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2014年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法教案+学案+素材+训练（打包8套）新人教A版必修5,年高,数学,数列,概念,简单,表示,教案,素材,训练,打包,新人,必修

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1 2014年高中数学 新人教 一、备用例题 它的前 4 项分别是下列各数： (1)1， 3， 5， 7； (2)5 15;4 14,3 13;2 122222 ; (3)211,321,431,541. 分析： (1)项： 1=21=22=23=24 序号： 1 2 3 4 所以我们得到了 (2)序号： 1 2 3 4 项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子： 221+1)2322+1)2 423+1)2- 1 524+1)2所以我们得到了 )1(2( n (3)序号 : 1 2 3 4 211321431541 )11(1 1)12(2 1)13(3 1)14(4 1 所以我们得到了 )1(1 它的 前 (1) 1,0,1,0; )1(11 n ,n N* (2)3,154,245,356; -1)n1)1( 12 n n (3)7,77,777,7 777; 7(10 2 (4),9,1; -1)n(6 (5)23,45,169,25617. 2212 点评： 上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等 可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系 通项公式是 么 ( 数列 一项 B. 44 是数列 一项 数列 一项 数列 一项 分析：注意到 30， 44， 66， 90 均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题 就可以解决了 可以用解方程求正整数解的方法加以解决 答案： 点评： 看一个数 的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数 n，使得 4.(链接探究题 )假定有一张极薄的 纸，厚度为2001就是每 200 张叠起来刚好为 1 在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为 裁一为二，叠起来，它的厚度记为裁一为二，叠起来，它的厚度记为 样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列： a1,a2, 你能求出这个数列的通项公式吗？你知道 a ，即裁了 50 次、叠了 50 次后的厚度是多少厘米吗？是否有 10 层楼高呢？ 答案 ： 这个数列的通项公式为 002n ， 裁了 50 次、叠了 50 次后的厚度是 5 629 499 534 56 294 995 于地球到月球距离的 146 倍 二、阅读材料 无法实现的奖赏 相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上 (它有 64 个格 )第一格赏 1 粒，第二格赏 2 粒，第三格赏 4 粒，第四格赏 8 粒 依此类推每后一格 的麦粒数都是前面一格的 两倍 是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏 请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 1 第二章 数列 2 1 数列的概念与简单表示法（第 1 课时） 学习目标 1理解数列的概念，了解数列的分类； 2理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式） ； 3能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。 要点精讲 1按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。数列：1 2 3,a a a，简记为 2项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 3从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第 2 项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。 4数列可以看成以正整数集 N （或它的有限子集 1,2, ,n 为定义域的函数 ()na f n。如果数列 n 项与序号 n 之间的 关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式。如三角形数依次构成的数列的通项公式 1 ( 1)2na n n；正方形数依次构成的数列的通项公式 2 范例分析 例 1（ 1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。 （ 2）数列 2,5,7,8 和数列 5,2,7,8 是同一数列吗？ （ 3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ 学生的学号由小到大构成的数列： 1， 2， 3， 4， ， 55。 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列： 1 1 1 1, , , ,2 4 8 16 某人 2004 年 1 12 月份的工资，按月份顺序排成的数列： 1500， 1500， 1500，1500。 1 的 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 4 次幂构成的数列： 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，。 例 2写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： 2 （ 1） 1 1 11, , ,2 3 4；（ 2） 2,0,2,0 ；（ 3） 1 1 11, , ,3 5 7；（ 4） 2 1 21, , ,224。 引申：根据下面各数列的前几项的值，写 出数列的一个通项公式： （ 1） 7 , 7 7 , 7 7 7 , 7 7 7 7 , （ 2） 1, 3, 7 ,1 5, 3 1, （ 3） 1 9 1 7 3 31 , , , , ,3 3 5 6 3 9 9 评注：研究各项的结构，把各项写成相同的结构形式，总结出 结构中哪些部分不随序号的改变而改变，哪些部分会随序号的改变而改变。 例 3用列表、图象和通项公式分别表示下列数列 （ 1） 2,4,6, ， 2n ，。 （ 2） 1,3,9, ， 13n ，。 引申：（ 1）已知数列 1，求证数列 （ 2）已知数列 ()4 ，求数列 评注：判断或证明数列 般是对1,差或作商比较，对含指数幂的通项公式作商比较更方便。与函数单调性的判断或证明有联系又有区别。 例 4（ 1） 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第 n 个图中有 _个点 . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 3 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 2）两两相交的 n 条直线，交点的个数最多是知 2na a n b n c ，求常数 , （ 3）数列 2,3,5,8,13 ，按规律判断 89,145 是否数列中的项。 规律总结 1数列 函数概念有联系也有区别，可用函数观点来处理数列问题。但数列问题也有特殊的处理方法，如数列单调性的证明。 2数列的通项公式 ()na f n相当与函数的解析式， n 为自变量，数中的变量代换在数列中仍然成立，如2 2()na f n。 3根据数列的前几项，总结项与 序号的关系，写出通项公式。 基础训练 一、选择题 1在数列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 , , 3 4 , 5 5x，中， x 的值是（ ） A 19 B 20 C 21 D 22 2数列 4 ， 1 ， 1017， 1331， 1649，的一个通项公式是（ ） A、12 12)1( 21 2 13)1( 21 2 12)1( 21 2 13)1( 21 知数列 2l o g ( 3 ) 2 ，那么2是这个数列的（ ） A第 3 项 B第 4 项 C第 5 项 D第 6 项 4 若一数列的前四项依次是 0,2,0,2 ，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ） A 1 ( 1) B 11 ( 1) C 22 co D ( 1 c o s ) ( 1 ) ( 2 )na n n n 5设数列 na，n nb c ，其中 ,此数列（ ） A 递增 B 递减 C 先增后减 D先减 后增 二、填空题 4 6设数列 2 , 5 , 2 2 , 1 1 ,，则 25是这个数列的 . 7 用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去 ,则所用火柴棒数n 之间的关系式可以是 . 8已知 2*2 9 1 ( )na n n n N ，则在数列 _. 三、解答题 9已知数列 da cn n， 且2432，求10a。 10已知数列的通项公式为 22 ()1n （ 1） 否是它的项？ （ 2）判断此数列的增减性与有界性（注： 有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）。 能力提高 11已知数列 2na n n，且 实数 的取值范围是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 12设函数2( ) l o g l o g 2xf x x(0 1)x，数列 2 ) 2 () 。 （ 1）求数列 2）试讨论数列 5 2 1 数列的概念与简单表示法（第 1 课时）答案 例 1分析：利用数列的概念和数列的分类等知识解题。 解：（ 1）略 （ 2）不是同一数列，因为数列与顺序有关。 （ 3）为递增数列，为递减数列，为常数列，为摆动数列 评注：数列与集合的区别 数列 集合 按照一定的顺序排列着的一列数 一些对象组成的总体 与 数的顺序有关 与元素的顺序无关 一个数列的数可以重复 集合中的元素不能重复 数列分为有穷数列和无穷数列 集合分为有限集和无限集 例 2分析：根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。 （ 1） 1( 1)n ；（ 2） 1( 1) 1 ；（ 3） 121na n ；（ 4） 12()2 引申：（ 1） 7 (1 0 1)9 （ 2） 21（ 3） 21( 2 1 ) ( 2 1 )例 3分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的表示法来表示数列。 解：（ 1） n 1 2 3 k 6 2k 图象略，通 项公式为 2 2） n 1 2 3 k 9 13k 图象略，通项公式为 13引申：（ 1）1 2 1 0a n ，1，所以数列 （ 2）1 13 14 ， 3n ， 所以当 3n 时，数列 递增数列，所以当 4n时，数列 348164为数列 例 4分析：把规律概括出来，根据规律解决问题。 解：（ 1） 2 1 ；（ 2） 11, , 022a b c ；（ 3） 89 是， 145不是 6 评注：列出前几项找规律是求通项公式的关键一 步。 基础训练 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 6第七项 7 21n 8 9 9由题意知32,2234,42 解得 1, 124， 10 2710a 。 10（ 1）设 22 ，得 7n ， 数列的第 7 项； （ 2） 221 2 2 2 2( 1 ) 2 1 0( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 ( 1 )n n n n ，1， 数列 当 1n 时，2， 又 1，所以 1 ,12，数列 11 A 提示：1 2 1 0a n 对任意 成立， 30， 3 12（ 1）由 (2 ) 2，得 1 2n ， 2 2 1 0n a ， 2 1na n n () | 0 1 ， 0 2 1， 0， 2 1na n n （ 2）22111na n n ， 1 2211 01 1 ( 1 ) 1n n n n ，1数列 7 2 1 数列的概念与简单表示法（第 2 课时） 学习目标 1了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项； 2了解数列的前 n 项和与数列通项公式的关系，能根据前 n 项和 3能根据数列的递推公式求一些简单数列的通项公式。 要点精讲 1在 数列 11 , 2 1 ( 1 )a a n ，由1，像这 样给出数列的方法叫做递推法，其中12 1 ( 1 )a n 称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。 2设数列 n 项之和为12nS a a 则 11,1,2n n 。 3设数列 n 项之积为12a a a ，则 11,1,2n 。 范例分析 例 1（ 1）在数列 11 , 2 1 ( 1 )a a n ，写出数列 项。 （ 2）在数列 14a ，111 ( 1 )n ，写出数列 项。 评注：像第（ 2）小题中的数列 样的数列称为周期数列。 例 2 已知数列 1 1a ，1 12nn a ( *)，写出这个数列的前 4 项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以验证。 评注：数学 猜想是数学研究的起点，而验证是对所猜结 论正确与否的一种保护措施，学习数学需要掌握这种“归纳 猜想 验证”的思考方法。 例 3（ 1）数列 n 项之和 12，求 （ 2）数列 n 项之和 2 2nS n n，求 （ 3）数列 n 项之积 21，求 分析：（ 1）（ 2）利用 3）利用 8 例 4 设数列 11 2 3 13 3 3 3n n na a a a （ *） ， 求 a 。 分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的变量代换来表示数列递推。 规律总 结 1递推公式是数列的一种表示方法，利用数列的递推公式可以逐项求值。 2递推公式与函数方程相类似。如121与 ( ) 2 ( 1 ) 1f n f n 相类似。 3由不能忘记讨论 1n 。 4由12(1 ) ( 2 ) ( ) ( )nf a f a f n a g n 求 基础训练 一、选择题 1在数列 2a a，122, 5，则6 ） A 3 B 11 C 5 D 19 2已知数列 a，且满足1 1122，则此数列的第三项是（ ） A 1 B 12C 34D 583 数列 1),1(,21 21 是 n 项和， 则21S ( ) A29B211C 6 D 10 4 若数列 54n n na b b， 12()5 ， x 项，最小项为第 y 项，则 等于 （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 5 已知数列 a ，且满足1313nn ，则2008a （ ） A 3 B 33C 0 D 3 二、填空题 6 数列 n 项和 223nS n n，则 7 数列 ,11a 对 所 有 的 2n 都有 2321 n ，则 通 项 公 式 9 _ 8 已知数列 ， ，有p q p qa a a ，若1 19a ，则36a 三、解答题 9 已知数列 n 项和o g ( 1 ) 1 ， 求 10 已知数列 42 , 5 , 2 3a a a ，且1 ，求实数 ,的值。 能力提高 11 已知数列 a ，且满足1313nn ，若 （n是弧度数），则1n与n的递推关系是 12 设 项为 1 的正项数列，且 , . . . . ,101122 1 （ 1）求2345, , ,a a a a；（ 2）猜想 数列 并加以验证。 2 1 数列的概念与简单表示法（第二课时） 9 答案 例 1分析：利用数列的递推公式逐项求值。 解：（ 1）1 1 1 1 11 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1a a a a a 。 （ 2）1 2 3 4 11 4 1, 5 , , , 54 5 4a a a a a 例 2分析：利用数列的递推公式逐 项求值， 并根据前 4 项的特点，寻找规律，猜想 数列的通项公式，再给予 验证 。 解：1 1a，2 13a ，3 15a ，4 17a ，猜想 121na n 。 证明：假设 121na n ，则1 121na n ，而112121 2 2 1121例 3（ 1）13 , 12 , 2n ； （ 2） 1, 12 3 , 2 ，两段可合并，得 23（ *） （ 3） 222 , 11 ,21 ( 1 )n ，两段可合并，得 2211 ( 1)（ *） 评注： 21和 21是数列中较简单也最常见的递推公式，要学会求这种递 10 推公式下的数列的通项公式。 例 4解：对于 2 2 11 2 3 1 13 3 3 3 3nn nn na a a a a ， 1n 时，1 23a ， 当 2n 时，以 1n 代换 n ，得 221 2 3 1 ( 1 ) 13 3 3 3n n na a a a ， 由 ，得 1 133n ， 13n 2 ,131 ,23 基础训练 1 A 2 C 3 A 提示：因为2 1a ，所以1 12a ， 故 2 1 1 2 3 4 5 2 0 2 1 92S a a a a a a a 4 A 解：令 12 0 , 15，则 22 245 4 555na t t t ， 所以当 25t，即 2n 时， 1t ，即 1n 时， 5 D 6 457 221 ( 1 )( 2 )( 1 )n 8 4 提示：令 1q ，则11a a ，所以1na 故36 4a 。 9由2l o g ( 1 ) 1 得 112，则 121， 当 1n 时， 21 2 1 3a ， 当 1n 时， 11 2 2 2n n nn n S ， 3 ( 1)2 ( 2 )n 10 213243 ，得2255 2 3 ， 消去 ，得 25 ( 1 ) ( 5 2 ) 2 3 11 2 或 3 21或 311111 ,3nn k k Z 12 （ 1）计 算2 12a ，3 4 51 1 1,3 4 5a a a ，猜想 1na n。 （ 2）假设 通项公式 1na n，则1 1 1na n ， 代入 221110n n n nn a n a a a 中等式成立。 1 列的概念与简单表示法 教材分析 三维目标 一、知识与技能 列及其有关概念， 了解数列和函数之间的关系； 会用通项公式写出数列的任意一项； 根据其前几项写出它的通项公式 . 二、过程与方法 照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； 生的主体作用，作好探究性学习； 激发学生的学习积极性 . 三、情感态度与价值观 励学 生动手试验 发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 . 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 . 教学难点 根据一 些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 . 教学建议 数列 是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。 一方面是前面函数知识的延伸及应用，可以使学生加深对函数概念的理解；另一方面也可以为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫。所以 本 节课在教材中起到了 “承上启下 ”的作用，必须讲清、讲透。 第一课时主要是学习数列的有关概念 , 在通过实际问题引入数列概念后，对数列的函数背景进行了分析，指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式。人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。教学时 有的地方可以直接讲解，也可以组织学生集体讨论、 探索发现，课堂上除反复强调注意点外，还应通过课堂练习 和课后作业来强化 . 导入新课 一 师 课本图 2的正方形数分别是多少？ 生 1， 3， 6， 10， . 师 图 212 中正方形数呢？ 生 1， 4， 9， 16， 25， . 师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 正整数次幂： 1， 1， ; 无穷多个数排成一列数： 1， 1， 1， 1， . 生 一些分数排成的一列 数：32，154，356，638，9910， . 导入新课 二 有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。”，见教科书第 26 面 1. 在必修 课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“ 1”，取其一半剩“ 12”，再取一半还剩“ 14”，如此下去，即得到 1， 12， 14， 18， 2 2. 生活中的三角形数、正方形数 . 阅读教材 28 面 问题 1： 这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？ 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 1， 21 ， 31 ， 41 ， 51 ， . 1， . 1， . 1， 1， 1， . 2， 2， 2， 2， 2， . 观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：均是一列数；有一定次序 . 从而引出数列及有关定义 （ 1）三角形数： 1， 3， 6， 10， （ 2）正方 形数： 1， 4， 9， 16， （ 2） 1， 2， 3， 4 的倒数排列成 的一列数： （ 3） 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 排列成一列数： 1， 1， 。 （ 4）无穷多个 1 排列成的一列数： 1， 1， 1， 1，。 问题 2： 上面的例子 有什么共同特点？ 1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序 ， 4131211 1 列的概念与简单表示法 教学过程 推进新课 合作探究 折纸问题 师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试 (学生们兴趣一定很浓 ). 生 一般折 5、 6 次就不能折下去了，厚度太高了 . 师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为 1 长度单位，面积为 1 面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为 :2， 4， 8， 16， ， 256， ； 随着对折数面积依次为21,41,81,161,2561,. 生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的 256 倍，其面积为原来的2561，再折下去太困难了 . 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化 它们有何共同特点？ 生 均是一列数 . 生 还有一定次序 . 师 它们的共同特点：都是有一 定次序的一列数 . 教师精讲 一定顺序排列着的一列数叫做数列 . 注意： （ 1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （ 2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复 出现 . 列中的每一个数都叫做这个数列的项 项 (或首项 )，第 2 项， ，第 n 项， . 同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中 中， “2”是这个数列的第 1 项 (或首项 )， “16”是这个数列中的第 4 项 . 1)根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列 ， 2， 3， 4， 5， 6 是有穷数列 . 无穷数列：项数无限的数列 ， 2， 3， 4， 5， 6 是无穷数列 . 2)根据数列项的大小分： 递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列 . 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列 . 常数数列：各项相等的数列 . 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 . 请同学们观察：课本 P 33 的六组数列，哪 些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是 (1)递增数列， (2)递增数列， (3)常数数列， (4)递减数列， (5)摆动数列，(6) 知识拓展 2 师 你能说出上述数列 中的 256 是这数列的第多少项？能否写出它的第 n 项？ 生 256 是这数列的第 8 项，我能写出它的第 n 项，应为 n. 合作探究 同学们看数列 2， 4， 8， 16， ， 256， 中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？ 生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 1， 2， 3， ， n)的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值 于函数 y=f(x)，如果f(i)(i=1、 2、 3、 4) 有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f( n),. 师 说的很好 第 n 项 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 . 例题剖析 通项公式，写出前 5 项： (1)2)-1)nn. 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中 n 依次取 1， 2， 3， 4， 5，即可得到数列的前 5项 . 生 解： (1)n=1,2,3,4,1;2;3;4;5. (2)n=1,2,3,4,1;3;5. 师 好！就这样解 . 出数列的一个通项公式： (1)3， 5， 7， 9， 11， ； (2)32，154，356，638，9910， ； (3)0， 1， 0， 1， 0， 1， ； (4)1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9， ； (5)2， 12， 30， . 师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？ (给学生一定的思考时间 ) 生 老师，我写好了！ 解： (1)2n 1； (2)12)(12( 2 nn n； (3) )1(1n ； (4)将数列变形为 1 0， 2 1， 3 0， 4 1， 5 0， 6 1， 7 0， 8 1， ， n2 )1(1n ； (5)将数列变形为 12， ， 34， ， 56， ， (-1)n+1n(n 1). 师 完全正确！这是由 “数 ”给出数列的 “式 ”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数 列的通项公式 . 合作探究 师 函数与数列的比较 (由学生完成此表 )： 3 函数 数列 (特殊的函数 ) 定义域 R 或 R 的子集 N*或它的有限子集 1， 2， ，n 解析式 y=f(x) an=f(n) 图象 点的集合 一 些离散的点的集合 师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也 可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列 : 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10; 1,21,31,41, 的图象 . 生 根据这数列的通项公式画出数列 、 的图象 为 师 数列 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10, 的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一 次函数 y=x+3 的图象有关 . 师 数列 1,21,31,41, 的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数的图象有关 . 师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点 . 生 它们都位于 y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于 y 轴的右侧 的点 . 本课时的整个教学过程以学生 自主探究为主，教 师 起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念 . 课堂小结 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式 . 布置作业 课本第 38 页习题 组第 1 题 . 板书设计 数列的概念与简单表示法 (一 ) 定义 例 1 例 2 函数定义 4 新课程的 编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化 元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展 . 鉴于此 ,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位 ,以学生活动、学生探究为主 ,把数学与生活实际联系起来 ,具体说来 ,新课程的理念有如下体现 : (1) 体现“双主体”的原则 ,摆正了教师在教学中的位置 本节课的组织与实施 ,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则 ;教师扮演的是组织者、引导者、参与者 ,学生是学习的主 体 ,通过大量实例激发学生的学机动机和学习兴趣 . (2) 注重展示知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力 本节课通过逐步引导，层层设疑，让学生经历由形到数，由实际到抽象，由具体到一般的形成概念的过程，使教 材更生动，更具亲和力 . (3) 关注 学生的合作意识 在形成定义的教学设计中，设置了恰当的教学情境，引导学生合作与交 流，强化学生的合作意识、协作精神，收到了很好的效果 (第 二 课时 ) 教学过程 合作探究 数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图 象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形 n 为横坐标，相应的项 纵坐标，即以 (n,坐标在平面直角坐标系中作出点 (以前面提到的数列 1, 21,31,41, 为例，作出一个数列的图象 )，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数 师 说得很好，还有其他的方法吗？ 生 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法 知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题 管堆放示意图 (投影片 )其规律，看看能否建立它的一些数学模型 . 生 模型一：自上而下 第 1 层钢管数为 4,即 第 2 层钢管数为 5,即 5 第 3 层钢管数为 6,即 第 4 层钢管数为 7,即 第 5 层钢管数为 8,即 第 6 层钢管 数为 9,即 第 7 层钢管数为 10,即 若用 n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 an=n+3(1n7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？ (启发学生寻找规律 生 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 即 ； =4+1=； =5+1=依此类推： an=a (2n 师 对于上述所求关系，同学们有什么样的理解 生 若知其第 1 项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项 师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式 推进新课 如果已知数列 第 1 项 (或前几项 )，且任一项 前 n 项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 注意：递推公式也是给出数列的一种方 法 如下列数字排列的一个数列： 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 递推公式为： ,an=a n 表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法 列表法、图象法、解析式法 例题剖析 【例 1】 设数列 足 1,11111师 分析：题中已给出 第 1 项即 ，题目要求写出这个 数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可 +11将如何应用呢 生 这要将 n 的值 2 和 代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这 样进行就可以了 师 请大家计算一下 生 解： 据题意可知： ,+11a =2,+21a =32 ,+31a =35 ,8 师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系 6 【例 2】 已知 ， =2出前 5 项，并猜想 师 由例 1 的经验我们先求前 5 项 生 前 5 项分别为 2， 4， 8， 16， 师 对，下面来猜想第 生 由 ， 2=22， 22=23 观察可得，我猜想 n 师 很好 生 老师，本题若改为求 师 不能 生 老师，我由 a n+1=2a 21次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有 32211 112 2 以 an= n 师 太妙了，真是求解的好方法 种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法 . 知识拓展 已知 ， = 师 此题与前例 2 比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求 解呢 生 1 写出： ， 2， 6， 10， 观察可得： +(2-4(生 2 他这种解法不行，因为不是猜出 而是要求出 我这样解：由 4 依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来 )1(4 4a ) 1 12 -4(师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会 教师精讲 (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的 例如，由数列 的递推公式 =2 无法写出数列 的任何一项，若又知 ，则可以依次地写出 ,(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通 项公式 学生活动 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 .(投影片 (1)0， (2n N)； (2)1， a n+12n n N)； 7 (3)3， 3n N (让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答 解： (1)0， 1， 4， 9， 16， ( (2)1， 2， 1=42， 2， 1=62， 2n(3)3 1+230， 7 1+231， 19 1+232， 55 1+233， 163 1+234， 1 23 注：不要求学生进行 证明归纳出通项公式 合作探究 一只猴子爬一个 8 级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？ 析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到 爬一级梯子的方法只有一种 爬一个二级梯子有两种 ,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种 若设爬一个 n 级梯子的不同爬法有 则 an=n 则得到 , 及 an=a n4)，就可以求得 课堂小结 师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？ 生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项 (或 n 项 )之间的关系 生 对于通项公式，只要将公式中的 n 依次取 1， 2， 3, 即可得到相应的项 或前 n 项 )，才可求得其他的项 (让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目 标的整合 布置作业 课本第 38 页习题 第 4、 6 题 预习内容：课本 P 44 板书设计 数列的概念与简单表示法 (二 ) 一、定义 二、例题讲解 小结： 例 通项公式与 例 2 递推公式区别 通过本节课的学习，学生不仅掌握了数列及有关概念，而且可体会到数学概念形成过程中蕴含的基本 数学思想：“函数思想、数形结合思想、特殊化思想”，使之获得内心感受，提高了基本技能和解决问题的能力，也可以逐渐学会辩证地看待问题。 1 2 1 数列的概念与简单表示法（一） 教学过程 一、知识讲解 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 . 注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 . 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，第 n 项， . 例如，上述例子均是数列，其中中，“ 4”是这个数列的第 1 项（或首项），“ 9”是这个数列中的第 6 项 . 数列的一般形式： , 321 或简记为 其中 数列的第 n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义 . 中，这是一个数列，它的首项是“ 1”，“ 31 ”是这个数列的第“ 3”项，等等 。 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 12131415 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系 即：只要依次用 1， 2， 3代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的通项公式：如果数列 第 n 项 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 . 注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列； 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列： 1， 0， 1， 0， 1， 0，它的通项公式可以是 2 )1(11 也可以是 |2 1 na n . 数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项 . 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项 数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集 1， 2， 3， n）为定 义域的函数 ()na f n ， 2 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数 y=f(x),如果 f(i)（ i=1、 2、 3、 4 ）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)， f(n)， 6数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列 ， 2， 3， 4， 5， 6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列 ， 2， 3， 4， 5， 6是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 的数列 二、范例讲解 例 1 根据下面数列 通项公式，写出前 5 项： （ 1） na )1()2(;1 分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中 n 依次取 1， 2， 3， 4， 5，即可得到数列的前 5 项 解：（ 1） ;65;54;43;32;,3,2,1 54321 (2) ;5;4;3;2;,3,2,1 54321 练习 1 根据下面数列 通项公式，写出前 5 项： 12 12)(12( 2 nn na 3 5 9 17 33, , ,， ； 23， 415 ， 635， 863， 1099例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： （ 1） 1， 3， 5， 7； （ 2） ;5 15;4 14,3 13;2 122222 （ 3） - 211 ， 321 ， - 431 ， 541 . 解： （ 1）项 1=2 13=2 25=2 37=2 4 3 序号 1 2 3 4 即这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍减去 1， 它的一个通项公式是： 12 （ 2）序号： 1 2 3 4 项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5= 4+1 项分子： 22 32 42 52这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1，分子都是分母的平方减去 1，它的一个通项公式是： 1)1(2 n n ； （ 3）序号 2111 3213 4313 5414 )11(11)1( 1 )12(21)1( 2 )13(31)1( 3 )12(21)1( 2 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： )1(1)1( 练习 2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ； (5) 2, 6, 12, 20, 30, 42, . 解： (1) 2n 1； (2) 12)(12( 2 nn n； (3) )1(1n ； (4) 将数列变形为 1 0, 2 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , n2 )1(1n ； (5) 将数列变形为 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,， ( 1) 1n n(n 1) 例 3 数列 452 18 是数列中的第几 项？ 4 n 为何值时，求最小值 解 ： 由 01451845 22 解得 7n ， 18 是数列中的第 7 项 49)25(45 22 n， 2n 或 3n 时， 25242)( 2m 练 习 3： 数列 22 数列 解 ： 12)1(1222)(122221 又 022 1 nn 列 数列 最小项为 311 a ，没有最大项 三、课堂小结： 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。 四、巩固练习： ， 0， 1， 0， 1，的一个通项公式是（ ） )1(11 n )1(11 n 1)1( n )1(1n 【解析】将数列 21与 2)1(1 n 对应项相加得到的数列即是 . 【答案】 B 1,22,5,2 ，则 2 5 是这个数列的（ ） B. D. 【解析】可观察所给 数列的通项公式是 13 n ，由 5213 n 得 n=7 【答案】 B an=n2+n,那么（ ） 数列中的一项 是数列中的一项 【解析】由 n2+n=702 即 n2+n 702=0 得： n=26 或 n= 27(舍去 ) 【答案】 C f(n)= 2 )1()1( 自变量依次取正整数 1， 2， 3， n,时对应的函数值，以数列形式表示为（ ） A. 1,1, 1,1 B. 1, 1,1,1, 1, 1 5 C. 1, 1,1,1, 1, 1,， 2 )1()1( D. 1, 1,1,1, 1, 1,， 2 )1()1( 【解析】显然数列 f(n)为无穷数列 【答案】 D 通项公式 2( 1nn(n N*)，那么1201是这个数列的第 _项 . 【解析】令 201即1201)2( 1 n=10，或 n= 12(舍去 ) 【答案】 10 通项公式为 n(32)n，则此数列的前 4 项分别为 _. 【解析】 ,64【答案】 6， 8， 8，964五、课后作业 课本习题 的第 1 题 列的概念与简单表示法 （第课时） 教学过程 一 、知识运用 图中的三角形称为希尔宾斯基（ 角形。在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。 二、探究新知 观察以下数列，并写出其通项公式： ,11,9,7,5,3,1)1( 12 ,8,6,4,2,0)2( )1(2 6 ,81,27,9,3)3( 问 题 ： 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？ 2,25,2213,1)1( 123121 nn 2,0)2( 11 nn 11 3,3)3( nn 已知 数列 前几项），且任一项前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的 递推公式 . 定义 : 1)( 2)( , 11项之和为的前若记数列一、知识讲解 （ 1）通项公式法 如果数列 第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如：数列 的通项公式为 ； 的通 项公式为 ； 的通项公式为 ； （ 2）图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标 为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 （ 3）递推公式法 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型 模型一：自上而下： 第 1 层钢管数为 4；即： 1 4 1+3 第 2 层钢管数为 5；即： 2 5 2+3 7 第 3 层钢管数为 6；即： 3 6 3+3 第 4 层钢管数为 7；即： 4 7 4+3 第 5 层钢管数为 8；即： 5 8 5+3 第 6 层钢管数为 9；即： 6 9 6+3 第 7 层钢管数为 10；即： 7 10 7+3 若用 示钢管数， n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1(3 n 7）运用每一层的钢筋数与其 层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。 即 41 a ； 1145 12 1156 23 依此类推： 11 nn 2 n 7） 对于上述所求关系，若知其第 1 项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义： 递推公式：如果已知数列 第 1 项（或前几项），且任一项 它的前一项 1或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列： 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89 递推公式为： )83(,5,3 2121 列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，用 表示第 项，依次写出成为 （ 4）列表法 简记为 2数列的前 n 项和： 数列 ， 321 称为数列 前 n 项和，记为 1S 表示前 1 项之和： 1S = 1a 2S 表示前 2 项之和： 2S = 21 1示前 之和： 1 1321 示前 n 项之和： 321 . 8 当 n 1 时 有意义；当 1 即 n 2 时 1有意义 . 2 间 的关系： 由 定义可知，当 n=1 时， 1S = 1a ；当 n 2 时，1n n S， 即 112n n S n =()( 1 ) . 说明：数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种