. 由于 B C,故 B C, 39应舍去 . 当 B=41时， A=180-(41+115) =24, A= 115s 4s 4. (4) 0 12 0s a 1. 本题无解 . 点评 :此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理 ,同时加强解三角形的能力 ,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能 ,又要结合题目的具体情况进行正确取舍 . 课堂小结 通 过本节学习 ,我们一起研究了正弦定理的证明方法 ,同时了解了向量的工具性作用 ,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题 :已知两角、一边解三角形 ;已知两边和其中一边的对角解三角形 . 布置作业 7 （一）课本第 10 页习题 1、 2 题 . （二）预习内容：课本 P 8余弦定理 预习提纲 (1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识 . (2)余弦定理如何与向量产生联系 . (3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题 . 板书设计 正弦定理 能够解决两类问题 : s (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角 1 弦定理 观察特例提出猜想 教学过程 设计意图 师生共同观察特例 在 ，各边、角之间存在何种数量关系？ 学 生容易想到三角函数式子：（可能还有余弦、正切的式子） 这三个式子中都含有哪个边长 ？ 学生马上看到，是 c 边，因为 那么通过 这三个式子，边长 c 有几种表示方法 ？ 得到的这个等式，说明了 在 ，各边、角之间存在什么关系？ （各边和它所对角的正弦的比相等） 此 关系式能不能推广到任意三角形？ 以旧引新 , 打破学生原有认知结构的平衡状态 , 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织 , 促进认知发展 . 从直角三角形边角关系切入 , 符合从特殊到一般的思维过程 . 提出猜想 猜想：在任意的 , 各边和它所对角的正弦的比相等 , 即： 鼓励学生大胆拓广 , 主动投入数学发现过程 ,发展创造性思维能力 . 数学实验深入探究 教学过程 设计意图 学生自己进行数学实验 让学生用几何画板进行数学实验： 改变三角形的某个顶点的位置（即改变了三角形的形状），观察表格 中的数据的数值大小变化情况 . 观察发现：在拖动三角形的某个顶点的过程中，表格中的数据的数值大小也随着变化，但是它们始终保持相等 . 给学生探索的空间，使学生真正感觉到自己在“做数学”，激起学生的好奇心和探究欲望 , 调动学生自主参与数学活动，使学生体会到数学系统演绎性和实验归纳性的两个侧面 . 归纳总结 通过实验后，猜想成立，即有下面的结论： 在任意的 , 各边和它所对角的正弦的比相等 , 即： 让学生明确到：某些规律对部分特例成立，但是对一般情况不成立 . 证明猜想得出定理 Cc s C B A c a b 1s s 2 教学过程 设计意 图 师生总结 三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式？ 及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识 . 交流研讨辨析 教师启发：刚才在直角三角形中已经证明了 , 那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？ 可以构造直角三角形 如何构造直角三角形？ 作高线（例如：作 出现两个直角三角形 ） 将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明 ， 那么如何 将 A、 B、 a、 b 联系起来？ 在 两个 直角三角形 ， 公共边： 在 ， 在 如何证明 ？ 作高线 理可证 . 把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 , 引 导启发学生利用已有的知识解决新的问题 . 学生在合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人；提高分析能力 . 教师启发学生开拓思维 教师提问：还有其他的证明方法吗？在我们所学过的知识中，有没有什么知识，同时包含长度和三角函数？ 学生联想到平面向量 在平面向量中学过哪些知识？ 主要有向量的运算：加法、减法、数乘和数量积运算 在向量的这些运算中，哪种运算同时包含有长度和三角函数？ 数量积运算 在向量的这些运算中，哪种运算与三角形有关？ 加法和减法满足三角形法则，如： 这几个式子实质上是相同的，不妨以 为例 ，从这个式子出发，怎样才能出现同时包含长度和三角函数的式子？ 将式子的两边与某个向量 e 作数量积 根据数量积的定 义得： 研究性课题具有开放性多元性 让学生对学过的各个知识融会贯通 层递进，逐步搭设台阶 ,让学生联系向量数量积的意义 , 借助向量 工具来证明 ,突出向量的工具性作用 a C D A B s 0 3 c o s|c o s|c o s| 应将式子的两边与什么样的向量作数量积？ 灵活广阔性 学生自主探究 教师根据学生的探究情况，适当提示： 目标是什么？从目标进行分析 要证 ，即证 ，即 与 对比， 发现 不见了！即 应该有 那么，所作的向量 e e 的方向确定了， e 的模如何确定呢？ 当向量 e ， 可化为 )2c o s (|)2c o s (| 即为 ，从而得证 e 的模可以是任意大小（非零） . 由于学生的层次不同，探究的结果不尽相同 于感到困难的部分学生可进行适当的提示 其“尽显其能”的机会 高课堂效果 . 课外探究 若 钝角三角形，证明：s 探究的空间由课堂延伸到课外 . 师生共同总结 回顾我们刚才证明正弦定理的过程， 用了什么证明方法？ 分别是如何证明正弦定理的？ 几何法： 作三角形的高线，构造直角三角形 向量法：作垂直于三角形一边的向量，利用数量积运算 解题后适时反思总结，理清思维，加深理解和认识，可提高解题的理论水平 运用定理解决问题 教学过程 设计意图 定理明晰 正弦定理如何表述？ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 表达式反映了什么？ 指出了任意三角形中，各边与对应角的正弦之间的一个关系式 从形式和内容进一步让学生明确正弦定理所反映出的规律 定理反思总结 我们刚才已经用正弦定理解决三角形中的一类什么问题？ 已知任意两个角和一边，可以求出另一角和另两边 用正弦定理还可以解决三角形中的什么问题？ 已知两边和其中一边的对角，可以求出另一边和另两角 通过总结与思考，领悟思想方法，把握规律的本质，提高分析和解决问题的 s 0B e s c o s|c o s|c o s| | 4 能力 . 例题讲解 例 1在 ，已知 ， ， 42.9a 三角形。 解：根据三角形内角和定理， 01 8 0 ( ) C A B 0 0 01 8 0 ( 3 2 . 0 8 1 . 8 ) ； 根据正弦定理， 00s i n 4 2 . 9 s i n 8 1 . 8 8 0 . 1 ( )s i n s i n 3 2 . 0 c 根据正弦定理， 00s i n 4 2 . 9 s i n 6 6 . 2 7 4 . 1 ( ) .s i n s i n 3 2 . 0 c 于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 变式练习 1 已知在 C 和求中， ,30,45,10 00 解： 00 30,45,10 00 105)(180 来 由得 21030s 5s 0 C 得 0 00s i n 1 0 s i n 1 0 5 2 0 s i n 7 5s i n s i n 3 0 622 0 5 6 5 24 点拨：基本方法是化边为角或化角为边基本思路是寻求边与边之间的数量关系，或求出 角 的 大小常用正弦定理进行代换，找出三角形的边、角关系，然后作出判断 易误题讲解 例 2在 ，已知 20a 28b 040A ，解三角形（角 度精确到 01 ，边长精确到 1 解：根据正弦定理， 0s i n 2 8 s i n 4 0s i n 0 . 8 9 9 9 B 0180 ，所以 064B ，或 0116.B 当 064B 时， 0 0 0 0 01 8 0 ( ) 1 8 0 ( 4 0 6 4 ) 7 6 C A B ， 00s i n 2 0 s i n 7 6 3 0 ( ) .s i n s i n 4 0 c 当 0116B 时， 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 5 0 0 0 0 01 8 0 ( ) 1 8 0 ( 4 0 1 1 6 ) 2 4 C A B ， 00s i n 2 0 s i n 2 4 1 3 ( ) .s i n s i n 4 0 c 2、 ,2,45,6 0 和求中， 解：2 32 45s i i ns i n,s i ns i a 0 1 2 060,s 1360s i n 75s i i ns i n,7560 0 000 C ，当 ， 1360s i n 15s i i ns i n,151 2 0 0 000 C ，当 或00 60,75,13 0 120,15,13 思路点拨：利用正弦定理解三角形，此类问题有时有一解，有时有两解，有时无解，一定把握准确。 课堂练习 课本第 5 页练习： 1.（ 2）， 2.（ 2） 充分利用课本资源；简单应用正弦定理 . 课堂反思小结 通过这节课的研讨，请大家谈谈自己的体会 . (1)在这节课中，学习了哪些知识？ 正弦定 理及其发现和证明 正弦定理的初步应用 (2)包含了哪些数学思想和数学方法？ 运用从特殊到一般，一般到特殊的转化思想 运用方程的思想 运用“观察、猜想、实验、 证明”解决问题的方法 运用向量的方法 通过反思，深化学生知识理解、完善学生认知结构 . 课后作业 (1)课后探究 ： 类比 的式子 猜想在任意三角形 ，比值 并证 明你的结论 . 在 ，求证 s (2)课后习题 ： 课本第 5 页 练习： 2.（ 1） “课后探究”中的两个题回答了课本第 3 页中的问题“是否可以用 其它 方法 证明 正弦定理？” “ 课后习题”让学生探讨解的个数问题，为下节课s c s ? 6 通过上题，你认为在解三角形时，什么时候会出 现两个解？ 作准备 . 【 板书设计 】 课题 一、实例引入 二、观察特例 提 出猜想 三、几何法 四、向量法 五、正弦定理 六、简单应用 七、课堂小结 八、课后作业 教学反思 通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果： 1、学生对于正弦定理的发 现、证明正弦 定 理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识 。 2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高 。 3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同 。对层次 较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注 ，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。 1 弦定理 特色训练 一、已知两角和一边解三角形 例 1 在 ， a 5， B 45， C 105，解三角形 分析 要注意在 隐含条件 A B C 180的运用 解 变式训练 1 在 ，已知 a 2 2， A 30， B 45，解三角形 二、已知两边及其中一边的对角解三角形 例 2 在 ， a 2 3， b 6， A 30，解三角形 分析 已知三角 形的两边及其中一边的对角，先判断三角 形是否有解，若有解，解该三角形 解 变式训练 2 在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 A 60， a 3，b 1，则 c 等于 ( ) A 1 B 2 C. 3 1 D. 3 三、已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数 例 3 不解三角形，判断下列三角形解的个数 2 (1)a 5， b 4， A 120； (2)a 9， b 10， A 60； (3)c 50， b 72， C 135. 解 变式训练 3 不解三角形，判断下列三角形解的个数 (1)a 7， b 14， A 30； (2)a 30， b 25， A 150； (3)a 7， b 9， A 45. 弦 定理 特色训练参考答案 一、已知两角和一边解三 角形 例 1 由三角形内角和定理知 A B C 180， 所以 A 180 (B C) 180 (45 105) 30. 由正弦定理 ，得 b a 550 5 2； c a 5050 560 45)0 505 050 52( 6 2) 变式训练 1 解 ， b 2 250 2 2 2212 4. C 180 (A B) 180 (30 45) 105， c 2 2050 2 2512 2 2 3. 例 2 解 ： a 2 3， b 6， ， 所以本题有两解，由正弦定理得： a 602 3 32 ，故 B 60或 120. 当 B 60时， C 90， c 4 3；当 B 120时， C 30， c a 2 3. 所以 B 60， C 90， c 4 3或 B 120， C 30， c 2 3. 变式训练 2 答案 B 解析 由正弦定理 ，可得 30 1， 12，故 B 30或 150.由 ab， 3 得 A B， B 30，故 C 90，由勾股定理得 c 2. 例 3 解 ： (1) 20 45 32 22 ， 所以 B45， 所以 B C180，故三角形无解 变式训练 3 解 (1)A 30， a ，故三角形有一解 (2)A 15090， a 30b 25，故三角形有一解 (3)A 45， 5ab，故三角形有两解 1 2014 年高中数学 弦定理素材 新人教 A 版必修 5 一、知识总结 “已知两边和其中一边的对角 ”解三角形 ,这类问题分为一解、二解和无解三种情况 我们可以利用课本上的几何图形加以理解 ,另一方面 ,也可以利用正弦函数的有界性进行分析 . 设已知 边长 a 、 b 、 角 A， B ， 则利用正弦定理 a 如果 1B ， 则问题无解 如果 1B ， 则问题有一解 如果求出的 1B ， 则可得 B 的两个值 ,但要通过 “三角形内角和定理 ”或 “大边对大角 ”等三角形有关性质进行判断 . 已知 A, B,C,作 足为 D 则 ,B S s 同理 ,可证 S s S s 在等式两端同除以 得b c C s 即s . 对于三角形中的三角函数 ,在进行恒等变形时 ,常常将正弦 定理写成 A=2=2=2 或 s s .（ R 为 接圆半径） 这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换 ,我们将在以后具体应 用 二、典型例题 1若 (2)( （ ） 分析 :运用正弦定理 A=2=2及结论 +B)由（ = (2) (=(+B)若 0,则 A = B 若 0,则 2= 2 等腰三角形或直角三角形 ,A=45， B C = 4 5， 最大边长为 10，求角 B、 C,外接圆半径及面积 分析： 由 A+B+C=180及 B C=4 5,可得 B= 4K,C=5K， 则 9K=135，故 K=15=60， C 由正